От положительного числа отнять отрицательное число. Вычитание положительных и отрицательных чисел

Как известно вычитание - это действие, противоположное сложению.

Если « a » и « b » - положительные числа, то вычесть из числа « a » число « b », значит найти такое число « c », которое при сложении « с » числом « b » даёт число « a ».

Определение вычитания сохраняется для всех рациональных чисел. То есть вычитание положительных и отрицательных чисел можно заменить сложением.

Чтобы из одного числа вычесть другое, нужно к уменьшаемому прибавить число противоположное вычитаемому.

Или по другому можно сказать, что вычитание числа « b » - это тоже самое сложение, но с числом противоположным числу « b ».

Стоит запомнить выражения ниже.

Правила вычитания отрицательных чисел

Как видно из примеров выше вычитание числа « b » - это сложение с числом противоположным числу « b ».

Это правило сохраняется не только при вычитании из бóльшего числа меньшего, но и позволяет из меньшего числа вычесть большее число, то есть всегда можно найти разность двух чисел.

Разность может быть положительным числом, отрицательным числом или числом ноль.

Примеры вычитания отрицательных и положительных чисел .

Удобно запомнить правило знаков , которое позволяет уменьшить количество скобок.

Знак «плюс» не изменяет знака числа, поэтому, если перед скобкой стоит плюс, то знак в скобках не меняется.

Знак «минус» перед скобками меняет знак числа в скобках на противоположный.

Из равенств видно, что если перед и внутри скобок стоят одинаковые знаки, то получаем « + », а если знаки разные, то получаем « − ».

Правило знаков сохраняется и в том случае, если в скобках не одно число, а алгебраическая сумма чисел.

Обратите внимание, если в скобках стоит несколько чисел и перед скобками стоит знак «минус», то должны меняться знаки перед всеми числами в этих скобках.

Чтобы запомнить правило знаков можно составить таблицу определения знаков числа.

Деление отрицательных чисел

Как выполнять деление отрицательных чисел легко понять, вспомнив, что деление - это действие, обратное умножению.

Если « a » и « b » положительные числа, то разделить число « a » на число « b », значит найти такое число « с », которое при умножении на « b » даёт число « a ».

Данное определение деления действует для любых рациональных чисел, если делители отличны от нуля.

Поэтому, например, разделить число « −15 » на число 5 - значит, найти такое число, которое при умножении на число 5 даёт число « −15 ». Таким числом будет « −3 », так как

Примеры деления рациональных чисел .

1. 10: 5 = 2 , так как 12 · 5 = 10
2. (−4) : (−2) = 2 , так как 2 · (−2) = −4
3. (−18) : 3 = −6 , так как (−6) · 3 = −18
4. 12: (−4) = −3 , так как (−3) · (−4) = 12

Из примеров видно, что частное двух чисел с одинаковыми знаками - число положительное (примеры 1, 2), а частное двух чисел с разными знаками- число отрицательное (примеры 3, 4).

Правила деления отрицательных чисел

Чтобы найти модуль частного, нужно разделить модуль делимого на модуль делителя.

Итак, чтобы разделить два числа с одинаковыми знаками , надо:

Примеры деления чисел с одинаковыми знаками:

Чтобы разделить два числа с разными знаками , надо:

Примеры деления чисел с разными знаками:

Для определения знака частного можно также пользоваться следующей таблицей.

Правило знаков при делении

При вычислении «длинных» выражений, в которых фигурируют только умножение и деление, пользоваться правилом знаков очень удобно. Например, для вычисления дроби

Можно обратить внимание, что в числителе два знака «минус», которые при умножении дадут «плюс». Также в знаменателе три знака «минус», которые при умножении дадут «минус». Поэтому в конце результат получится со знаком «минус».

Сокращение дроби (дальнейшие действия с модулями чисел) выполняется также, как и раньше:

Частное от деления нуля на число, отличное от нуля, равно нулю.

Делить на ноль НЕЛЬЗЯ!

Все известные ранее правила деления на единицу действуют и на множество рациональных чисел.

Где « а » - любое рациональное число.

Зависимости между результатами умножения и деления, известные для положительных чисел, сохраняются и для всех рациональных чисел (кроме числа нуль):

Данные зависимости используются для нахождения неизвестного множителя, делимого и делителя (при решении уравнений), а также для проверки результатов умножения и деления.

Пример нахождения неизвестного.

Знак «минус» в дробях

Разделим число « −5 » на « 6 » и число « 5 » на « −6 ».

Напоминаем, что черта в записи обыкновенной дроби - это тот же знак деления, поэтому можно записать частное каждого из этих действий в виде отрицательной дроби.

Таким образом знак «минус» в дроби может находиться:

• перед дробью;
• в числителе;
• в знаменателе.



При записи отрицательных дробей знак «минус» можно ставить перед дробью, переносить его из числителя в знаменатель или из знаменателя в числитель.

Это часто используется при выполнении действий с дробями, облегчая вычисления.

Пример. Обратите внимание, что после вынесения знака «минуса» перед скобкой мы из большего модуля вычитаем меньший по правилам сложения чисел с разными знаками.





Используя описанное свойство переноса знака в дроби, можно действовать, не выясняя, модуль какого из данных дробных чисел больше.

Доли, обыкновенные дроби, определения, обозначения, примеры, действия с дробями.

Эта статья про обыкновенные дроби . Здесь мы познакомимся с понятием доли целого, которое приведет нас к определению обыкновенной дроби. Дальше остановимся на принятых обозначениях для обыкновенных дробей и приведем примеры дробей, скажем про числитель и знаменатель дроби. После этого дадим определения правильных и неправильных, положительных и отрицательных дробей, а также рассмотрим положение дробных чисел на координатном луче. В заключение перечислим основные действия с дробями.

Навигация по странице.

Доли целого

Сначала введем понятие доли .

Предположим, что у нас есть некоторый предмет, составленный из нескольких абсолютно одинаковых (то есть, равных) частей. Для наглядности можно представить, например, яблоко, разрезанное на несколько равных частей, или апельсин, состоящий из нескольких равных долек. Каждую из этих равных частей, составляющих целый предмет, называют долей целого или просто долей .

Заметим, что доли бывают разные. Поясним это. Пусть у нас есть два яблока. Разрежем первое яблоко на две равные части, а второе – на 6 равных частей. Понятно, что доля первого яблока будет отличаться от доли второго яблока.

В зависимости от количества долей, составляющих целый предмет, эти доли имеют свои названия. Разберем названия долей . Если предмет составляют две доли, любая из них называется одна вторая доля целого предмета; если предмет составляют три доли, то любая из них называется одна третья доля, и так далее.

Одна вторая доля имеет специальное название – половина . Одна третья доля называется третью , а одна четверная доля – четвертью .

Для краткости записи были введены следующие обозначения долей . Одну вторую долю обозначают как или 1/2 , одну третью долю – как или 1/3 ; одну четвертую долю – как или 1/4 , и так далее. Отметим, что запись с горизонтальной чертой употребляется чаще. Для закрепления материала приведем еще один пример: запись обозначает одну сто шестьдесят седьмую долю целого.

Понятие доли естественным образом распространяется с предметов на величины. Например, одной из мер измерения длины является метр. Для измерения длин меньших, чем метр, можно использовать доли метра. Так можно воспользоваться, например, половиной метра или десятой или тысячной долей метра. Аналогично применяются доли других величин.

Обыкновенные дроби, определение и примеры дробей

Для описания количества долей используются обыкновенные дроби . Приведем пример, который позволит нам подойти к определению обыкновенных дробей.

Пусть апельсин состоит из 12 долей. Каждая доля в этом случае представляет одну двенадцатую долю целого апельсина, то есть, . Две доли обозначим как , три доли – как , и так далее, 12 долей обозначим как . Каждую из приведенных записей называют обыкновенной дробью.

Теперь дадим общее определение обыкновенных дробей .

Обыкновенные дроби – это записи вида (или m/n), где m и n – любые натуральные числа.

Озвученное определение обыкновенных дробей позволяет привести примеры обыкновенных дробей : 5/10 , , 21/1 , 9/4 , . А вот записи не подходят под озвученное определение обыкновенных дробей, то есть, не являются обыкновенными дробями.

Числитель и знаменатель

Для удобства в обыкновенной дроби различают числитель и знаменатель .

Числитель обыкновенной дроби (m/n) – это натуральное число m .

Знаменатель обыкновенной дроби (m/n) – это натуральное число n .

Итак, числитель расположен сверху над чертой дроби (слева от наклонной черты), а знаменатель – снизу под чертой дроби (справа от наклонной черты). Для примера приведем обыкновенную дробь 17/29 , числителем этой дроби является число 17 , а знаменателем – число 29 .

Осталось обговорить смысл, заключенный в числителе и знаменателе обыкновенной дроби. Знаменатель дроби показывает, из скольких долей состоит один предмет, числитель в свою очередь указывает количество таких долей. Например, знаменатель 5 дроби 12/5 означает, что один предмет состоит из пяти долей, а числитель 12 означает, что взято 12 таких долей.

Натуральное число как дробь со знаменателем 1

Знаменатель обыкновенной дроби может быть равен единице. В этом случае можно считать, что предмет неделим, иными словами, представляет собой нечто целое. Числитель такой дроби указывает, сколько целых предметов взято. Таким образом, обыкновенная дробь вида m/1 имеет смысл натурального числа m . Так мы обосновали справедливость равенства m/1=m .

Перепишем последнее равенство так: m=m/1 . Это равенство дает нам возможность любое натуральное число m представлять в виде обыкновенной дроби. Например, число 4 – это дробь 4/1 , а число 103 498 равно дроби 103 498/1 .

Итак, любое натуральное число m можно представить в виде обыкновенной дроби со знаменателем 1 как m/1 , а любую обыкновенную дробь вида m/1 можно заменить натуральным числом m .

Черта дроби как знак деления

Представление исходного предмета в виде n долей представляет собой не что иное как деление на n равных частей. После того как предмет разделен на n долей, мы его можем разделить поровну между n людьми – каждый получит по одной доле.

Если же у нас есть изначально m одинаковых предметов, каждый из которых разделен на n долей, то эти m предметов мы можем поровну разделить между n людьми, раздав каждому человеку по одной доле от каждого из m предметов. При этом у каждого человека будет m долей 1/n , а m долей 1/n дает обыкновенную дробь m/n . Таким образом, обыкновенную дробь m/n можно применять для обозначения деления m предметов между n людьми.

Так мы получили явную связь между обыкновенными дробями и делением (смотрите общее представление о делении натуральных чисел). Эта связь выражается в следующем: черту дроби можно понимать как знак деления, то есть, m/n=m:n .

С помощью обыкновенной дроби можно записать результат деления двух натуральных чисел, для которых не выполняется деление нацело. Например, результат деления 5 яблок на 8 человек можно записать как 5/8 , то есть, каждому достанется пять восьмых долей яблока: 5:8=5/8 .

Равные и неравные обыкновенные дроби, сравнение дробей

Достаточно естественным действием является сравнение обыкновенных дробей , ведь понятно, что 1/12 апельсина отличается от 5/12 , а 1/6 доля яблока такая же, как другая 1/6 доля этого яблока.

В результате сравнения двух обыкновенных дробей получается один из результатов: дроби либо равны, либо не равны. В первом случае мы имеем равные обыкновенные дроби , а во втором – неравные обыкновенные дроби . Дадим определение равных и неравных обыкновенных дробей.

Две обыкновенные дроби a/b и c/d равны , если справедливо равенство a·d=b·c .

www.cleverstudents.ru

Урок 3. Как работает компьютер

Для успешного «общения» с компьютером вредно воспринимать его как черный ящик, который вот-вот выдаст что-то неожиданное. Чтобы понимать реакцию компьютера на Ваши действия, нужно знать как он устроен и как работает .

В этом IT-уроке узнаем, как работает большинство вычислительных устройств (к которым относятся не только персональные компьютеры).

Во втором уроке мы разобрались, что компьютер нужен для обработки информации, её хранения и передачи. Посмотрим же, как происходит обработка информации.

Как хранится информация на компьютере

Компьютер хранит, передаёт и обрабатывает информацию в виде нолей «0» и единиц «1» , то есть используется двоичный код и двоичная система счисления.

Например, десятичное число «9 » он видит как двоичное число «1001 ».

В виде нолей и единиц хранятся и все данные , которые необходимо обработать, и все программы , которые руководят процессом обработки.

Например, фотографию компьютер видит так (только первые две строчки файла из 527 строк):

Так человек видит изображение:

Компьютер видит набор «0» и «1»

(первые две строчки файла):



А текст для компьютера выглядит так:

Человек видит текст:

Компьютер опять видит набор «0» и «1»:

Сегодня мы не будем разбираться в тонкостях вычислений и преобразований, посмотрим на процесс в общем.

Где хранится информация

Когда информация занесена в компьютер (записана), то она хранится на специальном устройстве – накопителе данных . Обычно накопитель данных – это жесткий диск (винчестер ).

Жестким диском это устройство называется из-за конструкции. Внутри его корпуса находится один или несколько твердых блинов (металлических или стеклянных), на которых и хранятся все данные (текстовые документы, фотографии, фильмы и т.д.) и установленные программы (операционная система, прикладные программы, как Word, Excel, и др.).



Жесткий диск (накопитель данных) хранит программы и данные

Информация на жестком диске хранится и после выключения компьютера.

Подробнее об устройстве жесткого диска мы узнаем в одном из следующих IT-уроков.

Что обрабатывает всю информацию в компьютере

Основная задача компьютера – обрабатывать информацию , то есть выполнять вычисления. Большую часть вычислений выполняет специальное устройство – процессор . Это сложная микросхема, содержащая сотни миллионов элементов (транзисторов).



Процессор – обрабатывает информацию

Что в данный момент времени делать процессору говорит программа, она указывает, какие данные необходимо обработать и что с ними нужно сделать.



Схема обработки данных

Программы и данные загружаются с накопителя (жесткого диска).

Но жесткий диск – относительно медленное устройство , и если бы процессор ждал, пока будет считываться информация, а потом записываться после обработки обратно, то он бы долго оставался без дела.

Не оставим процессор без дела

Поэтому между процессором и жестким диском установили более быстрое запоминающее устройство – оперативную память (оперативное запоминающее устройство, ОЗУ). Это небольшая печатная плата, на которой находятся быстрые микросхемы памяти.



Оперативная память – ускоряет доступ процессора к программам и данным

В оперативную память заранее считываются с жёсткого диска все необходимые программы и данные. Во время работы процессор обращается к оперативной памяти , считывает команды программы, которая говорит какие данные нужно взять и как именно их обработать.

При выключении компьютера содержимое оперативной памяти не сохраняется в ней (в отличие от жесткого диска).

Процесс обработки информации

Итак, теперь мы знаем, какие устройства участвуют в обработке информации. Посмотрим теперь на весь процесс вычислений.



Анимация процесса обработки информации компьютером (IT-uroki.ru)

Когда компьютер выключен, все программы и данные хранятся на жестком диске. При включении компьютера и запуске программы , происходит следующее:

1. Программа с жесткого диска заносится в оперативную память и сообщает процессору, какие загрузить данные в оперативную память.

2. Процессор поочередно выполняет команды программы, порциями обрабатывая данные, взяв их из оперативной памяти.

3. Когда данные обработаны, результат вычислений процессор возвращает в оперативную память и берет следующую порцию данных.

4. Результат работы программы возвращается на жесткий диск и сохраняется.

Описанные шаги показаны красными стрелками на анимации (эксклюзивно от сайта IT-uroki.ru).

Ввод и вывод информации

Чтобы компьютер получил информацию для обработки, её нужно ввести. Для этого используются устройства ввода данных :

• Клавиатура (с помощью неё мы вводим текст и управляем компьютером);
• Мышь (с помощью мыши мы управляем компьютером);
• Сканер (заносим изображение в компьютер);
• Микрофон (записываем звук) и т.д.

Для вывода результата обработки информации используются устройства вывода данных :

• Монитор (выводим изображение на экран);
• Принтер (выводим текст и изображение на бумагу);
• Акустические системы или «колонки» (слушаем звуки и музыку);

Кроме того, мы можем вводить и выводить данные на другие устройства с помощью:

• Внешних накопителей (с них мы копируем уже имеющиеся данные в компьютер):
  • флэшка,
  • компакт-диск (CD или DVD),
  • переносной жесткий диск,
  • дискета;
• Компьютерной сети (получаем данные с других компьютеров через Интернет или городскую сеть).

Если в нашу схему добавить устройства ввода-вывода, то получится вот такая диаграмма:



Ввод, обработка и вывод данных

То есть компьютер работает с ноликами и единичками , а когда информация поступает на устройство вывода, она переводится в привычные нам образы (изображение, звук).

Подводим итог

Итак, сегодня мы вместе с сайтом IT-uroki.ru узнали, как работает компьютер . Если кратко, то компьютер получает данные с устройств ввода (клавиатура, мышь и т.д.), заносит их на жесткий диск, затем передает в оперативную память и обрабатывает с помощью процессора. Результат обработки возвращается сначала в оперативную память, затем либо на жесткий диск, либо сразу на устройства вывода (например, монитор).

Если появились вопросы, можно задать их в комментариях к этой статье.

Обо всех перечисленных в сегодняшнем уроке устройствах Вы можете узнать подробнее из последующих уроков на сайте IT-уроки. Чтобы не пропустить новые уроки – подпишитесь на новости сайта.

Копирование запрещено

Напомню, что на сайте IT-уроки есть постоянно обновляемые справочники:

Видео-дополнение

Сегодня небольшое познавательное видео о производстве процессоров.


it-uroki.ru

КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ

Контрольные работы — 1 класс, Моро

Темы: «Цифры: 5, 6, 7, 8, 9, 0», «Сравнение чисел», «Сложение чисел», «Вычитание чисел».

Контрольные работы во 2 классе, Петерсон

Что должны уметь ученики 1 класса по математике к концу учебного года. Итоговая контрольная работа по математике предназначена для проверки знаний, умений и навыков, полученных учениками к концу первого года обучения.

Контрольные работы для 3 класса, Моро

Темы: «Отрезок, углы», «Умножение и деление», «Решение текстовых задач», «Умножение и деление чисел на 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9», «Вычисление значений выражений», «Порядок выполнения действий», «Правила раскрытия скобок», «Вне табличное умножение и деление с числами до 100», «Окружность, круг, радиус и диаметр».

Контрольные за 4 класс по математике, Моро

Контрольные работы за все четверти на темы: «Умножение и деление чисел», «Уравнения», «Решение текстовых задач на умножение и деление», «Периметр и площадь фигур»

Контрольные по математике — 5 класс, Виленкин

Контрольные работы по учебнику Н.Я. Виленкина по темам: «Доли и дроби обыкновенные, правильные и неправильные», «Сложение и вычитание обыкновенных дробей», «Сложение и вычитание десятичных дробей», «Выражения, уравнения и решение уравнений», «Квадрат и куб числа», «Площадь, объем, формулы измерения площади и объема».

Контрольная для 6 класса, Виленкин

Контрольные работы на темы: «Пропорции», «Масштаб», «Длина окружности и площадь круга», «Координаты на прямой», «Противоположные числа», «Модуль числа», «Сравнение чисел».

Контрольные работы — 7 класс, по алгебре

Контрольные работы на темы: «»Математический язык и математическая модель», «Линейная функция», «Системы двух линейных уравнений (метод постановки и метод сложения)», «Степень с натуральным показателем и её свойства», «Одночлены», «Многочлены», «Разложение многочлена на множители», «Функция $y=x^2$».

Контрольные работы для 8 класса по алгебре по Мордковичу

Контрольные работы на темы: «Алгебраические дроби», «Функция $у=\sqrt«, «Квадратичная функция», «Квадратные уравнения», «Неравенства».

Контрольные работы для 9 класса по алгебре, Мордкович

Контрольные работы на темы: «Неравенства с одной переменной», «Системы неравенств», «Неравенства с модулями. Иррациональные неравенства», «Уравнения и неравенства с двумя переменными», «Системы уравнений: иррациональные, однородные, симметричные».

САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ



Задачи и примеры для самостоятельной работы по математике для 1 класса за 3 и 4 четверти

Темы: «Числа от 0 до 20», «Сравнение чисел», «Сложение и вычитание чисел».

Задачи и примеры для 2 класса по учебникам М.И. Моро и Л.Г. Петерсона для самостоятельной работы

Темы: «Умножение и деление», «Сложение и вычитание чисел от 1 до 100», «Скобки, порядок выполнения действий», «Отрезок, угол, прямоугольник».

Задачи и примеры для самостоятельных работ по математике по учебнику М. И. Моро для 3 класса, 3 и 4 четверти

Темы: «Отрезок, углы», «Умножение и деление»,»Решение текстовых задач».

Задачи по математике за 4 класс, примеры за 3 и 4 четверти

Темы: «Умножение и деление чисел», «Уравнения», «Решение текстовых задач на умножение и деление», «Периметр и площадь фигур».

Задачи по математике – 5 класс, примеры за 3 четверть по учебнику Н.Я. Виленкина

Темы: «Окружность и круг», «Дроби обыкновенные, десятичные и смешанные», «Сравнение дробей», «Сложение и вычитание обыкновенных и смешанных дробей».

Задачи для 6 класса для самостоятельных работ за 3 четверть

Темы: «Пропорции», «Масштаб», «Длина и площадь круга», «Координаты», «Противоположные числа», «Модуль числа», «Сравнение чисел».

Алгебра — 7 класс, самостоятельные работы по учебнику Мордковича за 1, 2, 3, 4 четверти

Темы: «Числовые и алгебраические выражения», «Математический язык и математическая модель», «Линейное уравнение с одной переменной», «Координатная прямая и плоскость», «Линейные уравнения с двумя переменными», «Линейная функция и ее график».

ЗАДАНИЯ ДЛЯ ДОМАШНИХ РАБОТ



Домашние задания по математике для 1 класса, 3 и 4 четверти

Темы: «Числа: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10», «Сравнение», «Сложение и вычитание», «Решение текстовых задач».

Домашние задания по математике для 2 класса за 3 и 4 четверти

Темы: «Сложение и вычитание», «Решение текстовых задач», «Умножение и деление».

Домашние задания по математике по учебнику М. И. Моро для 3 класса за 3 и 4 четверти

Темы: «Умножение и деление чисел от 0 до 100», «Решение текстовых задач».

Задания по математике для 4 класс за 3 и 4 четверти

Задания по учебнику Моро на темы: «Умножение и деление чисел», «Уравнения», «Решение текстовых задач на умножение и деление», «Периметр и площадь фигур».

Задания по математике — 5 класс, за 3 четверть по учебнику Н. Я. Виленкина

Темы: «Окружность и круг. Обыкновенные дроби», «Сравнение дробей», «Сложение и вычитание десятичных дробей», «Округление чисел».

Задания по математике для 6 класса за 3 четверть

Темы: «Делители и кратные», «Признаки делимости», «Наибольший общий делитель», «Наибольшее общее кратное», «Свойство дробей», «Сокращение дробей», «Действия с дробями: сложение, вычитание, сравнение».

Задания по алгебре для 7 класса по учебнику Мордковича за 1, 2, 3, 4 четверти

Темы: «Числовые и алгебраические выражения», «Математический язык и математическая модель», «Системы двух линейных уравнений с двумя переменными», «Степень с натуральным показателем и её свойства», «Одночлены, операции над одночленами – сложение, вычитание, умножение, возведение в степень», «Умножение одночленов», «Возведение одночлена в натуральную степень», «Деление одночлена на одночлен».

Запомните

Чтобы сложить отрицательные числа ,нужно сложить их модули и

поставить перед суммой знак минус.

Пример. (−3,2) + (−4,3) = − (3,2 + 4,3) = −7,5

Сложение чисел с разными знаками

Если числа имеют разные знаки, то действуем несколько по-иному, чем при сложении чисел с одинаковыми знаками.

· Отбрасываем знаки перед числами, то есть берём их модули.

· Из большего модуля вычитаем меньший.

· Перед разностью ставим тот знак, который был у числа с большим модулем.

Пример сложения отрицательного и положительного числа .



0,3 + (−0,8) = −(0,8 − 0,3) = −0,5

Пример сложения смешанных чисел.

Запомните

Чтобы сложить числа с разными знаками надо:

· из большего модуля вычесть меньший модуль;

· перед полученной разностью поставить знак числа, имеющего больший модуль.

БИЛЕТ №19

Умножение и деление положительных и отрицательных чисел.

Умножение чисел с одинаковыми знаками

Запомните

Чтобы умножить два числа с одинаковыми знаками надо :

· перемножить модули чисел;

· перед полученным произведением поставить знак «+» (при записи ответа знак «плюс» перед первым числом слева можно опускать).

(−3) · (−6) = + 18 = 18

Умножение чисел с разными знаками

Запомните

Чтобы умножить два числа с разными знаками, надо :

· перемножить модули чисел;

· перед полученным произведением поставить знак «−».

Примеры умножения отрицательных и положительных чисел.

· (−0,3) · 0,5 = −0,15

· 1,2 · (−7) = −8,4

Правила знаков для умножения

Запомнить правило знаков для умножения очень просто. Данное правило совпадает с

правилом раскрытия скобок.

умножение, знак произведения можно определять по количеству отрицательных множителей. При чётном числе отрицательных множителей результат будет положительным, а при

нечётном количестве - отрицательным.

(−6) · (−3) · (−4) · (−2) · 12 · (−1) =

В примере пять отрицательных множителей. Значит, знак результата будет «минус». Теперь вычислим произведение модулей, не обращая внимание на знаки.

6 · 3 · 4 · 2 · 12 · 1 = 1728

Конечный результат умножения исходных чисел будет:

(−6) · (−3) · (−4) · (−2) · 12 · (−1) = −1728

Правила деления отрицательных чисел

Запомните

Чтобы разделить два отрицательных числа надо:

· перед результатом поставить знак «+».

Примеры деления чисел с одинаковыми знаками:

(−9) : (−3) = + 3

Запомните

Чтобы разделить два числа с разными знаками , надо:

· модуль делимого разделить на модуль делителя;

· перед результатом поставить знак «−».

Примеры деления чисел с разными знаками:

(−5) : 2 = −2,5

28: (−2) = −14

Для определения знака частного можно также пользоваться следующей таблицей.

+ : (+) =+ + : (−) =−

− : (−) =+ − : (+) =−

БИЛЕТ№20

Раскрытие скобок и заключение в скобки

Выражение а+(b+с) можно записать без скобок:

а +(b+с) = а + b + с

Эту операцию называют

раскрытием скобок.

Пример 1. Раскроем скобки в

выражении а + (- b + с).

Решение. а + (- b + с) = а + ((-b) + с) = а + (-b) + с = а - b + с.

Запомните

Если перед скобками стоит знак " + " ,то можно опустить скобки и этот знак" +", сохранив знаки слагаемых, стоящих в скобках. Если первое слагаемое в скобках записано без знака, то его надо записать со знаком " + ".

2,87 + (2,87 - 7,639) = - 2,87 + 2,87 - 7,639 = 0 - 7,639 = - 7,639.

Чтобы записать сумму, противоположную сумме нескольких слагаемых, надо изменить знаки данных слагаемых.

Правило сложения отрицательных чисел

Если вспомнить урок математики и тему «Сложение и вычитание чисел с разными знаками», то для сложения двух отрицательных чисел необходимо:

• выполнить сложение их модулей;
• дописать к полученной сумме знак «–».

Согласно правилу сложения можно записать:

$(−a)+(−b)=−(a+b)$.

Правило сложения отрицательных чисел применяется к отрицательным целым, рациональным и действительным числам.

Пример 1

Сложить отрицательные числа $−185$ и $−23 \ 789.$

Решение .

Воспользуемся правилом сложения отрицательных чисел.

Найдем модули данных чисел:

$|-23 \ 789|=23 \ 789$.

Выполним сложение полученных чисел:

$185+23 \ 789=23 \ 974$.

Поставим знак $«–»$ перед найденным числом и получим $−23 \ 974$.

Краткая запись решения: $(−185)+(−23 \ 789)=−(185+23 \ 789)=−23 \ 974$.

Ответ : $−23 \ 974$.

При сложении отрицательных рациональных чисел их необходимо преобразовать к виду натуральных чисел, обыкновенных или десятичных дробей.

Пример 2

Сложить отрицательные числа $-\frac{1}{4}$ и $−7,15$.

Решение.

Согласно правилу сложения отрицательных чисел, сначала необходимо найти сумму модулей:

$|-\frac{1}{4}|=\frac{1}{4}$;

Полученные значения удобно свести к десятичным дробям и выполнить их сложение:

$\frac{1}{4}=0,25$;

$0,25+7,15=7,40$.

Поставим перед полученным значением знак $«–»$ и получим $–7,4$.

Краткая запись решения:

$(-\frac{1}{4})+(−7,15)=−(\frac{1}{4}+7,15)=–(0,25+7,15)=−7,4$.

Для сложения положительного и отрицательного числа необходимо:

1. вычислить модули чисел;

выполнить сравнение полученных чисел:

• если они равны, то исходные числа являются противоположными и их сумма равна нулю;
• если они не равны, то нужно запомнить знак числа, у которого модуль больше;

2. из большего модуля вычесть меньший;

3. перед полученным значением поставить знак того числа, у которого модуль больше.

Сложение чисел с противоположными знаками сводится к вычитанию из большего положительного числа меньшего отрицательного числа.

Правило сложения чисел с противоположными знаками выполняется для целых, рациональных и действительных чисел.

Пример 3

Сложить числа $4$ и $−8$.

Решение.

Требуется выполнить сложение чисел с противоположными знаками. Воспользуемся соответствующим правилом сложения.

Найдем модули данных чисел:

Модуль числа $−8$ больше модуля числа $4$, т.е. запомним знак $«–»$.

Поставим знак $«–»$, который запоминали, перед полученным числом, и получим $−4.$

Краткая запись решения:

$4+(–8) = –(8–4) = –4$.

Ответ : $4+(−8)=−4$.

Для сложения рациональных чисел с противоположными знаками их удобно представить в виде обыкновенных или десятичных дробей.

Вычитание чисел с разными и отрицательными знаками

Правило вычитания отрицательных чисел:

Для вычитания из числа $a$ отрицательного числа $b$ необходимо к уменьшаемому $a$ добавить число $−b$, которое является противоположным вычитаемому $b$.

Согласно правилу вычитания можно записать:

$a−b=a+(−b)$.

Данное правило справедливо для целых, рациональных и действительных чисел. Правило можно использовать при вычитании отрицательного числа из положительного числа, из отрицательного числа и из нуля.

Пример 4

Вычесть из отрицательного числа $−28$ отрицательное число $−5$.

Решение.

Противоположное число для числа $–5$ – это число $5$.

Согласно правилу вычитания отрицательных чисел получим:

$(−28)−(−5)=(−28)+5$.

Выполним сложение чисел с противоположными знаками:

$(−28)+5=−(28−5)=−23$.

Ответ : $(−28)−(−5)=−23$.

При вычитании отрицательных дробных чисел необходимо выполнить преобразование чисел к виду обыкновенных дробей, смешанных чисел или десятичных дробей.

Сложение и вычитание чисел с разными знаками

Правило вычитания чисел с противоположными знаками совпадает с правилом вычитания отрицательных чисел.

Пример 5

Вычесть положительное число $7$ из отрицательного числа $−11$.

Решение.

Противоположное число для числа $7$ – это число $–7$.

Согласно правилу вычитания чисел с противоположными знаками получим:

$(−11)−7=(–11)+(−7)$.

Выполним сложение отрицательных чисел:

$(−11)+(–7)=−(11+7)=−18$.

Краткая запись решения: $(−28)−(−5)=(−28)+5=−(28−5)=−23$.

Ответ : $(−11)−7=−18$.

При вычитании дробных чисел с разными знаками необходимо выполнить преобразование чисел к виду обыкновенных или десятичных дробей.

В ыработка вычислительных навыков – важнейшая цель, преследуемая программами по математике с 1 по 6 класс. От того, насколько быстро и правильно ребенок научится выполнять арифметические действия, будет зависеть скорость выполнения им логических (смысловых) операции в старших класах и уровень понимания предмета в целом. Репетитор по математике довольно часто сталкивается с вычислительными проблемами учащихся, мешающими добиваться высоких результатов.

С какими только учениками не приходится работать репетитору. Родителям нужна подготовка к ЕГЭ по математике , а их чадо не может разобраться в обыкновенных дробях или путается в отрицательных числах. Какие действия должны предприниматься репетитором по математике в таких случаях? Как помочь ученику? Времени на неспешное и последовательное изучение правил у репетитора нет, поэтому традиционные методы часто приходится заменять некими искусственными «полуфабрикатами-ускорителями», если можно так выразиться. В этой статье я опишу один из возможных путей формирования навыка выполнения действий с отрицательными числами, а именно вычитания таковых.

Предположим, что репетитор по математике имеет удовольствие работать с очень слабым учеником, знания которого дальше простейших вычислений с положительными числами не распространяются. Предположим также, что репетитору удалось объяснить законы сложения и вплотную подойти к правилу a-b=a+(-b). Какие моменты должен учесть репетитор по математике?

Сведения вычитания к сложению не является простым и очевидным преобразованием. Учебники предлагают строгие и точные математические формулировки: «Чтобы из числа «а» вычесть число «b» надо к числу «а» прибавить число, противоположное к « b». Формально к тексту не придерешься, но как только он начинает применяться репетитором по математике в качестве инструкции к выполнению конкретных вычислений — возникают проблемы. Одна только фраза чего стоит: «Чтобы вычесть – надо прибавить». Без внятного комментария репетитора ученик не разберется. В самом деле, что же делать: вычитать или складывать?

Если работать с правилом согласно замыслу авторов учебника, то помимо отработки понятия «противоположное число», нужно научить школьника соотносить обозначения «а» и «b» с реальными числами в примере. А на это потребуется время. Учитывая еще и тот факт, что ученик думает и пишет одновременно, задача репетитора по математике еще большет усложняется. Хорошей зрительной, смысловой и двигательной памятью слабый ученик не обладает, а поэтому лучше предложить альтернативный текст правила:

Чтобы из первого числа вычесть второе, нужно
А) Первое число переписать
Б) Поставить плюс
B) Заменить знак второго числа на противоположный
Г) Сложить полученные числа

Здесь этапы алгоритма четко разделяются по пунктам и не привязываются к буквенным обозначениям.

По ходу решения практического задания на переводы, репетитор по математике перечитывает этот текст ученику по нескольку раз (для запоминания). Я советую записать его в теоретическую тетрадь. Только после отработки правила перехода к сложению можно записать общую форму a-b=a+(-b)

Движение знаков «минус» и «плюс» в голове ребенка (как маленького, так и слабого взрослого) в чем-то напоминает броуновское. Навести порядок в этом хаосе репетитору по математике нужно как можно быстрее. В процессе решения примеров применяются опорные подсказки (словесные и визуальные), которые в сочетании аккуратным и подробным офофрмлением делают свое дело. Нужно помнить, что каждое слово, произнесенное репетитором по математике в момент решения любой задачи несет или подсказку или помеху. Каждая фраза анализируется ребенком на предмет установления связи с теми или иным математическим объектом (явлением) и его образом на бумаге.

Типичная проблема слабых школьников — отделение знака действия от знака числа в нем участвующего. Одинаковый визуальный образ мешает распознавать уменьшаемое «a» и вычитаемое «b» в разности a-b. Когда в процессе объяснений репетитор по математике читает выражение, нужно следить за тем, чтобы вместо «-» употреблялось слово «вычесть». Это обязательно! Например, запись следует читать так: «Из минус пяти вычесть минус три». Нельзя забывать и о правиле перевода в сложение: «Чтобы из числа «а» вычесть число «b» надо … ».

Если у репетитора по математике постоянно слетит с языка «минус 5 минус минус 3», то понятно, что ученику будет труднее представить себе структуру примера. Однозначное соответствие между словом и арифметическим действием помогает репетитору по математике точно транслировать информацию.

Как репетитору объяснить переход к сложению?

Конечно, можно обратиться к определению понятия «вычесть» и искать число, которое надо прибавить к «b» для получения «а». Однако, слабый ученик мыслит далек от строгой математики и репетитору в работе с ним потребуются некие аналогии с простыми действиями. Я часто говорю своим шестиклашкам: «В математике нет такого арифметического действия, как «разность». Запись 5 – 3 является простым обозначением результата сложения 5+(-3). Знак «плюс» просто опускают и не пишут».

Дети удивляются словам репетитора и непроизвольно запоминают, что нельзя вычитать числа напрямую. Репетитор по математике объявляет 5 и -3 слагаемыми, и для большей убудительности своих слов сравнивает результаты действий 5-3 и 5+(-3). После этого записывается тождество a-b=a+(-b)

Каков бы ни был ученик, и сколько бы времени не отводилось репетитору по математике на занятия с ним, нужно вовремя отработать понятие «противоположное число». Отдельного внимания репетитора по математике заслуживает запись «-х». Ученик 6 класса должен усвоить, что она отображает не отрицательное число, а противоположное к иксу.

Необходимо отдельно остановиться на вычислениях с двумя знаками «минус», расположенными рядом. Возникает проблема понимания операции их одновременного удаления. Нужно аккуратно пройти по всем пунктам изложенного алгоритма перехода к сложению. Будет лучше, если в работе с разностью -5- (-3) до каких-либо комментариев репетитор по математике выделит числа -5 и -3 в рамочку или подчеркнет их. Это поможет ученику выделить компоненты действия.

Нацеленность репетитора по математике на запоминание

Надежное запоминание – результат практического применения математических правил, поэтому репетитору важно обеспечить хорошую плотность самостоятельно решенных примеров. Для улучшения устойчиваости запоминания можно призвать на помощь визуальные подсказки — фишечки. Например, интересный способ перевовода вычитания отрицательного числа в сложение. Репетитор по математике соединяет два минуса одной линией (как показано на рисунке), и взору ученика открывается знак «плюс» (в пересечении со скобкой).

Для предотвращения рассеивания внимания я рекомендую репетиторам по математике выделять уменьшаемое и вычитаемое рамками. Если репетитор по математике использует рамки или кружочки для выделения компонентов арифметического действия, то ученик легче и быстрее найчится видеть структуру примера и соотносить ее с соответствующим правилом. Не следует располагать кусочки целого объекта при оформлении решений на разных строчках тетрадного листа, а также приступать к сложению до тех пор, пока оно не будет записано. Все действия и переходы в обязательном порядке показываются (по крайней мере на старте изучения темы).

Некоторые репетиторы по математике стремятся к 100% точному обоснованию правил перевода, считая эту стратегию единственно правильной и полезной для формирования вычислительных навыков. Однако, практика показывает, что этот путь не всегда приносит хорошие дивиденды. Потребность в осознании того, что человек делает, чаще всего появляется после запоминания этапов применяемого алгоритма и практического закрепления вычислительных операций.

Крайне важно отработать переход к сумме в длинном числовом выражении с несколькими вычитаниями, например . Перед тем, как приступить к подсчету или преобразованию, я заставляю ученика обвести в кружочки числа вместе с их знаками, расположенными слева. На рисунке показан пример того, как репетитор по математкие выделяет слагаемые Для очень слабых шестиклассников можно дополнительно подкрашивать кружочки. Для положительных слагаемых использовать один цвет, а для отрицательных другой. В особых случаях беру в руки ножницы и режу выражение на кусочки. Их можно произвольно перекладывать, иммитируя таким образом перестановку слагаемых. Ребенок увидит, что знаки перемещаются вместе с самими слагаемыми. То есть, если знак минус стоял слева от числа 5, то куда бы мы не перекладывали соответствующую карточку, он от пятерки не оторвется.

Колпаков А.Н. Репетитор по математике 5-6 класс. Москва. Строгино .

Цели и задачи урока:

• Обобщающий урок по математике в 6 классе «Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел»
• Обобщить и систематизировать знаний учащихся по данной теме.
• Развивать предметные и общеучебные навыки и умения, умение использовать полученные знания для достижения поставленной цели; устанавливать закономерности многообразия связей для достижения уровня системности знаний.
• Воспитание навыков самоконтроля и взаимоконтроля; вырабатывать желания и потребности обобщать полученные факты; развивать самостоятельность, интерес к предмету.

Ход урока

I. Организационный момент

Ребята мы с вами путешествуем по стране «Рациональных чисел», где живут положительные, отрицательные числа и нуль. Путешествуя, мы узнаём много интересного о них, знакомимся с правилами и законами, по которым они живут. Значит, и мы должны соблюдать эти правила и подчиняться их законам.

А с какими правилами и законами мы познакомились? (правила сложения и вычитания рациональных чисел, законы сложения)

И так тема нашего урока «Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел». (Учащиеся записывают в тетрадях число и тему урока)

II. Проверка домашнего задания

III . Актуализация знаний.

Начнем урок с устной работы. Перед вами ряд чисел.

8,6; 21,8; -0,5; 6,6; 4,7; 7; -18; 0.

Ответьте на вопросы:

Какое число в ряду наибольшее?

Какое число имеет наибольший модуль?

Какое число является наименьшим в ряду?

Какое число имеет наименьший модуль?

Как сравнить два положительных числа?

Как сравнить два отрицательных числа?

Как сравнить числа с разными знаками?

Какие числа в ряду являются противоположными?

Назовите числа в порядке возрастания.

IV . Найди ошибку

а) -47 + 25+ (-18)= 30

в) - 7,2+(- 3,5) + 10,6= - 0,1

г) - 7,2+ (- 2,9) + 7,2= 2,4

V .Задание «Отгадай слово»

В каждой группе я раздала задания, в которых зашифрованы слова.

Выполнив все задания, Вы отгадаете ключевые слова(цветы, подарок, девочки )

	1 ряд	Ответ	Буква

		Ответ	Буква
	54-(-74)
	2,5-3,6
	23,7+23,7
	11,2+10,3

	3 ряд	Ответ	Буква
	2,03-7,99
	67,34-45,08

10,02	112,42	50,94			50,4

V I . Физминутка

Молодцы, вы хорошо потрудились, я думаю самое время отдохнуть, сконцентрировать внимание, снять усталость, вернуть душевное спокойствие помогут простые упражнения

ФИЗМИНУТКА (Если высказывание верное, хлопните в ладоши, если нет - покачайте головой из стороны в сторону):

При сложении двух отрицательных чисел модули слагаемых нужно вычесть -

Суммы двух отрицательных чисел всегда отрицательны +

При сложении двух противоположных чисел всегда получается 0 +

При сложении чисел с разными знаками нужно их модули сложить -

Сумма двух отрицательных чисел всегда меньше каждого из слагаемых +

При сложении чисел с разными знаками нужно из большего модуля вычесть меньший модуль +

VII. Решение заданий по учебнику.

№1096(а,д,и)

VIII. Домашняя работа

1 уровень «3»-№1132

2 уровень-«4»-№1139, 1146

I Х. Самостоятельная работа по вариантам.

1 уровень, «3»

1 вариант	2 вариант

2 уровень, «4»

1 вариант	2 вариант
1 - (- 3 )+(- 2 )

3 уровень, «5»

1 вариант	2 вараинт
4,2-3,25-(-0,6)	2,4-1,75-(-2,6)

Взаимопроверка по доске, меняемся соседями по парте


Х. Подведение итогов урока. Рефлексия

Вспомним начало нашего урока, ребята.

А какие цели урока мы поставили перед собой?

Как Вы считаете, нам удалось достигнуть поставленных целей?

Ребята, а теперь сами оцените свою работу на уроке. Перед вами карточка с изображением горы. Если вы считаете, что хорошо потрудились на уроке, всё вам п онятно, то нарисуйте себя на вершине горы. Если осталось что-то неясно, нарисуйте себя ниже, а слева или справа решите сами.

Передайте мне свои рисунки вместе с карточкой оценок, итоговую оценку за работу вы узнаете на следующем уроке.



Предыдущая статья: Чему равна скорость света Следующая статья: Углерод — характеристика элемента и химические свойства