Найти квадрат расстояния между вершинами многогранника.

Src="http://present5.com/presentacii/20170510/9-prototipy_v9_ege_2012_dopolneny.ppt_images/9-prototipy_v9_ege_2012_dopolneny.ppt_0.jpg" alt=">1. Найдите квадрат расстояния между вершинами и "> 1. Найдите квадрат расстояния между вершинами и прямоугольного параллелепипеда, для которого, . 2012 прототипы А D С В 5 3 4 2. Найдите расстояние между вершинами и

Src="http://present5.com/presentacii/20170510/9-prototipy_v9_ege_2012_dopolneny.ppt_images/9-prototipy_v9_ege_2012_dopolneny.ppt_1.jpg" alt=">6. Найдите угол прямоугольного "> 6. Найдите угол прямоугольного параллелепипеда, для которого АВ =15, AD = 17, . Ответ дайте в градусах. 2012 прототипы А D С В 15 8 17 17 17

Src="http://present5.com/presentacii/20170510/9-prototipy_v9_ege_2012_dopolneny.ppt_images/9-prototipy_v9_ege_2012_dopolneny.ppt_2.jpg" alt=">3. Найдите угол "> 3. Найдите угол прямоугольного параллелепипеда, для которого, . Ответ дайте в градусах. 4. Найдите угол прямоугольного параллелепипеда, для которого, . Ответ дайте в градусах. А В D 5 4 3 5 3

Src="http://present5.com/presentacii/20170510/9-prototipy_v9_ege_2012_dopolneny.ppt_images/9-prototipy_v9_ege_2012_dopolneny.ppt_3.jpg" alt=">5. Найдите угол "> 5. Найдите угол прямоугольного параллелепипеда, для которого, . Ответ дайте в градусах. 6. В правильной шестиугольной призме все ребра равны 1. Найдите расстояние между точками и. 7. В правильной шестиугольной призме все ребра равны 1. Найдите расстояние между точками и. 8. В правильной шестиугольной призме все ребра равны. Найдите расстояние между точками и.

Src="http://present5.com/presentacii/20170510/9-prototipy_v9_ege_2012_dopolneny.ppt_images/9-prototipy_v9_ege_2012_dopolneny.ppt_4.jpg" alt=">9. В правильной шестиугольной призме "> 9. В правильной шестиугольной призме все ребра равны 1. Найдите тангенс угла. 10. В правильной шестиугольной призме все ребра равны 1. Найдите угол. Ответ дайте в градусах. 11. В правильной шестиугольной призме все ребра равны 1. Найдите угол. Ответ дайте в градусах. 12. Найдите расстояние между вершинами и многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Src="http://present5.com/presentacii/20170510/9-prototipy_v9_ege_2012_dopolneny.ppt_images/9-prototipy_v9_ege_2012_dopolneny.ppt_5.jpg" alt=">13. Найдите квадрат расстояния между вершинами "> 13. Найдите квадрат расстояния между вершинами и многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. 14. Найдите расстояние между вершинами и многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. 15. Найдите угол многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.

Src="http://present5.com/presentacii/20170510/9-prototipy_v9_ege_2012_dopolneny.ppt_images/9-prototipy_v9_ege_2012_dopolneny.ppt_6.jpg" alt=">16. Найдите угол многогранника, "> 16. Найдите угол многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах. 17. Найдите тангенс угла многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Src="http://present5.com/presentacii/20170510/9-prototipy_v9_ege_2012_dopolneny.ppt_images/9-prototipy_v9_ege_2012_dopolneny.ppt_7.jpg" alt=">18. Найдите квадрат расстояния между вершинами "> 18. Найдите квадрат расстояния между вершинами и многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. 19. Найдите квадрат расстояния между вершинами и многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. 20. Найдите квадрат расстояния между вершинами и многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Src="http://present5.com/presentacii/20170510/9-prototipy_v9_ege_2012_dopolneny.ppt_images/9-prototipy_v9_ege_2012_dopolneny.ppt_8.jpg" alt=">21. Найдите тангенс угла "> 21. Найдите тангенс угла многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. 22. Найдите тангенс угла многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. 23. Найдите тангенс угла многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Src="http://present5.com/presentacii/20170510/9-prototipy_v9_ege_2012_dopolneny.ppt_images/9-prototipy_v9_ege_2012_dopolneny.ppt_9.jpg" alt=">24. Найдите квадрат расстояния между вершинами и"> 24. Найдите квадрат расстояния между вершинами и многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. 25. Найдите угол многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах. 26. Найдите угол многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.

Src="http://present5.com/presentacii/20170510/9-prototipy_v9_ege_2012_dopolneny.ppt_images/9-prototipy_v9_ege_2012_dopolneny.ppt_10.jpg" alt=">27. В правильной четырехугольной пирамиде "> 27. В правильной четырехугольной пирамиде точка - центр основания, вершина, . Найдите боковое ребро. 28. В правильной четырехугольной пирамиде точка - центр основания, вершина, . Найдите длину отрезка. 29. В правильной четырехугольной пирамиде точка - центр основания, вершина, . Найдите длину отрезка. 30. В правильной треугольной пирамиде SABC R - середина ребра BC, S - вершина. Известно, что AB = 1, а SR = 2. Найдите площадь боковой поверхности.

Src="http://present5.com/presentacii/20170510/9-prototipy_v9_ege_2012_dopolneny.ppt_images/9-prototipy_v9_ege_2012_dopolneny.ppt_11.jpg" alt=">31. В правильной треугольной пирамиде SABC N - середина ребра BC, S"> 31. В правильной треугольной пирамиде SABC N - середина ребра BC, S - вершина. Известно, что AB = 1, а площадь боковой поверхности равна 3. Найдите длину отрезка SN. 32. В правильной треугольной пирамиде SABC L - середина ребра BC, S - вершина. Известно, что SL = 1, а площадь боковой поверхности равна 3. Найдите длину отрезка AB. 33. В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания пересекаются в точке M. Площадь треугольника ABC равна 3, объем пирамиды равен 1. Найдите длину отрезка MS.

Src="http://present5.com/presentacii/20170510/9-prototipy_v9_ege_2012_dopolneny.ppt_images/9-prototipy_v9_ege_2012_dopolneny.ppt_12.jpg" alt=">34. В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания пересекаются в точке M. Площадь"> 34. В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания пересекаются в точке M. Площадь треугольника ABC равна 3, MS = 1. Найдите объем пирамиды. 35. В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания пересекаются в точке P. Объем пирамиды равен 1, PS = 1. Найдите площадь треугольника ABC. 36. В прямоугольном параллелепипеде известно, что, . Найдите длину ребра.

Src="http://present5.com/presentacii/20170510/9-prototipy_v9_ege_2012_dopolneny.ppt_images/9-prototipy_v9_ege_2012_dopolneny.ppt_13.jpg" alt=">37. Высота конуса равна 4, а диаметр основания - 6. Найдите образующую конуса."> 37. Высота конуса равна 4, а диаметр основания - 6. Найдите образующую конуса. 38. Высота конуса равна 4, а длина образующей - 5. Найдите диаметр основания конуса. 39. Диаметр основания конуса равен 6, а длина образующей - 5. Найдите высоту конуса. 40. Площадь боковой поверхности цилиндра равна, а диаметр основания - 1. Найдите высоту цилиндра.

Src="http://present5.com/presentacii/20170510/9-prototipy_v9_ege_2012_dopolneny.ppt_images/9-prototipy_v9_ege_2012_dopolneny.ppt_14.jpg" alt=">41. Площадь боковой поверхности цилиндра равна, а"> 41. Площадь боковой поверхности цилиндра равна, а высота - 1. Найдите диаметр основания. 42. В прямоугольном параллелепипеде известно, что, . Найдите длину диагонали. 43. В кубе точка - середина ребра, точка - середина ребра, точка - середина ребра. Найдите угол. Ответ дайте в градусах.

Src="http://present5.com/presentacii/20170510/9-prototipy_v9_ege_2012_dopolneny.ppt_images/9-prototipy_v9_ege_2012_dopolneny.ppt_15.jpg" alt=">44. В прямоугольном параллелепипеде "> 44. В прямоугольном параллелепипеде ребро АВ = 2, ребро, ребро. Точка К - середина ребра. Найдите площадь сечения, проходящего через точки, и К. 45. В прямоугольном параллелепипеде известны длины рёбер: АВ = 24, АD = 10, . Найдите площадь сечения, проходящего через вершины А, и С. 46. В правильной шестиугольной призме, все ребра которой равны 8, найдите угол между прямыми FA и. Ответ дайте в градусах.

Src="http://present5.com/presentacii/20170510/9-prototipy_v9_ege_2012_dopolneny.ppt_images/9-prototipy_v9_ege_2012_dopolneny.ppt_16.jpg" alt=">47. В кубе "> 47. В кубе найдите угол между прямыми и. Ответ дайте в градусах. 48. Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Образующая конуса равна. Найдите радиус сферы. 49. Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Радиус сферы равен. Найдите образующую конуса.

Src="http://present5.com/presentacii/20170510/9-prototipy_v9_ege_2012_dopolneny.ppt_images/9-prototipy_v9_ege_2012_dopolneny.ppt_17.jpg" alt=">50. Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 111. Найдите площадь "> 50. Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 111. Найдите площадь полной поверхности цилиндра. 51. В правильной треугольной призме, все ребра которой равны 3, найдите угол между прямыми и. Ответ дайте в градусах. 52. В прямоугольном параллелепипеде известны длины рёбер АВ = 8, AD = 6, . Найдите синус угла между прямыми СD и.

Src="http://present5.com/presentacii/20170510/9-prototipy_v9_ege_2012_dopolneny.ppt_images/9-prototipy_v9_ege_2012_dopolneny.ppt_18.jpg" alt=">53. В правильной четырёхугольной призме "> 53. В правильной четырёхугольной призме известно, что. Найдите угол между диагоналями и. Ответ дайте в градусах.

Рассмотрим подробнее следующее задание.

B и D

Ниже приведены три рисунка к трем вариантам этого задания:

Скажите, пожалуйста, на каком из этих рисунков вам очевидно положение плоскости A 1 A 2 D 2 D 1 ? Она расположена выше или ниже плоскости B 2 B 1 C 1 C 2 ? На каком рисунке выше, на каком ниже, на каком обе плоскости находятся на одинаковой высоте?
Где указана высота этой плоскости по отношению к плоскости основания или по отношению к самой верхней грани многоугольника? Или каким образом её можно вычислить по другим данным? Из чего следует, что эта плоскость находится на той же высоте, что и плоскость B 2 B 1 C 1 C 2 , как это предполагает большинство решений этой задачи, размещенных в сети?
Этого не сказано в условии задачи, это не следует из свойств и формы данного многогранника. И даже, если это кажется "видным на глаз" для среднего рисунка, то не так уж и очевидно для двух крайних. А главное, в математике судить "на глаз" нельзя! , всё должно быть доказано. Это принципиальный момент. Недаром ведь изучение геометрии в школе мы начинали с понятий аксиома и теорема.

Итак, положение плоскости A 1 A 2 D 2 D 1 в задаче не определено, а с ней и положение точки D 2 . Переносить длину ребра СС 1 на ребра AA 1 и DD 1 нельзя, потому что у вас нет никаких доказательств , что AA 1 B 1 B и СС 1 D 1 D - прямоугольники! Таким образом, задача не имеет единственного решения. И остается только удивляться той уверенности, с которой штампуют готовые решения "доброжелатели" в Интернете. Ведь составители могут заметить погрешность в своей работе и устранить её в процессе формирования экзаменационных вариантов. А сделать это можно по-разному. Рассмотрим следующие варианты на примере среднего рисунка:

Задача 1.

Найдите квадрат расстояния между вершинами B и D 2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Решение.

Здесь задача доопределена указанием размера на одном из левых нижних вертикальных рёбер AA 1 = 1. Так как СС 1 тоже равно 1, то грани A 1 A 2 D 2 D 1 и B 2 B 1 C 1 C 2 находятся на одной высоте, а значит и в одной плоскости. Таким образом, решать задачу можно, как через проекции, так и построением прямоугольного параллелепипеда. Выбираем второй способ. Определим размеры построенного (зеленого) параллелепипеда. Высота СC 1 = 1, глубина BC = 3, ширина С 1 D 2 = C 1 C 2 + C 2 D 2 = C 1 C 2 + C 3 D 3 = 1 + 1 = 2.
Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда определяем как сумму квадратов его линейных размеров:
BD 2 2 = 1 2 + 2 2 + 3 2 = 1 + 4 + 9 = 14.

Ответ:14.

Задача 2.

Решение.

Здесь задача доопределена указанием размера на одном из левых верхних вертикальных рёбер A 2 A 3 = 1,1. При этом не трудно вычислить длину нижних ребер, так как общая высота многогранника составляет СС 1 + С 2 С 3 = 1 + 1 = 2. Тогда длина ребра AA 1 = 2 - A 2 A 3 = 2 - 1,1 = 0,9. Однако в этом случае грани A 1 A 2 D 2 D 1 и B 2 B 1 C 1 C 2 находятся на разной высоте и мы не можем построить прямоугольный параллелепипед аналогичный предыдущей задаче. (Конечно, можно построить другой прямоугольный параллелепипед с диагональю BD 2 , но он не сэкономит нам вычислений.) Поэтому решать будем через проекции.

Для этого из точки D 2 опускаем перпендикуляр на плоскость основания. Его длина D 2 F равна длине ребра AA 1 , т.е. 0,9. Соединяем точки F и B . Строим чертежи на плоскости для облегчения дальнейших вычислений.
Так как FC = D 3 C 3 + C 2 C 1 = 1 + 1 = 2, то из ΔFBC определяем:
FB 2 = FC 2 + BC 2 = 2 2 + 3 2 = 4 + 9 = 13.
Из ΔFD 2 B определяем:
BD 2 2 = FD 2 2 + FB 2 = 0,9 2 + 13 = 0,81 + 13 = 13,81.

Ответ:13,81

Замечание: Здесь нельзя переносить длину ребра CC 1 на линию D 2 F , потому что CC 1 D 2 F - не прямоугольник!

Рисунки многогранника, как в условии, так и в решении второй задачи выполнены с сохранением масштаба. Однако, если бы не было сиреневой цифры, то трудно было бы заметить, что левая верхняя грань ниже правой. Посмотрите, как мало мы промахиваемся мимо точек A 2 и D 2 при попытке построить прямоугольники AA 1 B 1 B и СС 1 D 1 D . Но ведь промахиваемся! И ответ другой!

Внимательными и осторожными необходимо быть не только вам, ученикам, но и составителям заданий. Им тоже трудно, потому что нужно сделать много однообразных задач, а от однообразия внимание притупляется. Если вы сомневаетесь в корректности какой-то задачи, можно обратиться к дежурному преподавателю. И никогда не старайтесь запомнить готовое решение, если нашли его в интернете. Берите и у меня, и на других сайтах методику, порядок действий, алгоритм решения, но не само решение. Удачи!

краткое содержание других презентаций

«Определение вектора в пространстве» - Доказательство. Определение компланарных векторов. Свойства скалярного произведения. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам. Доказательство теоремы. Сложение и вычитание. Вычитание векторов. Признак коллинеарности. Нулевой вектор. Коэффициенты разложения определяются единственным образом. Противоположные векторы. Сложение. Правило параллелепипеда. Умножение вектора на число. Вектор, проведенный в точку пересечения диагоналей параллелограмма.

«Формула объёма конуса» - Конус выноса. Задача. В природе. Объём. План урока. Чем выше громоотвод, тем больше. Семейство морских моллюсков подкласса переднежаберных. Основания конуса. Объем конуса. Телесный угол. Дополнительная информация о конусе. Найти объем тела. А.С.Пушкин. Историческая справка. Цели урока.

«В мире многогранников» - Правильные многогранники. Тетраэдр. Пять выпуклых правильных многогранников. Магнус Веннинджер. Тело Ашкинузе. Развёртки некоторых многогранников. Геометрия. Многогранники в искусстве. Звездчатый додекаэдр. Выпуклые многогранники. Математика. Эйлерова характеристика. Царская гробница. Теорема Эйлера. Вершина куба. Александрийский маяк. Мир многогранников. Тела Архимеда. Огонь. Многогранники. Фаросский маяк.

«Задачи на вычисление площади треугольника» - Выберите утверждение. Способы нахождения площади треугольника. Площадь фигуры. Найти площадь фигуры. Решение одной задачи. Площадь. Проверка выполнения. Айвен Нивен. Физкультминутка. Девиз урока. Математический диктант. Личностные цели. Вычислить площадь фигуры.

«Понятие центральной симметрии» - Мы знакомились с движениями плоскости. Точки М и М1 называются симметричными. Центральная симметрия является частным случаем поворота. Фигура называется симметричной. Движение пространства. Движения. Задача. Отображение пространства на себя. Центральная симметрия. Центральная симметрия является движением. Свойство.

«Координатный метод в пространстве» - Координата вектора. Координаты вектора. Координата произведения вектора на число. Прямоугольная система координат. Задачка. Запись координат вектора. Координата середины отрезка. Рисунок. Решение. Определение луча. Нулевой вектор. Расстояние между точками. Задание. Нахождение точки на координатной плоскости. Прямоугольная система координат в пространстве. Правило. Координата суммы. Метод координат в пространстве.

Предыдущая статья: Чему равна скорость света Следующая статья: Углерод — характеристика элемента и химические свойства