Определение арифметической прогрессии. Формула n-ого члена арифметической прогрессии
Конспект урока алгебры в 9 классе. Тема урока "Определение арифметической прогрессии. Формула n-ого члена арифметической прогрессии".
Продолжительность урока: 45 минут.
Учебник: ««Алгебра 9 класс» авт. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н.Г.,
Нешков К.И., Суворова С.Б.
На уроке применяются элементы следующих современных образовательных технологий:
Групповые технологии
Игровые технологии
Технологии гуманитаризации
Здоровьесберегающие технологии
Информационные компьютерные технологии
Цели урока:
Образовательные :
Повторить основные понятия, связанные с арифметической прогрессией; закрепить ранее изученные формулы;
- формировать навыки решения задач.
Развивающие:
Развивать способности к самостоятельному планированию и организации работы, к самоанализу и способности коррекции собственной деятельности
Воспитательные:
Воспитывать познавательный интерес к математике;
- воспитывать информационную культуру и культуру общения;
- воспитывать наблюдательность, самостоятельность, способность к коллективной работе.
Оборудование: Карточки с заданиями для групп, для рефлексии настроения и результативности; компьютер, проекционный экран, проектор.
Формы работы: групповая работа, самостоятельная работа, фронтальная работа.
Тип урока: урок закрепления знаний.
Ход урока
Организационный момент. Раскрытие общей цели урока.
Приветствие.
Тема урока «Прогрессии
». Термин «прогрессия» (от латинского progressio, что означает "движение вперед"), был введен римским автором Боэцием (VI век) и понимался в более широком смысле, как бесконечная числовая последовательность.
На предыдущем уроке мы с вами познакомились с определением арифметической прогрессии и формулой n-ого члена арифметической прогрессии.
Раскрытие общей цели урока.
Сегодня на уроке мы повторим основные понятия, связанные с арифметической прогрессией; закрепим ранее изученные формулы; будем решать задачи по данной теме.
Устная работа.
Сначала поработаем устно (задания для устной работы показываются на проекционном экране).
№1 Назовите члены последовательности, которые расположены между членами:
1) а 638 и а 645 ; 2) а n +3 и а n +10 .
№2 По заданной формуле n-ого члена последовательности вычислите 3 первых ее члена:
а n = -3 / 4n – 1
Письменная работа (тренировочные упражнения).
В тетрадях записываем число, классная работа.
Тема урока: «Определение арифметической прогрессии.
Формула n -ого члена арифметической прогрессии».
Класс делится на 5 групп (в каждой группе по пять - шесть человек, из которых один «сильный», один «слабый», остальные со средним уровнем подготовленности). Работа в группах – элемент применения здоровьесберегающих технологий на уроке математики: профилактика стрессовых ситуаций - более слабый ученик чувствует поддержку товарища.
Каждая группа выполняет задание с карточки.
№1 Выпишите первые пять членов арифметической прогрессии (а n), если:
| 1 группа | 2 группа | 3 группа | 4 группа | 5 группа |
| а 1 = 5, d = 4. | а 1 = 6, d = -3. | а 1 = -2, d = 5. | а 1 = -1, d = 2. | а 1 = 4, d = 3. |
| 5, 9, 13, 17, 21 | 2, 3, 8, 13, 18 | 4, 7, 10, 13, 16 |
||
Каждому из полученных первых пяти членов арифметической прогрессии соответствует буква, по одному ученику из каждой группы выполняют задание на доске , выписывают пять членов своей арифметической прогрессии и под каждым из них подписывают соответствующую букву. Получается фраза: «Учиться нелегко, но интересно».
Узнаем кому принадлежат эти слова.
№2 Найдите разность арифметической прогрессии (а n), в которой:
| 1 группа | 2 группа | 3 группа | 4 группа | 5 группа |
| а 1 = 10, а 5 = 22. | а 1 = 12, а 7 = 24. | а 1 = 8, а 5 = 28. | а 1 = 15, а 6 = 45. | а 1 = 19, а 4 = 40. |
| а 5 = а 1 + 4d | а 7 = а 1 + 6d | а 5 = а 1 + 4d | а 6 = а 1 + 5d | а 4 = а 1 + 3d |
Каждому из полученных чисел соответствует буква или буквосочетание, по одному ученику из каждой группы выполняют задание на доске (элемент применения игровых технологий – соревновательный момент) , выписывают разность своей арифметической прогрессии и под ней подписывают соответствующую букву или сочетание букв. Получается фраза: «Коменский».
Слова «Учиться нелегко, но интересно» принадлежат чешскому педагогу и писателю Яну Амосу Коменскому (1592 – 1670).
Ему принадлежат и такие слова: «Считай несчастным тот день или тот час, в который ты не усвоил ничего нового и ничего не прибавил к своему образованию» (показ на проекционном экране портрета, краткой справки). Элемент применения технологии гуманитаризации.
Физкультурная минутка.
Задания для физкультминутки (можно использовать музыкотерапию):
1. сидя, руки на поясе. 1 - поворот головы направо, 2 – исходное положение, 3 - поворот головы налево, 4 – исходное положение. Повторить 6 - 8 раз. Темп медленный.
2. сидя, руки вверх. 1 - сжать кисти в кулак. 2 - разжать кисти. Повторить 6 - 8 раз, затем руки расслабленно опустить вниз и потрясти кистями. Темп средний.
3. Быстро поморгать, закрыть глаза и посидеть спокойно, медленно считая до 5. Повторять 4 - 5 раз.
№3 Найдите десятый член арифметической прогрессии:
| 1 группа | 2 группа | 3 группа | 4 группа | 5 группа |
| а 10 =5+9× (-7) = | а 10 =3+9× (-4) = | а 10 =-6+9× 10 = | а 10 =-8+9× 11 = | а 10 =11+9× (-10) = |
По одному ученику из каждой группы выполняют задание на доске (элемент применения игровых технологий – соревновательный момент) , выписывают десятый член своей арифметической прогрессии.
№4 В арифметической прогрессии первый член равен 2 1/3, а разность равна –2/9. Является ли число -1 членом этой прогрессии?
Из условия имеем, что а 1 = 2 1/3, d = –2/9.
Число -1 является членом данной арифметической прогрессии, если существует такое натуральное значение переменной n, при котором значение выражения
1/3 + (–2/9) (n – 1) равно -1.
Решим уравнение: 2 1/3 + (–2/9) (n – 1) = -1.
n = 16Î N, значит, число -1 является членом данной арифметической прогрессии.
Ответ: является.
Подведение итогов урока, выставление оценок.
Самостоятельная работа, включающая задания типа № 1 – 3 (первый номер) и №4 (второй номер) на два варианта.
Информация о домашнем задании.
Домашнее задание.
Инструкции по выполнению домашнего задания.
Организационный момент.
Сбор рабочих тетрадей (проверка домашнего задания к этому уроку и самостоятельной работы).
Урок закончен.
Ребята, когда вы будете после урока выходить из класса, оцените каждый самостоятельно свою работу на уроке с помощью соответствующего смайлика на листе бумаги, помещённом на крыле магнитной доски.
Спасибо за урок. До свидания.
Тема урока: Глава 2 . Арифметическая прогрессия. Формула n –ого члена арифметической прогрессии.
Цели урока:
| Оценка: определяют результаты своей работы на уроке Синтез: формулируют определение арифметической прогрессии, применяют формулу n –ого члена, используют свойства Анализ: сравнивают способы нахождения n –ого члена арифметической прогрессии Применение: демонстрируют применение формулы n –ого члена арифметической прогрессии Понимание: обсуждают вывод формулы n –ого члена арифметической прогрессии Знание: рассказывают определение арифметической прогрессии, формулу n –ого члена |
| Учебно-воспитательные задачи: Образовательная: |
| обеспечить усвоение новых знаний по данной теме, сформировать навыки применения знаний по арифметической прогрессии к задачам реальной ситуации через групповое обучение. |
| Развивающая: развитие способности выражать мысли, познавательных способностей, формирование алгоритмического мышления, расширение кругозора |
| Воспитательная: способствовать выявлению, раскрытию способностей учащихся, возбуждать интерес к предмету, побуждать учащихся к применению полученных знаний |
| Результаты обучения: Учащиеся знают: определение арифметической прогрессии, применяют формулу n –ого члена |
| Учащиеся умеют : применять формулу n –ого члена арифметической прогрессии к практическим задачам, работать в группе, ясно выражать мысли, участвовать в дискуссии, умеют слушать и слышать |
Тип урока : сообщение новых знаний
Форма проведения урока: беседа
Методы обучения :
По источнику получения знаний : словесные, наглядные, практические.
По способу организации познавательной деятельности : объяснительно-иллюстративные, репродуктивные.
Методы воспитания : Организация деятельности, формирование мировоззрения, стимулирование деятельности, осуществление контроля, взаимоконтроля, самоконтроля.
Формы обучения : коллективные, индивидуальные, групповые
Основные понятия темы:
Задание на дом : №206, 207(1,3),
Оборудование, ресурсы, наглядные пособия: учебник,раздаточный материал
Учитель: Шуринова Е.К.
Ход урока
| Этапы урока | |
| Оргмомент. Задачи: обеспечить нормальную внешнюю обстановку на уроке, психологически подготовить детей к общению | Приветствие Проверка подготовленности к уроку Организация внимания школьников Ознакомление с планом проведения урока |
| Проверка домашнего задания. Задачи: установить правильность, полноту и осознанность выполнения всеми учащимися домашнего задания, выявить пробелы в знаниях, устранить в ходе проверки обнаруженные пробелы | Выявление степени усвоения заданного учебного материала Фронтальный опрос. . Вопросы кроссворда : 1. Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом. 2. Разность последовательно одинаковых членов. 3. Способ задания последовательности. 4. Разность последующего и предыдущего членов прогрессии. 5. Элементы, из которых состоит последовательность. 6. Натуральное число, обозначающее место члена в последовательности. 7. Функция, заданная на множестве натуральных чисел. 8. Последовательность, содержащая конечное число членов. |
| Вызов. Задачи: обеспечить включение школьников в совместную деятельность по определению целей учебного занятия. | Сообщение темы урока Формулирование цели совместно с учениками Сегодня на уроке мы познакомимся с арифметической прогрессией, изучим её свойство, выведем формулу п -го члена арифметической прогрессии и решим задачи на применение этих формул. |
| Актуализация знаний и умений Задачи: психологическая подготовка ученика: сосредоточение внимания, осознание значимости предстоящей деятельности, возбуждение интереса к уроку; учащиеся воспроизводят известные им знания, осознают их, обобщают факты, связывают старые знания с новыми условиями, с новыми данными и т.д. | Деление на группы: Собрать картинку и разделиться на 4 группы. 1) 1, 3, 5, 7, 9, … 2) 5, 8, 11, 14, … 3) -1, -2, -3, -4, … 4) -2, -4, -6, -8, … Давайте вместе с вами найдём закономерности Учащиеся: 1) каждый член числовой последовательности на 2 больше предыдущего; 2) каждый член числовой последовательности на 3 больше предыдущего; 3) каждый член числовой последовательности на 1меньше предыдущего; 4) каждый член числовой последовательности на 2 меньше предыдущего . |
| Осмысление Изучение нового материала. Задачи: обеспечить восприятие, осмысление и первичное запоминание изучаемого материала, осознание своих способов проработки учебной информации | Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называют арифметической прогрессией. a n +1 = a n + d , n є N Число d называют разностью арифметической прогрессии d = a n +1 – a n Если разность между последующим и предыдущим членами последовательности есть одно и то же число, то это арифметическая прогрессия. Разумеется, при этом предполагается, что обнаруженная закономерность справедлива не только для явно выписанных членов последовательности, но и для всей последовательности в целом. |
| Закрепления новых знаний и умений. Задачи: обеспечить повышение уровня осмысления учащимися изученного материала, глубины его усвоения | 1. Найдите разность арифметической прогрессии, если а8 – а5= - 21,3. Решение: используя формулу п-го члена арифметической прогрессии, имеем: a 8 =d(8-1)+а 1 и а5=d(5-1)+а1. Получим: а8 – а5= - 21,3 7d+ а1 – (4d +а1)= - 21,3 7d+ а1 – 4d - а1= - 21,3 3d = - 21,3 d = - 7,1 Ответ: d = - 7,1 Двое учащихся записывают решение на доске, ответы вписывают в окошечко и проверяют правильность своего решения. 2. Техническая задача. Тело в первую секунду движения прошло 7 м, а за каждую следующую секунду – на 3 м больше, чем за предыдущую. Какое расстояние тело прошло за восьмую секунду? Решение: а1=7, d = 3. Найдём а8. а8=d(8-1)+а1=3 7+7=28. Значит за восьмую секунду тело прошло 28 метров . Ответ: 28 метров. Приложение1 |
| Проверка новых знаний Задачи: установить правильность и осознанность учащимися изученного материала, выявить пробелы первичного осмысления | Работа с учебником. Уровень А: № 208,209 Уровень В: 212 |
| Коррекция знаний. Задачи: скорректировать выявленные проблемы | Организация деятельности учащихся по коррекции выявленных недостатков Индивидуальное задание. Повторное разъяснение учителя. |
| Подведение итогов. Рефлексия. Задачи: инициировать рефлексию учащихся по поводу своего эмоционального состояния, дать оценку работе отдельных учащихся и всего класса | Мобилизация учащихся на рефлексию Оценить по 10-бальной шкале работу на занятии с позиции: „Я" 0________10 „Мы" 0________10 „Дело" 0________10 Выставление оценок. |
Задача 1 На турбазе можно взять лодку напрокат. Стоимость проката определяется следующим образом: за первый час надо заплатить 100 руб., а за каждый последующий (полный или неполный) – 55 руб. Сколько рублей надо заплатить за лодку, взятую на один час, на два часа, на три часа и т.д.?
Вывод: 1. Если d>0, то арифметическая прогрессия является возрастающей. 2. Если d 0, то арифметическая прогрессия является возрастающей. 2. Если d"> 0, то арифметическая прогрессия является возрастающей. 2. Если d"> 0, то арифметическая прогрессия является возрастающей. 2. Если d" title="Вывод: 1. Если d>0, то арифметическая прогрессия является возрастающей. 2. Если d"> title="Вывод: 1. Если d>0, то арифметическая прогрессия является возрастающей. 2. Если d">
1. Последующий член арифметической прогрессии Предыдущий член ар" title=": Характеристическое свойство арифметической прогрессии: К аждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифмети- ческому двух соседних с ним членов т.е. n > 1. Последующий член арифметической прогрессии Предыдущий член ар" class="link_thumb"> 23 : Характеристическое свойство арифметической прогрессии: К аждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифмети- ческому двух соседних с ним членов т.е. n > 1. Последующий член арифметической прогрессии Предыдущий член арифметической прогрессии 1. Последующий член арифметической прогрессии Предыдущий член ар"> 1. Последующий член арифметической прогрессии Предыдущий член арифметической прогрессии"> 1. Последующий член арифметической прогрессии Предыдущий член ар" title=": Характеристическое свойство арифметической прогрессии: К аждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифмети- ческому двух соседних с ним членов т.е. n > 1. Последующий член арифметической прогрессии Предыдущий член ар"> title=": Характеристическое свойство арифметической прогрессии: К аждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифмети- ческому двух соседних с ним членов т.е. n > 1. Последующий член арифметической прогрессии Предыдущий член ар">
Задача 1* На турбазе можно взять лодку напрокат. Стоимость проката определяется следующим образом: за первый час надо заплатить 100 руб., а за каждый последующий (полный или неполный) – 55 руб. Сколько рублей надо заплатить за лодку, взятую на двое суток?
В чём главная суть формулы?
Эта формула позволяет найти любой ПО ЕГО НОМЕРУ "n" .
Разумеется, надо знать ещё первый член a 1 и разность прогрессии d , ну так без этих параметров конкретную прогрессию и не запишешь.
Заучить (или зашпаргалить) эту формулу мало. Надо усвоить её суть и поприменять формулу в различных задачках. Да ещё и не забыть в нужный момент, да...) Как не забыть - я не знаю. А вот как вспомнить, при необходимости, - точно подскажу. Тем, кто урок до конца осилит.)
Итак, разберёмся с формулой n-го члена арифметической прогрессии.
Что такое формула вообще - мы себе представляем.) Что такое арифметическая прогрессия, номер члена, разность прогресии - доступно изложено в предыдущем уроке. Загляните, кстати, если не читали. Там всё просто. Осталось разобраться, что такое n-й член.
Прогрессию в общем виде можно записать в виде ряда чисел:
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....
a 1 - обозначает первый член арифметической прогрессии, a 3 - третий член, a 4 - четвёртый, и так далее. Если нас интересует пятый член, скажем, мы работаем с a 5 , если сто двадцатый - с a 120 .
А как обозначить в общем виде любой член арифметической прогрессии, с любым номером? Очень просто! Вот так:
a n
Это и есть n-й член арифметической прогрессии. Под буквой n скрываются сразу все номера членов: 1, 2, 3, 4, и так далее.
И что нам даёт такая запись? Подумаешь, вместо цифры буковку записали...
Эта запись даёт нам мощный инструмент для работы с арифметической прогрессией. Используя обозначение a n , мы можем быстро найти любой член любой арифметической прогрессии. И ещё кучу задач по прогрессии решить. Сами дальше увидите.
В формуле n-го члена арифметической прогрессии:
| a n = a 1 + (n-1)d |
a 1 - первый член арифметической прогрессии;
n - номер члена.
Формула связывает ключевые параметры любой прогрессии: a n ; a 1 ; d и n . Вокруг этих параметров и крутятся все задачки по прогрессии.
Формула n-го члена может использоваться и для записи конкретной прогрессии. Например, в задаче может быть сказано, что прогрессия задана условием:
a n = 5 + (n-1)·2.
Такая задачка может и в тупик поставить... Нет ни ряда, ни разности... Но, сравнивая условие с формулой, легко сообразить, что в этой прогрессии a 1 =5, а d=2.
А бывает ещё злее!) Если взять то же условие: a n = 5 + (n-1)·2, да раскрыть скобки и привести подобные? Получим новую формулу:
a n = 3 + 2n.
Это Только не общая, а для конкретной прогрессии. Вот здесь и таится подводный камень. Некоторые думают, что первый член - это тройка. Хотя реально первый член - пятёрка... Чуть ниже мы поработаем с такой видоизменённой формулой.
В задачах на прогрессию встречается ещё одно обозначение - a n+1 . Это, как вы догадались, "эн плюс первый" член прогрессии. Смысл его прост и безобиден.) Это член прогрессии, номер которого больше номера n на единичку. Например, если в какой-нибудь задаче мы берём за a n пятый член, то a n+1 будет шестым членом. И тому подобное.
Чаще всего обозначение a n+1 встречается в рекуррентных формулах. Не пугайтесь этого страшного слова!) Это просто способ выражения члена арифметической прогрессии через предыдущий. Допустим, нам дана арифметическая прогрессия вот в таком виде, с помощью рекуррентной формулы:
a n+1 = a n +3
a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8
a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11
Четвёртый - через третий, пятый - через четвёртый, и так далее. А как посчитать сразу, скажем двадцатый член, a 20 ? А никак!) Пока 19-й член не узнаем, 20-й не посчитать. В этом и есть принципиальное отличие рекуррентной формулы от формулы n-го члена. Рекуррентная работает только через предыдущий член, а формула n-го члена - через первый и позволяет сразу находить любой член по его номеру. Не просчитывая весь ряд чисел по порядочку.
В арифметической прогрессии рекуррентную формулу легко превратить в обычную. Посчитать пару последовательных членов, вычислить разность d, найти, если надо, первый член a 1 , записать формулу в обычном виде, да и работать с ней. В ГИА подобные задания частенько встречаются.
Применение формулы n-го члена арифметической прогрессии.
Для начала рассмотрим прямое применение формулы. В конце предыдущего урока была задачка:
Дана арифметическая прогрессия (a n). Найти a 121 , если a 1 =3, а d=1/6.
Эту задачку можно безо всяких формул решить, просто исходя из смысла арифметической прогрессии. Прибавлять, да прибавлять... Часок-другой.)
А по формуле решение займёт меньше минуты. Можете засекать время.) Решаем.
В условиях приведены все данные для использования формулы: a 1 =3, d=1/6. Остаётся сообразить, чему равно n. Не вопрос! Нам надо найти a 121 . Вот и пишем:
Прошу обратить внимание! Вместо индекса n появилось конкретное число: 121. Что вполне логично.) Нас интересует член арифметической прогрессии номер сто двадцать один. Вот это и будет наше n. Именно это значение n = 121 мы и подставим дальше в формулу, в скобки. Подставляем все числа в формулу и считаем:
a 121 = 3 + (121-1)·1/6 = 3+20 = 23
Вот и все дела. Так же быстро можно было бы найти и пятьсот десятый член, и тысяча третий, любой. Ставим вместо n нужный номер в индексе у буквы "a" и в скобках, да и считаем.
Напомню суть: эта формула позволяет найти любой член арифметической прогрессии ПО ЕГО НОМЕРУ "n" .
Решим задание похитрее. Пусть нам попалась такая задачка:
Найдите первый член арифметической прогрессии (a n), если a 17 =-2; d=-0,5.
Если возникли затруднения, подскажу первый шаг. Запишите формулу n-го члена арифметической прогрессии! Да-да. Руками запишите, прямо в тетрадке:
| a n = a 1 + (n-1)d |
А теперь, глядя на буквы формулы, соображаем, какие данные у нас есть, а чего не хватает? Имеется d=-0,5, имеется семнадцатый член... Всё? Если считаете, что всё, то задачу не решите, да...
У нас ещё имеется номер n ! В условии a 17 =-2 спрятаны два параметра. Это и значение семнадцатого члена (-2), и его номер (17). Т.е. n=17. Эта "мелочь" часто проскакивает мимо головы, а без неё, (без "мелочи", а не головы!) задачу не решить. Хотя... и без головы тоже.)
Теперь можно просто тупо подставить наши данные в формулу:
a 17 = a 1 + (17-1)·(-0,5)
Ах да, a 17 нам известно, это -2. Ну ладно, подставим:
-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)
Вот, в сущности, и всё. Осталось выразить первый член арифметической прогрессии из формулы, да посчитать. Получится ответ: a 1 = 6.
Такой приём - запись формулы и простая подстановка известных данных - здорово помогает в простых заданиях. Ну, надо, конечно, уметь выражать переменную из формулы, а что делать!? Без этого умения математику можно вообще не изучать...
Ещё одна популярная задачка:
Найдите разность арифметической прогрессии (a n), если a 1 =2; a 15 =12.
Что делаем? Вы удивитесь, пишем формулу!)
| a n = a 1 + (n-1)d |
Соображаем, что нам известно: a 1 =2; a 15 =12; и (специально выделю!) n=15. Смело подставляем в формулу:
12=2 + (15-1)d
Считаем арифметику.)
12=2 + 14d
d =10/14 = 5/7
Это правильный ответ.
Так, задачи на a n , a 1 и d порешали. Осталось научиться номер находить:
Число 99 является членом арифметической прогрессии (a n), где a 1 =12; d=3. Найти номер этого члена.
Подставляем в формулу n-го члена известные нам величины:
a n = 12 + (n-1)·3
На первый взгляд, здесь две неизвестные величины: a n и n. Но a n - это какой-то член прогрессии с номером n ... И этот член прогрессии мы знаем! Это 99. Мы не знаем его номер n, так этот номер и требуется найти. Подставляем член прогрессии 99 в формулу:
99 = 12 + (n-1)·3
Выражаем из формулы n , считаем. Получим ответ: n=30.
А теперь задачка на ту же тему, но более творческая):
Определите, будет ли число 117 членом арифметической прогрессии (a n):
-3,6; -2,4; -1,2 ...
Опять пишем формулу. Что, нет никаких параметров? Гм... А глазки нам зачем дадены?) Первый член прогрессии видим? Видим. Это -3,6. Можно смело записать: a 1 =-3,6. Разность d можно из ряда определить? Легко, если знаете, что такое разность арифметической прогрессии:
d = -2,4 - (-3,6) = 1,2
Так, самое простое сделали. Осталось разобраться с неизвестным номером n и непонятным числом 117. В предыдущей задачке хоть было известно, что дан именно член прогрессии. А здесь и того не знаем... Как быть!? Ну, как быть, как быть... Включить творческие способности!)
Мы предположим, что 117 - это, всё-таки, член нашей прогрессии. С неизвестным номером n . И, точно как в предыдущей задаче, попробуем найти этот номер. Т.е. пишем формулу (да-да!)) и подставляем наши числа:
117 = -3,6 + (n-1)·1,2
Опять выражаем из формулы n , считаем и получаем:
Опаньки! Номер получился дробный! Сто один с половиной. А дробных номеров в прогрессиях не бывает. Какой вывод сделаем? Да! Число 117 не является членом нашей прогрессии. Оно находится где-то между сто первым и сто вторым членом. Если бы номер получился натуральным, т.е. положительным целым, то число было бы членом прогрессии с найденным номером. А в нашем случае, ответ задачи будет: нет.
Задача на основе реального варианта ГИА:
Арифметическая прогрессия задана условием:
a n = -4 + 6,8n
Найти первый и десятый члены прогрессии.
Здесь прогрессия задана не совсем привычным образом. Формула какая-то... Бывает.) Однако, эта формула (как я писал выше) - тоже формула n-го члена арифметической прогрессии! Она тоже позволяет найти любой член прогрессии по его номеру.
Ищем первый член. Тот, кто думает. что первый член - минус четыре, фатально ошибается!) Потому, что формула в задаче - видоизменённая. Первый член арифметической прогрессии в ней спрятан. Ничего, сейчас отыщем.)
Так же, как и в предыдущих задачах, подставляем n=1 в данную формулу:
a 1 = -4 + 6,8·1 = 2,8
Вот! Первый член 2,8, а не -4!
Аналогично ищем десятый член:
a 10 = -4 + 6,8·10 = 64
Вот и все дела.
А теперь, тем кто дочитал до этих строк, - обещанный бонус.)
Предположим, в сложной боевой обстановке ГИА или ЕГЭ, вы подзабыли полезную формулу n-го члена арифметической прогрессии. Что-то припоминается, но неуверенно как-то... То ли n там, то ли n+1, то ли n-1... Как быть!?
Спокойствие! Эту формулку легко вывести. Не очень строго, но для уверенности и правильного решения точно хватит!) Для вывода достаточно помнить элементарный смысл арифметической прогрессии и иметь пару-тройку минут времени. Нужно просто нарисовать картинку. Для наглядности.
Рисуем числовую ось и отмечаем на ней первый. второй, третий и т.п. члены. И отмечаем разность d между членами. Вот так:
Смотрим на картинку и соображаем: чему равняется второй член? Второй одно d :
a 2 =a 1 +1 ·d
Чему равняется третий член? Третий член равняется первый член плюс два d .
a 3 =a 1 +2 ·d
Улавливаете? Я не зря некоторые слова выделяю жирным шрифтом. Ну ладно, ещё один шаг).
Чему равняется четвёртый член? Четвёртый член равняется первый член плюс три d .
a 4 =a 1 +3 ·d
Пора сообразить, что количество промежутков, т.е. d , всегда на один меньше, чем номер искомого члена n . Т.е., до номера n, количество промежутков будет n-1. Стало быть, формула будет (без вариантов!):
| a n = a 1 + (n-1)d |
Вообще, наглядные картинки очень помогают решать многие задачи в математике. Не пренебрегайте картинками. Но если уж картинку нарисовать затруднительно, то... только формула!) Кроме того, формула n-го члена позволяет подключить к решению весь мощный арсенал математики - уравнения, неравенства, системы и т.д. Картинку-то в уравнение не вставишь...
Задания для самостоятельного решения.
Для разминки:
1. В арифметической прогрессии (a n) a 2 =3; a 5 =5,1. Найти a 3 .
Подсказка: по картинке задача решается секунд за 20... По формуле - сложнее получается. Но для освоения формулы - полезнее.) В Разделе 555 эта задачка решена и по картинке, и по формуле. Почувствуйте разницу!)
А это - уже не разминка.)
2. В арифметической прогрессии (a n) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. Найти a 3 .
Что, неохота картинку рисовать?) Ещё бы! Уж лучше по формуле, да...
3. Арифметическая прогрессия задана условием: a 1 =-5,5; a n+1 = a n +0,5. Найдите сто двадцать пятый член этой прогрессии.
В этом задании прогрессия задана рекуррентным способом. Но считать до сто двадцать пятого члена... Не всем такой подвиг под силу.) Зато формула n-го члена по силам каждому!
4. Дана арифметическая прогрессия (a n):
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
Найти номер наименьшего положительного члена прогрессии.
5. По условию задания 4 найти сумму наименьшего положительного и наибольшего отрицательного членов прогрессии.
6. Произведение пятого и двенадцатого членов возрастающей арифметической прогрессии равно -2,5, а сумма третьего и одиннадцатого членов равна нулю. Найти a 14 .
Не самая простая задачка, да...) Здесь способ "на пальцах" не прокатит. Придётся формулы писать да уравнения решать.
Ответы (в беспорядке):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
Получилось? Это приятно!)
Не всё получается? Бывает. Кстати, в последнем задании есть один тонкий момент. Внимательность при чтении задачи потребуется. И логика.
Решение всех этих задач подробно разобрано в Разделе 555. И элемент фантазии для четвёртой, и тонкий момент для шестой, и общие подходы для решения всяких задач на формулу n-го члена - всё расписано. Рекомендую.
Если Вам нравится этот сайт...
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.
Предыдущая статья: Чему равна скорость света Следующая статья: Углерод — характеристика элемента и химические свойства