Точка пересечения диагонали и средней линии трапеции. Что такое трапеция

1. Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции равен половине разности оснований
2. Треугольники, образованные основаниями трапеции и отрезками диагоналей до точки их пересечения - подобны
3. Треугольники, образованные отрезками диагоналей трапеции, стороны которых лежат на боковых сторонах трапеции - равновеликие (имеют одинаковую площадь)
4. Если продлить боковые стороны трапеции в сторону меньшего основания, то они пересекутся в одной точке с прямой, соединяющей середины оснований
5. Отрезок, соединяющий основания трапеции, и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, делится этой точкой в пропорции, равной соотношению длин оснований трапеции
6. Отрезок, параллельный основаниям трапеции, и проведенный через точку пересечения диагоналей, делится этой точкой пополам, а его длина равна 2ab/(a + b), где a и b - основания трапеции

Свойства отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции

Соединим середины диагоналей трапеции ABCD, в результате чего у нас появится отрезок LM.
Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, лежит на средней линии трапеции .

Данный отрезок параллелен основаниям трапеции .

Длина отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции, равна полуразности ее оснований.

LM = (AD - BC)/2
или
LM = (a-b)/2

Свойства треугольников, образованных диагоналями трапеции

Треугольники, которые образованы основаниями трапеции и точкой пересечения диагоналей трапеции - являются подобными .
Треугольники BOC и AOD являются подобными. Поскольку углы BOC и AOD являются вертикальными - они равны.
Углы OCB и OAD являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых AD и BC (основания трапеции параллельны между собой) и секущей прямой AC, следовательно, они равны.
Углы OBC и ODA равны по той же самой причине (внутренние накрест лежащие).

Так как все три угла одного треугольника равны соответствующим углам другого треугольника, то данные треугольники подобны.

Что из этого следует?

Для решения задач по геометрии подобие треугольников используется следующим образом. Если нам известны значения длин двух соответствующих элементов подобных треугольников, то мы находим коэффициент подобия (делим одно на другое). Откуда длины всех остальных элементов соотносятся между собой точно таким же значением.

Свойства треугольников, лежащих на боковой стороне и диагоналях трапеции

Рассмотрим два треугольника, лежащих на боковых сторонах трапеции AB и CD. Это - треугольники AOB и COD. Несмотря на то, что размеры отдельных сторон у данных треугольников могут быть совершенно различны, но площади треугольников, образованных боковыми сторонами и точкой пересечения диагоналей трапеции равны , то есть треугольники являются равновеликими.

Если продлить стороны трапеции в сторону меньшего основания, то точка пересечения сторон будет совпадать с прямой линией, которая проходит через середины оснований .

Таким образом, любая трапеция может быть достроена до треугольника. При этом:

• Треугольники, образованные основаниями трапеции с общей вершиной в точке пересечения продленных боковых сторон являются подобными
• Прямая, соединяющая середины оснований трапеции, является, одновременно, медианой построенного треугольника

Свойства отрезка, соединяющего основания трапеции

Если провести отрезок, концы которого лежат на основаниях трапеции, который лежит на точке пересечения диагоналей трапеции (KN), то соотношенее составляющих его отрезков от стороны основания до точки пересечения диагоналей (KO/ON) будет равно соотношению оснований трапеции (BC/AD).

KO / ON = BC / AD

Данное свойство следует из подобия соответствующих треугольников (см. выше).

Свойства отрезка, параллельного основаниям трапеции

Если провести отрезок, параллельный основаниям трапеции и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, то он будет обладать следующими свойствами:

• Заданный отрезок (KM) делится точкой пересечения диагоналей трапеции пополам
• Длина отрезка , проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции и параллельного основаниям, равна KM = 2ab/(a + b)

Формулы для нахождения диагоналей трапеции

a, b - основания трапеции

c, d - боковые стороны трапеции

d1 d2 - диагонали трапеции

α β - углы при большем основании трапеции

Формулы нахождения диагоналей трапеции через основания, боковые стороны и углы при основании

Первая группа формул (1-3) отражает одно из основных свойств диагоналей трапеции:

1. Сумма квадратов диагоналей трапеции равна сумме квадратов боковых сторон плюс удвоенное произведение ее оснований . Данное свойство диагоналей трапеции может быть доказано как отдельная теорема

2 . Данная формула получена путем преобразования предыдущей формулы. Квадрат второй диагонали переброшен через знак равенства, после чего из левой и правой части выражения извлечен квадратный корень.

3 . Эта формула нахождения длины диагонали трапеции аналогична предыдущей, с той разницей, что в левой части выражения оставлена другая диагональ

Следующая группа формул (4-5) аналогична по смыслу и выражает аналогичное соотношение.

Группа формул (6-7) позволяет найти диагональ трапеции, если известны большее основание трапеции, одна боковая сторона и угол при основании.

Формулы нахождения диагоналей трапеции через высоту

Задача .
Диагонали трапеции ABCD (AD | | ВС) пересекаются в точке О. Найдите длину основания ВС трапеции, если основание АD = 24 см, длина АО = 9см, длина ОС = 6 см.

Решение .
Решение данной задачи по идеологии абсолютно идентично предыдущим задачам.

Треугольники AOD и BOC являются подобными по трем углам - AOD и BOC являются вертикальными, а остальные углы попарно равны, поскольку образованы пересечением одной прямой и двух параллельных прямых.

Поскольку треугольники подобны, то все их геометрические размеры относятся между собой, как геометрически размеры известных нам по условию задачи отрезков AO и OC. То есть

AO / OC = AD / BC
9 / 6 = 24 / BC
BC = 24 * 6 / 9 = 16

Ответ : 16 см

Задача .
В трапеции ABCD известно, что AD=24, ВС=8, АС=13, BD=5√17. Найдите площадь трапеции.

Решение .
Для нахождения высоты трапеции из вершин меньшего основания B и C опустим на большее основание две высоты. Поскольку трапеция неравнобокая - то обозначим длину AM = a, длину KD = b (не путать с обозначениями в формуле нахождения площади трапеции). Поскольку основания трапеции параллельны, а мы опускали две высоты, перпендикулярных большему основанию, то MBCK - прямоугольник.

Значит
AD = AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 - b

Треугольники DBM и ACK - прямоугольные, так их прямые углы образованы высотами трапеции. Обозначим высоту трапеции через h. Тогда по теореме Пифагора

H 2 + (24 - a) 2 = (5√17) 2
и
h 2 + (24 - b) 2 = 13 2

Учтем, что a = 16 - b , тогда в первом уравнении
h 2 + (24 - 16 + b) 2 = 425
h 2 = 425 - (8 + b) 2

Подставим значение квадрата высоты во второе уравнение, полученное по Теореме Пифагора. Получим:
425 - (8 + b) 2 + (24 - b) 2 = 169
-(64 + 16b + b) 2 + (24 - b) 2 = -256
-64 - 16b - b 2 + 576 - 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12

Таким образом, KD = 12
Откуда
h 2 = 425 - (8 + b) 2 = 425 - (8 + 12) 2 = 25
h = 5

Найдем площадь трапеции через ее высоту и полусумму оснований
, где a b - основания трапеции, h - высота трапеции
S = (24 + 8) * 5 / 2 = 80 см 2

Ответ : площадь трапеции равна 80 см 2 .

- (греч. trapezion). 1) в геометрии четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две нет. 2) фигура, приспособленная для гимнастических упражнений. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. ТРАПЕЦИЯ… … Словарь иностранных слов русского языка

Трапеция - Трапеция. ТРАПЕЦИЯ (от греческого trapezion, буквально столик), выпуклый четырехугольник, в котором две стороны параллельны (основания трапеции). Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований (средней линии) на высоту. … Иллюстрированный энциклопедический словарь

трапеция - четырехугольник, снаряд, перекладина Словарь русских синонимов. трапеция сущ., кол во синонимов: 3 перекладина (21) … Словарь синонимов

ТРАПЕЦИЯ - (от греческого trapezion, буквально столик), выпуклый четырехугольник, в котором две стороны параллельны (основания трапеции). Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований (средней линии) на высоту … Современная энциклопедия

ТРАПЕЦИЯ - (от греч. trapezion букв. столик), четырехугольник, в котором две противоположные стороны, называемые основаниями трапеции, параллельны (на рисунке АD и ВС), а другие две непараллельны. Расстояние между основаниями называют высотой трапеции (на… … Большой Энциклопедический словарь

ТРАПЕЦИЯ - ТРАПЕЦИЯ, четырехугольная плоская фигура, в которой две противоположные стороны параллельны. Площадь трапеции равна полусумме параллельных сторон, умноженной на длину перпендикуляра между ними … Научно-технический энциклопедический словарь

ТРАПЕЦИЯ - ТРАПЕЦИЯ, трапеции, жен. (от греч. trapeza стол). 1. Четырехугольник с двумя параллельными и двумя непараллельными сторонами (мат.). 2. Гимнастический снаряд, состоящий из перекладины, подвешенной на двух веревках (спорт.). Акробатические… … Толковый словарь Ушакова

ТРАПЕЦИЯ - ТРАПЕЦИЯ, и, жен. 1. Четырёхугольник с двумя параллельными и двумя непараллельными сторонами. Основания трапеции (её параллельные стороны). 2. Цирковой или гимнастический снаряд перекладина, подвешенная на двух тросах. Толковый словарь Ожегова. С … Толковый словарь Ожегова

ТРАПЕЦИЯ - жен., геом. четвероугольник с неравными сторонами, из коих две опостенны (паралельны). Трапецоид, подобный четвероугольник, у которого все стороны идут врознь. Трапецоэдр, тело, ограненное трапециями. Толковый словарь Даля. В.И. Даль. 1863 1866 … Толковый словарь Даля

ТРАПЕЦИЯ - (Trapeze), США, 1956, 105 мин. Мелодрама. Начинающий акробат Тино Орсини поступает в цирковую труппу, где работает Майк Риббл, известный в прошлом воздушный гимнаст. Когда то Майк выступал вместе с отцом Тино. Молодой Орсини хочет, чтобы Майк… … Энциклопедия кино

Трапеция - четырехугольник, две стороны которого параллельны, а дведругие стороны не параллельны. Расстояние между параллельными сторонаминаз. высотою Т. Если параллельные стороны и высота содержат а, b и hметров, то площадь Т. содержит квадратных метров … Энциклопедия Брокгауза и Ефрона

Книги

• Комплект таблиц. Геометрия. 8 класс. 15 таблиц + методика , . Таблицы отпечатаны на плотном полиграфическом картоне размером 680 х 980 мм. В комплект входит брошюра с методическими рекомендациями для учителя. Учебный альбом из 15 листов. Многоугольники.… Купить за 3828 руб
• Комплект таблиц. Математика. Многоугольники (7 таблиц) , . Учебный альбом из 7 листов. Выпуклые и невыпуклые многоугольники. Четырехугольники. Параллелограмм и трапеция. Признаки и свойства параллелограмма. Прямоугольник. Ромб. Квадрат. Площадь…

Многоугольник - часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной линией. Углы у многоугольника обозначаются точками вершин ломаной. Вершины углов многоугольника и вершины многоугольника - это совпадающие точки.

Определение. Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны.

Свойства параллелограмма

1. Противолежащие стороны равны.
На рис. 11 AB = CD ; BC = AD .

2. Противолежащие углы равны (два острых и два тупых угла).
На рис. 11 ∠A = ∠C ; ∠B = ∠D .

3 Диагонали (отрезки прямой, соединяющие две противолежащие вершины) пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

На рис. 11 отрезки AO = OC ; BO = OD .

Определение. Трапеция - это четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны, а две другие - нет.

Параллельные стороны называются ее основаниями , а две другие стороны - боковыми сторонами .

Виды трапеций

1. Трапеция , у которой боковые стороны не равны,
называется разносторонней (рис. 12).

2. Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой (рис. 13).

3. Трапеция, у которой одна боковая сторона составляет прямой угол с основаниями, называется прямоугольной (рис. 14).

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции (рис. 15), называется средней линией трапеции (MN ). Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Трапецию можно назвать усеченным треугольником (рис. 17), поэтому и названия трапеций сходны с названиями треугольников (треугольники бывают разносторонние, равнобедренные, прямоугольные).

Площадь параллелограмма и трапеции

Правило. Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

В материалах различных контрольных работ и экзаменов очень часто встречаются задачи на трапецию , решение которых требует знания ее свойств.

Выясним, какими же интересными и полезными для решения задач свойствами обладает трапеция.

После изучения свойства средней линии трапеции можно сформулировать и доказать свойство отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции . Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований.

MO – средняя линия треугольника ABC и равна 1/2ВС (рис. 1).

MQ – средняя линия треугольника ABD и равна 1/2АD.

Тогда OQ = MQ – MO, следовательно, OQ = 1/2AD – 1/2BC = 1/2(AD – BC).

При решении многих задач на трапецию одним из основных приемов является проведение в ней двух высот.

Рассмотрим следующую задачу .

Пусть BT – высота равнобедренной трапеции ABCD с основаниями BC и AD, причем BC = a, AD = b. Найти длины отрезков AT и TD.

Решение.

Решение задачи не вызывает затруднения (рис. 2) , но оно позволяет получить свойство высоты равнобедренной трапеции, проведенной из вершины тупого угла : высота равнобедренной трапеции, проведенная из вершины тупого угла, делит большее основание на два отрезка, меньший из которых равен полуразности оснований, а больший – полусумме оснований.

При изучении свойств трапеции нужно обратить внимание на такое свойство, как подобие. Так, например, диагонали трапеции разбивают ее на четыре треугольника, причем треугольники, прилежащие к основаниям, подобны, а треугольники, прилежащие к боковым сторонам, равновелики. Это утверждение можно назвать свойством треугольников, на которые разбивается трапеция ее диагоналями . Причем первая часть утверждения доказывается очень легко через признак подобия треугольников по двум углам. Докажем вторую часть утверждения.

Треугольники BOC и COD имеют общую высоту (рис. 3) , если принять за их основания отрезки BO и OD. Тогда S BOC /S COD = BO/OD = k. Следовательно, S COD = 1/k · S BOC .

Аналогично, треугольники BOC и АОВ имеют общую высоту, если принять за их основания отрезки CO и OA. Тогда S BOC /S AOB = CO/OA = k и S А O В = 1/k · S BOC .

Из этих двух предложений следует, что S COD = S А O В.

Не будем останавливаться на сформулированном утверждении, а найдем связь между площадями треугольников, на которые разбивается трапеция ее диагоналями . Для этого решим следующую задачу.

Пусть точка O – точка пересечения диагоналей трапеции АBCD с основаниями BC и AD. Известно, что площади треугольников BOC и AOD равны соответственно S 1 и S 2 . Найти площадь трапеции.

Так как S COD = S А O В, то S АВС D = S 1 + S 2 + 2S COD .

Из подобия треугольников BОC и AOD следует, что ВО/OD = √(S₁/S 2).

Следовательно, S₁/S COD = BO/OD = √(S₁/S 2), а значит S COD = √(S 1 · S 2).

Тогда S АВС D = S 1 + S 2 + 2√(S 1 · S 2) = (√S 1 + √S 2) 2 .

С использованием подобия доказывается и свойство отрезка, проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно основаниям .

Рассмотрим задачу :

Пусть точка O – точка пересечения диагоналей трапеции ABCD с основаниями BC и AD. BC = a, AD = b. Найти длину отрезка PK, проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно основаниям. На какие отрезки делится PK точкой О (рис. 4)?

Из подобия треугольников AOD и BOC следует, что АO/OС = AD/BC = b/a.

Из подобия треугольников AOР и ACB следует, что АO/AС = PO/BC = b/(a + b).

Отсюда PO = BC · b / (a + b) = ab/(a + b).

Аналогично, из подобия треугольников DOK и DBC, следует, что OK = ab/(a + b).

Отсюда PO = OK и PK = 2ab/(a + b).

Итак, доказанное свойство можно сформулировать так: отрезок, параллельный основаниям трапеции, проходящий через точку пересечения диагоналей и соединяющий две точки на боковых сторонах, делится точкой пересечения диагоналей пополам. Его длина есть среднее гармоническое оснований трапеции.

Следующее свойство четырех точек : в трапеции точка пересечения диагоналей, точка пересечения продолжения боковых сторон, середины оснований трапеции лежат на одной линии.

Треугольники BSC и ASD подобны (рис. 5) и в каждом из них медианы ST и SG делят угол при вершине S на одинаковые части. Следовательно, точки S, T и G лежат на одной прямой.

Точно так же на одной прямой расположены точки T, O и G. Это следует из подобия треугольников BOC и AOD.

Значит, все четыре точки S, T, O и G лежат на одной прямой.

Так же можно найти длину отрезка разбивающего трапецию на две подобных.

Если трапеции ALFD и LBCF подобны (рис. 6), то a/LF = LF/b.

Отсюда LF = √(ab).

Таким образом, отрезок разбивающий трапецию на две подобные трапеции, имеет длину равную среднему геометрическому длин оснований .

Докажем свойство отрезка, делящего трапецию на две равновеликие .

Пусть площадь трапеции равна S (рис. 7). h 1 и h 2 – части высоты, а х – длина искомого отрезка.

Тогда S/2 = h 1 · (a + x)/2 = h 2 · (b + x)/2 и

S = (h 1 + h 2) · (a + b)/2.

Составим систему

{h 1 · (a + x) = h 2 · (b + x)
{h 1 · (a + x) = (h 1 + h 2) · (a + b)/2.

Решая данную систему, получим х = √(1/2(а 2 + b 2)).

Таким образом, длина отрезка, делящего трапецию на две равновеликие, равна√((а 2 + b 2)/2) (среднему квадратичному длин оснований).

Итак, для трапеции ABCD с основаниями AD и BC (BC = a, AD = b) доказали, что отрезок:

1) MN, соединяющий середины боковых сторон трапеции, параллелен основаниям и равен их полусумме (среднему арифметическому чисел a и b);

2) PK, проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно основаниям, равен
2ab/(a + b) (среднему гармоническому чисел a и b);

3) LF, разбивающий трапецию на две подобные трапеции, имеет длину равную среднему геометрическому чисел a и b, √(ab);

4) EH, делящий трапецию на две равновеликие, имеет длину √((а 2 + b 2)/2) (среднее квадратичное чисел a и b).

Признак и свойство вписанной и описанной трапеции.

Свойство вписанной трапеции: трапеция может быть вписана в окружность в том и только в том случае, когда она равнобедренная.

Свойства описанной трапеции. Около окружности можно описать трапецию тогда и только тогда, когда сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон.

Полезные следствия того, что в трапецию вписана окружность:

1. Высота описанной трапеции равна двум радиусам вписанной окружности.

2. Боковая сторона описанной трапеции видна из центра вписанной окружности под прямым углом.

Первое очевидно. Для доказательства второго следствия необходимо установить, что угол COD прямой, что так же не составляет большого труда. Зато знание этого следствия позволяет при решении задач использовать прямоугольный треугольник.

Конкретизируем следствия для равнобедренной описанной трапеции :

Высота равнобедренной описанной трапеции есть среднее геометрическое оснований трапеции
h = 2r = √(ab).

Рассмотренные свойства позволят более глубоко познать трапецию и обеспечат успешность в решении задач на применение ее свойств.

Остались вопросы? Не знаете, как решать задачи на трапецию?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Трапеция - это частный случай четырехугольника, у которого одна пара сторон является параллельной. Термин «трапеция» произошел от греческого слова τράπεζα, означающего "стол", "столик". В этой статье мы рассмотрим виды трапеции и её свойства. Кроме того, разберемся, как рассчитывать отдельные элементы этой Например, диагональ равнобокой трапеции, среднюю линию, площадь и др. Материал изложен в стиле элементарной популярной геометрии, т. е. в легкодоступной форме.

Общие сведения

Для начала давайте разберемся, что такое четырехугольник. Данная фигура является частным случаем многоугольника, содержащего четыре стороны и четыре вершины. Две вершины четырехугольника, которые не являются соседними, называются противоположными. То же можно сказать и о двух несмежных сторонах. Основные виды четырехугольников - это параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция и дельтоид.

Итак, вернемся к трапециям. Как мы уже говорили, у этой фигуры две стороны являются параллельными. Их называют основаниями. Две другие (непараллельные) - боковые стороны. В материалах экзаменов и различных контрольных работ очень часто можно встретить задачи, связанные с трапециями, решение которых зачастую требует от учащегося знаний, не предусмотренных программой. Школьный курс геометрии знакомит учеников со свойствами углов и диагоналей, а также средней линии равнобедренной трапеции. Но ведь, помимо этого, упомянутая геометрическая фигура имеет и другие особенности. Но о них чуть позже...

Виды трапеции

Существует много видов данной фигуры. Однако чаще всего принято рассматривать два из них - равнобедренную и прямоугольную.

1. Прямоугольная трапеция - это фигура, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям. У нее два угла всегда равны девяноста градусам.

2. Равнобедренная трапеция - это геометрическая фигура, у которой боковые стороны равны между собой. А значит, и углы у оснований также попарно равны.

Главные принципы методики изучения свойств трапеции

К основному принципу можно отнести использование так называемого задачного подхода. По сути, нет необходимости для ввода в теоретический курс геометрии новых свойств этой фигуры. Их можно открывать и формулировать в процессе решения различных задач (лучше системных). При этом очень важно, чтобы преподаватель знал, какие задания необходимо поставить перед школьниками в тот или иной момент учебного процесса. Более того, каждое свойство трапеции может быть представлено в виде ключевой задачи в системе задач.

Вторым принципом является так называемая спиральная организация изучения «замечательных» свойств трапеции. Это подразумевает возврат в процессе обучения к отдельным признакам данной геометрической фигуры. Таким образом, учащимся легче их запоминать. Например, свойство четырех точек. Его можно доказывать как при изучении подобия, так и впоследствии с помощью векторов. А равновеликость треугольников, прилегающих к боковым сторонам фигуры, можно доказывать, применяя не только свойства треугольников с равными высотами, проведенными к сторонам, которые лежат на одной прямой, но и с помощью формулы S= 1/2(ab*sinα). Кроме того, можно отработать на вписанной трапеции или прямоугольный треугольник на описанной трапеции и т. д.

Применение «внепрограммных» особенностей геометрической фигуры в содержании школьного курса - это задачная технология их преподавания. Постоянное обращение к изучаемым свойствам при прохождении других тем позволяет учащимся глубже познавать трапецию и обеспечивает успешность решения поставленных задач. Итак, приступим к изучению этой замечательной фигуры.

Элементы и свойства равнобедренной трапеции

Как мы уже отмечали, у данной геометрической фигуры боковые стороны равны. Еще она известна как правильная трапеция. А чем же она так примечательна и почему получила такое название? К особенностям данной фигуры относится то, у нее равны не только боковые стороны и углы у оснований, но и диагонали. Кроме того, сумма углов равнобедренной трапеции равна 360 градусам. Но и это еще не все! Из всех известных трапеций только вокруг равнобедренной можно описать окружность. Это связано с тем, что сумма противоположных углов у этой фигуры равна 180 градусам, а только при таком условии можно описать окружность вокруг четырехугольника. Следующим свойством рассматриваемой геометрической фигуры является то, что расстояние от вершины основания до проекции противолежащей вершины на прямую, которая содержит это основание, будет равно средней линии.

А теперь давайте разберемся, как найти углы равнобедренной трапеции. Рассмотрим вариант решения этой задачи при условии, что известны размеры сторон фигуры.

Решение

Обычно четырехугольник принято обозначать литерами А, Б, С, Д, где БС и АД - это основания. В равнобедренной трапеции боковые стороны равны. Будем считать, что их размер равен Х, а размеры оснований равны Y и Z (меньшего и большего соответственно). Для проведения вычисления необходимо из угла В провести высоту Н. В результате получился прямоугольный треугольник АБН, где АБ - гипотенуза, а БН и АН - катеты. Вычисляем размер катета АН: от большего основания отнимаем меньшее, и результат делим на 2. Запишем в виде формулы: (Z-Y)/2 = F. Теперь для вычисления острого угла треугольника воспользуемся функцией cos. Получаем следующую запись: cos(β) = Х/F. Теперь вычисляем угол: β=arcos (Х/F). Далее, зная один угол, мы можем определить и второй, для этого производим элементарное арифметическое действие: 180 - β. Все углы определены.

Существует и второе решение данной задачи. В начале опускаем из угла В высоту Н. Вычисляем значение катета БН. Нам известно, что квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов. Получаем: БН = √(Х2- F2). Далее используем тригонометрическую функцию tg. В результате имеем: β = arctg (БН/ F). Острый угол найден. Далее определяем аналогично первому способу.

Свойство диагоналей равнобедренной трапеции

Сначала запишем четыре правила. Если диагонали в равнобедренной трапеции перпендикулярны, то:

Высота фигуры будет равна сумме оснований, деленной на два;

Ее высота и средняя линия равны;

Центр окружности является точкой, в которой пересекаются ;

Если боковая сторона делится точкой касания на отрезки Н и М, тогда равен квадратному корню произведения этих отрезков;

Четырехугольник, который образовался точками касания, вершиной трапеции и центром вписанной окружности - это квадрат, у которого сторона равна радиусу;

Площадь фигуры равна произведению оснований и произведению полусуммы оснований на ее высоту.

Подобные трапеции

Данная тема весьма удобна для изучения свойств этой Например, диагонали разбивают трапецию на четыре треугольника, причем прилежащие к основаниям являются подобными, а к боковым сторонам - равновеликими. Это утверждение можно назвать свойством треугольников, на которые разбита трапеция ее диагоналями. Первая часть этого утверждения доказывается через признак подобия по двум углам. Для доказательства второй части лучше воспользоваться способом, приведенным ниже.

Доказательство теоремы

Принимаем, что фигура АБСД (АД и БС - основы трапеции) разбивается диагоналями ВД и АС. Точка их пересечения - О. Получаем четыре треугольника: АОС - у нижнего основания, БОС - у верхнего основания, АБО и СОД у боковых сторон. Треугольники СОД и БОС имеют общую высоту в том случае, если отрезки БО и ОД являются их основаниями. Получаем, что разность их площадей (П) равна разности этих отрезков: ПБОС/ПСОД = БО/ОД = К. Следовательно, ПСОД = ПБОС/К. Аналогично, треугольники БОС и АОБ имеют общую высоту. Принимаем за их основания отрезки СО и ОА. Получаем ПБОС/ПАОБ = СО/ОА = К и ПАОБ = ПБОС/К. Из этого следует, что ПСОД = ПАОБ.

Для закрепления материала учащимся рекомендуется найти связь между площадями полученных треугольников, на которые разбита трапеция ее диагоналями, решив следующую задачу. Известно, что у треугольников БОС и АОД площади равны, необходимо найти площадь трапеции. Так как ПСОД = ПАОБ, значит, ПАБСД = ПБОС+ПАОД+2*ПСОД. Из подобия треугольников БОС и АОД следует, что БО/ОД = √(ПБОС/ПАОД). Следовательно, ПБОС/ПСОД = БО/ОД = √(ПБОС/ПАОД). Получаем ПСОД = √(ПБОС*ПАОД). Тогда ПАБСД = ПБОС+ПАОД+2*√(ПБОС*ПАОД) = (√ПБОС+√ПАОД)2.

Свойства подобия

Продолжая развивать эту тему, можно доказывать и другие интересные особенности трапеций. Так, с помощью подобия можно доказать свойство отрезка, который проходит через точку, образованную пересечением диагоналей этой геометрической фигуры, параллельно основаниям. Для этого решим следующую задачу: необходимо найти длину отрезка РК, который проходит через точку О. Из подобия треугольников АОД и БОС следует, что АО/ОС=АД/БС. Из подобия треугольников АОР и АСБ следует, что АО/АС=РО/БС=АД/(БС+АД). Отсюда получаем, что РО=БС*АД/(БС+АД). Аналогично из подобия треугольников ДОК и ДБС следует, что ОК=БС*АД/(БС+АД). Отсюда получаем, что РО=ОК и РК=2*БС*АД/(БС+АД). Отрезок, проходящий через точку пересечения диагоналей, параллельный основаниям и соединяющий две боковые стороны, делится точкой пересечения пополам. Его длина - это среднее гармоническое оснований фигуры.

Рассмотрим следующее качество трапеции, которое называют свойством четырех точек. Точки пересечения диагоналей (О), пересечения продолжения боковых сторон (Е), а также середины оснований (Т и Ж) всегда лежат на одной линии. Это легко доказывается методом подобия. Полученные треугольники БЕС и АЕД подобны, и в каждом из них медианы ЕТ и ЕЖ делят угол при вершине Е на равные части. Следовательно, точки Е, Т и Ж лежат на одной прямой. Точно так же на одной прямой располагаются точки Т, О, и Ж. Все это следует из подобия треугольников БОС и АОД. Отсюда делаем вывод, что все четыре точки - Е, Т, О и Ж - будут лежать на одной прямой.

Используя подобные трапеции, можно предложить учащимся найти длину отрезка (ЛФ), который разбивает фигуру на две подобные. Данный отрезок должен быть параллелен основаниям. Так как полученные трапеции АЛФД и ЛБСФ подобны, то БС/ЛФ=ЛФ/АД. Отсюда следует, что ЛФ=√(БС*АД). Получаем, что отрезок, разбивающий трапецию на две подобные, имеет длину, равную среднему геометрическому длин оснований фигуры.

Рассмотрим следующее свойство подобия. В его основе лежит отрезок, который делит трапецию на две равновеликие фигуры. Принимаем, что трапеция АБСД разделена отрезком ЕН на две подобные. Из вершины Б опущена высота, которая разбивается отрезком ЕН на две части - В1 и В2. Получаем: ПАБСД/2 = (БС+ЕН)*В1/2 = (АД+ЕН)*В2/2 и ПАБСД = (БС+АД)*(В1+В2)/2. Далее составляем систему, первое уравнение которой (БС+ЕН)*В1 = (АД+ЕН)*В2 и второе (БС+ЕН)*В1 = (БС+АД)*(В1+В2)/2. Отсюда следует, что В2/ В1 = (БС+ЕН)/(АД+ЕН) и БС+ЕН = ((БС+АД)/2)*(1+В2/ В1). Получаем, что длина отрезка, делящего трапецию на две равновеликие, равна среднему квадратичному длин оснований: √((БС2+АД2)/2).

Выводы подобия

Таким образом, мы доказали, что:

1. Отрезок, соединяющий у трапеции середины боковых сторон, параллелен АД и БС и равен среднему арифметическому БС и АД (длина основания трапеции).

2. Черта, проходящая через точку О пересечения диагоналей параллельно АД и БС, будет равна среднему гармоническому чисел АД и БС (2*БС*АД/(БС+АД)).

3. Отрезок, разбивающий трапецию на подобные, имеет длину среднего геометрического оснований БС и АД.

4. Элемент, делящий фигуру на две равновеликие, имеет длину среднего квадратичного чисел АД и БС.

Для закрепления материала и осознания связи между рассмотренными отрезками учащемуся необходимо построить их для конкретной трапеции. Он без труда сможет отобразить среднюю линию и отрезок, который проходит через точку О - пересечение диагоналей фигуры - параллельно основаниям. А вот где будут находиться третий и четвертый? Этот ответ приведет учащегося к открытию искомой связи между средними величинами.

Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции

Рассмотрим следующее свойство этой фигуры. Принимаем, что отрезок МН параллелен основаниям и делит диагонали пополам. Точки пересечения назовем Ш и Щ. Данный отрезок будет равен полуразности оснований. Разберем это более детально. МШ - средняя линия треугольника АБС, она равна БС/2. МЩ - средняя линия треугольника АБД, она равна АД/2. Тогда получаем, что ШЩ = МЩ-МШ, следовательно, ШЩ = АД/2-БС/2 = (АД+ВС)/2.

Центр тяжести

Давайте рассмотрим, каким образом определяется этот элемент для данной геометрической фигуры. Для этого необходимо продлить основания в противоположные стороны. Что это значит? Нужно к верхнему основанию прибавить нижнее - в любую из сторон, например, вправо. А нижнее продлеваем на длину верхнего влево. Далее соединяем их диагональю. Точка пересечения этого отрезка со средней линией фигуры и есть центр тяжести трапеции.

Вписанные и описанные трапеции

Давайте перечислим особенности таких фигур:

1. Трапеция может быть вписана в окружность тольков том случае, если она равнобедренная.

2. Около окружности можно описать трапецию, при условии, что сумма длин их оснований равна сумме длин боковых сторон.

Следствия вписанной окружности:

1. Высота описанной трапеции всегда равна двум радиусам.

2. Боковая сторона описанной трапеции наблюдается из центра окружности под прямым углом.

Первое следствие очевидно, а для доказательства второго требуется установить, что угол СОД является прямым, что, по сути, также не составит большого труда. Зато знание данного свойства позволит при решении задач применять прямоугольный треугольник.

Теперь конкретизируем эти следствия для равнобедренной трапеции, которая вписана в окружность. Получаем, что высота является средним геометрическим оснований фигуры: Н=2R=√(БС*АД). Отрабатывая основной прием решения задач для трапеций (принцип проведения двух высот), учащийся должен решить следующее задание. Принимаем, что БТ - высота равнобедренной фигуры АБСД. Необходимо найти отрезки АТ и ТД. Применяя формулу, описанную выше, это будет сделать не сложно.

Теперь давайте разберемся, как определить радиус окружности, используя площадь описанной трапеции. Опускаем из вершины Б высоту на основание АД. Так как окружность вписана в трапецию, то БС+АД = 2АБ или АБ = (БС+АД)/2. Из треугольника АБН находим sinα = БН/АБ = 2*БН/(БС+АД). ПАБСД = (БС+АД)*БН/2, БН=2R. Получаем ПАБСД = (БС+АД)*R, отсюда следует, что R = ПАБСД/(БС+АД).

Все формулы средней линии трапеции

Теперь пора перейти к последнему элементу данной геометрической фигуры. Разберемся, чему равна средняя линия трапеции (М):

1. Через основания: М = (А+Б)/2.

2. Через высоту, основание и углы:

М = А-Н*(ctgα+ctgβ)/2;

М = Б+Н*(ctgα+ctgβ)/2.

3. Через высоту, диагонали и угол между ними. К примеру, Д1 и Д2 - диагонали трапеции; α , β - углы между ними:

М = Д1*Д2*sinα/2Н = Д1*Д2*sinβ/2Н.

4. Через площадь и высоту: М = П/Н.