Колебания и волны, законы и формулы. Гармонические колебания Физика формула частоты колебаний

Любые колебания представляют собой движение с переменным ускорением. Отклонение, скорость и ускорение в этом случае являются функциями времени. Для любых колебаний характерна периодичность, т.е. движение повторяется по истечении времени T , называемого длительностью или периодом колебания. Колебания возникают в тех случаях, когда системе способной совершать колебания, сообщается энергия.
Необходимо различать:

Незатухающие колебания

Незатухающие колебания, происходят с постоянной амплитудой Y m . Предполагается, что в данном случае подводимая энергия сохраняется. Приближенно такие условия имеют место при малых потерях энергии и малом времени наблюдения. Для получения действительно незатухающих колебаний необходимо регулярно восполнять теряемую энергию.

Затухающие колебания

Затухающие колебания, постепенно уменьшают свою амплитуду Y m . Без пополнения энергии любые колебания затухают.

Важные характеристики колебаний

И получите два бесплатных урока в школе английского языка SkyEng!
Занимаюсь там сам - очень круто. Прогресс налицо.

В приложении можно учить слова, тренировать аудирование и произношение.

Попробуйте. Два урока бесплатно по моей ссылке!
Жмите

Колебательными движениями (или колебаниями) в физике и технике называют такие виды движений (или изменения состояний), которые обладают какой-либо степенью повторяемости.

Колебания, происходящие по законам синуса или косинуса, называют гармоническими.

Уравнение гармонических колебаний:

где t-время; x-величина изменяющаяся со временем (координата, заряд, ток, ЭДС и т.п.); A- амплитуда колебаний – максимальное отклонение колеблющейся величины от среднего (нулевого) значения; - фаза колебаний; - начальная фаза; w- циклическая частота (изменение фазы в единицу времени). За период фаза меняется на .

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний

Уравнение вида:

дифференциальное уравнение гармонических колебаний.

Виды периодических колебаний можно с любой степени точности можно представить в виде суммы гармонических колебаний, так называемого гармонического ряда.

Колебания, которые будет совершать тело, если его вывести из состояния равновесия (не важно как) и предоставить самому себе, называют свободными (собственными) колебаниями. Если собственные колебания вызваны наличием только квазиупругой силы, то они будут гармоническими.

Колебания тела, обусловленные одновременным действием квазиупругой силы и силы трения (которая пропорциональна мгновенной скорости: ), называют затухающими колебаниями.

Уравнение (3) называется дифференциальным уравнением затухающих колебаний. Здесь – коэффициент затухания.

Решение дифференциального уравнения колебаний

Решением дифференциального уравнения затухающих колебаний (3) является соотношение вида:

Уравнение (4) называется уравнением затухающих колебаний. В уравнении (4) видно, что амплитуда затухающих колебаний зависит от времени. Константы A и определяются начальными условиями. Амплитуда колебаний убывает и они в целом выглядят так, как представлено на рис. 1

рис. 1.

Период затухающих колебаний вычисляется по формуле (5):

Физический коэффициента затухания смысл состоит в том, что коэффициент затухания – величина, обратная времени релаксации. А время релаксации – это время, за которое амплитуда уменьшается в e раз. Однако коэффициент затухания не вполне характеризует затухание. Обычно затухание колебаний характеризуется декрементом затухания. Последний показывает, во сколько раз уменьшается амплитуда колебаний за время, равное периоду колебаний. То есть декремент затухания определяется так:

Логарифм декремента затухания называется логарифмическим декрементом, он, очевидно, равен:

Если колебательная система подвергается воздействию внешней периодической силы, то возникают так называемые вынужденные колебания, имеющие незатухающий характер.

Вынужденные колебания следует отличать от автоколебаний. В случае автоколебаний в системе предполагается специальный механизм, который в такт с собственными колебаниями «поставляет» в систему небольшие порции энергии.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание	Найдите энергию свободных колебаний груза подвешенного на пружине Рассмотрите случай физического маятника, зная, что жесткость пружины k, амплитуда колебаний A.
Решение	Найдем энергию свободных колебаний. Она представлена двумя видами энергии: кинетической и потенциальной. Для шарика, подвешенного на пружине: Колебания шарика описывает уравнение колебаний: запишем уравнение колебаний скорости шарика, зная, что , движение происходит только вдоль оси Х следовательно: Подставим (1.2) и (1.3) в (1.1), получим: зная, что для физического маятника
Ответ	Энергия свободных колебаний пропорциональна квадрату амплитуды колебаний

(лат. amplitude — величина) — это наибольшее отклонение колеблющегося тела от положения равновесия.

Для маятника это максимальное расстояние, на которое удаляется ша-рик от своего положения равновесия (рисунок ниже). Для колебаний с малыми амплитудами за такое расстояние можно принимать как длину дуги 01 или 02, так и длины этих отрезков.

Амплитуда колебаний измеряется в единицах длины — метрах , санти-метрах и т. д. На графике колебаний амплитуда определяется как макси-мальная (по модулю) ордината синусоидальной кривой, (см. рис. ниже).

Период колебаний.

Период колебаний — это наименьший промежуток времени, через который система, соверша-ющая колебания, снова возвращается в то же состояние, в котором она находилась в начальный момент времени, выбранный произвольно.

Другими словами, период колебаний (Т ) — это время, за которое совершается одно полное ко-лебание. Например, на рисунке ниже это время, за которое грузик маятника перемещается из крайней правой точки через точку равновесия О в крайнюю левую точку и обратно через точку О снова в крайнюю правую.

За полный период колебаний, таким образом, тело проходит путь, равный четы-рем амплитудам. Период колебаний измеряется в единицах времени — секундах , минутах и т. д. Период колебаний может быть определен по известному графику колебаний, (см. рис. ниже).

Понятие «период колебаний», строго говоря, справедливо, лишь когда значения колеблющей-ся величины точно повторяются через определенный промежуток времени, т. е. для гармоничес-ких колебаний. Однако это понятие применяется также и для случаев приблизительно повторяю-щихся величин, например, для затухающих колебаний .

Частота колебаний.

Частота колебаний — это число колебаний, совершаемых за единицу времени, например, за 1 с .

Единица частоты в СИ названа герцем (Гц ) в честь немецкого физика Г. Герца (1857-1894). Если частота колебаний (v ) равна 1 Гц , то это значит, что за каждую секунду совершается одно колебание. Частота и период колебаний связаны соотношениями:

В теории колебаний пользуются также понятием циклической , или круговой частоты ω . Она связана с обычной частотой v и периодом колебаний Т соотношениями:

.

Циклическая частота — это число колебаний, совершаемых за 2π секунд.

Уравнение гармонических колебаний

где х - смещение колеблющейся точки от положения равновесия;
t - время; А, ω, φ- соответственно амплитуда, угловая частота,
начальная фаза колебаний; - фаза колебаний в момент t .

Угловая частота колебаний

где ν и Т - частота и период колебаний.

Скорость точки, совершающей гармонические колебания,

Ускорение при гармоническом колебании

Амплитуда А результирующего колебания, полученного при сложении двух колебаний с одинаковыми частотами, происходящих по одной прямой, определяется по формуле

где a 1 и А 2 - амплитуды составляющих колебаний; φ 1 и φ 2 - их начальные фазы.

Начальная фаза φ результирующего колебания может быть найдена из формулы

Частота биений, возникающих при сложении двух колебаний, происходящих по одной прямой с различными, но близкими по зна­чению частотами ν 1 и ν 2 ,

Уравнение траектории точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях с амплитудами A 1 и A 2 и начальны­ми фазами φ 1 и φ 2 ,

Если начальные фазы φ 1 и φ 2 составляющих колебаний одинако­вы, то уравнение траектории принимает вид

т. е. точка движется по прямой.

В том случае, если разность фаз , уравнение
принимает вид

т. е. точка движется по эллипсу.

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний ма­териальной точки

Или ,
где m - масса точки; k - коэффициент квазиупругой силы (k =т ω 2).

Полная энергия материальной точки, совершающей гармони­ческие колебания,

Период колебаний тела, подвешенного на пружине (пружин­ный маятник),

где m - масса тела; k - жесткость пружины. Формула справедлива для упругих колебаний в пределах, в ко­торых выполняется закон Гука (при малой массе пружины в срав­нении с массой тела).

Период колебаний математического маятника

где l - длина маятника; g - ускорение свободного падения. Период колебаний физического маятника

где J - момент инерции колеблющегося тела относительно оси

колебаний; а - расстояние центра масс маятника от оси колебаний;

Приведенная длина физического маятника.

Приведенные формулы являются точными для случая бесконеч­но малых амплитуд. При конечных амплитудах эти формулы дают лишь приближенные результаты. При амплитудах не более ошибка в значении периода не превышает 1 %.

Период крутильных колебаний тела, подвешенного на упругой нити,

где J - момент инерции тела относительно оси, совпадающей с упругой нитью; k - жесткость упругой нити, равная отношению упругого момента, возникающего при закручивании нити, к углу, на который нить закручивается.

Дифференциальное уравнение затухающих колебаний
, или ,

где r - коэффициент сопротивления; δ - коэффициент затухания: ; ω 0 - собственная угловая частота колебаний *

Уравнение затухающих колебаний

где A (t) - амплитуда затухающих колебаний в момент t; ω - их угловая частота.

Угловая частота затухающих колебаний

О Зависимость амплитуды затухающих колебаний от времени

где А 0 - амплитуда колебаний в момент t =0.

Логарифмический декремент колебаний

где A (t) и A (t+T) - амплитуды двух последовательных колеба­ний, отстоящих по времени друг от друга на период.

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний

где - внешняя периодическая сила, действующая на
колеблющуюся материальную точку и вызывающая вынужденные
колебания; F 0 - ее амплитудное значение;

Амплитуда вынужденных колебаний

Резонансная частота и резонансная амплитуда и

Примеры решения задач

Пример 1. Точка совершает колебания по закону x(t)= , где А=2 см. Определить начальную фазу φ, если

x (0)= см и х , (0)<0. Построить векторную диаграмму для мо-­
мента t =0.

Решение. Воспользуемся уравнением движения и выразим смещение в момент t =0 через начальную фазу:

Отсюда найдем начальную фазу:

* В приведенных ранее формулах гармонических колебаний та же величина обозначалась просто ω (без индекса 0).

Подставим в это выражение заданные значения x (0) и А: φ=
= . Значению аргумента удовлетворяют
два значения угла:

Для того чтобы решить, какое из этих значений угла φ удовлет-­
воряет еще и условию , найдем сначала :

Подставив в это выражение значение t =0 и поочередно значения
начальных фаз и , найдем

Так как всегда A >0 и ω>0, то условию удовлетворяет толь­
ко первое значение начальной фазы.
Таким образом, искомая начальная
фаза

По найденному значению φ постро-­
им векторную диаграмму (рис. 6.1).
Пример 2. Материальная точка
массой т =5 г совершает гармоничес-­
кие колебания с частотой ν =0,5 Гц.
Амплитуда колебаний A =3 см. Оп-­
ределить: 1) скорость υточки в мо-­
мент времени, когда смещение х=
= 1,5 см; 2) максимальную силу
F max , действующую на точку; 3)
Рис. 6.1 полную энергию Е колеблющейся точ­
ки.

а формулу скорости получим, взяв первую производную по времени от смещения:

Чтобы выразить скорость через смещение, надо исключить из формул (1) и (2) время. Для этого возведем оба уравнения в квад­рат, разделим первое на А 2 , второе на A 2 ω 2 и сложим:

Или

Решив последнее уравнение относительно υ, найдем

Выполнив вычисления по этой формуле, получим

Знак плюс соответствует случаю, когда направление скорости совпадает с положительным направлением оси х, знак минус - ког­да направление скорости совпадает с отрицательным направлением оси х.

Смещение при гармоническом колебании кроме уравнения (1) может быть определено также уравнением

Повторив с этим уравнением такое же решение, получим тот же ответ.

2. Силу действующую на точку, найдем по второму закону Нью­тона:

где а - ускорение точки, которое получим, взяв производную по времени от скорости:

Подставив выражение ускорения в формулу (3), получим

Отсюда максимальное значение силы

Подставив в это уравнение значения величин π, ν, т и A, найдем

3. Полная энергия колеблющейся точки есть сумма кинетической и потенциальной энергий, вычисленных для любого момента вре­мени.

Проще всего вычислить полную энергию в момент, когда кинети­ческая энергия достигает максимального значения. В этот момент потенциальная энергия равна нулю. Поэтому полная энергия E колеблющейся точки равна максимальной кинетической энергии

Максимальную скорость определим из формулы (2), положив
: . Подставив выражение скорости в фор­-
мулу (4), найдем

Подставив значения величин в эту формулу и произведя вычис­ления, получим

или мкДж.

Пример 3. l = 1 м и массой m 3 =400 г укреплены шарики малых размеров массами m 1 =200 ги m 2 =300г. Стержень колеблется около горизонтальной оси, перпен-

дикулярной стержню и проходящей через его середину (точка О на рис. 6.2). Определить период Т колебаний, совершаемых стержнем.

Решение. Период колебаний физического маятника, каким является стержень с шариками, определяется соотношением

Где J - т - его масса; l С - расстояние от центра масс ма­ятника до оси.

Момент инерции данного маятника равен сумме моментов инерции шариков J 1 и J 2 и стержня J 3:

Принимая шарики за материальные точки, вы­разим моменты их инерции:

Так как ось проходит через середину стержня, то
его момент инерции относительно этой оси J 3 =
= . Подставив полученные выражения J 1 , J 2 и
J 3 в формулу (2), найдем общий момент инерции фи-­
зического маятника:

Произведя вычисления по этой формуле, найдем

Рис. 6.2 Масса маятника состоит из масс шариков и массы
стержня:

Расстояние l С центра масс маятника от оси колебаний найдем, исходя из следующих соображений. Если ось х направить вдоль стержня и начало координат совместить с точкой О, то искомое рас­стояние l равно координате центра масс маятника, т. е.

Подставив значения величин m 1 , m 2 , m , l и произведя вычисле­ния, найдем

Произведя расчеты по формуле (1), получим период колебаний физического маятника:

Пример 4. Физический маятник представляет собой стержень
длиной l = 1 м и массой 3т 1 с прикрепленным к одному из его концов
обручем диаметром и массой т 1 . Горизонтальная ось Oz

маятника проходит через середину стержня перпендикулярно ему (рис. 6.3). Определить период Т колебаний такого маятника.

Решение. Период колебаний физического маятника опреде­ляется по формуле

(1)

где J - момент инерции маятника относительно оси колебаний; т - его масса; l C - расстояние от центра масс маятника до оси колебаний.

Момент инерции маятника равен сумме мо­ментов инерции стержня J 1 и обруча J 2:

Момент инерции стержня относительно оси,
перпендикулярной стержню и проходящей
через его центр масс, определяется по форму-­
ле . В данном случае т= 3т 1 и

Момент инерции обруча найдем, восполь-­
зовавшись теоремой Штейнера ,
где J - момент инерции относительно про-­
извольной оси; J 0 - момент инерции отно-­
сительно оси, проходящей через центр масс
параллельно заданной оси; а - расстояние
между указанными осями. Применив эту фор-­
мулу к обручу, получим

Рис. 6.3

Подставив выражения J 1 и J 2 в форму­лу (2), найдем момент инерции маятника относительно оси вра­щения:

Расстояние l С от оси маятника до его центра масс равно

Подставив в формулу (1) выражения J , l с и массы маятника , найдем период его колебаний:

После вычисления по этой формуле получим T =2,17 с.

Пример 5. Складываются два колебания одинакового направле-­
ния, выражаемых уравнениями ; х 2 =
= , где А 1 = 1см, A 2 =2 см, с, с, ω =
= . 1. Определить начальные фазы φ 1 и φ 2 составляющих коле-

баний. 2. Найти амплитуду А и начальную фазу φ результирующего колебания. Написать уравнение результирующего колебания.

Решение. 1. Уравнение гармонического колебания имеет вид

Преобразуем уравнения, заданные в условии задачи, к такому же виду:

Из сравнения выражений (2) с равенством (1) находим начальные фазы первого и второго колебаний:

Рад и рад.

2. Для определения амплитуды А результирую­щего колебания удобно воспользоваться векторной диаграммой, представленной на рис. 6.4. Согласно теореме косинусов, получим

где - разность фаз составляющих колебаний.
Так как , то, подставляя найденные
значения φ 2 и φ 1 получим рад.

Рис. 6.4

Подставим значения А 1 , А 2 и в формулу (3) и
произведем вычисления:

A= 2,65 см.

Тангенс начальной фазы φ результирующего колебания опреде-­
лим непосредственно из рис. 6.4: , отку-­
да начальная фаза

Подставим значения А 1 , А 2 , φ 1 , φ 2 и произведем вычисления:

Так как угловые частоты складываемых колебаний одинаковы,
то результирующее колебание будет иметь ту же частоту ω. Это
позволяет написать уравнение результирующего колебания в виде
, где A =2,65 см, , рад.

Пример 6. Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях, уравне­ния которых

где a 1 = 1 см, A 2 =2 см, . Найти уравнение траектории точ-­
ки. Построить траекторию с соблюдением масштаба и указать
направление движения точки.

Решение. Чтобы найти уравнение траектории точки, ис­ключим время t из заданных уравнений (1) и (2). Для этого восполь-

зуемся формулой . В данном случае
, поэтому

Так как согласно формуле (1) , то уравнение траекто-­
рии

Полученное выражение представляет собой уравнение параболы, ось которой совпадает с осью Ох. Из уравнений (1) и (2) следует, что смещение точки по осям координат ограничено и заключено в пределах от -1 до +1 см по оси Ох и от -2 до +2 см по оси Оу.

Для построения траектории найдем по уравнению (3) значения у, соответствующие ряду значений х, удовлетворяющих условию см, и составим таблицу:

Для того чтобы указать направление движения точки, проследим за тем, как из­меняется ее положение с течением времени. В начальный момент t =0 координаты точ­ки равны x (0)=1 см и y (0)=2 см. В по­следующий момент времени, например при t 1 =l с, координаты точек изменятся и ста­нут равными х (1)= -1 см, y(t)=0. Зная положения точек в начальный и последую­щий (близкий) моменты времени, можно указать направление движения точки по траектории. На рис. 6.5 это направление движения указано стрелкой (от точки А к началу координат). После того как в мо­мент t 2 = 2 с колеблющаяся точка достиг­нет точки D, она будет двигаться в обратном направлении.

Кинематика гармонических колебаний

6.1. Уравнение колебаний точки имеет вид ,
где ω=π с -1 , τ=0,2 с. Определить период Т и начальную фазу φ
колебаний.

6.2. Определить период Т, частоту v и начальную фазу φ коле­баний, заданных уравнением , где ω=2,5π с -1 ,
τ=0,4 с.

6.3.
где A х(0)=2 см и
; 2) х(0) = см и ; 3) х(0)=2см и ; 4)
х(0)= и . Построить векторную диаграмму для
момента t =0.

6.4. Точка совершает колебания.по закону ,
где A =4 см. Определить начальную фазу φ, если: 1) х(0)=2 см и
; 2) x (0)= см и ; 3) х (0)= см и ;
4) x (0)= см и . Построить векторную диаграмму для
момента t =0.

6.5. Точка совершает колебания по закону ,
где A =2 см; ; φ= π/4 рад. Построить графики зависимости
от времени: 1) смещения x(t); 2) скорости ; 3) ускорения

6.6. Точка совершает колебания с амплитудой A =4 см и перио­дом Т=2 с. Написать уравнение этих колебаний, считая, что в
момент t =0 смещения x(0)=0 и . Определить фазу
для двух моментов времени: 1) когда смещение х= 1см и ;
2) когда скорость = -6 см/с и x <0.

6.7. Точка равномерно движется по окружности против часовой стрелки с периодом Т=6 с. Диаметр d окружности равен 20 см. Написать уравнение движения проекции точки на ось х, проходя­щую через центр окружности, если в момент времени, принятый за начальный, проекция на ось х равна нулю. Найти смещение х, скорость и ускорение проекции точки в момент t= 1с.

6.8. Определить максимальные значения скорости и уско­рения точки, совершающей гармонические колебания с ампли­тудой А= 3см и угловой частотой

6.9. Точка совершает колебания по закону , где А =
=5 см; . Определить ускорение точки в момент времени,
когда ее скорость =8 см/с.

6.10. Точка совершает гармонические колебания. Наибольшее
смещение x m ах точки равно 10 см, наибольшая скорость =
=20 см/с. Найти угловую частоту ω колебаний и максимальное уско­рение точки.

6.11. Максимальная скорость точки, совершающей гармо­нические колебания, равна10см/с, максимальное ускорение =
= 100 см/с 2 . Найти угловую частоту ω колебаний, их период Т
и амплитуду А. Написать уравнение колебаний, приняв началь­ную фазу равной нулю.

6.12. Точка совершает колебания по закону . В не­который момент времени смещение х 1 точки оказалось равным 5 см. Когда фаза колебаний увеличилась вдвое, смещение х, стало равным 8 см. Найти амплитуду А колебаний.

6.13. Колебания точки происходят по закону .
В некоторый момент времени смещение х точки равно 5 см, ее скорость
= 20 см/с и ускорение =-80 см/с 2 . Найти амплитуду A , угло­вую частоту ω, период Т колебаний и фазу в рассматри­ваемый момент времени.

Сложение колебаний

6.14. Два одинаково направленных гармонических колебания одного периода с амплитудами A 1 =10 см и A 2 =6 см складыва­ются в одно колебание с амплитудой А= 14 см. Найти раз­ность фаз складываемых колебаний.

6.15. Два гармонических колебания, направленных по одной прямой и имеющих одинаковые амплитуды и периоды, складывают­ся в одно колебание той же амплитуды. Найти разность фаз складываемых колебаний.

6.16. Определить амплитуду А и начальную фазу ф результи­
рующего колебания, возникающего при сложении двух колебаний
одинаковых направления и периода: и
, где A 1 =A 2 =1 см; ω=π с -1 ; τ=0,5 с. Найти уравнение резуль­тирующего колебания.

6.17. Точка участвует в двух одинаково направленных колеба­ниях: и , где а 1 = 1см; A 2 =2 см; ω=
= 1 с -1 . Определить амплитуду А результирующего колебания,
его частоту v и начальную фазу φ. Найти уравнение этого движе­ния.

6.18. Складываются два гармонических колебания одного на­
правления с одинаковыми периодами T 1 =T 2 =1,5 с и амплитудами
А 1 =А 2 = 2см. Начальные фазы колебаний и . Опре­делить амплитуду А и начальную фазу φ результирующего колеба­ния. Найти его уравнение и построить с соблюдением масштаба
векторную диаграмму сложения амплитуд.

6.19. Складываются три гармонических колебания одного на­правления с одинаковыми периодами Т 1 =Т 2 =Т 3 =2 с и амплиту­дами A 1 =A 2 =A 3 =3 см. Начальные фазы колебаний φ 1 =0, φ 2 =π/3, φ 3 =2π/3. Построить векторную диаграмму сложения ампли­туд. Определить из чертежа амплитуду А и начальную фазу φ ре­зультирующего колебания. Найти его уравнение.

6.20. Складываются два гармонических колебания одинаковой
частоты и одинакового направления: и x 2 =
= . Начертить векторную диаграмму для момента
времени t =0. Определить аналитически амплитуду А и начальную
фазу φ результирующего колебания. Отложить A и φ на векторной
диаграмме. Найти уравнение результирующего колебания (в три­гонометрической форме через косинус). Задачу решить для двух
случаев: 1) А 1 = 1см, φ 1 =π/3; A 2 =2 см, φ 2 =5π/6; 2) А 1 = 1см,
φ 1 =2π/3; A 2 =1 см, φ 2 =7π/6.

6.21. Два камертона звучат одновременно. Частоты ν 1 и ν 2 их колебаний соответственно равны 440 и 440,5 Гц. Определить период Т биений.

6.22. Складываются два взаимно перпендикулярных колебания,
выражаемых уравнениями и , где
а 1 =2 см, A 2 =1 см, , τ=0,5 с. Найти уравнение траектории
и построить ее, показав направление движения точки.

6.23. Точка совершает одновременно два гармонических колеба­ния, происходящих по взаимно перпендикулярным направлениям
и выражаемых уравнениями и ,
где а 1 = 4 см, A 1 =8 см, , τ=1 с. Найти уравнение траекто­рии точки и построить график ее движения.

6.24. Точка совершает одновременно два гармонических колеба­ния одинаковой частоты, происходящих по взаимно перпендикуляр­ным направлениями выражаемых уравнениями: 1) и

Найти (для восьми случаев) уравнение траектории точки, пост­роить ее с соблюдением масштаба и указать направление движения. Принять: А=2 см, A 1 =3 см, А 2 = 1см; φ 1 =π/2, φ 2 =π.

6.25 . Точка участвует одновременно в двух взаимно перпенди­кулярных колебаниях, выражаемых уравнениями и
, где A 1 = 2 см, A 2 =1 см. Найти уравнение траектории
точки и построить ее, указав направление движения.

6.26. Точка одновременно совершает два гармонических колеба­ния, происходящих по взаимно перпендикулярным направлениям
и выражаемых уравнениями и , где А 1 =
=0,5 см; A 2 =2 см. Найти уравнение траектории точки и построить
ее, указав направление движения.

6.27. Движение точки задано уравнениями и у=
= , где A 1 =10 см, A 2 =5 см, ω=2 с -1 , τ=π/4 с. Найти
уравнение траектории и скорости точки в момент времени t =0,5 с.

6.28. Материальная точка участвует одновременно в двух вза­имно перпендикулярных колебаниях, выражаемых уравнениями
и , где A 1 =2 см, A 2 =1 см. Найти
уравнение траектории и построить ее.

6.29. Точка участвует одновременно в двух гармонических коле­баниях, происходящих по взаимно перпендикулярным направлени­ям описываемых уравнениями: 1) и

Найти уравнение траектории точки, построить ее с соблюдением масштаба и указать направление движения. Принять: A =2 см; A 1 =з см.

6.30. Точка участвует одновременно в двух взаимно перпенди­-
кулярных колебаниях, выражаемых уравнениями и

y=A 2 sin 0,5ωt , где A 1 = 2см, A 2 =3 см. Найти уравнение траекто­рии точки и построить ее, указав направление движения.

6.31. Смещение светящейся точки на экране осциллографа явля­ется результатом сложения двух взаимно перпендикулярных коле­баний, которые описываются уравнениями: 1) х=А sin 3 ωt и у =A sin 2ωt ; 2) х=А sin 3ωt и y =A cos 2ωt ; 3) х=А sin 3ωt и y=A cos ωt.

Применяя графический метод сложения и соблюдая масштаб, построить траекторию светящейся точки на экране. Принять А =4 см.

Динамика гармонических колебаний. Маятники

6.32. Материальная точка массой т =50 г совершает колебания, уравнение которых имеет вид х=А cos ωt, где А = 10 см, ω=5 с -1 . Найти силу F, действующую на точку, в двух случаях: 1) в момент, когда фаза ωt =π/3; 2) в положении наибольшего смещения точ­ки.

6.33. Колебания материальной точки массой т =0,1 г происхо­дят согласно уравнению х =A cos ωt, где A =5 см; ω=20 с -1 . Опре­делить максимальные значения возвращающей силы F max и кинети­ческой энергии Т m ах.

6.34. Найти возвращающую силу F в момент t =1 с и полную энергию Е материальной точки, совершающей колебания по закону х=А cos ωt , где А = 20 см; ω=2π/3 с -1 . Масса т материальной точки равна 10 г.

6.35. Колебания материальной точки происходят согласно урав­нению х=A cos ωt, где A =8 см, ω=π/6 с -1 . В момент, когда возвра­щающая сила F в первый раз достигла значения -5 мН, потенци­альная энергия П точки стала равной 100 мкДж. Найти этот момент времени t и соответствующую ему фазу ωt .

6.36. Грузик массой m =250 г, подвешенный к пружине, колеб­лется по вертикали с периодом Т= 1 с. Определить жесткость k пружины.

6.37. К спиральной пружине подвесили грузик, в результате чего пружина растянулась на х=9 см. Каков будет период Т коле­баний грузика, если его немного оттянуть вниз и затем отпустить?

6.38. Гиря, подвешенная к пружине, колеблется по вертикали с амплитудой A =4 см. Определить полную энергию Е колебаний гири, если жесткость k пружины равна 1 кН/м.

6.39. Найти отношение длин двух математических маятников, если отношение периодов их колебаний равно 1,5.

6.40. l= 1м установлен в лиф­те. Лифт поднимается с ускорением а =2,5 м/с 2 . Определить период Т колебаний маятника.

6.41. На концах тонкого стержня длиной l =30 см укреплены оди­наковые грузики по одному на каждом конце. Стержень с грузиками колеблется около горизонтальной оси, проходящей через точку, удаленную на d=10 см от одного из концов стержня. Определить приведенную длину L и период Т колебаний такого физического ма­ятника. Массой стержня пренебречь.

6.42. На стержне длиной l =30 см укреплены два одинаковых грузика: один - в середине стержня, другой - на одном из его концов. Стержень с грузиком колеблется около горизонтальной оси, проходящей через свободный конец стержня. Определить приведен­ную длину L и период Т колебаний такой системы. Массой стержня пренебречь.

6.43. Система из трех грузов, соединенных стержнями длиной l =30 см (рис. 6.6), колеблется относительно горизонтальной оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости чертежа. Найти период Т колебаний системы. Массами стержней пренебречь, грузы рассматривать как материальные точки.

6.44. Тонкий обруч, повешенный на гвоздь, вбитый горизонтально в стену, колеблется в плоскости, параллельной стене. Ра­диус R обруча равен 30 см. Вычислить период Т колебаний обруча.

Рис. 6.6

Рис. 6.7

6.45. Однородный диск радиусом R =30 см колеблется около го­ризонтальной оси, проходящей через одну из образующих цилинд­рической поверхности диска. Каков период Т его колебаний?

6.46. Диск радиусом R= 24см колеблется около горизонтальной оси, проходящей через середину одного из радиусов перпендикулярно плоскости диска. Определить приведенную длину L и период Т колебаний такого маятника.

6.47. Из тонкого однородного диска радиусом R =20 см вырезана часть, имеющая вид круга радиусом r= 10см, так, как это показа­но на рис. 6.7. Оставшаяся часть диска колеблется относительно горизонтальной оси О, совпадающей с одной из образующих ци­линдрической поверхности диска. Найти период Т колебаний такого маятника.

6.48. Математический маятник длиной l 1 =40 см и физический маятник в виде тонкого прямого стержня длиной l 2 =60 см син­хронно колеблются около одной и той же горизонтальной оси. Определить расстояние а центра масс стержня от оси колебаний.

6.49. Физический маятник в виде тонкого прямого стержня дли­ной l =120 см колеблется около горизонтальной оси, проходящей перпендикулярно стержню через точку, удаленную на некоторое расстояние а от центра масс стержня. При каком значении а период Т колебаний имеет наименьшее значение?

6.50. т с укрепленным на нем маленьким шариком массой т. Маятник совершает колебания около горизонтальной оси, проходящей через точку О на стержне. Определить период Т гармонических колебаний маятника для случаев а, б, в, г, изобра­женных на рис. 6.8. Длина l стержня равна 1 м. Шарик рассматри­вать как материальную точку.

Рис. 6.9

Рис. 6.8

6.51. Физический маятник представляет собой тонкий однород­ный стержень массой т с укрепленными на нем двумя маленькими шариками массами т и 2т . Маятник совершает колебания около горизонтальной оси, проходящей через точку О на стержне. Опре­делить частоту ν гармонических колебаний маятника для случаев а, б, в, г, изображенных на рис. 6.9. Длина l стержня равна 1 м. Шарики рассматривать как материальные точки.

6.52. Тело массой т =4 кг, закрепленное на горизонтальной оси, совершало колебания с периодом T 1 =0,8 с. Когда на эту ось был насажен диск так, что его ось совпала с осью колебаний тела, пери­од T 2 колебаний стал равным 1,2 с. Радиус R диска равен 20 см, масса его равна массе тела. Найти момент инерции J тела относи­тельно оси колебаний.

6.53. Ареометр массой т =50 г, имеющий трубку диаметром d = 1 см, плавает в воде. Ареометр немного погрузили в воду и затем предоставили самому себе, в результате чего он стал совершать гармонические колебания. Найти период Т этих колебаний.

6.54. В открытую с обоих концов U-образную трубку с площа­дью поперечного сечения S =0,4 см 2 быстро вливают ртуть массой т =200 г. Определить период Т колебаний ртути в трубке.

6.55. Набухшее бревно, сечение которого постоянно по всей длине, погрузилось вертикально в воду так, что над водой находит­ся лишь малая (по сравнению с длиной) его часть. Период Т коле­баний бревна равен 5 с. Определить длину l бревна.

Затухающие колебания

6.56. Амплитуда затухающих колебаний маятника за время t 1 =5 мин уменьшилась в два раза. За какое время t 2 , считая от на­чального момента, амплитуда уменьшится в восемь раз?

6.57. За время t =8 мин амплитуда затухающих колебаний маятника уменьшилась в три раза. Определить коэффициент затухания δ.

6.58. Амплитуда колебаний маятника длиной l= 1м за время t =10 мин уменьшилась в два раза. Определить логарифмический декремент колебаний Θ.

6.59. Логарифмический декремент колебаний Θ маятника равен 0,003. Определить число N полных колебаний, которые должен сде­лать маятник, чтобы амплитуда уменьшилась в два раза.

6.60. Гиря массой т =500 г подвешена к спиральной пружине жесткостью k =20 Н/м и совершает упругие колебания в некоторой среде. Логарифмический декремент колебаний Θ=0,004. Опреде­лить число N полных колебаний, которые должна совершить гиря, чтобы амплитуда колебаний уменьшилась в n =2 раза. За какое вре­мя t произойдет это уменьшение?

6.61. Тело массой т =5 г совершает затухающие колебания. В течение времени t= 50с тело потеряло 60 % своей энергии. Опре­делить коэффициент сопротивления b.

6.62. Определить период Т затухающих колебаний, если период Т 0 собственных колебаний системы равен 1 с и логарифмический декремент колебаний Θ=0,628.

6.64. Тело массой т =1 кг нахо­дится в вязкой среде с коэффициентом сопротивления b =0,05 кг/с. С по­мощью двух одинаковых пружин жесткостью k =50 Н/м каждое тело удерживается в положении равнове­сия, пружины при этом не деформиро­ваны (рис. 6.10). Тело сместили от положения равновесия и

отпустили. Определить: 1) коэффициент затухания δ; 2) частоту ν колебаний; 3) логарифмический декре­мент колебаний Θ; 4) число N колебаний, по прошествии которых амплитуда уменьшится в е раз.

Вынужденные колебания. Резонанс

6.65. Под действием силы тяжести электродвигателя консольная балка, на которой он установлен, прогнулась на h =1 мм. При какой частоте вращения п якоря электродвигателя может возникнуть опасность резонанса?

6.66. Вагон массой т =80 т имеет четыре рессоры. Жесткость k пружин каждой рессоры равна 500 кН/м. При какой скорости υвагон начнет сильно раскачиваться вследствие толчков на стыках рельс, если длина l рельса равна 12,8 м?

6.67. Колебательная система совершает затухающие колебания с частотой ν=1000 Гц. Определить частоту ν 0 собственных колеба­ний, если резонансная частота ν pe з =998 Гц.

6.68. Определить, на сколько резонансная частота отличается от частоты ν 0 =l кГц собственных колебаний системы, характери­зуемой коэффициентом затухания δ=400 с -1 .

6.69. Определить логарифмический декремент колебаний Θ коле­бательной системы, для которой резонанс наблюдается при частоте, меньшей собственной частоты ν 0 =10 кГц на Δν=2 Гц.

6.70. Период Т 0 собственных колебаний пружинного маятника равен 0,55 с. В вязкой среде период Т того же маятника стал рав­ным 0,56 с. Определить резонансную частоту ν pe з колебаний.

6.71. Пружинный маятник (жесткость k пружины равна 10 Н/м, масса т груза равна 100 г) совершает вынужденные колебания в вязкой среде с коэффициентом сопротивления r =2·10 -2 кг/с. Опре­делить коэффициент затухания δ и резонансную амплитуду A рез, если амплитудное значение вынуждающей силы F 0 =10 мН.

6.72. Тело совершает вынужденные колебания в среде с коэффи­циентом сопротивления r= 1г/с. Считая затухание малым, опреде­лить амплитудное значение вынуждающей силы, если резонансная амплитуда A рез =0,5 см и частота ν 0 собственных колебаний равна 10 Гц.

6.73. Амплитуды вынужденных гармонических колебаний при частоте ν 1 =400 Гц и ν 2 =600 Гц равны между собой. Определить ре­зонансную частоту ν pe з. Затуханием пренебречь.

6.74. К спиральной пружине жесткостью k= 10Н/м подвесили грузик массой т =10 г и погрузили всю систему в вязкую среду. Приняв коэффициент сопротивления b равным 0,1 кг/с, определить: 1) частоту ν 0 собственных колебаний; 2) резонансную частоту ν pe з; 3) резонансную амплитуду A рез, если вынуждающая сила изменя­ется по гармоническому закону и ее амплитудное значение F 0 = =0,02 Н; 4) отношение резонансной амплитуды к статическому сме­щению под действием силы F 0 .

6.75. Во сколько раз амплитуда вынужденных колебаний будет меньше резонансной амплитуды, если частота изменения вынуж­дающей силы будет больше резонансной частоты: 1) на 10 %? 2) в два раза? Коэффициент затухания δ в обоих случаях принять равным 0,1 ω 0 (ω 0 - угловая частота собственных колебаний).

>>Физика: Механические колебания

Колебания являются очень распространенным видом движения. Это покачивание веток деревьев на ветру, вибрация струн у музыкальных инструментов, движение поршня в цилиндре двигателя автомобиля, качания маятника в настенных часах и даже биения нашего сердца.

Сегодняшняя тема урока будет посвящена изучению колебания и колебательных движений.

Процесс колебания является самым распространенным видом движения, которые существуют в природе. А если мы этот процесс будем рассматривать с точки зрения механических движений, то колебания можно назвать самым распространенным видом механического движения.

Под таким понятием, как колебание, принято считать такое движение, которое повторяется полностью или частично с течением времени.

Как вы думаете, являются ли колебательными движениями качание деревьев или шевеление листвы под воздействием ветра? Естественно такое движение можно отнести к колебаниям. Также колебательные движения выполняют качающиеся качели, вибрирующие струны музыкальных инструментов и качание маятника в часах. И даже любое движение человеческого тела и наше сердцебиение, которое повторяется на протяжении времени, также выполняет колебательные движения.

Ну что ж, теперь мы можем сделать вывод и дать определение этому явлению.

Процесс, который повторяется с течением времени, называется колебанием.

Условия, необходимые для колебаний

Теперь давайте с вами на примерах пружинного и нитяного маятников более подробно рассмотрим процесс колебательных движений.

А сейчас давайте обратим внимание на наши рисунки, на которых изображены данные маятники.

На первом рисунке нам представлен, так званый нитяной маятник, этот маятник еще называют математическим. Теперь рассмотрим, что собой представляет этот математический маятник. А представляет он некое массивное тело, в данном случае шарик, который подвешен на длинную и тонкую нить. Если мы попробуем взять и сместить его в сторону, нарушив его равновесие, а потом отпустим, то этот шарик будет выполнять повторяющиеся движения в стороны, и при этом он периодически будет проходить через положение равновесия. В этом случае, можно сказать, что данный шарик начнет выполнять колебательные движения, то есть колебаться.

Теперь рассмотрим следующий рисунок, на котором изображен пружинный маятник. Это маятник представлен в виде грузика, который закреплен на пружине и под действием силы упругости этой пружины, способен выполнять колебательные движения.

Но, как вы уже видите с приведенных примеров, что для осуществления колебаний необходимы некоторые условия.

Для существования колебаний необходимо:

Во-первых, наличие самой колебательной системы. А в нашем случае, такой системой являются данные маятники, которые способны осуществить эти колебательные движения.
Во-вторых, необходимо иметь точку равновесия и притом равновесия устойчивого.
В-третьих, обязательное наличие запасов энергии, с помощью которой и будут осуществляться колебательные движения.
И, в-четвертых, наличие небольшой силы трения, так как если сила трения будет большой, то, естественно, что ни о каких колебаниях не может идти никакой речи.

Единицы измерения амплитуды колебаний

Величинами, которые характеризуют колебательные движения, являются:

1. Амплитуда, которую обозначают символом «А» и измеряют в таких единицах длины, как метры, сантиметры и т.д. Как правило, амплитудой принято считать максимальное расстояние, на которое колеблется тело от своего положения равновесия.

2. Период, который обозначают символом «Т» и измеряют в единицах времени, то есть в минутах, секундах и т.д. Период является тем временем, за которое происходит одно колебание.

3.Частота, которую обозначают символом «V». Частотой колебаний принято считать то количество колебаний, которое осуществляется за 1 с.

В системе СИ единицу частоты принято называть «герцем». Свое название она получила в честь немецкого физика Г. Герца.

Если припустим, частота колебаний будет равна 1 Гц, то это будет значить, что одно колебание совершается за одну секунду. В случае, если частота будет равняться v = 50 Гц, то естественно, что за каждую секунду будут совершено 50 колебаний.

Формулы амплитуды колебаний

А теперь давайте перейдем к рассмотрению формул колебаний. Здесь следует отметить, что для периода Т и частоты v колебаний правильными будут те же формулы, которые используют и для периода и частоты обращения.

Рассмотрим значения этих формул более подробно:

1. Во-первых, для того чтобы найти период колебаний, нам необходимо взять время t, за которое было совершено какое-то количество колебаний и разделить на n, которое является числом этих колебаний и получим такую формулу:

2. Во-вторых, если нам необходимо найти частоту колебаний, то нужно взять число колебаний и разделить их на время, в течение которого эти колебания происходили. В итоге, у нас получилась такая формула:

Но чтобы лучше понять, как производить подсчет числа колебаний, необходимо иметь представление того, что такое одно полное колебание. Для этого опять вернемся к рассмотрению рис. 30, где нам наглядно показано, что маятник начинает свое движение из положения 1, дальше он проходит положение равновесия и переходит в положение 2, а дальше он возвращается из второго положения в положение равновесия и снова возвращается в положение 1. Вот этот весь процесс и является одним колебанием.

Стоит обратить внимание на то, что при сравнении этих двух формул период и частота колебаний, являются величинами взаимно обратными, т. е.

График колебаний

Как вам уже известно, из сегодняшнего урока, что положение тела в процессе колебания непрерывно меняется.

Графиком колебаний называют такой график зависимости, где координаты колеблющегося тела зависят от времени.

А теперь давайте рассмотрим, что собой представляет график колебаний. Для этого мы возьмем и по горизонтальной оси нашего графика отложим время t, а координату х разместим на вертикальной оси. Теперь, с помощью модуля, этой координаты мы видим на каком расстоянии от первоначального положения, то есть положения равновесия, находится колеблющееся тело на данный момент времени.

А, когда данное тело переходит через положение равновесия, то в этом случае знак координаты измениться на противоположный. То есть, этот знак нам показывает, что тело переместилось на другую сторону от положения равновесия.

Практическая работа

А теперь давайте проведем несколько интересных опытов. Для этого пружинный маятник попробуем соединить с пишущим устройством. А дальше начнем равномерно перемещать бумажную ленту перед этим колеблющимся телом. Если вы внимательно посмотрите на рис 32, то увидите, как с помощью кисточки на ленте появляется линия, которая будет совпадать с графиком колебаний.

На рисунке 33 изображена установка нитяного маятника, где также можно записать колебания этого маятника. В данном примере маятником здесь служит воронка с песком. Мы точно также помещаем бумажную ленту под колеблющейся воронкой и наблюдаем, как песок, который сыпется из воронки, оставляет соответствующий след.

Теперь мы видим, что на протяжении незначительных интервалов и при довольно таки малом трении, графиком колебаний этих маятников является синусоида.

Так, например, на графике нам видны все колебательные движения, где A = 5 см, Т = 4 с и v= 1/T = 0,25 Гц.

Предыдущая статья: Чему равна скорость света Следующая статья: Углерод — характеристика элемента и химические свойства