Что такое математика.

Идеализированные свойства исследуемых объектов либо формулируются в виде аксиом , либо перечисляются в определении соответствующих математических объектов. Затем по строгим правилам логического вывода из этих свойств выводятся другие истинные свойства (теоремы). Эта теория в совокупности образует математическую модель исследуемого объекта. Таким образом, первоначально исходя из пространственных и количественных соотношений, математика получает более абстрактные соотношения, изучение которых также является предметом современной математики .

Традиционно математика делится на теоретическую, выполняющую углублённый анализ внутриматематических структур, и прикладную, предоставляющую свои модели другим наукам и инженерным дисциплинам, причём некоторые из них занимают пограничное с математикой положение. В частности, формальная логика может рассматриваться и как часть философских наук , и как часть математических наук; механика - и физика , и математика; информатика , компьютерные технологии и алгоритмика относятся как к инженерии , так и к математическим наукам и т. д. В литературе было предложено много различных определений математики.

Этимология

Слово «математика» произошло от др.-греч. μάθημα , что означает изучение , знание , наука , и др.-греч. μαθηματικός , первоначально означающего восприимчивый, успевающий , позднее относящийся к изучению , впоследствии относящийся к математике . В частности, μαθηματικὴ τέχνη , на латыни ars mathematica , означает искусство математики . Термин др.-греч. μᾰθημᾰτικά в современном значении этого слова «математика» встречается уже в трудах Аристотеля (IV век до н. э.). По мнению Фасмера в русский язык слово пришло либо через польск. matematyka , либо через лат. mathematica .

Определения

Одно из первых определений предмета математики дал Декарт :

К области математики относятся только те науки, в которых рассматривается либо порядок, либо мера, и совершенно не существенно, будут ли это числа, фигуры, звёзды, звуки или что-нибудь другое, в чём отыскивается эта мера. Таким образом, должна существовать некая общая наука, объясняющая всё относящееся к порядку и мере, не входя в исследование никаких частных предметов, и эта наука должна называться не иностранным, но старым, уже вошедшим в употребление именем Всеобщей математики.

В советское время классическим считалось определение из БСЭ , данное А. Н. Колмогоровым :

Математика… наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.

Сущность математики… представляется теперь как учение об отношениях между объектами, о которых ничего не известно, кроме описывающих их некоторых свойств, - именно тех, которые в качестве аксиом положены в основание теории… Математика есть набор абстрактных форм - математических структур.

Разделы математики

1. Математика как учебная дисциплина подразделяется в Российской Федерации на элементарную математику , изучаемую в средней школе и образованную дисциплинами:

• элементарная геометрия : планиметрия и стереометрия
• теория элементарных функций и элементы анализа

4. Американское математическое общество (AMS) выработало свой стандарт для классификации разделов математики. Он называется Mathematics Subject Classification . Этот стандарт периодически обновляется. Текущая версия - это MSC 2010 . Предыдущая версия - MSC 2000 .

Обозначения

Поскольку математика работает с чрезвычайно разнообразными и довольно сложными структурами, система обозначений в ней также очень сложна. Современная система записи формул сформировалась на основе европейской алгебраической традиции, а также потребностей возникших позднее разделов математики - математического анализа , математической логики , теории множеств и др. Геометрия испокон века пользовалась наглядным (геометрическим же) представлением. В современной математике распространены также сложные графические системы записи (например, коммутативные диаграммы), нередко также применяются обозначения на основе графов .

Краткая история

Развитие математики опирается на письменность и умение записывать числа. Наверно, древние люди сначала выражали количество путём рисования чёрточек на земле или выцарапывали их на древесине. Древние инки , не имея иной системы письменности, представляли и сохраняли числовые данные, используя сложную систему верёвочных узлов, так называемые кипу . Существовало множество различных систем счисления . Первые известные записи чисел были найдены в папирусе Ахмеса , созданном египтянами Среднего царства . Индская цивилизация разработала современную десятичную систему счисления , включающую концепцию нуля .

Исторически основные математические дисциплины появились под воздействием необходимости вести расчёты в коммерческой сфере, при измерении земель и для предсказания астрономических явлений и, позже, для решения новых физических задач. Каждая из этих сфер играет большую роль в широком развитии математики, заключающемся в изучении структур , пространств и изменений.

Философия математики

Цели и методы

Математика изучает воображаемые, идеальные объекты и соотношения между ними, используя формальный язык. В общем случае математические понятия и теоремы не обязательно имеют соответствие чему-либо в физическом мире. Главная задача прикладного раздела математики - создать математическую модель , достаточно адекватную исследуемому реальному объекту. Задача математика-теоретика - обеспечить достаточный набор удобных средств для достижения этой цели.

Содержание математики можно определить как систему математических моделей и инструментов для их создания. Модель объекта учитывает не все его черты, а только самые необходимые для целей изучения (идеализированные). Например, изучая физические свойства апельсина, мы можем абстрагироваться от его цвета и вкуса и представить его (пусть не идеально точно) шаром. Если же нам надо понять, сколько апельсинов получится, если мы сложим вместе два и три, - то можно абстрагироваться и от формы, оставив у модели только одну характеристику - количество. Абстракция и установление связей между объектами в самом общем виде - одно из главных направлений математического творчества.

Другое направление, наряду с абстрагированием - обобщение . Например, обобщая понятие «пространство » до пространства n-измерений. «Пространство R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} , при n > 3 {\displaystyle n>3} является математической выдумкой. Впрочем, весьма гениальной выдумкой, которая помогает математически разбираться в сложных явлениях ».

Изучение внутриматематических объектов, как правило, происходит при помощи аксиоматического метода : сначала для исследуемых объектов формулируются список основных понятий и аксиом , а затем из аксиом с помощью правил вывода получают содержательные теоремы , в совокупности образующие математическую модель.

Основания

Интуиционизм

Интуиционизм предполагает в основании математики интуиционистскую логику , более ограниченную в средствах доказательства (но, как считается, и более надёжную). Интуиционизм отвергает доказательство от противного , многие неконструктивные доказательства становятся невозможными, а многие проблемы теории множеств - бессмысленными (неформализуемыми).

Конструктивная математика

Конструктивная математика - близкое к интуиционизму течение в математике, изучающее конструктивные построения [прояснить ] . Согласно критерию конструктивности - «существовать - значит быть построенным ». Критерий конструктивности - более сильное требование, чем критерий непротиворечивости.

Основные темы

Количество

Основной раздел, рассматривающий абстракцию количества - алгебра . Понятие «число» первоначально зародилось из арифметических представлений и относилось к натуральным числам . В дальнейшем оно, с помощью алгебры , было постепенно распространено на целые , рациональные , действительные , комплексные и другие числа.

Преобразования

Явления преобразований и изменений в самом общем виде рассматривает анализ .

Структуры

Пространственные отношения

Основы пространственных отношений рассматривает геометрия . Тригонометрия рассматривает свойства тригонометрических функций . Изучением геометрических объектов посредством математического анализа занимается дифференциальная геометрия . Свойства пространств, остающихся неизменными при непрерывных деформациях и само явление непрерывности изучает топология .

Дискретная математика

Математика - царица всех наук
Гаусс Карл Фридрих

Математика - наука, исторически основанная на решении задач о количественных и пространственных соотношениях реального мира путём идеализации необходимых для этого свойств объектов и формализации этих задач. Наука, занимающаяся изучением чисел, структур, пространств и преобразований.

Как правило, люди думают, что математика - это всего лишь арифметика, то есть изучение чисел и действий с их помощью, например, умножения и деления. На самом деле математика - это намного больше. Это способ описать мир и то, как одна его часть сочетается с другой. Взаимоотношения чисел выражаются в математических символах, которые описывают Вселенную, в которой мы живем. Любой нормальный ребенок может преуспевать в математике, потому что «ощущение числа» - это врожденная способность. Правда, для этого нужно приложить некоторые усилия и затратить немного времени.

Умение считать - это еще не все. Ребенку необходимо уметь хорошо выражать свои мысли, чтобы понимать задачи и устанавливать связи между фактами, которые хранятся в памяти. Для того чтобы выучить таблицу умножения, нужны память и речь. Именно поэтому некоторым людям с поврежденным мозгом трудно умножать, хотя другие виды счета не представляют для них сложности.

Для того чтобы хорошо знать геометрию и разбираться в форме и пространстве, требуются и другие виды мышления. С помощью математики мы решаем в жизни проблемы, например, делим шоколадку поровну или находим нужный размер ботинок. Благодаря знанию математики ребенок умеет копить карманные деньги и понимает, что можно купить и сколько денег тогда у него останется. Математика — это еще и способность отсчитать нужное количество семян и посеять их в горшочек, отмерять нужное количество муки для пирога или ткани на платье, понять счет футбольной игры и множество других повседневных дел. Везде: в банке, в магазине, дома, на работе — нам необходимо умение понимать числа, формы и меры и обращаться с ними. Числа - это только часть особого математического языка, а лучший способ выучить любой язык - это применять его. И начинать лучше с ранних лет.

О математике «умно»

Обычно идеализированные свойства исследуемых объектов и процессов формулируются в виде аксиом, затем по строгим правилам логического вывода из них выводятся другие истинные свойства (теоремы). Эта теория в совокупности образует математическую модель исследуемого объекта. Т.о. первоначально исходя из пространственных и количественных соотношений, математика получает более абстрактные соотношения, изучение которых также является предметом современной математики.

Традиционно математика делится на теоретическую, выполняющую углублённый анализ внутриматематических структур, и прикладную, предоставляющую свои модели другим наукам и инженерным дисциплинам, причём некоторые из них занимают пограничное к математике положение. В частности, формальная логика может рассматриваться и как часть философских наук, и как часть математических наук; механика - и физика, и математика; информатика, компьютерные технологии и алгоритмика относятся как к инженерии, так и к математическим наукам и т. д. В литературе существует много различных определений математики.

Разделы математики

• Математический анализ.
• Алгебра.
• Аналитическая геометрия.
• Линейная алгебра и геометрия.
• Дискретная математика.
• Математическая логика.
• Дифференциальные уравнения.
• Дифференциальная геометрия.
• Топология.
• Функциональный анализ и интегральные уравнения.
• Теория функций комплексного переменного.
• Уравнения с частными производными.
• Теория вероятностей.
• Математическая статистика.
• Теория случайных процессов.
• Вариационное исчисление и методы оптимизации.
• Методы вычислений, то есть численные методы.
• Теория чисел.

Цели и методы

Математика изучает воображаемые, идеальные объекты и соотношения между ними, используя формальный язык. В общем случае математические понятия и теоремы не обязательно имеют соответствие чему-либо в физическом мире. Главная задача прикладного математика - создать математическую модель, достаточно адекватную исследуемому реальному объекту. Задача математика-теоретика - обеспечить достаточный набор удобных средств для достижения этой цели.

Содержание математики можно определить как систему математических моделей и инструментов для их создания. Модель объекта учитывает не все его черты, а только самые необходимые для целей изучения (идеализированные). Например, изучая физические свойства апельсина, мы можем абстрагироваться от его цвета и вкуса и представить его (пусть не идеально точно) шаром. Если же нам надо понять, сколько апельсинов получится, если мы сложим вместе два и три, - то можно абстрагироваться и от формы, оставив у модели только одну характеристику - количество. Абстракция и установление связей между объектами в самом общем виде - одно из главных направлений математического творчества.

Другое направление, наряду с абстрагированием - обобщение. Например, обобщая понятие «пространство» до пространства n-измерений. Пространство R n , при n>3 является математической выдумкой. Впрочем, весьма гениальной выдумкой, которая помогает математически разбираться в сложных явлениях.

Изучение внутриматематических объектов, как правило, происходит при помощи аксиоматического метода: сначала для исследуемых объектов формулируются список основных понятий и аксиом, а затем из аксиом с помощью правил вывода получают содержательные теоремы, в совокупности образующие математическую модель.

Видео-лекция Смирнова С.К. и Ященко И.В. «Что такое математика»:

Математика - одна из древнейших наук. Дать краткое определение математики совсем не просто, его содержание будет очень сильно меняться в зависимости от уровня математического образования человека. Школьник начальных классов, только приступивший к изучению арифметики, скажет, что математика изучает правила счета предметов. И он будет прав, поскольку именно с этим он знакомится на первых порах. Школьники постарше добавят к сказанному, что в понятие математики входят алгебра и изучение геометрических объектов: линий, их пересечений, плоских фигур, геометрических тел, разного рода преобразований. Выпускники же средней школы включат в определение математики еще изучение функций и действие перехода к пределу, а также связанные с ним понятия производной и интеграла. Выпускников высших технических учебных заведений или естественнонаучных факультетов университетов и педагогических институтов уже не удовлетворят школьные определения, поскольку они знают, что в состав математики входят и другие дисциплины: теория вероятностей, математическая статистика, дифференциальное исчисление, программирование, вычислительные методы, а также применения названных дисциплин для моделирования производственных процессов, обработки опытных данных, передачи и обработки информации. Однако и тем, что перечислено, не исчерпывается содержание математики. Теория множеств, математическая логика, оптимальное управление, теория случайных процессов и многое другое также входят в её состав.

Попытки определить математику путем перечисления составляющих её ветвей уводят нас в сторону, поскольку не дают представления о том, что же именно изучает математика и каково её отношение к окружающему нас миру. Если бы подобный вопрос был задан физику, биологу или астроному, то каждый из них дал бы весьма краткий ответ, не содержащий перечисления частей, из которых состоит изучаемая ими наука. Такой ответ содержал бы указание на явления природы, которые она исследует. Например, биолог заявил бы, что биология изучает различные проявления жизни. Пусть этот ответ не вполне закончен, поскольку в нем не говорится, что такое жизнь и жизненные явления, но тем не менее такое определение дало бы достаточно полное представление о содержании самой науки биологии и о разных уровнях этой науки. И это определение не изменилось бы с расширением наших знаний по биологии.

Не существует таких явлений природы, технических или социальных процессов, которые были бы предметом изучения математики, но при этом не относились бы к явлениям физическим, биологическим, химическим, инженерным или социальным. Каждая естественнонаучная дисциплина: биология и физика, химия и психология - определяется материальной особенностью своего предмета, специфическими чертами той области реального мира, которую она изучает. Сам предмет или явление может изучаться разными методами, в том числе и математическими, но, изменяя методы, мы все же остаемся в пределах данной дисциплины, поскольку содержанием данной науки является реальный предмет, а не метод исследования. Для математики же материальный предмет исследования не имеет решающего значения, важен применяемый метод. Например, тригонометрические функции можно использовать и для исследования колебательного движения, и для определения высоты недоступного предмета. А какие явления реального мира можно исследовать с помощью математического метода? Эти явления определяются не их материальной природой, а исключительно формальными структурными свойствами, и прежде всего теми количественными соотношениями и пространственными формами, в которых они существуют.

Итак, математика изучает не материальные предметы, а методы исследования и структурные свойства объекта исследования, которые позволяют применять к нему некоторые операции (суммирование, дифференцирование и др.). Однако значительная часть математических проблем, понятий и теорий имеет своим первичным источником реальные явления и процессы. Например, арифметика и теория чисел выделились из первичной практической задачи - подсчета предметов. Элементарная геометрия имела своим источником проблемы, связанные со сравнением расстояний, вычислением площадей плоских фигур или же объемов пространственных тел. Все это требовалось находить, поскольку необходимо было перераспределять земельные участки между пользователями, вычислять размеры зернохранилищ или же объемы земляных работ при строительстве оборонных сооружений.

Математический результат обладает тем свойством, что его можно не только применять при изучении какого‑то одного определенного явления или процесса, но и использовать для исследования других явлений, физическая природа которых принципиально отлична от ранее рассмотренных. Так, правила арифметики применимы и в задачах экономики, и в технических вопросах, и при решении задач сельского хозяйства, и в научных исследованиях. Арифметические правила были разработаны тысячелетия назад, но прикладную ценность они сохранили на вечные времена. Арифметика представляет собой составную часть математики, её традиционная часть уже не подвергается творческому развитию в рамках математики, но она находит и будет в дальнейшем находить многочисленные новые применения. Эти применения могут иметь огромное значение для человечества, но вклада собственно в математику они уже не внесут.

Математика, как творческая сила, имеет своей целью разработку общих правил, которыми следует пользоваться в многочисленных частных случаях. Тот, кто создает эти правила, создает новое, творит. Тот, кто применяет уже готовые правила, в самой математике уже не творит, но, вполне возможно, создает с помощью математических правил новые ценности в других областях знания. Например, в наши дни данные дешифровки космических снимков, а также сведения о составе и возрасте горных пород, геохимических и геофизических аномалиях обрабатываются с помощью компьютеров. Несомненно, что применение компьютера в геологических исследованиях оставляет эти исследования геологическими. Принципы же работы компьютеров и их математическое обеспечение разрабатывались без учета возможности их использования в интересах геологической науки. Сама эта возможность определяется тем, что структурные свойства геологических данных находятся в соответствии с логикой определенных программ работы компьютера.

Получили широкое распространение два определения математики. Первое из них было дано Ф. Энгельсом в работе «Анти‑Дюринг», другое - группой французских математиков, известной под именем Никола Бурбаки, в статье «Архитектура математики» (1948).

«Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира». Это определение не только описывает объект изучения математики, но и указывает его происхождение - действительный мир. Однако, это определение Ф. Энгельса в значительной мере отражает состояние математики во второй половине XIX в. и не учитывает те её новые области, которые непосредственно не связаны ни с количественными отношениями, ни с геометрическими формами. Это, прежде всего, математическая логика и дисциплины, связанные с программированием. Поэтому данное определение нуждается в некотором уточнении. Возможно, нужно сказать, что математика имеет своим объектом изучения пространственные формы, количественные отношения и логические конструкции.

Бурбаки утверждают, что «единственными математическими объектами становятся, собственно говоря, математические структуры». Иначе говоря, математику следует определить как науку о математических структурах. Это определение в сущности является тавтологией, поскольку оно утверждает только одно: математика занимается теми объектами, которые она изучает. Другой дефект этого определения состоит в том, что оно не выясняет отношения математики к окружающему нас миру. Более того, Бурбаки подчеркивают, что математические структуры создаются независимо от реального мира и его явлений. Вот почему Бурбаки были вынуждены заявить, что «основная проблема состоит во взаимоотношении мира экспериментального и мира математического. То, что между экспериментальными явлениями и математическими структурами существует тесная связь, - это, как кажется, было совершенно неожиданным образом подтверждено открытиями современной физики, но нам совершенно неизвестны глубокие причины этого... и, быть может, мы их никогда не узнаем».

Из определения Ф. Энгельса не может возникнуть подобного разочаровывающего вывода, поскольку в нем уже содержится утверждение о том, что математические понятия являются абстракциями от некоторых отношений и форм реального мира. Эти понятия берутся из реального мира и с ним связаны. В сущности, именно этим и объясняется поразительная применимость результатов математики к явлениям окружающего нас мира, а вместе с тем и успех процесса математизации знаний.

Математика не является исключением из всех областей знания - в ней также образуются понятия, возникающие из практических ситуаций и последующих абстрагирований; она позволяет изучать действительность также приближенно. Но при этом следует иметь в виду, что математика изучает не вещи реального мира, а абстрактные понятия и что логические её выводы абсолютно строги и точны. Её приближенность носит не внутренний характер, а связана с составлением математической модели явления. Заметим еще, что правила математики не обладают абсолютной применимостью, для них также существует ограниченная область применения, где они господствуют безраздельно. Поясним высказанную мысль примером: оказывается, что два и два не всегда равно четырем. Известно, что при смешивании 2 л спирта и 2 л воды получается меньше 4 л смеси. В этой смеси молекулы располагаются компактнее, и объем смеси оказывается меньше суммы объемов составляющих компонентов. Правило сложения арифметики нарушается. Можно еще привести примеры, в которых нарушаются другие истины арифметики, например при сложении некоторых объектов оказывается, что сумма зависит от порядка суммирования.

Многие математики рассматривают математические понятия не как создание чистого разума, а как абстракции от реально существующих вещей, явлений, процессов или же абстракции от уже сложившихся абстракций (абстракции высших порядков). В «Диалектике природы» Ф. Энгельс писал, что «…вся так называемая чистая математика занимается абстракциями… все её величины суть, строго говоря, воображаемые величины…» Эти слова достаточно четко отражают мнение одного из основоположников марксистской философии о роли абстракций в математике. Нам только следует добавить, что все эти «воображаемые величины» берутся из реальной действительности, а не конструируются произвольно, свободным полетом мысли. Именно так вошло во всеобщее употребление понятие числа. Сначала это были числа в пределах единиц, и притом только целые положительные числа. Затем опыт заставил расширить арсенал чисел до десятков и сотен. Представление о неограниченности ряда целых чисел родилось уже в исторически близкую нам эпоху: Архимед в книге «Псаммит» («Исчисление песчинок») показал, как можно конструировать числа еще большие, чем заданные. Одновременно из практических нужд родилось понятие дробных чисел. Вычисления, связанные с простейшими геометрическими фигурами, привели человечество к новым числам - иррациональным. Так постепенно формировалось представление о множестве всех действительных чисел.

Тот же путь можно проследить для любых других понятий математики. Все они возникли из практических потребностей и постепенно сформировались в абстрактные понятия. Можно опять вспомнить слова Ф. Энгельса: «…чистая математика имеет значение, независимое от особого опыта каждой отдельной личности… Но совершенно неверно, будто в чистой математике разум имеет дело только с продуктами собственного творчества и воображения. Понятия числа и фигуры взяты не откуда‑нибудь, а только из действительного мира. Десять пальцев, на которых люди научились считать, т. е. производить первую арифметическую операцию, представляют собой все, что угодно, только не продукт свободного творчества разума. Чтобы считать, надо иметь не только предметы, подлежащие счету, но обладать уже и способностью отвлекаться при рассмотрении этих предметов от всех прочих свойств, кроме числа, а эта способность есть результат долгого исторического развития, опирающегося на опыт. Как понятие числа, так и понятие фигуры заимствовано исключительно из внешнего мира, а не возникло в голове из чистого мышления. Должны были существовать вещи, имеющие определенную форму, и эти формы должны были подвергаться сравнению, прежде чем можно было прийти к понятию фигуры».

Рассмотрим, имеются ли в науке понятия, которые созданы без связи с прошлым прогрессом науки и текущим прогрессом практики. Мы прекрасно знаем, что научному математическому творчеству предшествует изучение многих предметов в школе, вузе, чтение книг, статей, беседы со специалистами как в собственной области, так и в других областях знания. Математик живет в обществе, и из книг, по радио, из других источников он узнает о проблемах, возникающих в науке, инженерном деле, общественной жизни. К тому же мышление исследователя находится под воздействием всей предшествовавшей эволюции научной мысли. Поэтому оно оказывается подготовленным к. решению определенных проблем, необходимых для прогресса науки. Вот почему ученый не может выдвигать проблемы по произволу, по прихоти, а должен создавать математические понятия и теории, которые были бы ценны для науки, для других исследователей, для человечества. А ведь математические теории сохраняют свое значение в условиях различных общественных формаций и исторических эпох. К тому же нередко одинаковые идеи возникают у ученых, которые никак не связаны между собой. Это является дополнительным аргументом против тех, кто придерживается концепции свободного творчества математических понятий.

Итак, мы рассказали, что же входит в понятие «математика». Но существует еще и такое понятие, как прикладная математика. Под ним понимают совокупность всех математических методов и дисциплин, находящих применения за пределами математики. В древности геометрия и арифметика представляли всю математику и, поскольку та и другая находили многочисленные применения при торговых обменах, измерении площадей и объемов, в вопросах навигации, вся математика была не только теоретической, но и прикладной. Позднее, в Древней Греции, возникло разделение на математику и на математику прикладную. Однако все выдающиеся математики занимались и применениями, а не только чисто теоретическими исследованиями.

Дальнейшее развитие математики было непрерывно связано с прогрессом естествознания, техники, с появлением новых общественных потребностей. К концу XVIII в. возникла необходимость (в первую очередь в связи с проблемами навигации и артиллерии) создания математической теории движения. Это сделали в своих работах Г. В. Лейбниц и И. Ньютон. Прикладная математика пополнилась новым очень мощным методом исследования - математическим анализом. Почти одновременно потребности демографии, страхования привели к формированию начал теории вероятностей (см. Вероятностей теория). XVIII и XIX вв. расширили содержание прикладной математики, добавив в нее теорию дифференциальных уравнений обыкновенных и с частными производными, уравнения математической физики, элементы математической статистики, дифференциальную геометрию. XX в. принес новые методы математического исследования практических задач: теорию случайных процессов, теорию графов, функциональный анализ, оптимальное управление, линейное и нелинейное программирование. Более того, выяснилось, что теория чисел и абстрактная алгебра нашли неожиданные применения к задачам физики. В результате стало складываться убеждение, что прикладной математики как отдельной дисциплины не существует и вся математика может считаться прикладной. Пожалуй, нужно говорить не о том, что математика бывает прикладная и теоретическая, а о том, что математики разделяются на прикладников и теоретиков. Для одних математика является методом познания окружающего мира и происходящих в нем явлений, именно для этой цели ученый развивает и расширяет математическое знание. Для других математика сама по себе представляет целый мир, достойный изучения и развития. Для прогресса науки нужны ученые и того, и другого плана.

Математика, прежде чем изучать своими методами какое‑нибудь явление, создает его математическую модель, т. е. перечисляет все те особенности явления, которые будут приниматься во внимание. Модель принуждает исследователя выбирать те математические средства, которые позволят вполне адекватно передать особенности изучаемого явления и его эволюции. В качестве примера возьмем модель планетной системы: Солнце и планеты рассматриваются как материальные точки с соответствующими массами. Взаимодействие каждых двух точек определяется силой притяжения между ними

где m 1 и m 2 - массы взаимодействующих точек, r - расстояние между ними, а f - постоянная тяготения. Несмотря на всю простоту этой модели, она в течение вот уже трехсот лет с огромной точностью передает особенности движения планет Солнечной системы.

Конечно, каждая модель огрубляет действительность, и задача исследователя состоит в первую очередь в том, чтобы предложить модель, передающую, с одной стороны, наиболее полно фактическую сторону дела (как принято говорить, её физические особенности), а с другой - дающую значительное приближение к действительности. Разумеется, для одного и того же явления можно предложить несколько математических моделей. Все они имеют право на существование до тех пор, пока не начнет сказываться существенное расхождение модели и действительности.

МАТЕМАТИКА – наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира; греческое слово (математикэ) происходит от греческого же слова (матема), означающего «знание», «наука».

Математика возникла в глубокой древности из практических потребностей людей. Её содержание и характер изменялись на протяжении всей истории и продолжают изменяться теперь. От первичных предметных представлений о целом положительном числе, а также от представления об отрезке прямой как кратчайшем расстоянии между двумя точками математика прошла длительный путь развития, прежде чем стала абстрактной наукой со специфическими методами исследования.

Современное понимание пространственных форм весьма широко. Оно включает в себя наряду с геометрическими объектами трехмерного пространства (прямая, круг, треугольник, конус, цилиндр, шар и пр.) также многочисленные обобщения – понятия многомерного и бесконечномерного пространства, а также геометрических объектовв них и многое другое. Точно так же количественные отношения выражаются теперь не только целыми положительными или рациональными числами, но и при помощи комплексных чисел, векторов, функций и пр. Развитие науки и техники заставляет математику непрерывно расширять представления о пространственных формах и количественных отношениях.

Понятия математики отвлечены от конкретных явлений и предметов; они получены в результате абстрагирования от качественных особенностей, специфических для данного круга явлений и предметов. Это обстоятельство чрезвычайно существенно для приложений математики. Число 2 не связано неразрывно с каким-либо определенным предметным содержанием. Оно может относиться и к двум яблокам, и к двум книгам, и к двум мыслям. Оно одинаковохорошо относится ко всем этим и бесчисленному множеству других объектов. Точно также геометрические свойства шара не меняются оттого, что он сделан из стекла, стали или стеарина. Конечно, абстрагирования от свойств предмета обедняет наши знания о данном предмете, о его характерных материальных особенностях. В тоже время именно это отвлечение от особых свойств индивидуальных объектов придаёт общность понятиям, делает возможным применение математики к самым разнообразным по материальной природе явлениям. Таким образом, одни и те же закономерности математики, один и тот же математический аппарат могут достаточно удовлетворительно применяться к описанию явлений природы, технического, а так же экономического и социальных процессов.

Абстрактность понятий не является исключительной особенностью математики; любые научные и общие понятия носят в себе элемент отвлечения от свойств конкретных вещей. Но в математике процесс абстрагирования идет дальше, чем в естественных науках; в математике широко используется процесс построения абстракции разных ступеней. Так, понятие группы возникло путем отвлечения от некоторых свойств совокупности чисел и других абстрактных понятий. Для математики является характерным так же способ получения её результатов. Если естествоиспытатель для доказательства своих положений постоянно прибегает к опыту, то математик доказывает свои результаты только посредством логических рассуждений. В математике не один результат не может считаться доказанным, пока ему не надо логическое доказательство, и это даже в том случае, если специальные эксперименты давали подтверждение этого результата. В то же время истинность математических теорий так же проходит проверку практикой, но это проверка носит особый характер: основные понятия математики образуются в результате длительной кристаллизации их из частных запросов практики; сами правила логики выработались лишь после тысячелетий наблюдений за течением процессов в природе; формулировки теорем и постановке задач математики так же возникают из запросов практики. Математика возникла из практических нужд, и её связи с практикой со временем становились всё более и более многообразными и глубокими.

В принципе математика может быть применена к изучению любого типа движения, самых разнообразных явлений. В действительности же её роль в различных областях научной и практической деятельности не одинакова. Особенно велика роль математики в развитии современной физики, химии, многих областей техники, вообще при изучении тех явлений, где даже значительная отвлечение от специфически качественных их особенностей позволяет достаточно точно уловить количественные и пространственные закономерности, свойственные им. Для примера- математическое изучение движение небесных тел, основанная на значительных отвлечениях от их реальных особенностей (тела, например, считается материальными точками), приводила и приводит к прекрасному совпадению с реальным их движением. На этой базе удается не только заблаговременно предвычислять небесные явления (затмения, положения планет и др.), но и по отклонениям истинных движений от вычисленных предсказывать существование планет, не наблюдавшихся ранее (таким путем были открыты Плутон в 1930, Нептун в 1846). Меньшее, но все же значительное место занимает математика в таких науках, как экономика, биология, медицина. Качественное своеобразие явлений, изучаемых в этих науках, настолько велико и так сильно влияет на характер их течения, что математический анализ пока может играть лишь подчиненную роль. Особое же значение для социальных и биологических наук приобретает математическая статистика. Сама математика так же развивается под влиянием требований естествознания, техники, экономики. Да же за последние годы образовался ряд математических дисциплин, возникших на базе запросов практики: информации теория, игр теория и др.

Понятно, что переход от одной ступени познания явлений к следующей, более точной, предъявляет к математике новые требования и приводит к созданию новых понятий, новых методов исследования. Так, требования астрономии, переходивший от чисто описательного знания к точному, привели к выработке основных понятий тригонометрии : во 2 веке до н.э. древнегреческий ученый Гиппарх составил таблицы хорд, соответствующие современным таблицам синусов; древнегреческие ученые в 1 веке Менелай и во 2 веке Клавдий Птолемей создали основы сферической тригонометрии. Повышенный интерес к изучению движения вызванный к жизни развития мануфактурного производства, мореплавания, артиллерии и др., привёл в 17 веке к созданию понятий математического анализа , развитию новой математики. Широкое внедрение математических методов в изучении явлений природы (прежде всего астрономических и физических) и развитии техники (в особенности машиностроения) привели в 18 и 19 веках к бурному развитию теоретической механики и теории дифференциальных уравнений. Развитие идей молекулярного строения материи вызвало стремительное развитие вероятностей теории . В настоящее время мы можем прослеживать на множестве примеров появление новых направлений математических исследований. Особенно значительными нужно признать успехи вычислительной математики и вычислительной техники и производимой ими преобразования многих разделов математики.

Исторический очерк. В истории математики можно наметить четыре периода с существенно качественными отличиями. Эти периоды трудно точно разделить, так как каждый последующий развивался внутри предыдущего и поэтому имелись довольно значительные переходные этапы, когда новые идеи только зарождались и не стали ещё руководящими ни в самой математике, ни в её приложениях.

1) Период зарождения математики как самостоятельной научной дисциплины; начало этого периода теряется в глубине истории; продолжался он приблизительно до 6-5 веков до н. э.

2) Период элементарной математики, математики постоянных величин; он продолжался приблизительно до конца 17 века, когда довольно далеко зашло развитие новой, «высшей», математики.

3) Период математики переменных величин; характеризуется созданием и развитием математического анализа, изучением процессов в их движении, развитии.

4) Период современной математики; характерен сознательным и систематическим изучением возможных типов количественных отношений и пространственных форм. В геометрии изучаются не только реальное трёхмерное пространство, но и сходныес ним пространственные формы. В математическом анализе рассматриваются переменные величины, зависящие не только от числового аргумента, но и от некоторой линии (функции), что приводит к понятиям функционала и оператора . Алгебра превратилась в теорию алгебраических операций над элементами произвольной природы. Лишь бы над ними можно было производить эти операции. Начало этого периода естественно отнести к 1-й половине 19 века.

В Древнем мире математические сведения входили первоначально в виде неотъемлемой составной части в познания жрецов и государственных чиновников. Запас этих сведений, как об этом можно судить по уже расшифрованным глиняным вавилонским табличкам и египетским математическим папирусам, был сравнительно велик. Имеются данные, что за тысячу лет до древнегреческого учёного Пифагора в Двуречье не только была известна теория Пифагора, но и была разрешена задача о разыскании всех прямоугольных треугольников с целочисленными сторонами. Однако подавляющая часть документов того времени представляет собой сборники правил для производства простейших арифметических действий, а также для вычисления площадей фигур и объёмов тел. Сохранились также таблицы разного рода для облегчения этих расчётов. Во всех руководствах правила не формулируются, а поясняются на частых примерах. Превращение математики в формализованную науку с оформившимся дедуктивным методом построения произошло в Древней Греции. Там же математическое творчество перестало быть безымянным. Практическая арифметика и геометрия в Древней Греции имели высокий уровень развития. Начало греческой геометрии связывается с именем Фалеса Милетского (конец 7 века до н.э. -начало 6 века до н.э.) вывезшего первичные знания из Египта. В школе Пифагора Самосского (6 век до н.э.) изучалась делимость чисел, были просуммированы простейшие прогрессии, изучались совершенные числа, введены в рассмотрение различные типы средних (среднее арифметическое, геометрическое, гармоническое), вновь найдены пифагоровы числа (тройки целых чисел, могущих быть сторонами прямоугольного треугольника). В 5-6 веках до н.э. возникли знаменитые задачи древности -квадратура круга, трисекция угла, удвоение куба, были построены первые иррациональные числа. Первый систематический учебник геометрии приписывается Гиппократу Хиосскому (2-я половина 5 века до н.э.). К этому же времени относится значительный успех платоновской школы, связанный с попытками рационального объяснения строения материи Вселенной, -разыскание всех правильных многогранников. На границе 5 и 4 веков до н.э. Демокрит, исходя из атомистических представлений, предложил метод определения объёмов тел. Этот метод можно считать прообразам метода бесконечно малых. В 4 веке до н.э. Евдоксом Книдским была разработана теория пропорций. Наибольшей напряжённостью математического творчества отличается 3 век до н.э. (1 век так называемой Александрийской эпохи). В 3 веке до н.э. работали такие математики, как Евклид, Архимед, Аполлоний Пергский, Эратосфен; позднее – Герон (1 век н.э.) Диофант (3 век). В своих «Началах» Евклид собрал и подверг окончательной логической переработке достижения в области геометрии; вместе с тем он заложил основы теории чисел. Основной заслугой Архимеда в геометрии явилось определение разнообразных площадей и объёмов. Диофант исследовал преимущественно решение уравнений в рациональных положительных числах. С конца 3 века начался упадок греческой математики.

Значительного развития достигла математика в древних Китае и Индии. Китайским математикам свойственны высокая техника производства вычислений и интерес к развитию общих алгебраических методов. Во 2-1 веках до н.э. была написана «Математики в девяти книгах». В ней имеются те самые приёмы извлечения квадратного корня, которые излагаются и в современной школе: методы решения систем линейных алгебраических уравнений, арифметическая формулировка теоремы Пифагора.

Индийской математике, расцвет которой относится к 5-12 векам, принадлежит заслуга употребления современной десятичной нумерации, а также нуля для обозначения отсутствия единиц данного разряда, и заслуга значительно более широкого, чем у Диофанта, развития алгебры, оперирующей не только с положительными рациональными числами, но также с отрицательными и иррациональными числами.

Арабские завоевания привели к тому, что от Средней Азии до Пиренейского полуострова учёные в течение 9-15 веков пользовались арабским языком. В 9 веке среднеазиатский учёный аль- Хорезми впервыеизложил алгебру как самостоятельную науку. В этот период многие геометрические задачи получили алгебраическую формулировку. Сириец аль- Баттани ввёл в рассмотрение тригонометрические функции синус, тангенс и котангенс.Самаркандский учёный аль- Каши (15 век) ввел в рассмотрение десятичные дроби и дал систематическое изложение, сформулировал формулу бинома Ньютона.

Существенно новый период в развитии математики начался в 17 веке, когда в математику ясно вошла идея движения, изменения. Рассмотрение переменных величин и связей между ними привело к понятиям функций, производной и интеграла Дифференциальное исчисление, Интегральное исчисление, к возникновению новой математической дисциплины – математического анализа.

С конца 18 века – начала 19 века в развитии математики наблюдается ряд существенно новых черт. Наиболее характерной из них был интерес к критическому пересмотру ряда вопросов обоснования математики. На смену туманным представлениям о бесконечно малых пришли точные формулировки, связанные с понятием предела.

В алгебре в 19 веке был выяснен вопрос о возможности решения алгебраических уравнений в радикалах (норвежский ученый Н.Абель, французский ученый Э.Галуа).

В 19-20 веках численные методы математики вырастают в самостоятельную ветвь - вычислительную математику. Важные приложения к новой вычислительной технике нашла развивавшаяся в 19-20 веках ветвь математики- математическая логика.

Материал подготовлен Лещенко О.В., учителем математики.