Как определить является ли функция числовой последовательностью. Как вычислить пределы последовательностей

Числовая последовательность и ее предел представляют собой одну из важнейших проблем математики на протяжении всей истории существования этой науки. Постоянно пополняемые знания, формулируемые новые теоремы и доказательства - все это позволяет рассматривать данное понятие с новых позиций и под разным

Числовая последовательность, в соответствии с одним из самых распространенных определений, представляет собой математическую функцию, основанием которой служит множество натуральных чисел, располагающихся согласно той или иной закономерности.

Существует несколько вариантов создания числовых последовательностей.

Во-первых, эта функция может быть задана так называемым «явным» способом, когда имеется определенная формула, при помощи которой каждый ее член может быть определен простой подстановкой порядкового номера в заданную последовательность.

Второй способ получил название «реккурентного». Его суть состоит в том, что задаются несколько первых членов числовой последовательности, а также специальная реккурентная формула, с помощью которой, зная предыдущий член, можно найти последующий.

Наконец, наиболее общим способом задания последовательностей является так называемый когда без особого труда можно не только выявить тот или иной член под определенным порядковым номером, но и, зная несколько последовательных членов, прийти к общей формуле данной функции.

Числовая последовательность может быть убывающей или возрастающей. В первом случае каждый последующей ее член меньше предыдущего, а во втором - наоборот, больше.

Рассматривая данную тему, нельзя не затронуть вопрос про пределы последовательностей. Пределом последовательности называется такое число, когда для любой, в том числе для бесконечно малой величины, существует порядковый номер, после которого уклонение следующих друг за другом членов последовательности от заданной точки в числовом виде становится меньше величины, заданной еще при формировании этой функции.

Понятие предела числовой последовательности активно используется при проведении тех или иных интегральных и дифференциальных счислений.

Математические последовательности обладают целым набором достаточно интересных свойств.

Во-первых, любая числовая последовательность есть пример математической функции, следовательно, те свойства, которые характерны для функций, можно смело применять и для последовательностей. Самым ярким примером таких свойств является положение о возрастающих и убывающих арифметических рядах, которые объединяются одним общим понятием - монотонные последовательности.

Во-вторых, существует достаточно большая группа последовательностей, которые нельзя отнести ни к возрастающим, ни к убывающим, - это периодические последовательности. В математике ими принято считать те функции, в которых существует так называемая длина периода, то есть с определенного момента (n) начинает действовать следующее равенство y n = y n+T , где Т и будет являться той самой длиной периода.

Предположим, что каждому натуральному числу соответствует определенное действительное число: числу 1 соответствует а 1 , числу 2 – а 2 , числу n – а n . В таком случае мы говорим, что задана числовая последовательность, которую записывают так: а 1 , а 2 , …, а n , где а 1 – первый член, а 2 – второй член, …, а n – n-й член последовательности.

Существует три основных способа задания последовательности.

1. Аналитический. Последовательность задается формулой n-го члена; например, формулой а n = n/(n+1) задается последовательность а 1 , а 2 , …, а n , у которой

а 1 = 1/(1+1) = 1/2; а 2 = 2/(2+1) = 2/3 …;

т.е. последовательность 1/2, 2/3, 3/4, …, n/(n + 1).

2. Реккурентный. Любой член последовательности выражается через предшествующие члены. При данном способе задания последовательности обязательно указывается первый член последовательности и формула, которая позволяет вычислить любой член последовательности по известным предыдущим членам.

Найдем несколько членов последовательности а 1 = 1, а 2 = 1…, а n +2 = а n + а n +1.

а 3 = а 1 + а 2 = 1 + 1 = 2;

а 4 = а 2 + а 3 = 1 + 2 = 3 и др.

В результате получаем последовательность: 1, 1, 2, 3, 5 ….

3. Словесный. Это задание последовательности описанием. Например, последовательность десятичных приближений по недостатку числа е.

Последовательности бывают возрастающими и убывающими.

Последовательность (а n), каждый член которой меньше следующего за ним, т.е. если а n < а n +1 для любого n, называется возрастающей последовательностью.

Последовательность (а n), каждый член которой больше следующего за ним, т.е. если а n > а n +1 для любого n, называется убывающей последователностью.

Например:

а) 1, 4, 9, 16, 25, …, n 2 , … – последовательность возрастающая;

б) -1, -2, -3, -4, …, -n, … – последовательность убывающая;

в) -1, 2, -3, 4, -5, 6, …, (-1) n ∙ n, … – не возрастающая и не убывающая последовательность;

г) 3, 3, 3, 3, 3, 3, …, 3, … – постоянная (стационарная) последовательность.

Если каждый член последовательности (а n), начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d, то такая последовательность называется арифметической прогрессией. Число d получило название разности прогрессии.

Т.о., арифметическая прогрессия задана равенством: а n +1 = а n + d. Например,

а 5 = а 4 + d.

При d > 0 арифметическая прогрессия возрастает, при d < 0 убывает.

Последовательность 3, 5, 7, 9, 11, 13 … является арифметической прогрессией,
где а 1 = 3, d = 2 (5 – 3, 7 – 5, 9 – 7 и т.д.).

Иногда рассматривают не всю последовательность, являющуюся арифметической прогрессией, а лишь ее первые несколько членов. В этом случае говорят о конечной арифметической прогрессии.

Арифметическая прогрессия обладает тремя свойствами .

1. Формула n-го члена арифметической прогрессии:

а n = а 1 + d(n – 1)

2. Формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии:

а) S n = ((a 1 + a n)/2) ∙ n;

б) S n = ((2a 1 + d(n – 1))/2) ∙ n.

Здесь S 1 = a 1 , S n = а 1 + а 2 + а 3 + … + а n .

3. Характеристическое свойство арифметической прогрессии: последовательность является арифметической последовательностью тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого (и последнего в случае конечной арифметической прогрессии), равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов:

a n = (a n -1 + a n +1) / 2.

Если первый член последовательности (b n) отличен от нуля и каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же отличное от нуля число q, то такая последовательность называется геометрической прогрессией. Число q получило название знаменателя прогрессии.

Т.о., геометрическая прогрессия задана равенством b n +1 = b n ∙ q. Например, b 7 = b 6 ∙ q.

Последовательность 100, 30, 9, 27/10, … является геометрической прогрессией, где b 1 = 100, q = 3/10.

Геометрическая прогрессия характеризуется тремя свойствами

1. Формула n-го члена геометрической прогрессии:

b n = b 1 ∙ q n -1 .

2. Формулы суммы первых n членов геометрической прогрессии:

а) S n = (b n q – b 1) / (q – 1);

б) S n = (b 1 (q n – 1)) / (q – 1).

3. Характеристическое свойство геометрической прогрессии: последовательность является геометрической последовательностью тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого (и последнего в случае конечной геометрической прогрессии), связан с предыдущим и последующим членами формулой:

b n 2 = b n -1 ∙ b n +1 .

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Вида y = f (x ), x О N , где N – множество натуральных чисел (или функция натурального аргумента), обозначается y = f (n ) или y 1 , y 2 ,…, y n ,…. Значения y 1 , y 2 , y 3 ,… называют соответственно первым, вторым, третьим, … членами последовательности.

Например, для функции y = n 2 можно записать:

y 1 = 1 2 = 1;

y 2 = 2 2 = 4;

y 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;…

Способы задания последовательностей. Последовательности можно задавать различными способами, среди которых особенно важны три: аналитический, описательный и рекуррентный.

1. Последовательность задана аналитически, если задана формула ее n -го члена:

y n = f (n ).

Пример. y n = 2n – 1 – последовательность нечетных чисел: 1, 3, 5, 7, 9, …

2. Описательный способ задания числовой последовательности состоит в том, что объясняется, из каких элементов строится последовательность.

Пример 1. «Все члены последовательности равны 1». Это значит, речь идет о стационарной последовательности 1, 1, 1, …, 1, ….

Пример 2. «Последовательность состоит из всех простых чисел в порядке возрастания». Таким образом, задана последовательность 2, 3, 5, 7, 11, …. При таком способе задания последовательности в данном примере трудно ответить, чему равен, скажем, 1000-й элемент последовательности.

3. Рекуррентный способ задания последовательности состоит в том, что указывается правило, позволяющее вычислить n -й член последовательности, если известны ее предыдущие члены. Название рекуррентный способ происходит от латинского слова recurrere – возвращаться. Чаще всего в таких случаях указывают формулу, позволяющую выразить n -й член последовательности через предыдущие, и задают 1–2 начальных члена последовательности.

Пример 1. y 1 = 3; y n = y n –1 + 4, если n = 2, 3, 4,….

Здесь y 1 = 3; y 2 = 3 + 4 = 7; y 3 = 7 + 4 = 11; ….

Можно видеть, что полученную в этом примере последовательность может быть задана и аналитически: y n = 4n – 1.

Пример 2. y 1 = 1; y 2 = 1; y n = y n –2 + y n –1 , если n = 3, 4,….

Здесь: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;

Последовательность, составленную в этом примере, специально изучают в математике, поскольку она обладает рядом интересных свойств и приложений. Ее называют последовательностью Фибоначчи – по имени итальянского математика 13 в. Задать последовательность Фибоначчи рекуррентно очень легко, а аналитически – очень трудно. n -е число Фибоначчи выражается через его порядковый номер следующей формулой .

На первый взгляд, формула для n -го числа Фибоначчи кажется неправдоподобной, так как в формуле, задающей последовательность одних только натуральных чисел, содержатся квадратные корни, но можно проверить «вручную» справедливость этой формулы для нескольких первых n .

Свойства числовых последовательностей.

Числовая последовательность – частный случай числовой функции, поэтому ряд свойств функций рассматриваются и для последовательностей.

Определение. Последовательность {y n } называют возрастающей, если каждый ее член (кроме первого) больше предыдущего:

y 1 y 2 y 3 y n y n +1

Определение.Последовательность {y n } называют убывающей, если каждый ее член (кроме первого) меньше предыдущего:

y 1 > y 2 > y 3 > … > y n > y n +1 > … .

Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином – монотонные последовательности.

Пример 1. y 1 = 1; y n = n 2 – возрастающая последовательность.

Таким образом, верна следующая теорема (характеристическое свойство арифметической прогрессии). Числовая последовательность является арифметической тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого (и последнего в случае конечной последовательности), равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.

Пример. При каком значении x числа 3x + 2, 5x – 4 и 11x + 12 образуют конечную арифметическую прогрессию?

Согласно характеристическому свойству, заданные выражения должны удовлетворять соотношению

5x – 4 = ((3x + 2) + (11x + 12))/2.

Решение этого уравнения дает x = –5,5. При этом значении x заданные выражения 3x + 2, 5x – 4 и 11x + 12 принимают, соответственно, значения –14,5, –31,5, –48,5. Это – арифметическая прогрессия, ее разность равна –17.

Геометрическая прогрессия.

Числовую последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением на одно и то же число q , называют геометрической прогрессией, а число q – знаменателем геометрической прогрессии.

Таким образом, геометрическая прогрессия – это числовая последовательность {b n }, заданная рекуррентно соотношениями

b 1 = b , b n = b n –1 q (n = 2, 3, 4…).

(b и q – заданные числа, b ≠ 0, q ≠ 0).

Пример 1. 2, 6, 18, 54, … – возрастающая геометрическая прогрессия b = 2, q = 3.

Пример 2. 2, –2, 2, –2, … – геометрическая прогрессия b = 2, q = –1.

Пример 3. 8, 8, 8, 8, … – геометрическая прогрессия b = 8, q = 1.

Геометрическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если b 1 > 0, q > 1, и убывающей, если b 1 > 0, 0 q

Одно из очевидных свойств геометрической прогрессии состоит в том, что если последовательность является геометрической прогрессией, то и последовательность квадратов, т.е.

b 1 2 , b 2 2 , b 3 2 , …, b n 2,… является геометрической прогрессией, первый член которой равен b 1 2 , а знаменатель – q 2 .

Формула n- го члена геометрической прогрессии имеет вид

b n = b 1 q n– 1 .

Можно получить формулу суммы членов конечной геометрической прогрессии.

Пусть дана конечная геометрическая прогрессия

b 1 , b 2 , b 3 , …, b n

пусть S n – сумма ее членов, т.е.

S n = b 1 + b 2 + b 3 + … + b n .

Принимается, что q № 1. Для определения S n применяется искусственный прием: выполняются некоторые геометрические преобразования выражения S n q .

S n q = (b 1 + b 2 + b 3 + … + b n –1 + b n )q = b 2 + b 3 + b 4 + …+ b n + b n q = S n + b n q – b 1 .

Таким образом, S n q = S n + b n q – b 1 и, следовательно,

Это формула суммы n членов геометрической прогрессии для случая, когда q ≠ 1.

При q = 1 формулу можно не выводить отдельно, очевидно, что в этом случае S n = a 1 n .

Геометрической прогрессия названа потому, что в ней каждый член кроме первого, равен среднему геометрическому предыдущего и последующего членов. Действительно, так как

b n = b n- 1 q;

b n = b n+ 1 /q,

следовательно, b n 2= b n– 1 b n+ 1 и верна следующаятеорема(характеристическое свойство геометрической прогрессии):

числовая последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого ее члена, кроме первого (и последнего в случае конечной последовательности), равен произведению предыдущего и последующего членов.

Предел последовательности.

Пусть есть последовательность {c n } = {1/n }. Эту последовательность называют гармонической, поскольку каждый ее член, начиная со второго, есть среднее гармоническое между предыдущим и последующим членами. Среднее геометрическое чисел a и b есть число

В противном случае последовательность называется расходящейся.

Опираясь на это определение, можно, например, доказать наличие предела A = 0 у гармонической последовательности {c n } = {1/n }. Пусть ε – сколь угодно малое положительное число. Рассматривается разность

Существует ли такое N , что для всех n ≥ N выполняется неравенство 1/N ? Если взять в качестве N любое натуральное число, превышающее 1/ε , то для всех n ≥ N выполняется неравенство 1/n ≤ 1/N ε , что и требовалось доказать.

Доказать наличие предела у той или иной последовательности иногда бывает очень сложно. Наиболее часто встречающиеся последовательности хорошо изучены и приводятся в справочниках. Имеются важные теоремы, позволяющие сделать вывод о наличии предела у данной последовательности (и даже вычислить его), опираясь на уже изученные последовательности.

Теорема 1. Если последовательность имеет предел, то она ограничена.

Теорема 2. Если последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел.

Теорема 3. Если последовательность {a n } имеет предел A , то последовательности {ca n }, {a n + с} и {| a n |} имеют пределы cA , A + c , |A | соответственно (здесь c – произвольное число).

Теорема 4. Если последовательности {a n } и {b n } имеют пределы, равные A и B pa n + qb n } имеет предел pA + qB .

Теорема 5. Если последовательности {a n } и {b n }имеют пределы, равные A и B соответственно, то последовательность {a n b n } имеет предел AB.

Теорема 6. Если последовательности {a n } и {b n } имеют пределы, равные A и B соответственно, и, кроме того, b n ≠ 0 и B ≠ 0, то последовательность {a n / b n } имеет предел A/B .

Анна Чугайнова