Гамма-излучения представляют собой электромагнитные колебания очень большой частоты, распространяющиеся в пространстве со скоростью света. Эти излучения испускаются ядром в виде отдельных порций, называемых гамма-квантами или фотонами.

Энергия гамма-квантов лежит в пределах от 0,05 до 5 МэВ. Гамма-излучение с энергией менее 1 МэВ условно называют мягким излучением, а с энергией более 1 МэВ - жестким излучением.

Гамма-излучение не является самостоятельным видом излучения. Обычно гамма-излучение сопровождает бета-распад, реже альфа-распад. Выбрасывая альфа- или бета-частицы, ядро освобождается от избытка энергии, но может оставаться еще в возбужденном состоянии. Переход из возбужденного состояния в основное сопровождается излучением гамма-квантов, состав ядра при этом не изменяется.

В воздухе гамма-лучи распространяются на большие расстояния, измеряе­мые десятками и сотнями метров.

Проникающая способность гамма-лучей в 50-100 раз больше проникающей способности бета-частиц и в тысячи раз больше проникающей способности аль­фа-частиц.

Ионизация среды при прохождении через нее гамма-лучей производите: только вторичными электронами, которые возникают в результате взаимодействия гамма-квантов с атомами вещества. Ионизирующая способность гамма квантов определяется их энергией. В общем один гамма-квант дает столько и пар ионов, сколько их образует бета- или альфа- частица той же энергии. Однако вследствие меньшей поглощаемости гамма-лучей образуемые ими ионы распре­деляются на большем расстоянии. Поэтому удельная ионизирующая способ­ность гамма-квантов в сотни раз меньше удельной ионизирующей способности бета-частиц, в тысячи раз меньше удельной ионизирующей способности альфа-частиц и составляет в воздухе несколько пар ионов на 1 см пути.

Вывод . Гамма-излучения обладают наибольшей проникающей способно­стью по сравнению с проникающей способностью остальных видов радиоактив­ных излучений. В то же время гамма-излучения обладают очень малой удельной ионизирующей способностью, составляющей в воздухе несколько пар ионов на 1 см пути гамма-квантов.

Нейтронное излучение и его основные свойства

Нейтронное излучение является корпускулярным излучением, возникаю­щим в процессе деления или синтеза ядер.

Нейтроны оказывают сильное поражающее действие, так как они, не имея электрического заряда, легко проникают в ядра атомов, из которых состоят жи­вые ткани, и захватываются ими.

Более 99% общего количества нейтронов при ядерном взрыве выделяется в течение 10 -14 с. Эти нейтроны называются мгновенными. Остальная часть (около 1%) нейтронов излучается позднее некоторыми осколками деления при их бета-распаде. Эти нейтроны называются запаздывающими.

Скорость распространения нейтронов доходит до 20000 км/ч. Время, необ­ходимое для того, чтобы все нейтроны прошли расстояние от точки взрыва до места, где они представляют угрозу поражения, составляет около одной секунды после момента взрыва.

В зависимости от энергии нейтроны классифицируются следующим обра­зом:

медленные нейтроны 0-0,1 кэВ;

нейтроны промежуточных энергий 0,1-20 кэВ;

быстрые нейтроны 20 кэВ-10 МэВ;

нейтроны высоких энергий свыше 10 МэВ.

Тепловые нейтроны - нейтроны, находящиеся в тепловом равновесии с ок­ружающей средой (с энергией, не превышающей 1 эВ), включены в область мед­ленных нейтронов.

Прохождение нейтронов через вещество сопровождается ослаблением их интенсивности. Это ослабление обусловливается взаимодействием нейтронов с ядрами атомов вещества.

Рентгеновское излучение

Рентгеновские лучи возникают при бомбардировке быстрыми электронами твердых мишеней. Рентгеновская трубка представляет собой эвакуированный баллон с несколькими электродами (рис. 1.2). Нагреваемый током катод К слу­жит источником свободных электронов, испускаемых вследствие термоэлек­тронной эмиссии. Цилиндрический электрод Ц предназначен для фокусировки электронного пучка.

Мишенью является анод А, который называют также антикатодом. Его де­лают из тяжелых металлов (W, Си. Pt и т. д.). Ускорение электронов осуществля­ется высоким напряжением, создаваемым между катодом и антикатодом. Почти вся энергия электронов выделяется на антикатоде в виде теплоты (в излучение превращается лишь 1-3% энергии).

Попав в вещество антикатода, электроны испытывают сильное торможение и становятся источником электромагнитных волн.

При достаточно большой скорости электронов, кроме тормозного излуче­ния (т. е. излучения, обусловленного торможением электронов), возбуждается также характеристическое излучение (вызванное возбуждением внутренних электронных оболочек атомов антикатода).

Интенсивность рентгеновского излученя может быть измерена как по степени фотографического действия, так и по ионизации, производимой им в га­зообразных средах, в частности в воздухе. *М интенсивнее излучение, тем большую ионизацию оно производит. По механизму взаимодействия с вещест­вом рентгеновское излучения аналогично у-излучению. Длина волны рентгенов­ского излучения 10 -10 -10 -6 см, гамма-излучения -10-9 см и ниже.

В настоящее время рентгеновские лучи применяются в качестве контроль­ного средства. С помощью рентгеновских луче» контролируют качество сварки, однородность соответствующих изделий и т. п. В медицине рентгеновские лучи широко применяются для диагностики, а в некоторых случаях и в качестве средства, воздействующего на раковые клетки.

Лекция № 11 (можно сделать 2 лекции)

Экспериментально установлено, что g-излучение (см. § 255) не является самостоятельным видом радиоактивности, а только сопровождает a- и b-распады и также возникает при ядерных реакциях, при торможении заряженных частиц, их распаде и т. д. g-Спектр является линейчатым. g-Спектр - это распределение числа g-квантов по энергиям (такое же толкование b-спектра дано в §258). Дискретность g-спектра имеет принципиальное значение, так как является доказательством дискретности энергетических состояний атомных ядер.

В настоящее время твердо установлено, что g-излучение испускается дочерним (а не материнским) ядром. Дочернее ядро в момент своего образования, оказываясь возбуж денным, за время примерно 10 -13 - 10 -14 с, значительно меньшее времени жизни возбужденного атома (примерно 10 -8 с), переходит в основное состояние с испусканием g-излучения. Возвращаясь в основное состояние, возбужденное ядро может пройти через ряд промежуточных состояний, поэтому g-излучение одного и того же радиоактивного изотопа может содержать несколько групп g-квантов, отличающихся одна от другой своей энергией.

При g-излучении А и Z ядра не изменяются, поэтому оно не описывается никакими правилами смещения. g-Излучение большинства ядер является столь коротковолно вым, что его волновые свойства проявляются весьма слабо. Здесь на первый план выступают корпускулярные свойства, поэтому g-излучение рассматривают как поток частиц - g-квантов. При радиоактивных распадах различных ядер g-кванты имеют энергии от 10 кэВ до 5МэВ.

Ядро, находящееся в возбужденном состоянии, может перейти в основное состояние не только при испускании g-кванта, но и при непосредственной передаче энергии возбуждения (без предварительного испускания g-кванта) одному из электронов того же атома. При этом испускается так называемый электрон конверсии. Само явление называется внутренней конверсией. Внутренняя конверсия - процесс, конкурирующий с g-излучением.

Электронам конверсии соответствуют дискретные значения энергии, зависящей от работы выхода электрона из оболочки, из которой электрон вырывается, и от энергии Е, отдаваемой ядром при переходе из возбужденного состояния в основное. Если вся энергия Евыделяется в виде у-кванта, то частота излучения v определяется из извест ного соотношения E=hv. Бели же испускаютЛ электроны внутренней конверсии, то их энергии равны Е-А К, E-A L , ..., где А к, A L , ...- работа выхода электрона из К- и L-оболочек. Моноэнергетичность электронов конверсии позволяет отличить их от b-электронов, спектр которых непрерывен (см. § 258). Возникшее в результате вылета электрона вакантное место на внутренней оболочке атома будет заполняться электро нами с вышележащих оболочек. Поэтому внутренняя конверсия всегда сопровождается характеристическим рентгеновским излучением.

g-Кванты, обладая нулевой массой покоя, не могут замедляться в среде, поэтому при прохождении g-излучения сквозь вещество они либо поглощаются, либо рассеива ются им. g-Кванты не несут электрического заряда и тем самым не испытывают влияния кулоновских сил. При прохождении пучка у-квантов сквозь вещество их энергия не меняется, но в результате столкновений ослабляется интенсивность, изменение которой описывается экспоненциальным законом I = I 0 е - m x (I 0 и I - интенсивности g-излучения на входе и выходе слоя поглощающего вещества толщиной х, m- коэффициент поглощения). Так как g-излучение - самое проникающее излучение, то mдля многих веществ - очень малая величина; mзависит от свойств вещества и от энергии g-квантов.

g-Кванты, проходя сквозь вещество, могут взаимодействовать как с электронной оболочкой атомов вещества, так и с их ядрами. В квантовой электродинамике доказывается, что основными процессами, сопровождающими прохождение g-излучения через вещество, являются фотоэффект, комптон-эффект (комптоновское рассеяние) и образование электронно-позитронных пар.

Фотоэффект, или фотоэлектрическое поглощение g-нзлучення, - это процесс, при котором атом поглощает g-квант и испускает электрон. Так как электрон выбивается из одной из внутренних оболочек атома, то освободившееся место заполняется электронами из вышележащих оболочек, и фотоэффект сопровождается характеристическим рентгеновским излучением. Фотоэффект является преобладающим механизмом поглощения в области малых энергий g-квантов (E g < 100 кэВ). Фотоэффект может идти только на связанных электронах, так как свободный электрон не может поглотить g-квант, при этом одновременно не удовлетворяются законы сохранения энергии и импульса.

По мере увеличения энергии g-квантов (Е g » 0,5 МэВ) вероятность фотоэффекта очень мала и основным механизмом взаимодействия g-квантов с веществом является комптоновское рассеяние (см. § 206).

При Е g >1,02 МэВ = 2m е с 2 (m е - масса покоя электрона) становится возможным процесс образования электронно-позитронных пар в электрических полях ядер. Вероятность этого процесса пропорциональна Z 2 и увеличивается с ростом Е g .Поэтому при Е g » 10 МэВ основным процессом взаимодействия g-излучения в любом веществе является образование электроиво-позитронных пар.

Если энергия g-кванта превышает энергию связи нуклонов в ядре (7-8 МэВ), то в результате поглощения g-кванта может наблюдаться ядерный фотоэффект - выброс из ядра одного из нуклонов, чаще всего нейтрона.

Большая проникающая способность g-излучения используется в гамма-дефектоскопии - методе дефектоскопии, основанном на различном поглощении g-излучения при распространении его на одинаковое расстояние в разных средах. Местоположение и размеры дефектов (раковины, трещины и т. д.) определяются по различию в интенсивностях излучения, прошедшего через разные участки просвечиваемого изделия.

Воздействие g-излучения (а также других видов ионизирующего излучения) на вещество характеризуют дозой ионизирующего излучения. Различаются:

Поглощенная доза излучения - физическая величина, равная отношению энергии излучения к массе облучаемого вещества.

Единица, поглощенной дозы излучения - грей (Гр)*: 1 Гр= 1 Дж/кг - доза из лучения, при которой облученному веществу массой 1 кг передается энергия любого ионизирующего излучения 1 Дж.

Экспозиционная доза излучения - физическая величина, равная отношению суммы электрических зарядов всех ионов одного знака, созданных электронами, освобожденными в облученном воздухе (при условии полного использования ионизирующей способности электронов), к массе этого воздуха.

Единила экспозиционной дозы излучения - кулон на килограмм (Кл/кг); внеси стемной единицей является рентген (Р): 1 Р=2,58× 10 -4 Кл/кг.

Биологическая доза - величина, определяющая воздействие излучения на организм.

Единица биологической дозы - биологический эквивалент рентгена (бэр): 1 бэр - доза любого вида ионизирующего излучения, производящая такое же биоло гическое действие, как и доза рентгеновского или g-излучения в 1 Р (1 бэр= 10 -2 Дж/кг).

Гамма-излучением называется одна из коротковолновых разновидностей электромагнитных излучений. Из-за крайне малой длины волны излучения гамма диапазона обладают выраженными корпускулярными свойствами, при этом волновые свойства практически отсутствуют.

Гамма обладает мощнейшим травмирующим действием на живые организмы, и при этом его совершенно невозможно распознать органами чувств.

Оно относится к группе ионизирующих излучений, то есть способствует превращению устойчивых атомов различных веществ в ионы с положительным или отрицательным зарядом. Скорость гамма-излучения сопоставима со скоростью света. Открытие ранее неизвестных радиационных потоков было сделано в 1900 году французским учёным Вилларом.

Для названий были использованы буквы греческого алфавита. Излучение, находящееся на шкале электромагнитных излучений после рентгеновского, получило название гаммы - третьей буквы алфавита.

Следует понимать, что границы между различными видами радиации, весьма условны.

Что такое гамма-излучение

Попробуем, избегая специфической терминологии, разобраться, что такое гамма ионизирующее излучение. Любое вещество состоит из атомов, которые в свою очередь включают в себя ядро и электроны. Атом, а тем более его ядро отличаются высокой устойчивостью, поэтому для их расщепления нужны особые условия.

Если эти условия каким-то образом возникают или получены искусственно, происходит процесс ядерного распада, который сопровождается выделением большого количества энергии и элементарных частиц.

В зависимости от того, что именно выделяется в этом процессе, излучения делятся на несколько видов. Альфа, бета и нейтронное излучение отличаются выделением элементарных частиц, а рентгеновские и гамма активный луч - это поток энергии.

Хотя, на самом деле, любое излучение, в том числе и излучение в гамма-диапазоне, подобно потоку частиц. В случае этого излучения частицами потока являются фотоны или кварки.

По законам квантовой физики, чем меньше длина волны, тем более высокой энергией обладают кванты излучения.

Так как длина волны гамма лучей очень мала, то можно утверждать, что энергия гамма излучения чрезвычайно велика.

Возникновение гамма-излучения

Источниками излучения в гамма-диапазоне являются различные процессы. Во вселенной существуют объекты, в которых происходят реакции. Результатом этих реакций является космическое гамма-излучение.

Основные источники гамма-лучей - это квазары и пульсары. Ядерные реакции с массивным выделением энергии и гамма-излучения также происходят в процессе преобразования звезды в сверхновую.

Гамма электромагнитное излучение возникает при различных переходах в области атомной электронной оболочки, а также при распаде ядер некоторых элементов. Среди источников гамма-лучей можно также назвать определённую среду с сильным магнитным полем, где элементарные частицы тормозятся сопротивлением этой среды.

Опасность гамма-лучей

В силу своих свойств радиация гамма-спектра обладает очень высокой проникающей способностью. Чтобы её задержать, нужна свинцовая стена толщиной не менее пяти сантиметров.

Кожные покровы и прочие защитные механизмы живого существа не являются препятствием гамма-излучению. Оно проникает прямо в клетки, оказывая разрушительное воздействие на все структуры. Облучённые молекулы и атомы вещества сами становятся источником излучения и провоцируют ионизацию других частиц.

В результате этого процесса из одних веществ получаются другие. Из них составляются новые клетки с другим геномом. Ненужные при строительстве новых клеток остатки старых структур становятся токсинами для организма.

Наибольшая опасность радиационных лучей для живых организмов, получивших дозу радиации, в том, что они не способны ощущать наличие в пространстве этой смертельной волны. А также в том, что у живых клеток нет никакой специфической защиты от разрушительной энергии, которую несёт гамма ионизирующее излучение. Наибольшее влияние этот вид радиации оказывает на состояние половых клеток, несущих молекулы ДНК.

Разные клетки организма по-разному ведут себя в гамма-лучах, и обладают разной степенью устойчивости к воздействию этого вида энергии. Однако ещё одним свойством гамма-излучения является кумулятивная способность.

Однократное облучение небольшой дозой не наносит непоправимого разрушительного воздействия на живую клетку. Именно поэтому радиационным излучениям нашлось применение в науке, медицине, промышленности и других областях человеческой деятельности.

Области применения гамма-лучей

Даже смертоносным лучам пытливые умы учёных нашли сферы применения. В настоящее время гамма-излучение используется в различных отраслях промышленности, идут на благо науки, а также успешно применяются в различных медицинских приборах.

Способность изменять структуру атомов и молекул оказалась на благо при лечении тяжёлых заболеваний, разрушающих организм на клеточном уровне.

Для лечения онкологических новообразований гамма-лучи незаменимы, так как способны разрушить аномальные клетки, и прекратить их стремительное деление. Иногда остановить аномальный рост раковых клеток невозможно ничем, тогда на помощь приходит гамма-излучение, где клетки уничтожаются полностью.

Применяется гамма ионизирующее излучение для уничтожения патогенной микрофлоры и различных потенциально опасных загрязнений. В радиоактивных лучах стерилизуют медицинские инструменты и приборы. Также данный вид радиации применяется для обеззараживания некоторых продуктов.

Гамма-лучами просвечивают различные цельнометаллические изделия для космической и других отраслей промышленности с целью обнаружения скрытых дефектов. В тех областях производства, где необходим предельный контроль за качеством изделий, этот вид проверки просто незаменим.

При помощи гамма-лучей учёные измеряют глубину бурения, получают данные о возможности залегания различных пород. Гамма-лучи могут быть использованы и в селекции. Строго дозированным потоком облучаются определённые отобранные растения, чтобы получить нужные мутации в их геноме. Таким способом селекционеры получают новые породы растений с нужными им свойствами.

С помощью гамма-потока определяются скорости космических аппаратов и искусственных спутников. Посылая лучи в космическое пространство, учёные могут определить расстояние и смоделировать путь космического аппарата.

Способы защиты

Земля обладает естественным механизмом защиты от космической радиации, это озоновый слой и верхние слои атмосферы.

Те лучи, которые, обладая огромными скоростями, проникают в защищённое пространство земли, не причиняют большого вреда живым существам. Наибольшую опасность представляют источники и гамма-радиация, полученная в земных условиях.

Самым главным источником опасности радиационного заражения остаются предприятия, где под контролем человека осуществляется контролируемая ядерная реакция. Это атомные электростанции, где производится энергия для обеспечения населения и промышленности светом и теплом.

Для обеспечения работников этих объектов принимаются самые серьёзные меры. Трагедии, произошедшие в разных точках мира, из-за утраты человеком контроля за ядерной реакцией, научили людей быть осторожными с невидимым врагом.

Защита работников электростанций

На предприятиях ядерной энергетики и производствах, связанных с использованием гамма-излучения, строго ограничивается время контакта с источником радиационной опасности.

Все сотрудники, имеющие служебную необходимость контактировать или находиться вблизи источника гамма-излучения, используют специальные защитные костюмы и проходят несколько ступеней очистки перед тем, как вернуться в «чистую» зону.

Для эффективной защиты от гамма-лучей используются материалы, обладающие высокой прочностью. К ним относятся свинец, высокопрочный бетон, свинцовое стекло, определённые виды стали. Эти материалы применяются в сооружении защитных контуров электростанций.

Элементы из этих материалов используются при создании противорадиационных костюмов для сотрудников электростанций, имеющих допуск к источникам радиации.

В так называемой «горячей» зоне свинец нагрузки не выдерживает, так как его температура плавления недостаточно высока. В области, где протекает термоядерная реакция с выделением высоких температур, используются дорогие редкоземельные металлы, например вольфрам и тантал.

Все люди, имеющие дело с гамма-излучением, обеспечиваются индивидуальными измерительными приборами.

Ввиду отсутствия естественной чувствительности к радиации, человек может воспользоваться дозиметром, чтобы определить, какую дозу радиации он получил за определённый период.

Нормальной считается доза, не превышающая 18-20 микрорентген в час. Ничего особенно страшного не произойдёт при облучении дозой до 100 микрорентген. Если человек получил такую дозу, могут проявиться последствия через две недели.

При получении дозы в 600 рентген человеку грозит смерть в 95% случаев в течение двух недель. Доза в 700 рентген смертельна в 100% случаев.

Из всех видов радиации именно гамма-лучи несут наибольшую опасность для человека. К сожалению, вероятность радиационного заражения существует для каждого. Даже находясь вдали от промышленных предприятий, производящих энергию посредством расщепления атомного ядра, можно подвергнуться опасности облучения.

История знает примеры таких трагедий.

Пояснительная записка к курсовой работе выполнена в объёме 36 листов. Она содержит таблицу значений гамма-функции при некоторых значениях переменных и тексты программ для вычисления значений Гамма-функции и для построения графика, а также 2 рисунка.

Для написания курсовой работы было использовано 7 источников.

Введение

Выделяют особый класс функций, представимых в виде собственого либо несобственого интеграла, который зависит не только от формальной переменной, а и от параметра.

Такие функции называются интегралами зависящими от параметра. К их числу относятся гамма и бета функции Эйлера.

Бета функции представимы интегралом Эйлера первого рода:

Гамма функция представляется интегралом Эйлера второго рода:

Гамма-функция относится к числу самых простых и значимых специальных функций, знание свойств которой необходимо для изучения многих других специальных функций, например, цилиндрических, гипергеометрических и других.

Благодаря её введению значительно расширяются наши возможности при вычислении интегралов. Даже в случаях, когда конечная формула не содержит иных функций, кроме элементарных, получение её всё же часто облегчает использование функции Г, хотя бы в промежуточных выкладках.

Эйлеровы интегралы представляют собой хорошо изученные неэлементарные функции. Задача считается решённой, если она приводится к вычислению эйлеровых интегралов.

1. Бэта-функци я Эйлера

Бэта – функции определяются интегралом Эйлера первого рода:

=(1.1)

Он представляет функцию от двух переменных параметров

и : функцию B . Если эти параметры удовлетворяют условиям и ,то интеграл (1.1) будет несобственным интегралом, зависящим от параметров и ,причём особыми точками этого интеграла будут точки и

Интеграл (1.1) сходятся при

.Полагая получим: = - =

т.e. аргумент

и входят в симметрично. Принимая во внимание тождество

по формуле интегрирования почестям имеем

Откуда получаем

=

При целом b = n последовательно применяя (1.2)

при целых

= m,= n, имеем

но B(1,1) = 1,следовательно:

Положим в (1.1)

.Так как график функции симметрична относительно прямой ,то

и в результате подстановки

, получаем

полагая в(1.1)

,откуда , получим

разделяя интеграл на два в пределах от 0 до 1 и от 1 до

и применение ко второму интегралу подстановки ,получим

2. Гамма-функция

2.1 Определение

Восклицательный знак в математических трудах обычно означает взятие факториала какого-либо целого неотрицательного числа:

n! = 1·2·3·...·n.

Функцию факториал можно еще записать в виде рекурсионного соотношения:

(n+1)! = (n+1)·n!.

Это соотношение можно рассматривать не только при целых значениях n.

Рассмотрим разностное уравнение

Несмотря на простую форму записи, в элементарных функциях это уравнение не решается. Его решение называется гамма-функцией. Гамма-функцию можно записать в виде ряда или в виде интеграла. Для изучения глобальных свойств гамма-функции обычно пользуются интегральным представлением.

2.2 Интегральное представление

Перейдем к решению этого уравнения. Будем искать решение в виде интеграла Лапласа:

В этом случае правая часть уравнения (2.1) может быть записана в виде:

Эта формула справедлива, если существуют пределы для внеинтегрального члена. Заранее нам не известно поведение образа [(G)\tilde](p) при p®±¥. Предположим, что образ гамма-функции таков, что внеинтегральное слагаемое равно нулю. После того, как будет найдено решение, надо будет проверить, верно ли предположение о внеинтегральном слагаемом, иначе придется искать G(z) как-нибудь по-другому.

Область определения гамма-функции Г(ж) В интеграле (1) имеются особенности двух типов: 1) интегрирование по полупрямой 2) в точке подынтегральная функция обращается в бесконечность. Чтобы разделить эти особенности, представим функцию Г(ж) в виде суммы двух интегралов Гамма-функцией называется интеграл Область определения гамма-функции Некоторые свойства гамма-функции Бета-функция и ее свойства Область определения бета-функции Применение интегралов Эйлера в вычислении определенных интегралов и рассмотрим каждый из них отдельно. Так как то интеграл сходится при (по признаку сравнения). Интеграл сходится при любом х. В самом деле, взяв произвольное, получим, что при любом х При интеграл сходится, следовательно, интеграл сходится при любом x. Тем самым, сходится при и мы доказал и, что областью определения гамма-функции Г(ж) является полупрямая Покажем, что интеграл (1) сходится равномерно по х на любом отрезке Пусть. Тогда при имеем Интегралы в правых частях формул (2) и (3) сходятся, а по признаку Вейерштрасса равномерно сходятся интегралы, стоящие в левых частях неравенств (2) и (3). Следовательно, в силу равенства получаем равномерную сходимость Г(х) на любом отрезке [с, й],где. Из равномерной сходимости Г(ж) вытекает непрерывность этой функции при Некоторые свойства гамма-функции 1. (гамма-функция при х > 0 не имеет нулей). 2. При любом х > 0 имеет место формула приведения для гамма-функции 3. При х = п имеет место формула При х = 1 имеем Пользуясь формулой (4), получим Применяя формулу п раз, при получаем 4. Кривая у = Г(х) выпукла вниз. В самом деле, Отсюда следует, что производная на полупрямой может иметь только один нуль. А так как, то по теореме Ролля этот нуль х0 производной Г"(х) существует и лежит в интервале (1,2). Поскольку, то в точке х0 функция Г(х) имеет минимум. Можно показать, что на (0, +оо) функция Г(х) дифференцируема любое число раз. Из формулы ибо непрерывна и при 6. Формула дополнения. График гамма-функции имеет вид, изображенный на рис. 4. § 4. Бета-функция и ее свойства Бета-функцией называется интеграл зависящий от параметров 4.1. Область определения бета-функции В(х) Подынтегральная функция при имеет две особые точки Для отыскания области определения представим интеграл (7) в виде суммы двух интегралов первый из которых (при) имеет особую точку, а второй (при - особую точку t = 1. Интеграл - несобственный интеграл 2-го рода. Он сходится при условии, что при, а инте!рал Гамма-функцией называется интеграл Область определения гамма-функции Некоторые свойства гамма-функции Бета-функция и ее свойства Область определения бета-функции Применение интегралов Эйлера в вычислении определенных интегралов сходится при Тем самым, бета-функция В(х} у) определена для всех положительных значений хну. Можно доказать, что интеграл (7) равномерно сходится в каждой области х^а>0, У>Ь>Оу так что бета-функция непрерывна при Некоторые свойства бета-функции 1. При справедлива формула Бета-функция является симметричной относительно хну, Это следует из формулы (9). §5. Применение интегралов Эйлера в вычислении определенных интегралов Рассмотрим несколько примеров. Пример 1. Вычислить интеграл 4 Введем замену получаем Поэтому Пример 2. Вычислить интеграл Положим, тогда, пределы интегрирования остаются прежними, так что заданный интеграл сводится к бета-функции: Пример 3. Исходя из равенства вычислить интеграл Здесь мы воспользовались определением бета-функции и формулами Упражнения Вычислите пределы: Найдите производные F"(y) для следующих функций: о. Исходя из равенства. вычислите интеграл 7. Используя равенство, путем дифференцирования по параметру получите следующую формулу: 8. Докажите, что интеграл РавномеРно сходится по у на всей вещественной оси. 7 dx 9. Докажи те, что интеграл сходится равномерно по параметру s на любом отрезке 10. Используя равенство вычислите путем дифференцирования по параметру интеграл С помощью Эйлеровых интегралов вычислите следующие интегралы: Выразите через Эйлеровы интегралы: Гамма-функцией называется интеграл Область определения гамма-функции Некоторые свойства гамма-функции Бета-функция и ее свойства Область определения бета-функции Применение интегралов Эйлера в вычислении определенных интегралов целое положительное) Докажем, что интеграл равномерно сходится на всей вещественной оси: 1) имеет место соотношение всякого в качестве Л(е), упоминаемого в определении несобственного интеграла, равномерно сходящегося по параметру у, можно взять При В > А будем иметь Докажем, что интеграл /(«) = / равномерно сходится при а Так как при О 1 и интеграл сходится, то по достаточному признаку Вейерштрасса заключаем, чгто данный интеграл рав- номерно сходится. 10. Имеем Дифференцируя п раз о

Предыдущая статья: Чему равна скорость света Следующая статья: Углерод — характеристика элемента и химические свойства