Степенная функция задается формулой вида .
Рассмотрим вид графиков степенной функции и свойства степенной функции в зависимости от значения показателя степени.
Начнем со степенной функции с целым показателем a . В этом случае вид графиков степенных функций и свойства функций зависят от четности или нечетности показателя степени, а также от его знака. Поэтому сначала рассмотрим степенные функции при нечетных положительных значениях показателя a , далее - при четных положительных, далее - при нечетных отрицательных показателях степени, и, наконец, при четных отрицательных a .
Свойства степенных функций с дробными и иррациональными показателями (как и вид графиков таких степенных функций) зависят от значения показателя a . Их будем рассматривать, во-первых, при a от нуля до единицы, во-вторых, при a больших единицы, в-третьих, при a от минус единицы до нуля, в-четвертых, при a меньших минус единицы.
В заключении этого пункта для полноты картины опишем степенную функцию с нулевым показателем.
Рассмотрим степенную функцию при нечетном положительном показателе степени, то есть, при а=1,3,5,… .
На рисунке ниже приведены графики степенных фнукций – черная линия, – синяя линия, – красная линия, – зеленая линия. При а=1 имеем линейную функцию y=x .
Свойства степенной функции с нечетным положительным показателем.
Рассмотрим степенную функцию с четным положительным показателем степени, то есть, при а=2,4,6,… .
В качестве примера приведем графики степенных функций – черная линия, – синяя линия, – красная линия. При а=2 имеем квадратичную функцию, графиком которой является квадратичная парабола .
Свойства степенной функции с четным положительным показателем.
Посмотрите на графики степенной функции при нечетных отрицательных значениях показателя степени, то есть, при а=-1,-3,-5,… .
На области определения степенной функции y = x p
имеют место следующие формулы:
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Если показатель степенной функции y = x p
равен нулю, p = 0
,
то степенная функция определена для всех x ≠ 0
и является постоянной, равной единице:
y = x p = x 0 = 1, x ≠ 0
.
Рассмотрим степенную функцию y = x p = x n с натуральным нечетным показателем степени n = 1, 3, 5, ... . Такой показатель также можно записать в виде: n = 2k + 1 , где k = 0, 1, 2, 3, ... - целое не отрицательное. Ниже представлены свойства и графики таких функций.
График степенной функции y = x n с натуральным нечетным показателем при различных значениях показателя степени n = 1, 3, 5, ... .
Область определения:
-∞ < x < ∞
Множество значений:
-∞ < y < ∞
Четность:
нечетная, y(-x) = - y(x)
Монотонность:
монотонно возрастает
Экстремумы:
нет
Выпуклость:
при -∞ < x < 0
выпукла вверх
при 0 < x < ∞
выпукла вниз
Точки перегибов:
x = 0, y = 0
x = 0, y = 0
Пределы:
;
Частные значения:
при x = -1,
y(-1) =
(-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
при x = 0, y(0) = 0 n = 0
при x = 1, y(1) = 1 n = 1
Обратная функция:
при n = 1
,
функция является обратной к самой себе: x = y
при n ≠ 1
,
обратной функцией является корень степени n
:
Рассмотрим степенную функцию y = x p = x n с натуральным четным показателем степени n = 2, 4, 6, ... . Такой показатель также можно записать в виде: n = 2k , где k = 1, 2, 3, ... - натуральное. Свойства и графики таких функций даны ниже.
График степенной функции y = x n с натуральным четным показателем при различных значениях показателя степени n = 2, 4, 6, ... .
Область определения:
-∞ < x < ∞
Множество значений:
0 ≤ y < ∞
Четность:
четная, y(-x) = y(x)
Монотонность:
при x ≤ 0
монотонно убывает
при x ≥ 0
монотонно возрастает
Экстремумы:
минимум, x = 0, y = 0
Выпуклость:
выпукла вниз
Точки перегибов:
нет
Точки пересечения с осями координат:
x = 0, y = 0
Пределы:
;
Частные значения:
при x = -1
,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
при x = 0, y(0) = 0 n = 0
при x = 1, y(1) = 1 n = 1
Обратная функция:
при n = 2
,
квадратный корень:
при n ≠ 2
,
корень степени n
:
Рассмотрим степенную функцию y = x p = x n
с целым отрицательным показателем степени n = -1, -2, -3, ...
.
Если положить n = -k
,
где k = 1, 2, 3, ...
- натуральное, то ее можно представить в виде:
График степенной функции y = x n с целым отрицательным показателем при различных значениях показателя степени n = -1, -2, -3, ... .
Ниже представлены свойства функции y = x n с нечетным отрицательным показателем n = -1, -3, -5, ... .
Область определения:
x ≠ 0
Множество значений:
y ≠ 0
Четность:
нечетная, y(-x) = - y(x)
Монотонность:
монотонно убывает
Экстремумы:
нет
Выпуклость:
при x < 0
:
выпукла вверх
при x > 0
:
выпукла вниз
Точки перегибов:
нет
Точки пересечения с осями координат:
нет
Знак:
при x < 0, y < 0
при x > 0, y > 0
Пределы:
; ; ;
Частные значения:
при x = 1, y(1) = 1 n = 1
Обратная функция:
при n = -1
,
при n < -2
,
Ниже представлены свойства функции y = x n с четным отрицательным показателем n = -2, -4, -6, ... .
Область определения:
x ≠ 0
Множество значений:
y > 0
Четность:
четная, y(-x) = y(x)
Монотонность:
при x < 0
:
монотонно возрастает
при x > 0
:
монотонно убывает
Экстремумы:
нет
Выпуклость:
выпукла вниз
Точки перегибов:
нет
Точки пересечения с осями координат:
нет
Знак:
y > 0
Пределы:
; ; ;
Частные значения:
при x = 1, y(1) = 1 n = 1
Обратная функция:
при n = -2
,
при n < -2
,
Рассмотрим степенную функцию y = x p с рациональным (дробным) показателем степени , где n - целое, m > 1 - натуральное. Причем, n, m не имеют общих делителей.
Пусть знаменатель дробного показателя степени нечетный: m = 3, 5, 7, ... . В этом случае, степенная функция x p определена как для положительных, так и для отрицательных значений аргумента x . Рассмотрим свойства таких степенных функций, когда показатель p находится в определенных пределах.
Пусть рациональный показатель степени (с нечетным знаменателем m = 3, 5, 7, ... ) меньше нуля: .
Графики степенных функций с рациональным отрицательным показателем при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.
Приводим свойства степенной функции y = x p с рациональным отрицательным показателем , где n = -1, -3, -5, ... - нечетное отрицательное целое, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.
Область определения:
x ≠ 0
Множество значений:
y ≠ 0
Четность:
нечетная, y(-x) = - y(x)
Монотонность:
монотонно убывает
Экстремумы:
нет
Выпуклость:
при x < 0
:
выпукла вверх
при x > 0
:
выпукла вниз
Точки перегибов:
нет
Точки пересечения с осями координат:
нет
Знак:
при x < 0, y < 0
при x > 0, y > 0
Пределы:
; ; ;
Частные значения:
при x = -1, y(-1) = (-1) n = -1
при x = 1, y(1) = 1 n = 1
Обратная функция:
Свойства степенной функции y = x p с рациональным отрицательным показателем , где n = -2, -4, -6, ... - четное отрицательное целое, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.
Область определения:
x ≠ 0
Множество значений:
y > 0
Четность:
четная, y(-x) = y(x)
Монотонность:
при x < 0
:
монотонно возрастает
при x > 0
:
монотонно убывает
Экстремумы:
нет
Выпуклость:
выпукла вниз
Точки перегибов:
нет
Точки пересечения с осями координат:
нет
Знак:
y > 0
Пределы:
; ; ;
Частные значения:
при x = -1, y(-1) = (-1) n = 1
при x = 1, y(1) = 1 n = 1
Обратная функция:
График степенной функции с рациональным показателем (0 < p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.
< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.
Область определения:
-∞ < x < +∞
Множество значений:
-∞ < y < +∞
Четность:
нечетная, y(-x) = - y(x)
Монотонность:
монотонно возрастает
Экстремумы:
нет
Выпуклость:
при x < 0
:
выпукла вниз
при x > 0
:
выпукла вверх
Точки перегибов:
x = 0, y = 0
Точки пересечения с осями координат:
x = 0, y = 0
Знак:
при x < 0, y < 0
при x > 0, y > 0
Пределы:
;
Частные значения:
при x = -1, y(-1) = -1
при x = 0, y(0) = 0
при x = 1, y(1) = 1
Обратная функция:
Представлены свойства степенной функции y = x p с рациональным показателем , находящимся в пределах 0 < p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.
Область определения:
-∞ < x < +∞
Множество значений:
0 ≤ y < +∞
Четность:
четная, y(-x) = y(x)
Монотонность:
при x < 0
:
монотонно убывает
при x > 0
:
монотонно возрастает
Экстремумы:
минимум при x = 0, y = 0
Выпуклость:
выпукла вверх при x ≠ 0
Точки перегибов:
нет
Точки пересечения с осями координат:
x = 0, y = 0
Знак:
при x ≠ 0, y > 0
Пределы:
;
Частные значения:
при x = -1, y(-1) = 1
при x = 0, y(0) = 0
при x = 1, y(1) = 1
Обратная функция:
График степенной функции с рациональным показателем (p > 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.
Свойства степенной функции y = x p с рациональным показателем, большим единицы: . Где n = 5, 7, 9, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.
Область определения:
-∞ < x < ∞
Множество значений:
-∞ < y < ∞
Четность:
нечетная, y(-x) = - y(x)
Монотонность:
монотонно возрастает
Экстремумы:
нет
Выпуклость:
при -∞ < x < 0
выпукла вверх
при 0 < x < ∞
выпукла вниз
Точки перегибов:
x = 0, y = 0
Точки пересечения с осями координат:
x = 0, y = 0
Пределы:
;
Частные значения:
при x = -1, y(-1) = -1
при x = 0, y(0) = 0
при x = 1, y(1) = 1
Обратная функция:
Свойства степенной функции y = x p с рациональным показателем, большим единицы: . Где n = 4, 6, 8, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.
Область определения:
-∞ < x < ∞
Множество значений:
0 ≤ y < ∞
Четность:
четная, y(-x) = y(x)
Монотонность:
при x < 0
монотонно убывает
при x > 0
монотонно возрастает
Экстремумы:
минимум при x = 0, y = 0
Выпуклость:
выпукла вниз
Точки перегибов:
нет
Точки пересечения с осями координат:
x = 0, y = 0
Пределы:
;
Частные значения:
при x = -1, y(-1) = 1
при x = 0, y(0) = 0
при x = 1, y(1) = 1
Обратная функция:
Пусть знаменатель дробного показателя степени четный: m = 2, 4, 6, ... . В этом случае, степенная функция x p не определена для отрицательных значений аргумента. Ее свойства совпадают со свойствами степенной функции с иррациональным показателем (см. следующий раздел).
Рассмотрим степенную функцию y = x p с иррациональным показателем степени p . Свойства таких функций отличаются от рассмотренных выше тем, что они не определены для отрицательных значений аргумента x . Для положительных значений аргумента, свойства зависят только от величины показателя степени p и не зависят от того, является ли p целым, рациональным или иррациональным.
Область определения:
x > 0
Множество значений:
y > 0
Монотонность:
монотонно убывает
Выпуклость:
выпукла вниз
Точки перегибов:
нет
Точки пересечения с осями координат:
нет
Пределы:
;
Частное значение:
При x = 1, y(1) = 1 p = 1
Область определения:
x ≥ 0
Множество значений:
y ≥ 0
Монотонность:
монотонно возрастает
Выпуклость:
выпукла вверх
Точки перегибов:
нет
Точки пересечения с осями координат:
x = 0, y = 0
Пределы:
Частные значения:
При x = 0, y(0) = 0 p = 0
.
При x = 1, y(1) = 1 p = 1
Область определения:
x ≥ 0
Множество значений:
y ≥ 0
Монотонность:
монотонно возрастает
Выпуклость:
выпукла вниз
Точки перегибов:
нет
Точки пересечения с осями координат:
x = 0, y = 0
Пределы:
Частные значения:
При x = 0, y(0) = 0 p = 0
.
При x = 1, y(1) = 1 p = 1
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Для удобства рассмотрения степенной функции будем рассматривать 4 отдельных случая: степенная функция с натуральным показателем, степенная функция с целым показателем, степенная функция с рациональным показателем и степенная функция с иррациональным показателем.
Для начала введем понятие степени с натуральным показателем.
Определение 1
Степенью действительного числа $a$ с натуральным показателем $n$ называется число, равное произведению $n$ множителей, каждый из которых равняется числу $a$.
Рисунок 1.
$a$ - основание степени.
$n$ - показатель степени.
Рассмотрим теперь степенную функцию с натуральным показателем, её свойства и график.
Определение 2
$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in N)$ называется степенной функцией с натуральным показателем.
Для дальнейшего удобства рассмотрим отдельно степенную функцию с четным показателем $f\left(x\right)=x^{2n}$ и степенную функцию с нечетным показателем $f\left(x\right)=x^{2n-1}$ ($n\in N)$.
$f\left(-x\right)={(-x)}^{2n}=x^{2n}=f(x)$ -- функция четна.
Область значения -- $ \
Функция убывает, при $x\in (-\infty ,0)$ и возрастает, при $x\in (0,+\infty)$.
$f{""}\left(x\right)={\left(2n\cdot x^{2n-1}\right)}"=2n(2n-1)\cdot x^{2(n-1)}\ge 0$
Функция выпукла на всей области определения.
Поведение на концах области определения:
\[{\mathop{lim}_{x\to -\infty } x^{2n}\ }=+\infty \] \[{\mathop{lim}_{x\to +\infty } x^{2n}\ }=+\infty \]
График (рис. 2).
Рисунок 2. График функции $f\left(x\right)=x^{2n}$
Область определения -- все действительные числа.
$f\left(-x\right)={(-x)}^{2n-1}={-x}^{2n}=-f(x)$ -- функция нечетна.
$f(x)$ - непрерывна на всей области определения.
Область значения -- все действительные числа.
$f"\left(x\right)=\left(x^{2n-1}\right)"=(2n-1)\cdot x^{2(n-1)}\ge 0$
Функция возрастает на всей области определения.
$f\left(x\right)0$, при $x\in (0,+\infty)$.
$f{""\left(x\right)}={\left(\left(2n-1\right)\cdot x^{2\left(n-1\right)}\right)}"=2\left(2n-1\right)(n-1)\cdot x^{2n-3}$
\ \
Функция вогнута, при $x\in (-\infty ,0)$ и выпукла, при $x\in (0,+\infty)$.
График (рис. 3).
Рисунок 3. График функции $f\left(x\right)=x^{2n-1}$
Для начала введем понятие степени с целым показателем.
Определение 3
Степень действительного числа $a$ c целым показателем $n$ определяется формулой:
Рисунок 4.
Рассмотрим теперь степенную функцию с целым показателем, её свойства и график.
Определение 4
$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ называется степенной функцией с целым показателем.
Если степень больше нуля, то мы приходим к случаю степенной функции с натуральным показателем. Его мы уже рассмотрели выше. При $n=0$ мы получим линейную функцию $y=1$. Её рассмотрение оставим читателю. Осталось рассмотреть свойства степенной функции с отрицательным целым показателем
Область определения -- $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.
Если показатель четный, то функция четна, если нечетный, то функция нечетна.
$f(x)$ - непрерывна на всей области определения.
Область значения:
Если показатель четный, то $(0,+\infty)$, если нечетный, то $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.
При нечетном показателе функция убывает, при $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. При четном показателе функция убывает при $x\in (0,+\infty)$. и возрастает, при $x\in \left(-\infty ,0\right)$.
$f(x)\ge 0$ на всей области определения
Лекция: Степенная функция с натуральным показателем, её график
Мы постоянно имеем дело с функциями, в которых аргумент имеет некоторую степень:
у = х 1 , у = х 2 , у = х 3 , у = х -1 и т.д.
Графики степенных функций
Итак, сейчас мы рассмотрим несколько возможных случаев степенной функции.
1) у = х 2 n .
Это означает, что сейчас мы будем рассматривать функции, в которых показатель степени является четным числом.
Характеристика функции:
1. В качестве области значения принимаются все действительные числа.
2. Функция может принимать все положительные значения и число нуль.
3. Функция является четной, поскольку не зависит от знака аргумента, а зависит только от его модуля.
4. Для положительного аргумента функция возрастает, а для отрицательного - убывает.
Графики данных функций напоминают параболу. Например, ниже представлен график функции у = х 4 .
2) Функция имеет нечетный показатель степени: у = х 2 n +1 .
1. Область определения функции - все множество действительных чисел.
2. Область значения функции - может принимать вид любого действительного числа.
3. Данная функция нечетная.
4. Монотонно возрастает на всем промежутке рассмотрения функции.
5.
График всех степенных функций с нечетным показателем степени идентичен функции у = х 3 .
3) Функция имеет четный отрицательный натуральный показатель: у = х -2 n .
Все мы знаем, что отрицательный показатель степени позволяет опустить степень в знаменатель и менять знак показателя степени, то есть получится вид у = 1/х 2 n .
1. Аргумент данной функции может принимать любые значения, кроме нуля, поскольку переменная стоит в знаменателе.
2. Так как показатель степени - четное число, то функция не может принимать отрицательные значения. А раз аргумент не может быть равен нулю, то следует исключить и значение функции, равное нулю. Это значит, что функция может принимать только положительные значения.
3. Данная функция является четной.
4. При отрицательном аргументе функция монотонно возрастает, а при положительном - убывает.
Вид графика функции у = х -2:
4) Функция с отрицательным нечетным показателем степени у = х -(2 n +1) .
1. Данная функция существует при всех значениях аргумента, кроме числа нуль.
2. Функция принимает все действительные значения, кроме числа нуль.
3. Данная функция является нечетной.
4. На двух рассматриваемых промежутках убывает.
Рассмотрим пример графика функции с отрицательным нечетным показателем степени на примере у = х -3 .
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.
Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 9 класса
Интерактивное пособие "Правила и упражнения по алгебре" для 9 класса
Мультимедийное учебное пособие для 9 класса "Алгебра за 10 минут"
Давайте посмотрим одну из функций подходящих нам и определим для нее свойства. $y=x^{-2}=\frac{1}{x^2}$.
Начнем исследование с четности. Стоит заметить, что свойство четности значительно упрощает построение графиков функции, т.к. мы можем построить половинку графика и потом просто ее отразить.
Область определения нашей функции – множество действительных чисел, кроме нуля, все мы прекрасно знаем, что на ноль делить нельзя. Область определения – симметричное множество, переходим к вычислению значения функции от отрицательного аргумента.
$f(-x)=\frac{1}{(-x)^2}=\frac{1}{x^2}=f(x)$.
Наша функция четная. Значит, мы можем построить график при $х≥0$, а потом его отразить относительно оси ординат.
Ребята, в этот раз предлагаю вместе построить график функции, как делают это во "взрослой" математике. Сначала определим свойства нашей функции, а потом по ним построим график. Будем учитывать, что $x>0$.
1. Область определения D(y)=(0;+∞).
2. Функция убывающая. Проверим это. Пусть $x1
3. Функция ограничена снизу. Очевидно, что $\frac{1}{x^2}>0$, что и значит ограниченность снизу.
Ограниченности сверху нет, так как если взять значение аргумента очень маленьким, близким к нулю, то значение функции будет стремиться к плюс бесконечности.
4. Наибольшего и наименьшего значения нет. Наибольшего значения нет, так как функция не ограничена сверху. Как же быть с наименьшим значением, ведь функция ограничена снизу.
Что значит, что функция имеет наименьшее значение?
Существует такая точка х0, что для всех х из области определения $f(x)≥f(x0)$, но наша функция убывающая на всей области определения, тогда существует такое число $х1>x0$, но $f(x1)Графики степенной функций с отрицательными показателями
Построим график нашей функции по точкам.
График нашей функции, очень похож на график гиперболы.
Воспользуемся свойством четности и отразим график относительно оси ординат.
Напишем свойства нашей функции для всех значений х.
1) D(y)=(-∞;0)U(0;+∞).
2) Четная функция.
3) Возрастает на (-∞;0], убывает на .
Решение. Функция убывает на всей области определения, тогда своих наибольших и наименьших значений она достигает на концах отрезка. Наибольшее значение будет на левом конце отрезка $f(1)=1$, наименьшее на правом $f(3)=\frac{1}{27}$.
Ответ: Наибольшее значение равно 1, наименьшее 1/27.
Пример. Построить график функции $y=(x+2)^{-4}+1$.
Решение. График нашей функции получается из графика функции $y=x^{-4}$ переносом его на две единицы влево и одну единицу вверх.
Построим график: