Математическое ожидание. Математическим ожиданием дискретной случайной величины Х , принимающей конечное число значений х i с вероятностями р i , называется сумма:
Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х называется интеграл от произведения ее значений х на плотность распределения вероятностей f (x ):
(6б )
Несобственный интеграл (6б ) предполагается абсолютно сходящимся (в противном случае говорят, что математическое ожидание М (Х ) не существует). Математическое ожидание характеризует среднее значение случайной величины Х . Его размерность совпадает с размерностью случайной величины.
Свойства математического ожидания:
Дисперсия. Дисперсией случайной величины Х называется число:
Дисперсия является характеристикой рассеяния значений случайной величины Х относительно ее среднего значения М (Х ). Размерность дисперсии равна размерности случайной величины в квадрате. Исходя из определений дисперсии (8) и математического ожидания (5) для дискретной случайной величины и (6) для непрерывной случайной величины получим аналогичные выражения для дисперсии:
(9)
Здесь m = М (Х ).
Свойства дисперсии:
Среднее квадратичное отклонение:
(11)
Так как размерность среднего квадратичного отклонения та же, что и у случайной величины, оно чаще, чем дисперсия, используется как мера рассеяния.
Моменты распределения. Понятия математического ожидания и дисперсии являются частными случаями более общего понятия для числовых характеристик случайных величин – моментов распределения . Моменты распределения случайной величины вводятся как математические ожидания некоторых простейших функций от случайной величины. Так, моментом порядка k относительно точки х 0 называется математическое ожидание М (Х – х 0 )k . Моменты относительно начала координат х = 0 называются начальными моментами и обозначаются:
(12)
Начальный момент первого порядка есть центр распределения рассматриваемой случайной величины:
(13)
Моменты относительно центра распределения х = m называются центральными моментами и обозначаются:
(14)
Из (7) следует, что центральный момент первого порядка всегда равен нулю:
Центральные моменты не зависят от начала отсчета значений случайной величины, так как при сдвиге на постоянное значение С
ее центр распределения сдвигается на то же значение С
, а отклонение от центра не меняется: Х
– m
= (Х
– С
) – (m
– С
).
Теперь очевидно, что дисперсия
– это центральный момент второго порядка
:
Асимметрия. Центральный момент третьего порядка:
(17)
служит для оценки асимметрии распределения . Если распределение симметрично относительно точки х = m , то центральный момент третьего порядка будет равен нулю (как и все центральные моменты нечетных порядков). Поэтому, если центральный момент третьего порядка отличен от нуля, то распределение не может быть симметричным. Величину асимметрии оценивают с помощью безразмерного коэффициента асимметрии :
(18)
Знак коэффициента асимметрии (18) указывает на правостороннюю или левостороннюю асимметрию (рис. 2).
Рис. 2. Виды асимметрии распределений.
Эксцесс. Центральный момент четвертого порядка:
(19)
служит для оценки так называемого эксцесса , определяющего степень крутости (островершинности) кривой распределения вблизи центра распределения по отношению к кривой нормального распределения. Так как для нормального распределения, то в качестве эксцесса принимается величина:
(20)
На рис. 3 приведены примеры кривых распределения с различными значениями эксцесса. Для нормального распределения Е = 0. Кривые, более островершинные, чем нормальная, имеют положительный эксцесс, более плосковершинные – отрицательный.
Рис. 3. Кривые распределения с различной степенью крутости (эксцессом).
Моменты более высоких порядков в инженерных приложениях математической статистики обычно не применяются.
Мода
дискретной
случайной величины – это ее наиболее вероятное значение. Модой
непрерывной
случайной величиныназывается ее значение, при котором плотность вероятности максимальна (рис. 2). Если кривая распределения имеет один максимум, то распределение называется унимодальным
. Если кривая распределения имеет более одного максимума, то распределение называется полимодальным
. Иногда встречаются распределения, кривые которых имеют не максимум, а минимум. Такие распределения называются антимодальными
. В общем случае мода и математическое ожидание случайной величины не совпадают. В частном случае, для модального
, т.е. имеющего моду, симметричного распределения и при условии, что существует математическое ожидание, последнее совпадает с модой и центром симметрии распределения.
Медиана случайной величины Х – это ее значение Ме , для которого имеет место равенство: т.е. равновероятно, что случайная величина Х окажется меньше или больше Ме . Геометрически медиана – это абсцисса точки, в которой площадь под кривой распределения делится пополам (рис. 2). В случае симметричного модального распределения медиана, мода и математическое ожидание совпадают.