Объем параллелепипеда равен произведению. Как найти объем параллелепипеда

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:

С пятого класса нам известна формула нахождения объема прямоугольного параллелепипеда. Сегодня мы вспомним эту формулу и докажем теорему «Объем прямоугольного параллелепипеда»

Докажем теорему: Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений.

Дано: параллелепипед

а, b, c — его измерения.

V - объем параллелепипеда.

Доказать: V = abc.

Доказательство:

1. Пусть а, b, c - конечные десятичные дроби, где число знаков после запятой не больше n (n > 1).

Тогда Числа а. 10n , b . 10n, c . 10n - целые.

Разобьем каждое ребро параллелепипеда на равные отрезки длиной и через точки разбиения проведем плоскости, перпендикулярные ребрам.

Параллелепипед разобьется на abc.103n равных кубиков с ребром. Найдем объем каждого маленького кубика будет равен равно единица, деленная на десять в n-ой степени, возведенная в куб. Возведя числитель и знаменатель в куб, получаем (единица в кубе равна единице, а 10 в n-ой степени в кубе равно 10 в степени 3n) частное единицы и 10 в степени 3n.

Т.к. объем каждого такого кубика равен, а количество этих кубиков аbс умноженное на, то объем прямоугольного параллелепипеда находим умножением количества кубиков на объем маленького кубика Тогда получаем выражение: объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению аbс, умноженное на 10 в степени 3n частное единицы и 10 в степени 3n.

Сократим на 10 в степени 3n, получим, что объем прямоугольного параллелепипеда равен abc или произведению трех его измерений.

Итак, V = abc.

2.Докажем, если хотя бы одно из измерений a, b, c - бесконечная десятичная дробь, то объем параллелепипеда также равен произведению трех его измерений.

Пусть аn, bn, cn - конечные десятичные дроби, полученные из чисел a, b, c отбрасыванием в каждом из них всех цифр после запятой, начиная с (n + 1). Тогда а больше или равно а с индексом и меньше или равно а с индексом n штрих

an < a < an",

где а энное штрих равно сумме а энное и единицы, деленной на десять в n-ой степени =

для b и c, запишем аналогичные неравенства и запишем их друг под другом

an < a < an"

bn < b < bn"

cn < c < cn",

Перемножим эти три неравенства, мы получим: произведение abc больше или равно произведению а энного на b энное и на c энное и меньше или равно а энному штрих на b энное штрих и на c энное штрих:

anbncn abc < an"bn"cn". (1)

По доказанному в п. 1., левая часть - объем параллелепипеда со сторонами anbncn , то есть Vn, а правая — объем параллелепипеда со сторонами an"bn"cn", то есть Vn".

Т.к. параллелепипед Р, то есть параллелепипед с измерениями a, b, c содержит в себе параллелепипед Рn, то есть параллелепипед со сторонами an, bn, cn, а сам содержится в параллелепипеде Pn", то есть в параллелепипеде со сторонами an", bn", cn" то объем V параллелепипеда Р заключен между Vn = anbncn и Vn "= an"bn"cn",

т.е. anbncn < V < an"bn"cn". (2)

При неограниченном увеличении n число частное единицы и 10 в степени 3n будет становиться сколь угодно малым, и потому числа anbncn и an"bn"cn" будут сколь угодно мало отличаться друг от друга. Следовательно, число V сколь угодно мало отличается от числа abc. Значит, они равны:

V = abc. Теорема доказана.

Следствие 1. Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

Основанием прямоугольного параллелепипеда является прямоугольник. Пусть длина прямоугольника равна а и ширина равна b, высоту обозначим h=c. Тогда площадь прямоугольника ищем по формуле. Подставим в формулу для нахождения объема V = abc вместо произведения пишем. Получаем формулу

Следствие 2. Объем прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту.

Дана прямоугольная призма, угол А в основании является прямым. Достроим прямоугольную призму до прямоугольного параллелепипеда (смотрите чертеж). Прямоугольный параллелепипед состоит из двух прямоугольных призм, которые равны, так как имеют равные основания и высоты. Соответственно, площадь прямоугольника равна двум площадям прямоугольных треугольников АВС Следовательно, объем прямоугольной призмы равен половине объема прямоугольного параллелепипеда (при умножении) или произведению основания прямоугольного треугольника на высоту.

Задача 1.Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Объем прямоугольного параллелепипеда ищем по формуле:

Данная фигура состоит из двух прямоугольных параллелепипедов.

Пусть — это объем полного параллелепипеда с измерениями 4, 3, 3. Тогда это объем малого «вырезанного» параллелепипеда с измерениями 3, 1, 1.

Чтобы найти объем многогранника, необходимо найти разность объемов V1 и V2

Находим объем V1 как произведение его измерений обозначим их а1, b1, c1, получаем объем его равен

Для малого «вырезанного» параллелепипеда объем V2 равен произведению его измерений, их обозначим как а2, b2, c2 , тогда получим

Теперь найдем объем многогранника V как разность V1 и V2, получим V=

Ответ: V многогранника равен 33

Прямоугольник - одна из самых простых плоских фигур, а прямоугольный параллелепипед - такая же простая фигура, но в пространстве (рис. 1). Они очень похожи.

Так же похожи, как круг и шар.

Рис. 1. Прямоугольник и параллелепипед

Разговор про площади начинают с площади прямоугольника, а про объемы - с объема прямоугольного параллелепипеда.

Если мы умеем находить площадь прямоугольника, то это нам позволяет найти площадь любой фигуры.

Вот эту фигуру мы можем разбить на 3 прямоугольника и найти площадь каждого, а значит, и всей фигуры. (Рис. 2.)

Рис. 2. Фигура

Рис. 3. Фигура, площадь которой равна семи прямоугольникам

Даже если фигура не разбивается точно на прямоугольники, это можно сделать с любой точностью и площадь посчитать приблизительно.

Площадь этой фигуры (рис. 3) примерно равна сумме площадей семи прямоугольников. Неточность получается за счет верхних маленьких фигур. Если увеличить число прямоугольников, то неточность уменьшится.

То есть прямоугольник - это инструмент для вычисления площадей любых фигур.

Такая же ситуация, когда речь идет об объемах.

Любую фигуру можно выложить прямоугольными параллелепипедами, кирпичиками. Чем мельче будут эти кирпичики, тем точнее мы сможем посчитать объем (рис. 4, рис.5).

Рис. 4. Вычисление площади с помощью прямоугольных параллелепипедов

Прямоугольный параллелепипед является инструментом для вычисления объемов любых фигур.

Рис. 5. Вычисление площади с помощью маленьких параллелепипедов

Давайте немного вспомним.

Квадрат со стороной 1 единица (рис. 6) имеет площадь в 1 квадратную единицу. Исходная линейная единица может быть любой: сантиметр, метр, километр, миля.

Например, 1 см 2 - это площадь квадрата со стороной 1 см.

Рис. 6. Квадрат и прямоугольник

Площадь прямоугольника - это количество таких квадратов, которые в него поместятся. (Рис. 6.)

Уложим единичные квадраты в длину прямоугольника в один ряд. Получилось 5 штук.

В высоту помещается 3 квадрата. Значит, всего помещается три ряда, в каждом по пять квадратов.

Итого площадь равна .

Понятно, что нет нужды каждый раз внутри прямоугольника размещать единичные квадраты.

Достаточно умножить длину одной стороны на длину другой.

Или в общем виде:

Очень похоже обстоят дела с объемом прямоугольного параллелепипеда.

Объем куба со стороной 1 единица - это 1 кубическая единица. Опять же, исходные линейные величины могут быть любыми: миллиметры, сантиметры, дюймы.

Например, 1 см 3 - это объем куба со стороной 1 см, а 1 км 3 - это объем куба со стороной 1 км.

Найдем объем прямоугольного параллелепипеда со сторонами 7 см, 5 см, 4 см. (Рис. 7.)

Рис. 7. Прямоугольный параллелепипед

Объем нашего прямоугольного параллелепипеда - это количество единичных кубов, помещающихся в него.

Уложим на дно ряд единичных кубиков со стороной 1 см вдоль длинной стороны. Поместилось 7 штук. Уже по опыту работы с прямоугольником мы знаем, что на дно поместится всего 5 таких рядов, по 7 штук в каждом. То есть всего:

Назовем это слой. Сколько таких слоев мы можем уложить друг на друга?

Это зависит от высоты. Она равна 4 см. Значит, укладывается 4 слоя в каждом по 35 штук. Всего:

А откуда у нас появилось число 35? Это 75. То есть количество кубиков мы получили перемножением длин всех трех сторон.

Но это и есть объем нашего прямоугольного параллелепипеда.

Ответ: 140

Теперь мы можем записать формулу и в общем виде. (Рис. 8.)

Рис. 8. Объем параллелепипеда

Объем прямоугольного параллелепипеда со сторонами , , равен произведению всех трех сторон.

Если длины сторон даны в сантиметрах, то объем получится в кубических сантиметрах (см 3).

Если в метрах, то объем в кубических метрах (м 3).

Аналогично объем может быть измерен в кубических миллиметрах, километрах и т. д.

Стеклянный куб со стороной 1 м наполнен водой целиком. Какова масса воды? (Рис. 9.)

Рис. 9. Куб

Куб является единичным. Сторона - 1 м. Объем - 1 м 3 .

Если мы знаем, сколько весит 1 кубический метр воды (сокращенно говорят кубометр), то задача решена.

Но если мы этого не знаем, то нетрудно посчитать.

Длина стороны .

Посчитаем объем в дм 3 .

Но 1 дм 3 имеет отдельное название, 1 литр. То есть у нас 1000 литров воды.

Нам всем известно, что масса одного литра воды равна 1 кг. То есть у нас 1000 кг воды, или 1 тонна.

Понятно, что такой куб, наполненный водой, не под силу передвинуть ни одному обычному человеку.

Ответ: 1 т.

Рис. 10. Холодильник

Холодильник имеет высоту 2 метра, ширину 60 см и глубину 50 см. Найти его объем.

Прежде чем мы воспользуемся формулой объема - произведение длин всех сторон - необходимо перевести длины в одинаковые единицы измерения.

Мы можем перевести все в сантиметры.

Соответственно, и объем мы получим в кубических сантиметрах.

Думаю, вы согласитесь, что в кубических метрах объем более понятен.

Человек на глаз плохо отличает число с пятью нулями от числа с шестью нулями, а ведь одно в 10 раз больше, чем другое.

Часто нам нужно перевести одну единицу объема в другую. Например, кубометры в кубические дециметры. Тяжело запомнить все эти соотношения. Но этого и не нужно делать. Достаточно понять общий принцип.

Например, сколько кубических сантиметров в кубическом метре?

Давайте посмотрим, сколько кубиков со стороной 1 сантиметр поместится в куб со стороной 1 м. (Рис. 11.)

Рис. 11. Куб

В один ряд укладывается 100 штук (ведь в одном метре 100 см).

В один слой укладывается 100 рядов или кубиков.

Всего помещается 100 слоев.

Таким образом,

То есть если линейные величины связаны соотношением «в одном метре 100 см», то чтобы получить соотношение для кубических величин, нужно возвести 100 в 3 степень (). И не нужно каждый раз чертить кубы.

ГЛАВА ТРЕТЬЯ

МНОГОГРАННИКИ

II ОБЪЕМ ПРИЗМЫ И ПИРАМИДЫ

82. Основные допущения в объёмах. Величина части пространства, занимаемого геометрическим телом, называется объёмом этого тела.

Мы ставим, задачу - найти для этой величины выражение в виде некоторого числа, измеряющего эту величину. При этом мы будем руководствоваться следующими исходными положениями:

1) Равные тела имеют равные объёмы .

2) Объём какого-нибудь тела (например, каждого параллелепипеда, изображённого на черт. 87), состоящего из частей (Р и Q), равен сумме объёмов этих частей .

Два тела, имеющие одинаковые объемы, называются равновеликими.

83. Единица объёма. За единицу объёмов при измерении их берут объём такого куба, у которого каждое ребро равно линейной единице. Так, употребительны кубические метры (м 3), кубические сантиметры (см 3) и т. д.

Объём параллелепипеда

84. Теорема. Объём прямоугольного параллелепипедa равен произведению трёх его измерений.

В таком кратком выражения теорему эту надо понимать так: число, выражающее объём прямоугольного параллелепипеда в кубической единице, равно произведению чисел, выражающих три его измерения в соответствующей линейной единице, т. е. в единице, являющейся ребром куба, объём которого принят за кубическую единицу. Так, если х есть число, выражающее объём прямоугольного параллелепипеда в кубических сантиметрах, и а, b и с -числа, выражающие три его измерения в линейных сантиметрах, то теорема утверждает, что x = abc .

При доказательстве рассмотрим особо следующие три случая:

1) Измерения выражаются целыми числами .

Пусть, например, измерения будут (черт. 88): АВ = а , ВС = b и BD = c ,
где а, b и с - какие-нибудь целые числа (например, как изображено у нас на чертеже: а = 4, b = 2 и с = 5). Тогда основание параллелепипеда содержит ab таких квадратов, из которых каждый представляет собой соответствующую квадратную единицу. На каждом из этих квадратов, очевидно, можно поместить по одной кубической единице. Тогда получится слой (изображённый на чертеже), состоящий из ab кубических единиц. Так как высота этого слоя равна одной линейной единице, а высота всего параллелепипеда содержит с таких единиц, то внутри параллелепипеда можно поместить с таких слоев. Следовательно, объём этого параллелепипеда равен abc кубических единиц.

2) Измерения выражаются дробными числами . Пусть измерения параллелепипеда будут:

m / n , p / q , r / s

. (некоторые из этих дробей могут равняться целому числу). Приведя дроби к одинаковому знаменателю, будем иметь:

mqs / nqs , pns / nqs , rnq / nqs

Примем 1 / nqs долю линейной единицы за новую (вспомогательную) единицу длины. Тогда в этой новой единице измерения данного параллелепипеда выразятся целыми числами, а именно: mqs, pns и rnq , и потому по доказанному (в случае 1) объём параллелепипеда равен произведению (mqs ) (pns ) (rnq ), если измерять этот объём новой кубической единицей, соответствующей новой линейной единице. Таких кубических единиц в одной кубической единице, соответствующей прежней линейной единице, содержится (nqs ) 3 ; значит, новая кубическая единица составляет 1 /(nqs ) 3 прежней. Поэтому объём параллелепипеда, выраженный в прежних единицах, равен:

3) Измерения выражаются иррациональными числами . Пусть у данного параллелепипеда (черт. 89), который для краткости мы, обозначим одной буквой Q, измерения будут:

АВ = α ; AС = β; AD = γ,

где все числа α , β и γ или только некоторые из них иррациональные.

Каждое из чисел α , β и γ может быть представлено в виде бесконечной десятичной дроби. Возьмём приближённые значения этих дробей с п десятичными знаками сначала с недостатком, а затем с избытком. Значения с недостатком обозначим α n , β n , γ n , значения с избытком α" n , β" n , γ" n . Отложим на ребре АВ, начиная от точки А, два отрезка AB 1 = α n и АВ 2 = α" n .
На ребре АС от той же точки А отложим отрезки АС 1 = β n и AС 2 = β" n и на ребре AD от той же точки-отрезки АD 1 = γ n и AD 2 = γ" n .

При этом мы будем иметь:

AB 1 < АВ < АВ 2 ; АС 1 < АС < АС 2 ; AD 1 < AD < AD 2 .

Построим теперь два вспомогательных параллелепипеда; один (обозначим его Q 1) с измерениями АВ 1 , АС 1 и AD 1 и другой (обозначим его Q 2) с измерениями АВ 2 , АС 2 и AD 2 . Параллелепипед Q 1 будет весь помещаться внутри параллелепипеда Q, а параллелепипед Q 2 будет содержать внутри себя параллелепипед Q.

По доказанному (в случае 2) будем иметь:

объём Q 1 = α n β n γ n (1)

объём Q 2 = α" n β" n γ" n (2)

Оричём объём Q 1 < объёма Q 2 .

Начнём теперь увеличивать число п . Это значит, что мы берём приближённые значения чисел α , β , γ всё с большей и большей степенью точности.

Посмотрим, как при этом изменяются объемы параллелепипедов Q 1 и Q 2 .

При неограниченном возрастании п объём Q 1 , очевидно, увеличивается и в силу равенства (1) при беспредельном увеличении n имеет споим пределом предел произведения (α n β n γ n ). Объём Q 2 , очевидно, уменьшается и в силу равенства (2) имеет пределом предел произведения (α" n β" n γ" n ). Но из алгебры известно, что оба произведения
α n β n γ n и α" n β" n γ" n при неограниченном увеличении п имеют общий предел, который является произведением иррациональных чисел αβγ.

Этот предел мы и принимаем за меру объёма параллелепипеда Q: объём Q = αβγ.

Можно доказать, что определённый таким образом объём удовлетворяет тем условиям, которые установлены для объёма (§ 82). В самом деле, при таком определении объёма равные параллелепипеды, очевидно, имеют равные объёмы. Следовательно, первое условие (§ 82) выполняется. Разобьём теперь данный параллелепипед Q плоскостью, параллельной его основанию, надвое: Q 1 и Q 2 (черт. 90).

Тогда будем иметь:

объём Q = АВ АС АD,
объём Q 1 = АВ АА 1 АD,
объём Q 2 = А 1 В 1 А 1 С А 1 D 1 .

Складывая почленно два последних равенства и замечая, что А 1 В 1 = АВ и А 1 D 1 =АD, получим:

объём Q 1 +объём Q 2 = АВ АА 1 АD+АВ А 1 С АD = АВ АD (АА 1 + А 1 С) = АВ АD АC, отсюда получаем:

объём Q 1 +объём Q 2 = объёму Q.

Следовательно, и второе условие § 82 тоже выполняется, если параллелепипед складывать из двух частей, полученных разрезанием его плоскостью, параллельной одной из граней.

85. Следствие. Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда, служащие сторонами его основания, выражаются числами а и b , а третье измерение (высота)-числом с . Тогда, обозначая объём его в соответствующих кубических единицах буквой V, можем написать:

V = аbс .

Так как произведение аb выражает площадь основания, то можнo сказать, что объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту .

Замечание. Отношение двух кубических единиц разных названий равно третьей степени отношения тех линейных единиц, которые служат рёбрами для этих кубических единиц. Так, отношение кубического метра к кубическому дециметру равно 10 3 , т. е. 1000. Поэтому, например, если мы имеем куб с ребром длиной а линейных единиц и другой куб с ребром длиной 3а линейных единиц, то отношение их объёмов будет равно 3 3 , т. е. 27, что ясно видно из чертежа 91.

86. Лемма. Наклонная призма равновелика такой прямой призме, основание которой равно перпендикулярному сечению наклонной призмы, а высота - её боковому ребру.

Пусть дана наклонная призма ABCDEA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 (черт. 92).

Продолжим все её боковые рёбра и боковые грани в одном направлении.

Возьмём на продолжении одного какого-нибудь ребра произвольную точку а и проведём через неё перпендикулярное сечение abcde . Затем, отложив аа 1 = АА 1 , проведём через а 1 перпендикулярное сечение a 1 b 1 c 1 d 1 e 1 . Так как плоскости обоих сечений параллельны, то bb 1 = сс 1 = dd 1 = ее 1 = аа 1 = АА 1 (§17). Вследствие этого многогранник a 1 d , у которого за основания приняты проведённые нами сечения, есть прямая призма, о которой говорится в теореме.

Докажем, что данная наклонная призма равновелика этой прямой. Для этого предварительно убедимся, что многогранники a D и a 1 D 1 равны. Основания их abcde и a 1 b 1 c 1 d 1 e 1 равны как основания призмы a 1 d ; с другой стороны, прибавив к обеим частям равенства А 1 А = а 1 а по одному и тому же отрезку прямой А 1 а , получим: а А = а 1 А 1 ; подобно этому b В = b 1 В 1 , с С = с 1 С 1 и т. д. Вообразим теперь, что многогранник a D вложен в многогранник a 1 D 1 так, что основания их совпали; тогда боковые рёбра, будучи перпендикулярны к основаниям и соответственно равны, также совпадут; поэтому многогранник a D совместится с многогранником a 1 D 1 ; значит, эти тела равны. Теперь заметим, что если к прямой призме a 1 d добавим многогранник a D, а к наклонной призме A 1 D добавим многогранник a 1 D 1 , равный a D, то получим один и тот же многогранник a 1 D. Из этого следует, что две призмы A 1 D и a 1 d равновелики.

87. Теорема. Объём параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

Ранее мы доказали эту теорему для параллелепипеда п р я м о у г о л ь н о г о, теперь докажем её для параллелепипеда п р я м о г о, а потом и н а к л о н н о г о.

1). Пусть (черт. 93) АС 1 - прямой параллелепипед, т. е. такой, у которого основание ABCD - какой-нибудь параллелограмм, а все боковые грани - прямоугольники.

Возьмём в нём за основание боковую грань АА 1 В 1 В; тогда параллелепипед будет
н а к л о н н ы й. Рассматривая его как частный случай наклонной п р и з м ы, мы на основании леммы предыдущего параграфа можем утверждать, что этот параллелепипед равновелик такому прямому параллелепипеду, у которого основание есть перпендикулярное сечение MNPQ, а высота ВС. Четырёхугольник MNPQ- прямоугольник, потому что его углы служат линейными углами прямых двугранных углов; поэтому прямой параллелепипед, имеющий основанием прямоугольник MNPQ, должен быть прямоугольным и, следовательно, его объём равен произведению трёх его измерений, за которые можно принять отрезки МN, МQ и ВС. Таким образом,

объём AС 1 = МN МQ ВС = МN (МQ ВС).

Но произведение МQ ВС выражает площадь параллелограмма АВСD, поэтому

объём АСХ = (площади АВСD) МN = (площади АВСD) ВВ 1 .

2) Пусть (черт. 94) АС 1 - наклонный параллелепипед.

Он равновелик такому прямому, у которого основанием служит перпендикулярное сечение МNРQ (т. е. перпендикулярное к рёбрам АD, ВС, . . .), а высотой - ребро ВС. Но, по доказанному, объём прямого параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту; значит,

объём АС 1 = (площади МNРQ) ВС.

Если RS есть высота сечения МNРQ, то площадь МNРQ = МQ RS, поэтому

объём АС 1 = МQ RS ВС = (ВС MQ) RS.

Произведение ВС MQ выражает площадь параллелограмма АВСD; следовательно, объём АС 1 = (площади АВСОD) RS.

Остаётся теперь доказать, что отрезок RS представляет собой высоту параллелепипеда. Действительно, сечение МNРQ, будучи перпендикулярно к рёбрам ВС, В 1 С 1 , .. . , должно быть перпендикулярно к граням АВСD, ВВ 1 С 1 С, .... проходящим через эти рёбра (§ 43). Поэтому если мы из точки S восставим перпендикуляр к плоскости АВСD, то он должен лежать весь в плоскости МNРQ (§ 44) и, следовательно, должен слиться с прямой RS, лежащей в этой плоскости и перпендикулярной к МQ. Значит, отрезок SR есть высота параллелепипеда. Таким образом, объем и наклонного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

Следствие. Если V, В и H суть числа, выражающие в соответствующих единицах объём, площадь основания и высоту параллелепипеда, то можно написать.

Любое геометрическое тело можно охарактеризовать площадью (S) поверхности и объемом (V). Площадь и объем совсем не одно и то же. Объект может иметь сравнительно небольшой V и большую S, например, так устроен мозг человека. Вычислить данные показатели для простых геометрических фигур гораздо проще.

Параллелепипед: определение, виды и свойства

Параллелепипед – это четырехугольная призма, в основании которой находится параллелограмм. Для чего же может потребоваться формула нахождения объема фигуры? Подобную форму имеют книги, упаковочные коробки и еще множество вещей из повседневной жизни. Комнаты в жилых и офисных домах, как правило, являются прямоугольными параллелепипедами. Для установки вентиляции, кондиционеров и определение количества обогревательных элементов в комнате необходимо рассчитать объем помещения.

У фигуры 6 граней – параллелограммов и 12 ребер, две произвольно выбранные грани называют основаниями. Параллелепипед может быть нескольких видов. Различия обусловлены углами между смежными ребрами. Формулы для нахождения V-ов различных многоугольников немного отличаются.

Если 6 граней геометрической фигуры представляют собой прямоугольники, то ее тоже называют прямоугольной. Куб – это частный случай параллелепипеда, в котором все 6 граней представляют собой равные квадраты. В этом случае, чтобы найти V, нужно узнать длину только одной стороны и возвести ее в третью степень.

Для решения задач понадобятся знания не только готовых формул, но свойств фигуры. Перечень основных свойств прямоугольной призмы невелик и очень прост для понимания:

1. Противолежащие грани фигуры равны и параллельны. Это значит, что ребра расположенные напротив одинаковы по длине и углу наклона.
2. Все боковые грани прямого параллелепипеда – прямоугольники.
3. Четыре главные диагонали геометрической фигуры пересекаются в одной точкой, и делятся ею пополам.
4. Квадрат диагонали параллелепипеда равен суме квадратов измерений фигуры (следует из теоремы Пифагора).

Теорема Пифагора гласит, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади треугольника, построенного на гипотенузе того же треугольника.

Доказательство последнего свойства можно разобрать на изображении представленном ниже. Ход решения поставленной задачи прост и не требует подробных объяснений.

Формула объема прямоугольного параллелепипеда

Формула нахождения для всех видов геометрической фигуры одна: V=S*h, где V- искомый объем, S – площадь основания параллелепипеда, h – высота, опущенная из противоположной вершины и перпендикулярная основанию. В прямоугольнике h совпадает с одной из сторон фигуры, поэтому чтобы найти объем прямоугольной призмы необходимо перемножить три измерения.

Объем принято выражать в см3. Зная все три значения a, b и c найти объем фигуры совсем не сложно. Наиболее часто встречающийся тип задач в ЕГЭ – это поиск объема или диагонали параллелепипеда. Решить многие типовые задания ЕГЭ без формулы объема прямоугольника – невозможно. Пример задания и оформления его решения приведен на рисунке ниже.

Примечание 1 . Площадь поверхности прямоугольной призмы можно найти, если умножить на 2 сумму площадей трех граней фигуры: основания (ab) и двух смежных боковых граней (bc + ac).

Примечание 2 . Площадь поверхности боковых граней легко узнать умножив периметр основания на высоту параллелепипеда.

Исходя из первого свойства параллелепипедов AB = A1B1, а грань B1D1 = BD. Согласно следствиям из теоремы Пифагора сумма всех углов в прямоугольном треугольнике равна 180°, а катет, лежащий против угла в 30°, равен гипотенузы. Применив данные знания для треугольника, легко находим длину сторон AB и AD. Затем перемножаем полученные значения и вычисляем объем параллелепипеда.

Формула для нахождения объема наклонного параллелепипеда

Чтобы найти объем наклонного параллелепипеда необходимо площадь основания фигуры умножить на высоту, опущенную на данное основание из противоположного угла.

Таким образом, искомый V можно представить в виде h — количества листов с площадью S основания, так объем колоды складывается из V-ов всех карт.

Примеры решения задач

Задания единого экзамена должны быть выполнены за определенное время. Типовые задачи, как правило, не содержать большого количества вычислений и сложных дробей. Часто школьнику предлагают как найти объем неправильной геометрической фигуры. В таких случаях следует помнить простое правило, что общий объем равен сумме V-ов составных частей.

Как видно из примера на изображении выше, ничего сложного в решении подобных задач нет. Задания из более сложных разделов предполагают знания теоремы Пифагора и ее следствий, а так же формулу длины диагонали фигуры. Для успешного решения заданий тестов достаточно заранее ознакомится с образцами типовых задач.

Фигуры на рисунке 175, а и б состоят из равного количества одинаковых кубиков. О таких фигурах можно сказать, что их объемы равны. Прямоугольные параллелепипеды, изображенные на рисунке 175, в и г, состоят соответственно из 18 и 9 одинаковых кубиков. Поэтому можно сказать, что объем первого из них в два раза больше объема второго.

С такой величиной, как объем, вы часто встречаетесь в повседневной жизни: объем топливного бака, объем бассейна, объем классной комнаты, показатели потребления газа или воды на счетчиках и т.д.

Опыт подсказывает вам, что одинаковые емкости имеют равные объемы. Например, одинаковые бочки имеют равные объемы.

Если емкость разделить на несколько частей, то объем всей емкости равен сумме объемов ее частей. Например, объем двухкамерного холодильника равен сумме объемов его камер.

Эти примеры иллюстрируют следующие свойства объема фигуры .

1 ) Равные фигуры имеют равные объемы.

2 ) Объем фигуры равен сумме объемов фигур, из которых она состоит.

Как и в случаях с другими величинами (длина, площадь), следует ввести единицу измерения объема.

За единицу измерения объема выбираю куб, ребро которого равно единичному отрезку. Такой куб называют единичным .

кубическим миллиметром . Пишут 1 мм 3 .

Объем куба с ребром 1 см называю кубическим сантиметром . Пишут 1 см 3 .

Объем куба с ребром 1 мм называю кубическим дециметром . Пишут 1 дм 3 .

При измерении объемов жидкостей и газов 1 дм 3 называют литром . Пишут: 1 л. Итак, 1 л = 1 дм 3 .

Если объем красного кубика (см. рис. 175, д) принять за единицу, то объемы фигур на рисунке 175, а, б, в и г соответственно равны 5, 5, 18 и 9 кубических единиц.

Если длина, ширина и высота прямоугольного параллелепипеда соответственно равны 5 см, 6 см, 4 см, то этот параллелепипед можно разделить на 5 * 6 * 4 единичных кубов (рис. 176 ). Поэтому его объем равен 5 * 6 * 4 = 120 см 3 .

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений.

V = abc

где V − объем, a, b, и c − измерения прямоугольного параллелепипеда, выраженные в одних и тех же единицах.

Поскольку у куба все ребра равны, то его объем вычисляют по формуле:

V = a 3

где a − длина ребра куба. Именно поэтому третью степень числа называют кубом числа.

Произведение длины a и ширины b прямоугольного параллелепипеда равно площади S его основания: S = ab (рис. 177 ). Обозначим высоту прямоугольного параллелепипеда буквой h. Тогда объем V прямоугольного параллелепипеда равен V = abh .

V = abh = (ab)h = Sh .

Итак, мы получили еще одну формулу для вычисления объема прямоугольного параллелепипеда:

V = Sh

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

Пример. Какой должна быть высота бака, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, чтобы его объем составлял 324 дм 3 , а площадь дна − 54 дм 2 ?

Решение. Из формулы V = Sh следует, что h = V: S. Тогда искомую высоту h бака можно вычислить так:

h = 324 : 54 = 6 (дм).

Ответ: 6 дм.

Предыдущая статья: Чему равна скорость света Следующая статья: Углерод — характеристика элемента и химические свойства