Цифровая окружность на координатной плоскости. Числовая окружность

Числовая окружность – это единичная окружность, точки которой соответствуют определенным действительным числам.

Единичной окружностью называют окружность радиуса 1.

Общий вид числовой окружности.

1) Ее радиус принимается за единицу измерения.

2) Горизонтальный и вертикальный диаметры делят числовую окружность на четыре четверти (см.рисунок). Их соответственно называют первой, второй, третьей и четвертой четвертью.

3) Горизонтальный диаметр обозначают AC, причем А – это крайняя правая точка.
Вертикальный диаметр обозначают BD, причем B – это крайняя верхняя точка.
Соответственно:

первая четверть – это дуга AB

вторая четверть – дуга BC

третья четверть – дуга CD

четвертая четверть – дуга DA

4) Начальная точка числовой окружности – точка А.

Отсчет по числовой окружности может вестись как по часовой стрелке, так и против часовой стрелки.
Отсчет от точки А против часовой стрелки называется положительным направлением .
Отсчет от точки А по часовой стрелке называется отрицательным направлением .

Числовая окружность на координатной плоскости.

Центр радиуса числовой окружности соответствует началу координат (числу 0).

Горизонтальный диаметр соответствует оси x , вертикальный – оси y .

Начальная точка А числовой окружности находится на оси x и имеет координаты (1; 0).

Значения x и y в четвертях числовой окружности:

Основные величины числовой окружности:

Имена и местонахождение основных точек числовой окружности:

Как запомнить имена числовой окружности.

Есть несколько простых закономерностей, которые помогут вам легко запомнить основные имена числовой окружности.

Перед тем как начать, напомним: отсчет ведется в положительном направлении, то есть от точки А (2π) против часовой стрелки.

1) Начнем с крайних точек на осях координат.

Начальная точка – это 2π (крайняя правая точка на оси х , равная 1).

Как вы знаете, 2π – это длина окружности. Значит, половина окружности – это 1π или π. Ось х делит окружность как раз пополам. Соответственно, крайняя левая точка на оси х , равная -1, называется π.

Крайняя верхняя точка на оси у , равная 1, делит верхнюю полуокружность пополам. Значит, если полуокружность – это π, то половина полуокружности – это π/2.

Одновременно π/2 – это и четверть окружности. Отсчитаем три таких четверти от первой до третьей – и мы придем в крайнюю нижнюю точку на оси у , равной -1. Но если она включает три четверти – значит имя ей 3π/2.

2) Теперь перейдем к остальным точкам. Обратите внимание: все противоположные точки имеют одинаковый числитель – причем это противоположные точки и относительно оси у , и относительно центра осей, и относительно оси х . Это нам и поможет знать их значения точек без зубрежки.

Надо запомнить лишь значение точек первой четверти: π/6, π/4 и π/3. И тогда мы «увидим» некоторые закономерности:

- Относительно оси у в точках второй четверти, противоположных точкам первой четверти, числа в числителях на 1 меньше величины знаменателей. К примеру, возьмем точку π/6. Противоположная ей точка относительно оси у тоже в знаменателе имеет 6, а в числителе 5 (на 1 меньше). То есть имя этой точки: 5π/6. Точка, противоположная π/4, тоже имеет в знаменателе 4, а в числителе 3 (на 1 меньше, чем 4) – то есть это точка 3π/4.
Точка, противоположная π/3, тоже имеет в знаменателе 3, а в числителе на 1 меньше: 2π/3.

Точка, противоположная точке π/4, тоже имеет в знаменателе 4, а в числителе число на 1 больше: 5π/4.
Точка, противоположная точке π/3, тоже имеет в знаменателе 3, а в числителе число на 1 больше: 4π/3.

- Относительно оси х (четвертая четверть) дело посложнее. Здесь надо к величине знаменателя прибавить число, которое на 1 меньше – эта сумма и будет равна числовой части числителя противоположной точки. Начнем опять с π/6. Прибавим к величине знаменателя, равной 6, число, которое на 1 меньше этого числа – то есть 5. Получаем: 6 + 5 = 11. Значит, противоположная ей относительно оси х точка будет иметь в знаменателе 6, а в числителе 11 – то есть 11π/6.

Точка π/4. Прибавляем к величине знаменателя число на 1 меньше: 4 + 3 = 7. Значит, противоположная ей относительно оси х точка имеет в знаменателе 4, а в числителе 7 – то есть 7π/4.
Точка π/3. Знаменатель равен 3. Прибавляем к 3 на единицу меньшее число – то есть 2. Получаем 5. Значит, противоположная ей точка имеет в числителе 5 – и это точка 5π/3.

3) Еще одна закономерность для точек середин четвертей. Понятно, что их знаменатель равен 4. Обратим внимание на числители. Числитель середины первой четверти – это 1π (но 1 не принято писать). Числитель середины второй четверти – это 3π. Числитель середины третьей четверти – это 5π. Числитель середины четвертой четверти – это 7π. Получается, что в числителях середин четвертей – четыре первых нечетных числа в порядке их возрастания:
(1)π, 3π, 5π, 7π.
Это тоже очень просто. Поскольку середины всех четвертей имеют в знаменателе 4, то мы уже знаем их полные имена: π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4.

Особенности числовой окружности. Сравнение с числовой прямой.

Как вы знаете, на числовой прямой каждая точка соответствует единственному числу. К примеру, если точка А на прямой равна 3, то она уже не может равняться никакому другому числу.

На числовой окружности все иначе, поскольку это окружность. К примеру, чтобы из точки А окружности прийти к точке M, можно сделать это, как на прямой (только пройдя дугу), а можно и обогнуть целый круг, а потом уже прийти к точке M. Вывод:

Пусть точка M равна какому-то числу t. Как мы знаем, длина окружности равна 2π. Значит, точку окружности t мы можем записать двояко: t или t + 2π. Это равнозначные величины.
То есть t = t + 2π. Разница лишь в том, что в первом случае вы пришли к точке M сразу, не делая круга, а во втором случае вы совершили круг, но в итоге оказались в той же точке M. Таких кругов можно сделать и два, и три, и двести. Если обозначить количество кругов буквой k , то получим новое выражение:
t = t + 2πk .

Отсюда формула:

Уравнение числовой окружности
(второе уравнение – в разделе «Синус, косинус, тангенс, котангенс»):

x 2 + y 2 = 1

Числовая окружность - это единичная окружность, точки которой соответствуют определенным действительным числам.

Единичной окружностью называют окружность радиуса 1.

Общий вид числовой окружности.

1) Ее радиус принимается за единицу измерения.

2) Горизонтальный и вертикальный диаметры делят числовую окружность на четыре четверти. Их соответственно называют первой, второй, третьей и четвертой четвертью.

3) Горизонтальный диаметр обозначают AC, причем А - это крайняя правая точка.
Вертикальный диаметр обозначают BD, причем B - это крайняя верхняя точка.
Соответственно:

первая четверть - это дуга AB

вторая четверть - дуга BC

третья четверть - дуга CD

четвертая четверть - дуга DA

4) Начальная точка числовой окружности - точка А.

Отсчет по числовой окружности может вестись как по часовой стрелке, так и против часовой стрелки.

Отсчет от точки А против часовой стрелки называется положительным направлением .

Отсчет от точки А по часовой стрелке называется отрицательным направлением .

Числовая окружность на координатной плоскости.

Центр радиуса числовой окружности соответствует началу координат (числу 0).

Горизонтальный диаметр соответствует оси x , вертикальный - оси y .

Начальная точка А числовой окружнос ти находится на оси x и имеет координаты (1; 0).

Имена и местонахождение основных точек числовой окружности:

Как запомнить имена числовой окружности.

1) Начнем с крайних точек на осях координат.

Начальная точка - это 2π (крайняя правая точка на оси х , равная 1).

Как вы знаете, 2π - это длина окружности. Значит, половина окружности - это 1π или π. Ось х делит окружность как раз пополам. Соответственно, крайняя левая точка на оси х , равная -1, называется π.

Крайняя верхняя точка на оси у , равная 1, делит верхнюю полуокружность пополам. Значит, если полуокружность - это π, то половина полуокружности - это π/2.

Одновременно π/2 - это и четверть окружности. Отсчитаем три таких четверти от первой до третьей - и мы придем в крайнюю нижнюю точку на оси у , равной -1. Но если она включает три четверти - значит имя ей 3π/2.

2) Теперь перейдем к остальным точкам. Обратите внимание: все противоположные точки имеют одинаковый знаменатель - причем это противоположные точки и относительно оси у , и относительно центра осей, и относительно оси х . Это нам и поможет знать их значения точек без зубрежки.

Надо запомнить лишь значение точек первой четверти: π/6, π/4 и π/3. И тогда мы «увидим» некоторые закономерности:

- Относительно оси у в точках второй четверти, противоположных точкам первой четверти, числа в числителях на 1 меньше величины знаменателей. К примеру, возьмем точку π/6. Противоположная ей точка относительно оси у тоже в знаменателе имеет 6, а в числителе 5 (на 1 меньше). То есть имя этой точки: 5π/6. Точка, противоположная π/4 тоже имеет в знаменателе 4, а в числителе 3 (на 1 меньше, чем 4) - то есть это точка 3π/4.
Точка, противоположная π/3, тоже имеет в знаменателе 3, а в числителе на 1 меньше: 2π/3.

- Относительно центра осей координат все наоборот: числа в числителях противоположных точек (в третьей четверти) на 1 больше значения знаменателей. Возьмем опять точку π/6. Противоположная ей относительно центра точка тоже имеет в знаменателе 6, а в числителе число на 1 больше - то есть это 7π/6.
Точка, противоположная точке π/4, тоже имеет в знаменателе 4, а в числителе число на 1 больше: 5π/4.
Точка, противоположная точке π/3, тоже имеет в знаменателе 3, а в числителе число на 1 больше: 4π/3.

- Относительно оси х (четвертая четверть) дело посложнее. Здесь надо к величине знаменателя прибавить число, которое на 1 меньше - эта сумма и будет равна числовой части числителя противоположной точки. Начнем опять с π/6. Прибавим к величине знаменателя, равной 6, число, которое на 1 меньше этого числа - то есть 5. Получаем: 6 + 5 = 11. Значит, противоположная ей относительно оси х точка будет иметь в знаменателе 6, а в числителе 11 - то есть 11π/6.

Точка π/4. Прибавляем к величине знаменателя число на 1 меньше: 4 + 3 = 7. Значит, противоположная ей относительно оси х точка имеет в знаменателе 4, а в числителе 7 - то есть 7π/4.
Точка π/3. Знаменатель равен 3. Прибавляем к 3 на единицу меньшее число - то есть 2. Получаем 5. Значит, противоположная ей точка имеет в числителе 5 - и это точка 5π/3.

3) Еще одна закономерность для точек середин четвертей. Понятно, что их знаменатель равен 4. Обратим внимание на числители. Числитель середины первой четверти - это 1π (но 1 не принято писать). Числитель середины второй четверти - это 3π. Числитель середины третьей четверти - это 5π. Числитель середины четвертой четверти - это 7π. Получается, что в числителях середин четвертей - четыре первых нечетных числа в порядке их возрастания:
(1)π, 3π, 5π, 7π.
Это тоже очень просто. Поскольку середины всех четвертей имеют в знаменателе 4, то мы уже знаем их полные имена: π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4.

Особенности числовой окружности. Сравнение с числовой прямой.

Пусть точка M равна какому-то числу t. Как мы знаем, длина окружности равна 2π. Значит, точку окружности t мы можем записать двояко: t или t + 2π. Это равнозначные величины.
То есть t = t + 2π. Разница лишь в том, что в первом случае вы пришли к точке M сразу, не делая круга, а во втором случае вы совершили круг, но в итоге оказались в той же точке M. Таких кругов можно сделать и два, и три, и двести. Если обозначить количество кругов буквой n , то получим новое выражение:
t = t + 2πn .

Отсюда формула:

Представляем вашему вниманию видеоурок по теме «Числовая окружность». Дается определение, что такое синус, косинус, тангенс, котангенс и функции y = sin x , y = cos x , y = tg x , y = ctg x для любого числового аргумента. Рассматривается стандартные задачи на соответствие между числами и точками в единичной числовой окружности для нахождения каждому числу единственной точки, и, наоборот, на нахождение для каждой точки множество чисел которые ей соответствуют.

Тема: Элементы теории тригонометрических функций

Урок: Числовая окружность

Наша ближайшая цель - определить тригонометрические функции: синус , косинус , тангенс , котангенс-

Числовой аргумент можно откладывать на координатной прямой или на окружности.

Такая окружность называется числовой или единичной, т.к. для удобства берут окружность с

Например, дана точка Отметим ее на координатной прямой

и на числовой окружности .

При работе с числовой окружностью условились, что движение против часовой стрелки - положительное направление, по часовой стрелке - отрицательное.

Типовые задачи - нужно определить координаты заданной точки либо, наоборот, найти точку по ее координатам.

Координатная прямая устанавливает взаимно-однозначное соответствие между точками и числами. Например, числу соответствует точка А с координатой

Каждая точка В с координатой характеризуется только одним числом - расстоянием от 0 до взятым со знаком плюс или минус.

На числовой окружности взаимно-однозначное соответствие работает только в одну сторону.

Например, есть точка В на координатной окружности (рис.2), длина дуги равна 1, т.е. эта точка соответствует 1.

Дана окружность, длина окружности Если то - длина единичной окружности.

Если мы прибавим , получим ту же точку В, еще - тоже попадем в т. В, отнимем - тоже т. В.

Рассмотрим точку B: длина дуги =1, тогда числа характеризуют т. В на числовой окружности.

Таким образом, числу 1 соответствует единственная точка числовой окружности - точка В, а точке В соответствует бесчисленное множество точек вида .

Для числовой окружности верно следующее:

Если т. М числовой окружности соответствует числу то она соответствует и числу вида

Можно делать сколько угодно полных оборотов вокруг числовой окружности в положительном или отрицательном направлении - точка одна и та же. Поэтому тригонометрические уравнения имеют бесчисленное множество решений.

Например, дана точка D. Каковы числа, которым она соответствует?

Измеряем дугу .

множество всех чисел, соответствующих точке D.

Рассмотрим основные точки на числовой окружности.

Длина всей окружности.

Т.е. запись множества координат может быть различной.

Рассмотрим типовые задачи на числовую окружность.

1. Дано: . Найти: точку на числовой окружности.

Выделяем целую часть:

Необходимо найти т. на числовой окружности. , тогда.

В это множество входит и точка .

2. Дано: . Найти: точку на числовой окружности.

Необходимо найти т.

т.также принадлежит этому множеству.

Решая стандартные задачи на соответствие между числами и точками на числовой окружности, мы выяснили, что можно для каждого числа найти единственную точку, и можно для каждой точки найти множество чисел, которые характеризуются данной точкой.

Разделим дугу на три равные части и отметим точки M и N.

Найдем все координаты этих точек.

Итак, наша цель - определение тригонометрических функций. Для этого нам необходимо научиться задавать аргумент функции. Мы рассмотрели точки единичной окружности и решили две типовые задачи - найти точку на числовой окружности и записать все координаты точки единичной окружности.

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. - М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс: учеб.для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

№№ 531; 536; 537; 541; 552.

Занятие 9. Числовая окружность. Синус и косинус. Тангенс и котангенс.

Единичной окружностью называют окружность радиуса 1.

Общий вид числовой окружности.

1) Ее радиус принимается за единицу измерения.
2) Горизонтальный и вертикальный диаметры делят числовую окружность на четыре четверти. Их соответственно называют первой, второй, третьей и четвертой четвертью.
3) Горизонтальный диаметр обозначают AC, причем А - это крайняя правая точка. Вертикальный диаметр обозначают BD, причем B - это крайняя верхняя точка.

Соответственно:
первая четверть - это дуга AB
вторая четверть - дуга BC
третья четверть - дуга CD
четвертая четверть - дуга DA
4) Начальная точка числовой окружности - точка А.

Отсчет по числовой окружности может вестись как по часовой стрелке, так и против часовой стрелки. Отсчет от точки А против часовой стрелки называется положительным направлением . Отсчет от точки А по часовой стрелке называется отрицательным направлением .

Числовая окружность на координатной плоскости.

Центр радиуса числовой окружности соответствует началу координат (числу 0). Горизонтальный диаметр соответствует оси x , вертикальный - оси y . Начальная точка А числовой окружности находится на оси x и имеет координаты (1; 0).

Значения x и y в четвертях числовой окружности:

Значение любой точки числовой окружности:

Любая точка числовой окружности с координатами (x; y ) не может быть меньше -1, но не может быть больше 1: ;

Основные величины числовой окружности:

Имена и местонахождение основных точек числовой окружности:

Как запомнить имена числовой окружности.

Есть несколько простых закономерностей, которые помогут вам легко запомнить основные имена числовой окружности. Перед тем как начать, напомним: отсчет ведется в положительном направлении, то есть от точки А (2П ) против часовой стрелки.

1) Начнем с крайних точек на осях координат. Начальная точка - это 2П (крайняя правая точка на оси х , равная 1). Как вы знаете, 2П - это длина окружности. Значит, половина окружности - это 1П или П . Ось х делит окружность как раз пополам. Соответственно, крайняя левая точка на оси х, равная -1, называется П . Крайняя верхняя точка на оси у, равная 1, делит верхнюю полуокружность пополам. Значит, если полуокружность - это П , то половина полуокружности - это П /2. Одновременно П /2 - это и четверть окружности. Отсчитаем три таких четверти от первой до третьей - и мы придем в крайнюю нижнюю точку на оси у , равной -1. Но если она включает три четверти - значит имя ей 3П /2.

2) Теперь перейдем к остальным точкам. Обратите внимание: все противоположные точки имеют одинаковый числитель - причем это противоположные точки и относительно оси у , и относительно центра осей, и относительно оси х . Это нам и поможет знать их значения точек без зубрежки. Надо запомнить лишь значение точек первой четверти: П /6, П /4 и П /3. И тогда мы "увидим" некоторые закономерности:

Определение . Если точка М числовой окружности соответствует числу t, то абсциссу точки М называют косинусом числа t и обозначают соs t , а ординату точки М называют синусом числа t и обозначают sin t .
Если М(t) = М(х;у), то х = cost, у = sint.

Определение . Отношение синуса числа t к косинусу того же числа называют тангенсом числа t. Отношение косинуса числа t к синусу того же числа называют котангенсом числа t.

Таблица знаков синуса, косинуса, тангенса и котангенса по четвертям числовой окружности:

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Предыдущая статья: Чему равна скорость света Следующая статья: Углерод — характеристика элемента и химические свойства