Решу егэ задания с параметрами. Квадратные уравнения с параметрами

Цель данной работы – изучение различных способов решения задач с параметрами. Возможность и умение решать задачи с параметрами демонстрируют владение методами решения уравнений и неравенств, осмысленное понимание теоретических сведений, уровень логического мышления, стимулируют познавательную деятельность. Для развития этих навыков необходимы длительнее усилия, именно поэтому в профильных 10-11 классах с углубленным изучением точных наук введен курс: “Математический практикум”, частью которого является решение уравнений и неравенств с параметрами. Курс входит в число дисциплин, включенных в компонент учебного плана школы.

Успешному изучению методов решения задач с параметрами могут помочь элективный или факультативный курсы, или компонент за сеткой по теме: “Задачи с параметрами”.

Рассмотрим четыре больших класса задач с параметрами:

Уравнения, неравенства и их системы, которые необходимо решить для любого значения параметра, либо для значений параметра, принадлежащих определенному множеству.
Уравнения, неравенства и их системы, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра.
Уравнения, неравенства и их системы, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения (системы, неравенства) имеют заданное число решений.
Уравнения, неравенства и их системы, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

Методы решений задач с параметрами.

1. Аналитический метод.

Это способ прямого решения, повторяющий стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра.

Пример 1. Найдите все значения параметра a , при которых уравнение:

(2a – 1)x 2 + ax + (2a – 3) =0 имеет не более одного корня.

При 2a – 1 = 0 данное уравнение квадратным не является, поэтому случай a =1/2 разбираем отдельно.

Если a = 1/2, то уравнение принимает вид 1/2x – 2 = 0, оно имеет один корень.

Если a ≠ 1/2, то уравнение является квадратным; чтобы оно имело не более одного корня необходимо и достаточно, чтобы дискриминант был неположителен:

D = a 2 – 4(2a – 1)(2a – 3) = -15a 2 + 32a – 12;

Чтобы записать окончательный ответ, необходимо понять,

2. Графический метод.

В зависимости от задачи (с переменной x и параметром a ) рассматриваются графики в координатной плоскости (x;y ) или в плоскости (x;a ).

Пример 2. Для каждого значения параметра a определите количество решений уравнения .

Заметим, что количество решений уравнения равно количеству точек пересечения графиков функций и y = a.

График функции показан на рис.1.

y = a – это горизонтальная прямая. По графику несложно установить количество точек пересечения в зависимости от a (например, при a = 11 – две точки пересечения; при a = 2 – восемь точек пересечения).

Ответ: при a < 0 – решений нет; при a = 0 и a = 25/4 – четыре решения; при 0 < a < 6 – восемь решений; при a = 6 – семь решений; при

6 < a < 25/4 – шесть решений; при a > 25/4 – два решения.

3. Метод решения относительно параметра.

При решении этим способом переменные х и а принимаются равноправными, и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение становится более простым. После упрощений нужно вернуться к исходному смыслу переменных х и а и закончить решение.

Пример 3. Найти все значения параметра а , при каждом из которых уравнение = -ax +3a +2 имеет единственное решение.

Будем решать это уравнение заменой переменных. Пусть = t , t ≥ 0 , тогда x = t 2 + 8 и уравнение примет вид at 2 + t + 5a – 2 = 0 . Теперь задача состоит в том, чтобы найти все а , при которых уравнение at 2 + t + 5a – 2 = 0 имеет единственное неотрицательное решение. Это имеет место в следующих случаях.

1) Если а = 0, то уравнение имеет единственное решение t = 2.

Решение некоторых типов уравнений и неравенств с параметрами.

Задачи с параметрами помогают в формировании логического мышления, в приобретении навыков исследовательской деятельности.

Решение каждой задачи своеобразно и требует к себе индивидуального, нестандартного подхода, поскольку не существует единого способа решения таких задач.

. Линейные уравнения.

Задача № 1. При каких значениях параметра b уравнение не имеет корней?

. Степенные уравнения, неравенства и их системы.

Задача №2. Найти все значения параметра a , при которых множество решений неравенства:

содержит число 6, а также содержит два отрезка длиной 6, не имеющие общих точек.

Преобразуем обе части неравенства.

Для того, чтобы множество решений неравенства содержало число 6, необходимо и достаточно выполнение условия:

Рис.4

При a > 6 множество решений неравенства: .

Интервал (0;5) не может содержать ни одного отрезка длины 6. Значит, два непересекающихся отрезка длины 6 должны содержаться в интервале (5; a ).

. Показательные уравнения, неравенства и системы.

Задача № 3. В области определения функции взяли все целые положительные числа и сложили их. Найти все значения, при которых такая сумма будет больше 5, но меньше 10.

1) Графиком дробно-линейной функции является гипербола. По условию x > 0. При неограниченном возрастании х дробь монотонно убывает и приближается к нулю, а значения функции z возрастают и приближаются к 5. Кроме того, z(0) = 1.

2) По определению степени область определения D(y) состоит из решений неравенства . При a = 1 получаем неравенство, у которого решений нет. Поэтому функция у нигде не определена.

3) При 0 < a < 1 показательная функция с основанием а убывает и неравенство равносильно неравенству . Так как x > 0 , то z (x ) > z (0) = 1 . Значит, каждое положительное значение х является решением неравенства . Поэтому для таких а указанную в условии сумму нельзя найти.

4) При a > 1 показательная функция с основанием а возрастает и неравенство равносильно неравенству . Если a ≥ 5, то любое положительное число является его решением, и указанную в условии сумму нельзя найти. Если 1 < a < 5, то множество положительных решений – это интервал (0;x 0) , где a = z (x 0) .

5) Целые числа расположены в этом интервале подряд, начиная с 1. Вычислим суммы последовательно идущих натуральных чисел, начиная с 1: 1; 1+2 = 3; 1+2+3 = 6; 1+2+3+4 = 10;… Поэтому указанная сумма будет больше 5 и меньше 10, только если число 3 лежит в интервале (0;x 0), а число 4 не лежит в этом интервале. Значит, 3 < x 0 ≤ 4 . Так как возрастает на , то z (3) < z (x 0) ≤ z (4) .

Решение иррациональных уравнений и неравенств, а также уравнений, неравенств и систем, содержащих модули рассмотрены в Приложении 1.

Задачи с параметрами являются сложными потому, что не существует единого алгоритма их решения. Спецификой подобных задач является то, что наряду с неизвестными величинами в них фигурируют параметры, численные значения которых не указаны конкретно, но считаются известными и заданными на некотором числовом множестве. При этом значения параметров существенно влияют на логический и технический ход решения задачи и форму ответа.

По статистике многие из выпускников не приступают к решению задач с параметрами на ЕГЭ. По данным ФИПИ всего 10% выпускников приступают к решению таких задач, и процент их верного решения невысок: 2–3%, поэтому приобретение навыков решения трудных, нестандартных заданий, в том числе задач с параметрами, учащимися школ по-прежнему остается актуальным.

Внимание: мелкие насыщенные графики можно увеличить, щелкнув по ним мышью.

Исследование и решение уравнений с параметрами считается не самым простым разделом школьной математики. Однако, параметр, как понятие, часто воспринимается школьниками гораздо более сложным, чем есть в действительности. Здесь в первом пункте представлены очень простые вводные примеры использования параметров в уравнениях. Те, для кого это понятие не составляет большой трудности, могут сразу перейти к решению задач, которые представлены ниже.

Что такое уравнение с параметром?

Рассмотрим пример.

Допустим нам нужно решить уравнение 2х + 5 = 2 − x .
Решение: 2x + x = 2 − 5; 3x = −3; x = −3/3 = −1.

Теперь нужно решить уравнение 2x + 5 = 3 − x .
Решение: 2x + x = 3 − 5; 3x = −2; x = −2/3 ~ −0,67.

Затем нужно решить уравнение 2x + 5 = 0,5 − x .
Решение: 2x + x = 0,5 − 5; 3x = −4,5; x = −4,5/3 = −1,5.

А потом может потребоваться решить уравнение 2x + 5 = 10,7 − x или уравнение 2x + 5 = −0,19 − x .
Понятно, что уравнения похожи, а потому их решение будет сопровождаться теми же действиями, что выше. Возникает естественный вопрос - сколько можно делать одно и то же?

Уменьшим себе трудозатраты. Заметим, что все эти уравнения отличаются только одним числом в правой части. Обозначим это число символом a .
Получим уравнение 2х + 5 = a − х ,
где a - переменная величина, вместо которой можно подставить нужное числовое значение и получить нужное уравнение. Эта переменная и называется параметром.

Решим это уравнение так же, как и все предыдущие.
Решение: 2х + 5 = a − x ; 2x + x = a − 5; 3x = a − 5; x = (a − 5)/3.

Теперь для того, чтобы найти ответы для двух последних примеров, мы можем не повторять полностью всё решение каждого уравнения, а просто подставить в полученную формулу для х числовое значение параметра а :
x = (10,7 − 5)/3 = 5,7/3 = 1,9;
x = (−0,19 − 5)/3 = −5,19/3 = −1,73.

Таким образом, под термином "уравнение с параметром", фактически, скрывается целое семейство "почти одинаковых уравнений" , которые отличаются друг от друга только одним числом (одним слагаемым или одним коэффициентом) и одинаково решаются. Параметр - это число, которое меняется от уравнения к уравнению.
Полученную формулу для корня уравнения мы можем запрограммировать на компьютере. Достаточно будет только ввести значение параметра a , чтобы получить решение любого такого уравнения.

Рассмотрим еще один пример.

Нужно решить несколько уравнений:
2х + 5 = 2 − x ;
3х + 5 = 2 − x ;
−4х + 5 = 2 − x ;
17х + 5 = 2 − x ;
0,5х + 5 = 2 − x .

Замечаем, что они похожи друг на друга и отличаются только первым коэффициентом. Обозначим его, например, символом k .
Решим уравнение kх + 5 = 2 − x с параметром k .

Решение:
kх + 5 = 2 − x ;
kх + х = 2 − 5;
(k + 1)x = −3;
x = −3/(k + 1).

С помощью этой формулы вычислим все ответы для приведенных уравнений.
x = −3/(2 + 1) = −1
x = −3/(3 + 1) = −0,75
x = −3/(−4 + 1) = 1
x = −3/(17 + 1) = −1/6 ~ −0,167
x = −3/(0,5 + 1) = −2

Можем ли мы теперь запрограммировать эту формулу и сказать, что с её помощью можно решить любое аналогичное уравнение?
Запрограммировать можем. Компьютер справится как с очень большими значениями коэффициента, так и с очень маленькими.
Например, если введём k = 945739721, то для уравнения заданного вида будет получен корень примерно равный −0,0000000031721201195353831188, если k = 0,0000004, то получим корень ≈ −2,9999988000004799998080000768.
Но, если мы введем в программу, казалось бы, более простое значение k = −1, то компьютер зависнет.
Почему?

Посмотрим внимательнее на формулу x = −3/(−1 + 1) = −3/0. Деление на ноль?!!
Посмотрим на соответствующее уравнение −1·х + 5 = 2 − x .
Преобразуем его −х + x = 2 − 5.
Оказывается, оно равносильно уравнению 0 = −3 (?!! ) и не может иметь корней.
Таким образом, из общего подхода к решению "почти одинаковых уравнений" могут существовать исключения, о которых нужно позаботиться отдельно. Т.е. провести предварительное исследование всего семейства уравнений. Именно этому и учатся на уроках математики с помощью так называемых задач с параметрами.

Графические способы решения уравнений

Сначала вспомним, что представляет собой графический способ решения обычного уравнения (без параметра).
Пусть дано уравнение вида f(x) = g(x) . Построим графики функций y = f(x) и y = g(x) и найдём точки пересечения этих графиков. Абсциссы точек пересечения и есть корни уравнения.

Для быстрого построения эскизов графиков повторите еще раз которые изучаются в школьном курсе математики, и

Рассмотрим примеры.

1. Решить уравнение
2х + 5 = 2 − x

Ответ: x = −1 .

2. Решить уравнение
2х 2 + 4х − 1 = 2х + 3

Ответ: x 1 = -2; x 2 = 1 .

3. Решить уравнение
l og 2 х = −0,5х + 4

Ответ: x = 2 .

Первые два из приведенных уравнений вы можете решить и аналитически, так как это обычные линейное и квадратное уравнения. Второе уравнение содержит функции разных классов - степенную (здесь линейную) и трансцендентную (здесь логарифмическую). Для таких случаев выбор способов решения у школьников очень ограничен. Фактически, единственным доступным способом является именно графическое решение.

Внимание: Для корней, найденных графическим способом, обязательна проверка! Вы уверены, что на третьем рисунке пересечение именно в точке х = 4 , а не в точке 3,9 или 4,1? А если на реальном экзамене у вас нет возможности построить график достаточно точно? На чертеже "от руки" разброс может быть еще больше. Поэтому алгоритм действий должен быть следующим:

Предварительный вывод: х ≈ 4.
Проверка: l og 2 4 = −0,5·4 + 4; 2 = −2 + 4; 2 ≡ 2.
Окончательный вывод х = 4.

Чтобы графически решать уравнения с параметрами надо строить не отдельные графики, а их семейства.

Решение уравнений с параметрами с помощью графиков.

Задача 1.

q при которых уравнение |x + 1| − |x − 3| − x = q 2 − 8q + 13 имеет ровно 2 корня.

При каждом значении параметра q можно вычислить значение выражения q 2 − 8q + 13 . Результат обозначим переменной а .
Т.е. примем q 2 − 8q + 13 = a и решим уравнение с параметром |x + 1| − |x − 3| − x = a

Строим график функции y = |x + 1| − |x − 3| − x , расположенной в левой части уравнения.
Для этого разобьём числовую ось на отрезки точками, в которых каждый из встречающихся модулей принимает нулевое значение.

|x + 1| = 0; x = −1;
|x − 3| = 0; x = 3.

Для каждого из этих участков раскроем модули с учётом знаков.
Вспомним: по определению |x | = x , если х ≥ 0 , и |x | = −x , если х < 0 . Чтобы проверить знаки модулей на участке достаточно подставить любое промежуточное значение x из этого отрезка, например, −2, 0 и 4.

Таким образом на участке I , где −∞ < х ≤ −1, имеем −(x + 1) + (x − 3) − x = − x − 4.
Следовательно, должны построить график функции y = − x − 4 .
Это линейная функция. Её график прямая линия, которую можно построить по двум точкам, например, x = 0, y = −4 и у = 0, x = −4. Cтроим всю прямую бледной линией, а затем выделяем часть графика, относящуюся только к рассматриваемому участку.

Аналогично, разбираемся с оставшимися двумя участками.

На участке II , где −1 < х ≤ 3, имеем (x + 1) + (x − 3) − x = x − 2
y = x − 2 .

На участке III , где 3 < х ≤ ∞ , имеем (x + 1) − (x − 3) − x = − x + 4
и должны построить соответствующую часть графика функции y = − x + 4 .

Последовательное построение итогового графика показано ниже. (Чтобы увеличить рисунок, нужно щелкнуть по нему левой кнопкой мыши.)

Замечание: если вы освоили тему , то с этой частью задачи сможете справиться быстрее, чем показано в примере.

Итак, построение графика функции, расположенной в левой части уравнения, мы завершили. Посмотрим, что находится в правой части.

График функции y = a представляет собой прямую линию, параллельную оси абсцисс (Ox ), и пересекающую ось ординат (Oy ) в точке а . Так как а - параметр, который может принимать разные значения, то нужно построить целое семейство таких параллельных линий, пересекающих ось ординат на разной высоте. Очевидно, что все графики семейства построить мы не сможем, поскольку их бесконечное множество. Изобразим для примера несколько штук в районе уже построенного графика функции. Ниже прямые семейства y = a показаны красным цветом.

Из рисунка видно, что количество точек пересечения каждой из красных прямых с ранее построенным (зелёным) графиком зависит от высоты, на которой расположена эта прямая, т.е. от параметра а . Прямые, расположенные ниже y = −3 , пересекают график в одной точке, а значит эти уравнения имеют только одно решение. Прямые, проходящие на уровне −3 < y < 1 имеют по три точки пересечения, значит соответствующие уравнения будут иметь по три решения. Прямые, расположенные выше точки y = 1 , снова имеют только по одной точке пересечения.
Ровно две точки пересечения с зелёным графиком будут иметь только прямые y = 1 и y = −3 . Соответствующие уравнения будут иметь ровно два корня, что и требовалось определить в задании.

Однако мы нашли значения введённого нами параметра а , при котором заданное уравнение имеет 2 корня, а вопрос задачи состоял в том, чтобы найти все значения параметра q . Для этого придётся решить следующую совокупность уравнений:

Это обычные квадратные уравнения, которые решаются через дискриминант или по теореме Виета.

Таким образом, окончательный ответ: {2;4;6}.

Задача 2.

Найти все значения параметра a , при которых уравнение (2 − x )x (x − 4) = a имеет ровно 3 корня.

Рассмотрим функцию y = (2 − x )x (x − 4) . Видно, что если раскрыть скобки, то старший член будет −х 3 . Т.е. графиком функции должна быть кубическая парабола, причем на при x , стремящемcя к +∞, y → −∞, а при x , стремящемся к −∞, y → +∞.
Поскольку уравнение (2 − x )x (x − 4) = 0 имеет три корня 2, 0 и 4, то график функции будет пересекать ось абсцисс трижды.
Понятно, что при упомянутых условиях график непрерывной функции должен иметь участок с "волной". Строим от руки эскиз графика.

Правая часть уравнения y = a такая же, как в предыдущей задаче. Поэтому дальнейшие построения не требуют комментариев. Смотрите рисунки. Чтобы увеличить, используйте щелчок мышью.

Из рисунков видно, что прямые, отделяющие линии с тремя точками пересечения от других случаев, проходят через экстремумы кубической функции. Поэтому определяем значения y max и y min через производную. (Исследовать функцию полностью не нужно, так как примерное положение точек экстремума мы видим на эскизе графика.) Обратите внимание на то, что при вычислении значений функции используются точные значения x и формулы сокращенного умножения. Приближенные значения в промежуточных вычислениях не используют.

Ответ:

Задача для самостоятельного решения

Задача 3.

При каком наибольшем отрицательном значении параметра а уравнение имеет один корень?

Показать решение.

Чтобы увеличить рисунок, нужно щелкнуть по нему левой кнопкой мыши.
Переносим 2x в правую часть уравнения, в результате получим две элементарные функции, графики которых изучались в школе.
По рисунку видим, что условию задачи удовлетворяет линия, которая касается графика. Поэтому для дальнейших вычислений используем условия:
1) тангенс угла наклона касательной равен производной функции в точке касания;
2) искомая параметрическая прямая и график имеют общую точку.
При вычислениях игнорируем модуль, поскольку проводим их для правого участка кривой (x > 0 ).

Ответ: -1,625

Задача реального экзамена ЗНО-2013 (http://www.osvita.ua/).

Есть вопросы? пожелания? замечания?
Обращайтесь -

Внимание, ©mathematichka . Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено. Ставьте гиперссылку.

Задание 1 #6329

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения параметра \(a\) , при каждом из которых система \[\begin{cases} (x-2a-2)^2+(y-a)^2=1\\ y^2=x^2\end{cases}\]

имеет ровно четыре решения.

(ЕГЭ 2018, основная волна)

Второе уравнение системы можно переписать в виде \(y=\pm x\) . Следовательно, рассмотрим два случая: когда \(y=x\) и когда \(y=-x\) . Тогда количество решений системы будет равно сумме количества решений в первом и во втором случаях.

1) \(y=x\) . Подставим в первое уравнение и получим: \ (заметим, что в случае \(y=-x\) мы поступим так же и тоже получим квадратное уравнение)
Чтобы исходная система имела 4 различных решения, нужно, чтобы в каждом из двух случаев получилось по 2 решения.
Квадратное уравнение имеет два корня, когда его \(D>0\) . Найдем дискриминант уравнения (1):
\(D=-4(a^2+4a+2)\) .
Дискриминант больше нуля: \(a^2+4a+2<0\) , откуда \(a\in (-2-\sqrt2; -2+\sqrt2)\) .

2) \(y=-x\) . Получаем квадратное уравнение: \ Дискриминант больше нуля: \(D=-4(9a^2+12a+2)>0\) , откуда \(a\in \left(\frac{-2-\sqrt2}3; \frac{-2+\sqrt2}3\right)\) .

Необходимо проверить, не совпадают ли решения в первом случае с решениями во втором случае.

Пусть \(x_0\) – общее решение уравнений (1) и (2), тогда \ Отсюда получаем, что либо \(x_0=0\) , либо \(a=0\) .
Если \(a=0\) , то уравнения (1) и (2) получаются одинаковыми, следовательно, имеют одинаковые корни. Этот случай нам не подходит.
Если \(x_0=0\) – их общий корень, то тогда \(2x_0^2-2(3a+2)x_0+(2a+2)^2+a^2-1=0\) , откуда \((2a+2)^2+a^2-1=0\) , откуда \(a=-1\) или \(a=-0,6\) . Тогда вся исходная система будет иметь 3 различных решения, что нам не подходит.

Учитывая все это, в ответ пойдут:

Ответ:

\(a\in\left(\frac{-2-\sqrt2}3; -1\right)\cup\left(-1; -0,6\right)\cup\left(-0,6; -2+\sqrt2\right)\)

Задание 2 #4032

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения \(a\) , при каждом из которых система \[\begin{cases} (a-1)x^2+2ax+a+4\leqslant 0\\ ax^2+2(a+1)x+a+1\geqslant 0 \end{cases}\]

имеет единственное решение.

Перепишем систему в виде: \[\begin{cases} ax^2+2ax+a\leqslant x^2-4\\ ax^2+2ax+a\geqslant -2x-1 \end{cases}\] Рассмотрим три функции: \(y=ax^2+2ax+a=a(x+1)^2\) , \(g=x^2-4\) , \(h=-2x-1\) . Из системы следует, что \(y\leqslant g\) , но \(y\geqslant h\) . Следовательно, чтобы система имела решения, график \(y\) должен находиться в области, которая задается условиями: “выше” графика \(h\) , но “ниже” графика \(g\) :

(будем называть “левую” область областью I, “правую” область – областью II)
Заметим, что при каждом фиксированном \(a\ne 0\) графиком \(y\) является парабола, вершина которой находится в точке \((-1;0)\) , а ветви обращены либо вверх, либо вниз. Если \(a=0\) , то уравнение выглядит как \(y=0\) и графиком является прямая, совпадающая с осью абсцисс.
Заметим, что для того, чтобы исходная система имела единственное решение, нужно, чтобы график \(y\) имел ровно одну общую точку с областью I или с областью II (это значит, что график \(y\) должен иметь единственную общую точку с границей одной из этих областей).

Рассмотрим по отдельности несколько случаев.

1) \(a>0\) . Тогда ветви параболы \(y\) обращены вверх. Чтобы у исходной системы было единственное решение, нужно, чтобы парабола \(y\) касалась границы области I или границы области II, то есть касалась параболы \(g\) , причем абсцисса точки касания должна быть \(\leqslant -3\) или \(\geqslant 2\) (то есть парабола \(y\) должна коснуться границы одной из областей, которая находится выше оси абсцисс, раз парабола \(y\) лежит выше оси абсцисс).

\(y"=2a(x+1)\) , \(g"=2x\) . Условия касания графиков \(y\) и \(g\) в точке с абсциссой \(x_0\leqslant -3\) или \(x_0\geqslant 2\) : \[\begin{cases} 2a(x_0+1)=2x_0\\ a(x_0+1)^2=x_0^2-4 \\ \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x_0\leqslant -3\\ &x_0\geqslant 2 \end{aligned}\end{gathered}\right. \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x_0\leqslant -3\\ &x_0\geqslant 2 \end{aligned}\end{gathered}\right.\\ a=\dfrac{x_0}{x_0+1}\\ x_0^2+5x_0+4=0 \end{cases}\] Из данной системы \(x_0=-4\) , \(a=\frac43\) .
Получили первое значение параметра \(a\) .

2) \(a=0\) . Тогда \(y=0\) и видно, что прямая имеет бесконечное множество общих точек с областью II. Следовательно, это значение параметра нам не подходит.

3) \(a<0\) . Тогда ветви параболы \(y\) обращены вниз. Чтобы у исходной системы было единственное решение, нужно, чтобы парабола \(y\) имела одну общую точку с границей области II, лежащей ниже оси абсцисс. Следовательно, она должна проходить через точку \(B\) , причем, если парабола \(y\) будет иметь еще одну общую точку с прямой \(h\) , то эта общая точка должна быть “выше” точки \(B\) (то есть абсцисса второй точки должна быть \(<1\) ).

Найдем \(a\) , при которых парабола \(y\) проходит через точку \(B\) : \[-3=a(1+1)^2\quad\Rightarrow\quad a=-\dfrac34\] Убеждаемся, что при этом значении параметра вторая точка пересечения параболы \(y=-\frac34(x+1)^2\) с прямой \(h=-2x-1\) – это точка с координатами \(\left(-\frac13; -\frac13\right)\) .
Таким образом, получили еще одно значение параметра.

Так как мы рассмотрели все возможные случаи для \(a\) , то итоговый ответ: \

Ответ:

\(\left\{-\frac34; \frac43\right\}\)

Задание 3 #4013

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения параметра \(a\) , при каждом из которых система уравнений \[\begin{cases} 2x^2+2y^2=5xy\\ (x-a)^2+(y-a)^2=5a^4 \end{cases}\]

имеет ровно два решения.

1) Рассмотрим первое уравнение системы как квадратное относительно \(x\) : \ Дискриминант равен \(D=9y^2\) , следовательно, \ Тогда уравнение можно переписать в виде \[(x-2y)\cdot (2x-y)=0\] Следовательно, всю систему можно переписать в виде \[\begin{cases} \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &y=2x\\ &y=0,5x\end{aligned}\end{gathered}\right.\\ (x-a)^2+(y-a)^2=5a^4\end{cases}\] Совокупность задает две прямые, второе уравнение системы задает окружность с центром в \((a;a)\) и радиусом \(R=\sqrt5a^2\) . Чтобы исходное уравнение имело два решения, нужно, чтобы окружность пересекала график совокупности ровно в двух точках. Вот чертеж, когда, например, \(a=1\) :

Заметим, что так как координаты центра окружности равны, то центр окружности “бегает” по прямой \(y=x\) .

2) Так как у прямой \(y=kx\) тангенс угла наклона этой прямой к положительному направлению оси \(Ox\) равен \(k\) , то тангенс угла наклона прямой \(y=0,5x\) равен \(0,5\) (назовем его \(\mathrm{tg}\,\alpha\) ), прямой \(y=2x\) – равен \(2\) (назовем его \(\mathrm{tg}\,\beta\) ). Заметим, что \(\mathrm{tg}\,\alpha\cdot \mathrm{tg}\,\beta=1\) , следовательно, \(\mathrm{tg}\,\alpha=\mathrm{ctg}\,\beta=\mathrm{tg}\,(90^\circ-\beta)\) . Следовательно, \(\alpha=90^\circ-\beta\) , откуда \(\alpha+\beta=90^\circ\) . Это значит, что угол между \(y=2x\) и положительным направлением \(Oy\) равен углу между \(y=0,5x\) и положительным направлением \(Ox\) :

А так как прямая \(y=x\) является биссектрисой I координатного угла (то есть углы между ней и положительными направлениями \(Ox\) и \(Oy\) равны по \(45^\circ\) ), то углы между \(y=x\) и прямыми \(y=2x\) и \(y=0,5x\) равны.
Все это нам нужно было для того, чтобы сказать, что прямые \(y=2x\) и \(y=0,5x\) симметричны друг другу относительно \(y=x\) , следовательно, если окружность касается одной из них, то она обязательно касается и второй прямой.
Заметим, что если \(a=0\) , то окружность вырождается в точку \((0;0)\) и имеет лишь одну точку пересечения с обеими прямыми. То есть этот случай нам не подходит.
Таким образом, для того, чтобы окружность имела 2 точки пересечения с прямыми, нужно, чтобы она касалась этих прямых:

Видим, что случай, когда окружность располагается в третьей четверти, симметричен (относительно начала координат) случаю, когда она располагается в первой четверти. То есть в первой четверти \(a>0\) , а в третьей \(a<0\) (но такие же по модулю).
Поэтому рассмотрим только первую четверть.

Заметим, что \(OQ=\sqrt{(a-0)^2+(a-0)^2}=\sqrt2a\) , \(QK=R=\sqrt5a^2\) . Тогда \ Тогда \[\mathrm{tg}\,\angle QOK=\dfrac{\sqrt5a^2}{\sqrt{2a^2-5a^4}}\] Но, с другой стороны, \[\mathrm{tg}\,\angle QOK=\mathrm{tg}\,(45^\circ-\alpha)=\dfrac{\mathrm{tg}\, 45^\circ-\mathrm{tg}\,\alpha}{1+\mathrm{tg}\,45^\circ\cdot \mathrm{tg}\,\alpha}\] следовательно, \[\dfrac{1-0,5}{1+1\cdot 0,5}=\dfrac{\sqrt5a^2}{\sqrt{2a^2-5a^4}} \quad\Leftrightarrow\quad a=\pm \dfrac15\] Таким образом, мы уже сразу получили и положительное, и отрицательное значение для \(a\) . Следовательно, ответ: \

Ответ:

\(\{-0,2;0,2\}\)

Задание 4 #3278

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения \(a\) , для каждого из которых уравнение \

имеет единственное решение.

(ЕГЭ 2017, официальный пробный 21.04.2017)

Сделаем замену \(t=5^x, t>0\) и перенесем все слагаемые в одну часть: \ Получили квадратное уравнение, корнями которого по теореме Виета являются \(t_1=a+6\) и \(t_2=5+3|a|\) . Для того, чтобы исходное уравнение имело один корень, достаточно, чтобы полученное уравнение с \(t\) тоже имело один (положительный!) корень.
Заметим сразу, что \(t_2\) при всех \(a\) будет положительным. Таким образом, получаем два случая:

1) \(t_1=t_2\) : \ &a=-\dfrac14 \end{aligned} \end{gathered} \right.\]

2) Так как \(t_2\) всегда положителен, то \(t_1\) должен быть \(\leqslant 0\) : \

Ответ:

\((-\infty;-6]\cup\left\{-\frac14;\frac12\right\}\)

Задание 5 #3252

Уровень задания: Равен ЕГЭ

\[\sqrt{x^2-a^2}=\sqrt{3x^2-(3a+1)x+a}\]

имеет ровно один корень на отрезке \(\) .

(ЕГЭ 2017, резервный день)

Уравнение можно переписать в виде: \[\sqrt{(x-a)(x+a)}=\sqrt{(3x-1)(x-a)}\] Таким образом, заметим, что \(x=a\) является корнем уравнения при любых \(a\) , так как уравнение принимает вид \(0=0\) . Для того, чтобы этот корень принадлежат отрезку \(\) , нужно, чтобы \(0\leqslant a\leqslant 1\) .
Второй корень уравнения находится из \(x+a=3x-1\) , то есть \(x=\frac{a+1}2\) . Для того, чтобы это число было корнем уравнения, нужно, чтобы оно удовлетворяло ОДЗ уравнения, то есть: \[\left(\dfrac{a+1}2-a\right)\cdot \left(\dfrac{a+1}2+a\right)\geqslant 0\quad\Rightarrow\quad -\dfrac13\leqslant a\leqslant 1\] Для того, чтобы этот корень принадлежал отрезку \(\) , нужно, чтобы \ Таким образом, чтобы корень \(x=\frac{a+1}2\) существовал и принадлежал отрезку \(\) , нужно, чтобы \(-\frac13\leqslant a\leqslant 1\) .
Заметим, что тогда при \(0\leqslant a\leqslant 1\) оба корня \(x=a\) и \(x=\frac{a+1}2\) принадлежат отрезку \(\) (то есть уравнение имеет два корня на этом отрезке), кроме случая, когда они совпадают: \ Таким образом, нам подходят \(a\in \left[-\frac13; 0\right)\) и \(a=1\) .

Ответ:

\(a\in \left[-\frac13;0\right)\cup\{1\}\)

Задание 6 #3238

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения параметра \(a\) , при каждом из которых уравнение \

имеет единственный корень на отрезке \(.\)

(ЕГЭ 2017, резервный день)

Уравнение равносильно: \ ОДЗ уравнения: \[\begin{cases} x\geqslant 0\\ x-a\geqslant 0\\3a(1-x) \geqslant 0\end{cases}\] На ОДЗ уравнение перепишется в виде: \

1) Пусть \(a<0\) . Тогда ОДЗ уравнения: \(x\geqslant 1\) . Следовательно, для того, чтобы уравнение имело единственный корень на отрезке \(\) , этот корень должен быть равен \(1\) . Проверим: \ Не подходит под \(a<0\) . Следовательно, эти значения \(a\) не подходят.

2) Пусть \(a=0\) . Тогда ОДЗ уравнения: \(x\geqslant 0\) . Уравнение перепишется в виде: \ Полученный корень подходит под ОДЗ и входит в отрезок \(\) . Следовательно, \(a=0\) – подходит.

3) Пусть \(a>0\) . Тогда ОДЗ: \(x\geqslant a\) и \(x\leqslant 1\) . Следовательно, если \(a>1\) , то ОДЗ – пустое множество. Таким образом, \(0 Рассмотрим функцию \(y=x^3-a(x^2-3x+3)\) . Исследуем ее.
Производная равна \(y"=3x^2-2ax+3a\) . Определим, какого знака может быть производная. Для этого найдем дискриминант уравнения \(3x^2-2ax+3a=0\) : \(D=4a(a-9)\) . Следовательно, при \(a\in (0;1]\) дискриминант \(D<0\) . Значит, выражение \(3x^2-2ax+3a\) положительно при всех \(x\) . Следовательно, при \(a\in (0;1]\) производная \(y">0\) . Следовательно, \(y\) возрастает. Таким образом, по свойству возрастающей функции уравнение \(y(x)=0\) может иметь не более одного корня.

Следовательно, для того, чтобы корень уравнения (точка пересечения графика \(y\) с осью абсцисс) находился на отрезке \(\) , нужно, чтобы \[\begin{cases} y(1)\geqslant 0\\ y(a)\leqslant 0 \end{cases}\quad\Rightarrow\quad a\in \] Учитывая, что изначально в рассматриваемом случае \(a\in (0;1]\) , то ответ \(a\in (0;1]\) . Заметим, что корень \(x_1\) удовлетворяет \((1)\) , корни \(x_2\) и \(x_3\) удовлетворяют \((2)\) . Также заметим, что корень \(x_1\) принадлежит отрезку \(\) .
Рассмотрим три случая:

1) \(a>0\) . Тогда \(x_2>3\) , \(x_3<3\) , следовательно, \(x_2\notin .\) Тогда уравнение будет иметь один корень на \(\) в одном из двух случаях:
- \(x_1\) удовлетворяет \((2)\) , \(x_3\) не удовлетворяет \((1)\) , или совпадает с \(x_1\) , или удовлетворяет \((1)\) , но не входит в отрезок \(\) (то есть меньше \(0\) );
- \(x_1\) не удовлетворяет \((2)\) , \(x_3\) удовлетворяет \((1)\) и не равен \(x_1\) .
Заметим, что \(x_3\) не может быть одновременно меньше нуля и удовлетворять \((1)\) (то есть быть больше \(\frac35\) ). Учитывая это замечание, случаи записываются в следующую совокупность: \[\left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &\begin{cases} \dfrac9{25}-6\cdot \dfrac35+10-a^2>0\\ 3-a\leqslant \dfrac35\end{cases}\\ &\begin{cases} \dfrac9{25}-6\cdot \dfrac35+10-a^2\leqslant 0\\ 3-a> Решая данную совокупность и учитывая, что \(a>0\) , получим: \

2) \(a=0\) . Тогда \(x_2=x_3=3\in .\) Заметим, что в этом случае \(x_1\) удовлетворяет \((2)\) и \(x_2=3\) удовлетворяет \((1)\) , то есть уравнение имеет два корня на \(\) . Это значение \(a\) нам не подходит.

3) \(a<0\) . Тогда \(x_2<3\) , \(x_3>3\) и \(x_3\notin \) . Рассуждая аналогично пункту 1), нужно решить совокупность: \[\left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &\begin{cases} \dfrac9{25}-6\cdot \dfrac35+10-a^2>0\\ 3+a\leqslant \dfrac35\end{cases}\\ &\begin{cases} \dfrac9{25}-6\cdot \dfrac35+10-a^2\leqslant 0\\ 3+a> \dfrac35\end{cases} \end{aligned}\end{gathered}\right.\] Решая данную совокупность и учитывая, что \(a<0\) , получим: \\]

Ответ:

\(\left(-\frac{13}5;-\frac{12}5\right] \cup\left[\frac{12}5;\frac{13}5\right)\)

1. Задача.
При каких значениях параметра a уравнение (a - 1)x 2 + 2x + a - 1 = 0 имеет ровно один корень?

1. Решение.
При a = 1 уравнение имеет вид 2x = 0 и, очевидно, имеет единственный корень x = 0. Если a № 1, то данное уравнение является квадратным и имеет единственный корень при тех значениях параметра, при которых дискриминант квадратного трехчлена равен нулю. Приравнивая дискриминант к нулю, получаем уравнение относительно параметра a 4a 2 - 8a = 0, откуда a = 0 или a = 2.

1. Ответ: уравнение имеет единственный корень при a О {0; 1; 2}.

2. Задача.
Найти все значения параметра a , при которых имеет два различных корня уравнение x 2 +4ax +8a +3 = 0.
2. Решение.
Уравнение x 2 +4ax +8a +3 = 0 имеет два различных корня тогда и только тогда, когда D = 16a 2 -4(8a +3) > 0. Получаем (после сокращения на общий множитель 4) 4a 2 -8a -3 > 0, откуда

2. Ответ:

a О (-Ґ ; 1 –

Ц 7 2

) И (1 +

Ц 7 2

; Ґ ).

3. Задача.
Известно, что
f 2 (x ) = 6x -x 2 -6.
а) Постройте график функции f 1 (x ) при a = 1.
б) При каком значении a графики функций f 1 (x ) и f 2 (x ) имеют единственную общую точку?

3. Решение.
3.а. Преобразуем f 1 (x ) следующим образом
График этой функции при a = 1 изображен на рисунке справа.
3.б. Сразу отметим, что графики функций y = kx +b и y = ax 2 +bx +c (a № 0) пересекаются в единственной точке тогда и только тогда, когда квадратное уравнение kx +b = ax 2 +bx +c имеет единственный корень. Используя представление f 1 из 3.а , приравняем дискриминант уравнения a = 6x -x 2 -6 к нулю. Из уравнения 36-24-4a = 0 получаем a = 3. Проделав то же самое с уравнением 2x -a = 6x -x 2 -6 найдем a = 2. Нетрудно убедиться, что эти значения параметра удовлетворяют условиям задачи. Ответ: a = 2 или a = 3.

4. Задача.
Найти все значения a , при которых множество решений неравенства x 2 -2ax -3a і 0 содержит отрезок .

4. Решение.
Первая координата вершины параболы f (x ) = x 2 -2ax -3a равна x 0 = a . Из свойств квадратичной функции условие f (x ) і 0 на отрезке равносильно совокупности трех систем
имеет ровно два решения?

5. Решение.
Перепишем это уравнение в виде x 2 + (2a -2)x - 3a +7 = 0. Это квадратное уравнение, оно имеет ровно два решения, если его дискриминант строго больше нуля. Вычисляя дискриминант, получаем, что условием наличия ровно двух корней является выполнение неравенства a 2 +a -6 > 0. Решая неравенство, находим a < -3 или a > 2. Первое из неравенств, очевидно, решений в натуральных числах не имеет, а наименьшим натуральным решением второго является число 3.

5. Ответ: 3.

6. Задача (10 кл.)
Найти все значения a , при которых график функции или, после очевидных преобразований, a -2 = | 2-a | . Последнее уравнение равносильно неравенству a і 2.

6. Ответ: a О }

Предыдущая статья: Чему равна скорость света Следующая статья: Углерод — характеристика элемента и химические свойства