Как церковный грамотей в старину учил детей. Счетные палочки джона непера

Палочкам Непера суждена была долгая жизнь. Они широко и долгое время использовались для вычислений в астрономии, артиллерии и других областях. Замечательный фильм 70-х годов об английском философе XVI века Томасе Море назывался «Человек на все времена», а вот если бы делался фильм о его соотечественнике, жившем спустя несколько десятилетий, то, возможно, его стоило бы назвать «Человек, опередивший время». Речь идет о сэре Джоне Непере, чье имя можно смело поставить в один ряд, например, с именами Галилео Галилея или Николая Коперника, а может быть, и Леонардо да Винчи.

Непер - шотландский математик и теолог-протестант - был потомственным дворянином, родился в 1550 году в замке Мерчистон близ Эдинбурга, там же и умер 4 апреля 1617 года. Учился он в Эдинбургском университете, а затем долго путешествовал в поисках знаний по Европе. В итоге своих странствий, как и большинство ученых своего времени, Непер стал универсалом, специалистом широкого профиля. Большую часть последующей жизни Непер отдал богословию, активно участвовал в теософских спорах, где, как настоящий шотландец, отличался истовостью.

В качестве теолога он известен тем, что в 1593 году опубликовал «Простое изъяснение всего Откровения Иоанна Богослова», первое толкование Священного Писания на шотландском языке, но при том Непер был не чужд модным тогда наукам - астрологии и алхимии. Наряду с этими увлечениями, он также был и инженером, придумал целый ряд машин для обработки земли и водяные насосы для орошения. А еще он сделал несколько «секретных» изобретений, среди которых зеркало для поджигания вражеских кораблей, устройство для плавания под водой (акваланг), повозка, не пробиваемая пулями (танк), и нечто, напоминающее неуправляемый ракетный снаряд.

Однако вполне возможно, что вся эта успешная по тому времени деятельность, имевшая значение для современников, так и осталась бы неизвестной потомкам, если бы не его главные работы, выполненные на седьмом десятке, незадолго до смерти. Хронологически первым из них был математический труд - система логарифмов «Описание удивительной таблицы логарифмов (Mirifici logarithmorum canonis descriptio, 1614)», в нем была предложена (без раскрытия способа ее построения) первая таблица логарифмов, а также и сам термин «логарифм». Позже способ построения был раскрыт в сочинении «Построение удивительной таблицы логарифмов (Mirifici logarithmorum canonis constructio)», вышедшем в 1619 году, уже после смерти автора. К появлению этих работ имел непосредственное отношение профессор лондонского Грэшем-колледжа Генри Бригс, который позднее стал публикатором, преемником и биографом Непера. Случилось так, что, познакомившись с «Описанием...», Бригс стал верным последователем идей Непера, поэтому, движимый желанием помогать ему, он отправился в Шотландию для личной встречи с автором и в последствии посвятил свою жизнь тому, что довел его дело до конца. Немалую роль в сохранении памяти о Непере сыграли его потомки.

Оба названных труда представляют интерес скорее для истории математики, а для истории компьютеров существенным является главнейшее и на первый взгляд очень простое технически изобретение шотландского ученого, которое в последующем стали называть палочками (или костями) Непера. Оно стало вторым после абака в истории человечества практическим приспособлением, облегчающим расчеты. Справедливости ради следует сказать, что есть более ранний по времени рисунок да Винчи, который считают изображением счетной машины, есть даже современные попытки ее реконструкции, но никаких документальных свидетельств о работе и практическом использовании калькулятора да Винчи нет. А с палочек Непера, несмотря на всю их видимую простоту, началась цепочка устройств, которая, в конечном счете, привела к современному ПК.

Видимо, понимая значимость своего изобретения, последний год жизни Непер отдал подготовке к печати завершающего творческий путь трактата - «Рабдология, или Две книги о счете с помощью палочек», в предисловии к которому он написал: «Теперь мы также нашли значительно лучшую разновидность логарифмов и намерены (если Бог дарует долгую жизнь и хорошее здоровье) опубликовать как метод их вычисления, так и способ использования. Но, по причине нашей телесной слабости, вычисление этих новых таблиц мы предоставляем людям, опытным в такого рода занятиях, и прежде всего ученейшему мужу Генри Бригсу, профессору геометрии и нашему дражайшему другу».

В «Рабдологии...» Непер описал способ перемножения чисел посредством особых брусков-палочек с нанесенными на них цифрами, они внешне похожи на кости домино, но с большим числом полей на каждом из них. Идея автоматизации с помощью заранее размеченных палочек явно восходит к одному из древнейших способов умножения, который назвался gelosia. Сегодня никто не задумывается о внутренней сложности этого арифметического действия, даже словосочетание «способ умножения» звучит как-то странно, ведь единственный известный большинству алгоритм «в столбик» проходят в третьем классе. А в те далекие времена умножение было наукой, которой посвящали целые трактаты. Наиболее известен труд Луки Пачоли Summa de arithmetica, где среди прочих описан и этот способ gelosia, изобретенный в Индии и в XIV веке пришедший в Европу при посредничестве персов и арабов. Тем, кто заинтересуется методами умножения, рекомендую статью Multiplication Methods (www.ex.ac.uk/cimt/res2/trolfg.pdf ), где прекрасно описаны различные древние приемы.

Алгоритм gelosia по-своему очень изящен, суть его в том, что сомножители записываются справа и сверху от специальной счетной матрицы, состоящей из полей-квадратов, каждый из которых разделен диагональю, а совместно расположенные по диагонали треугольники образуют «косые» строки-столбцы. Итак, сверху и справа записывают сомножители, а промежуточные произведения каждой пары разрядов, от единиц до самого старшего, записывают в квадраты, разделяя внутри каждого единицы и десятки, единицы в нижний треугольник, а десятки - в верхний. При суммировании «по косой» получается результат, его нужно читать сверху вниз и слева направо. Собственная идея Непера была на первый взгляд очень простой: нужно разрезать таблицу на столбцы и выполнять действия, подбирая нужные палочки в соответствии с составом числа. Естественно, что для «ввода» числа в наборе должно быть больше палочек, цифры могут повторяться. Таким образом, умножение становится тривиальной задачей, но этим потенциал палочек не исчерпывается, с ними можно выполнять и деление, и возведение в степень, и извлечение корня, опираясь на сложение и вычитание логарифмов.

Идея палочек получила развитие в Германии. Через десять лет после опубликования «Рабдологии...» профессор восточных языков Вильгельм Шиккард из Тюбингенского университета изобрел механизм, упрощающий работу с палочками, который был описан им в переписке с Иоганном Кеплером. Как известно, письма были в ту пору единственной формой публикации. Была ли эта машина построена или нет, сейчас сказать сложно, но во всяком случае это была первая математически обоснованная модель калькулятора. Сейчас в Германии воссоздано несколько работоспособных образцов механизма Шиккарда. История создания калькулятора и жизнеописание автора удачно описаны в статье Юрия Полунова (http:// museum.iu4.bmstu.ru/ firststeps/ letters.shtml ).

Палочкам Непера суждена была долгая жизнь. Они долгое время широко использовались для вычислений в астрономии, артиллерии и других областях, палочки повлияли на создание логарифмической линейки, ставшей классическим инженерным инструментом XIX и XX веков, а в Великобритании вплоть до середины 60-х годов палочки Непера применялись для обучения школьников арифметике.

В книге, изданной в 1617 году, шотландский ученый Джон Непер описал способ умножения с помощью палочек, который в дальнейшем получил название «Палочки Непера». В основу этого устройства лег принцип умножения решеткой, широко распространенный в XVII веке.

Для умножения решеткой использовалась таблица, содержащая столько столбцов, сколько разрядов у множимого, и столько строк, сколько разрядов у множителя. Над столбцами таблицы записывается множимое так, чтобы разряды числа находились каждый над своим столбцом. Справа от таблицы записывался множитель так, чтобы каждый разряд числа был напротив своей строки. При этом старший разряд записывался напротив верхней строки. В каждую ячейку таблицы записывался результат перемножения разряда множимого, находящегося над этой ячейкой, и разряда множителя, находящегося справа от этой ячейки. Причем для записи результата ячейка разделялась по диагонали на две части. В верхнюю часть записывался старший разряд результата, а в нижнюю – младший. Затем произведения суммировались по наклонным плоскостям справа налево. Полученная сумма и есть окончательный результат. Проиллюстрируем выше сказанное на примере 568 * 7:

1. Чертим решетку с тремя столбцами и одной строкой, разделяем ячейки решетки на две части по диагонали.

2. Умножаем старший разряд множимого на множитель (5*7 = 35) и записываем результат в первую ячейку, причем разряд десяток записываем в верхнюю часть ячейки, а разряд единиц - в нижнюю.

3. Умножаем разряд десятков множимого на множитель (6*7 = 42) и записываем результат во вторую ячейку.

4. Умножаем разряд единиц множимого на множитель (8*7 = 56) и записываем результат в третью ячейку.

5. Суммируем строку решетки по наклонной плоскости справа налево. Суммирование по наклонной плоскости проводится поразрядно с переносом переполнения в старший разряд. Каждый разряд равен сумме чисел в прилегающих друг к другу треугольниках соседних ячеек. Полученная сумма - это результат умножения.

На рисунке слева приведен пример умножения с помощью решетки для многоразрядного множителя. Все действия аналогичны примеру с одноразрядным множителем, только несколько усложняется суммирование по наклонной плоскости.

Используя этот способ умножения, Джон Непер создал свой прибор – «Палочки Непера». Он представлял собой набор палочек, в который входила одна палочка с нанесенными на нее цифрами от 1 до 9 (указатель строк) и палочки с таблицей умножения всех чисел от 1 до 9 (разряды множимого). Сверху каждой такой палочки наносилось число от 1 до 9, а вдоль длины – результаты умножения этого числа на все числа от 1 до 9. По сути дела палочки Непера представляли собой решетку для умножения числа 123456789 на число 123456789, разрезанную на столбцы.

Для умножения с помощью этого прибора выбирались палочки, соответствующие значениям разряда множимого, и выкладывались в ряд так, чтобы цифры сверху каждой палочки составляли множимое. Часто значения разрядов множимого повторялись, поэтому в наборе всегда было несколько палочек для каждого разряда. Слева прикладывали палочку с цифрами от 1 до 9 (указатель строк), по которой выбирали строки, соответствующие разрядам множителя. Затем каждая отобранная строка суммировалась по наклонной плоскости. Полученные результаты складывались между собой с учетом порядка разрядов множителя.

Рассмотрим технику умножения с помощью палочек Непера на примере перемножения чисел 4938 и 385:

1. Выбираем палочки с таблицей умножения чисел 3,4,8 и 9.

2. Выкладываем их вряд так, чтобы цифры сверху каждой палочки составили число 4938.

3. Выкладываем слева указатель строк.

4. Ориентируясь по крайней левой палочке, проводим суммирование по наклонной плоскости для третьей строки. Суммирование проводится по этой строке, так как старший разряд множителя – три. Получаем результат суммирования 14814.

5. Аналогичные действия проводим для восьмой строки, так как второй разряд множителя – восемь. Результат суммирования – 39504.

6. Эти же действия проводим для младшего разряда множителя, которому соответствует пятая строка. Результат суммирования – 24690.

7. Складываем полученные ранее результаты с учетом порядка разрядов множителя. Так как первая сумма вычислялась для разряда сотен, то умножаем ее на 100. Соответственно вторую сумму умножаем на 10, а третью оставляем без изменения. Складываем полученные результаты: 1 481 400 + 395 040 + 24690 = 1 901 130. Полученная сумма и есть результат перемножения чисел 49380 и 385.

Палочки Непера могли использоваться не только для умножения, но и для деления, и излечения квадратного корня. Рассмотрим технику деления на примере 491756 / 3852 = 127.6625:

1. Выбираем палочки с таблицей умножения чисел 2,3,5 и 8.

2. Выкладываем их в ряд так, чтобы цифры сверху каждой палочки составили делитель (3852).

3. Суммируем по наклонной плоскости первый ряд и записываем напротив него результат. Эту же операцию проделываем с оставшимися восемью рядами.

4. Теперь приступаем непосредственно к делению. На этом этапе необходимо найти наибольшее число из столбца сумм, но при этом оно должно быть меньше делимого с учетом разрядности. То есть необходимо привести числа из столбца сумм к единому порядку с делимым и уже из этих чисел выбирать нужное нам. Для нашего примера - это число из первой строки с учетом приведения к единому порядку с делимым 385200. Вычитаем найденное число (385200) из делимого и получаем старший разряд результат и остаток. Старший разряд результата будет 1, так как мы выбрали число из первой строки. Остаток от деления будет 491756 - 385200 = 106556.

5. Повторяем действия, описанные в пункте 4, но применительно к остатку от деления. В результате получаем следующий разряд результата (2) и новый остаток (29516). Повторяем эти действия до тех пор, пока остаток больше делителя. Когда остаток от деления становится меньше делителя, означает, что найдена целая часть результата. В нашем случае это произойдет после трех итераций, и целая часть результата будет 127.

6. Увеличиваем остаток от деления в 10 раз и проводим с ним описанные выше действия, в результате получаем десятые доли результата (для нашего примера 6) и новый остаток. Повторяем эти действия до тех пор, пока не будет достигнута необходимая точность деления или остаток не будет равен нулю.

Для извлечения квадратного корня использовалась дополнительная палочка, имеющая три столбца. Первый столбец содержал возведенные в квадрат значения указателя строк. Второй столбец содержал числа, получаемые умножением значения указателя строк на два. Третий столбец содержал числа от 1 до 9. Для того, чтобы понять, как производилось вычисления квадратного корня с помощью палочек Непера, рассмотрим пример извлечения квадратного корня из числа 56349.

Извлечение квадратного корня происходит поэтапно. Число разбивают на группы по 2 цифры, начиная с права, и на каждом этапе оперируют со своей парой цифр. При этом от этапа к этапу к паре чисел присоединяется остаток от извлечения квадратного корня на предыдущем этапе.

Этап 1. Число 56349 разбивается на пары следующим образом: 5 63 49. Извлечение квадратного корня начинается с крайней левой группы, в нашем случае это 5.

Выбираем из первого ряда палочки для деления максимальное число, но меньшее первой группы (пяти). Это будет четыре: 4

Определяем остаток от операции над первой группой, отнимая от значения группы (5) выбранное нами число (4). Остаток будет 1 (5-4 = 1). Зная остаток от операции над первой группой, определяем значение для второго этапа извлечения квадратного корня. Путем объединения остатка(1) и второй группы(63) получаем число 163.

Смотрим значение второго столбца палочки для деления во второй строке (4) и выкладываем это число слева от этой палочки, как показано на рисунке «Извлечение кв. корня. Этап 1». Подсчитываем сумму всех рядов по наклонной плоскости, игнорируя второй и третий столбцы палочки, для извлечения квадратного корня и записываем их справа от выложенных палочек.

Этап 2. Выбираем наибольшее число из столбца суммирования строк по наклонной плоскости, которое в свою очередь меньше числа, определенного для второго этапа (163). Это будет 129 (129

Определяем остаток от операции на втором этапе, отнимая от числа, определенного для второго этапа (163), выбранное нами число (129). Остаток будет 34 (163-129 = 34). Зная остаток, определяем значение для третьего этапа извлечения квадратного корня. Путем объединения остатка(34) и третей группы(49) получаем число 3449.

Смотрим значение второго столбца палочки для деления в третьей строке (6) и выкладываем палочку, соответствующую этому числу слева от палочки для деления, как показано на рисунке «Извлечение кв. корня. Этап 2». Подсчитываем сумму всех рядов по наклонной плоскости, игнорируя второй и третий столбцы палочки, для извлечения квадратного корня и записываем их справа от выложенных палочек.

Этап 3. Выбираем наибольшее число из столбца, который получился в результате суммирования строк по наклонной плоскости, которое в свою очередь меньше числа, определенного для третьего этапа (3449). Это будет 3269 (3269

Определяем остаток от операции, отнимая от числа, определенного для третьего этапа (3449), выбранное нами число (3269). Остаток будет 180 (3449-3269 = 180). Зная остаток, определяем значение для продолжения извлечения квадратного корня на четвертом этапе. Так как для четвертого этапа не осталось группы для объединения с остатком, то разряд результата, полученный после четвертого этапа, будет разряд десятых частей. А для вычисления числа для четвертого этапа остаток (180) объединяется с группой, состоящей из двух нулей (00). Таким образом, число для четвертого этапа будет 18000.

Смотрим значение второго столбца палочки для деления в седьмой строке (14). Объединяем число, выложенное палочками (46), с 14 по следующему правилу: разряд десятков от числа 14 прибавляем к числу выложенными палочками (46+1=47), а разряд единиц просто приписываем справа и получаем 474. Выкладываем это число слева от палочки для извлечения квадратного корня, как показано на рисунке «Извлечение кв. корня. Этап 3». Подсчитываем сумму всех рядов по наклонной плоскости, игнорируя второй и третий столбцы палочки для извлечения квадратного корня, и записываем их справа от выложенных палочек.

Этап 4. Выбираем наибольшее число из столбца суммирования строк по наклонной плоскости, которое меньше числа, определенного для четвертого этапа (18000). Это будет 14229 (14229

Далее повторяем действия, описанные в третьем этапе, до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность или остаток от операции не будет равен нулю. Если получен нулевой остаток, то это означает, что корень извлекается точно.

Было множество попыток усовершенствовать палочки Непера. Так в 1668 году Каспар Шот предложил вместо брусочков использовать цилиндры, на поверхности каждого из которых нанесены значения всех палочек Непера с таблицей умножения от 1 до 9. Цилиндры помещались в ящик параллельно друг другу. Повернув цилиндры так, чтобы их верхние цифры составляли множитель, можно проводить умножение также, как и с помощью палочек Непера.

В 19 веке для облегчения счета палочки Непера стали делать на брусочках, располагающихся под углом в 65 градусов. Таким образом, треугольники, используемые для сложения, при счете по наклонной плоскости располагались друг под другом.

Палочки Непера были очень популярны и привлекали многих изобретателей. За века их использования было предложено много разнообразных усовершенствований и устройств для их использования. Однако, это было не единственное изобретение Непера, повлиявшее на развитие устройств для счета. Он заложил понятие логарифма и основы логарифмического исчисления , речь о котором пойдет в следующем разделе.

ДЖОН НЕПЕР (1550-1617)

Родился в 1550 году в Мерчистон-Касле близ Эдинбурга (Англия). Шотландский барон, 8-й лорд Мерчистона. В 1563г. Поступил в Сент-Эндрюсский университет, но никакой ученой степени по окончании не получил. Затем уехал путешествовать в Германию, Францию, Италию. В 1957 году вернулся на родину и поселился в родовом замке. Все время посвятил занятиям богословием и математикой. В 1593 г. опубликовал свою первую работу – по-богословию. В области математики Непер известен как изобретатель системы логарифмов, основанной на установлении соответствия между арифметической и геометрической прогрессии. В «Описании удивительной таблицы логарифмов» в 1614 г. он опубликовал первую таблицу логарифмов и вел сам термин.

Объяснение дал в другом сочинении «Построение удивительной таблицы логарифмов» (опубликована была в 1619г. после его смерти). Таблица была очень необходима астрономам и немедленно вошла в обиход. В 1617г. опубликована еще одна работа «Рабдология» – изложил способ перемножения чисел с помощью брусков, названных впоследствии «палочки Непера». Участвовал в разработки различных боевых устройств: артиллерийских орудий, зажигательных стекол и др.)

Принцип умножения решеткой, широко распространенный в XVII веке

1. Чертим решетку с тремя столбцами и одной строкой, разделяем ячейки решетки на две части по диагонали.
2. Умножаем старший разряд множимого на множитель (5*7 = 35) и записываем результат в первую ячейку, причем разряд десяток записываем в верхнюю часть ячейки, а разряд единиц - в нижнюю.
3. Умножаем разряд десятков множимого на множитель (6*7 = 42) и записываем результат во вторую ячейку. 4. Умножаем разряд единиц множимого на множитель (8*7 = 56) и записываем результат в третью ячейку.
5. Суммируем строку решетки по наклонной плоскости справа налево. Суммирование по наклонной плоскости проводится поразрядно с переносом переполнения в старший разряд. Каждый разряд равен сумме чисел в прилегающих друг к другу треугольниках соседних ячеек. Полученная сумма - это результат умножения

Палочки Непера

Используя этот способ умножения, Джон Непер создал свой прибор – «Палочки Непера». Это набор палочек, в который входила одна палочка с нанесенными на нее цифрами от 1 до 9 (указатель строк) и палочки с таблицей умножения всех чисел от 1 до 9 (разряды множимого). Сверху каждой такой палочки наносилось число от 1 до 9, а вдоль длины – результаты умножения этого числа на все числа от 1 до 9. По сути дела палочки Непера представляли собой решетку для умножения числа 123456789 на число 123456789, разрезанную на столбцы. Для умножения с помощью этого прибора выбирались палочки, соответствующие значениям разряда множимого, и выкладывались в ряд так, чтобы цифры сверху каждой палочки составляли множимое. Часто значения разрядов множимого повторялись, поэтому в наборе всегда было несколько палочек для каждого разряда. Слева прикладывали палочку с цифрами от 1 до 9 (указатель строк), по которой выбирали строки, соответствующие разрядам множителя. Затем каждая отобранная строка суммировалась по наклонной плоскости. Полученные результаты складывались между собой с учетом порядка разрядов множителя.

Модификация палочек Непера

Было множество попыток усовершенствовать палочки Непера.

Так в 1668 году Каспар Шот предложил вместо брусочков использовать цилиндры, на поверхности каждого из которых нанесены значения всех палочек Непера с таблицей умножения от 1 до 9. Цилиндры помещались в ящик параллельно друг другу. Повернув цилиндры так, чтобы их верхние цифры составляли множитель, можно проводить умножение также, как и с помощью палочек Непера.

А в 1892 году был создан прибор для умножения, использующий вместо палочек узкие полоски, закрепленные в футляре в виде записной книжки и передвигающиеся с помощью заостренной палочки, а слева прикладывали палочку с цифрами от 1 до 9 (указатель строк), по которой выбирали строки, соответствующие разрядам множителя. Затем каждая отобранная строка суммировалась по наклонной плоскости. Полученные результаты складывались между собой с учетом порядка разрядов множителя.

Палочки Непера были очень популярны и привлекали многих изобретателей.

За века их использования было предложено много разнообразных усовершенствований и устройств для их использования.

Техника умножения с помощью палочек Непера

Рассмотрим технику умножения с помощью палочек Непера на примере перемножения чисел 4938 и 385:

1. Выбираем палочки с таблицей умножения чисел 3,4,8 и 9.

2. Выкладываем их вряд так, чтобы цифры сверху каждой палочки составили число 4938.

3. Выкладываем слева указатель строк.

Этап 1.

1. Выбираем палочки с таблицей умножения чисел 2,3,5 и 8.

2. Выкладываем их в ряд так, чтобы цифры сверху каждой палочки составили делитель (3852).

Для нашего примера - это число из первой строки с учетом приведения к единому порядку с делимым 385200. Вычитаем найденное число (385200) из делимого и получаем старший разряд результат и остаток. Старший разряд результата будет 1, так как мы выбрали число из первой строки. Остаток от деления будет 491756 - 385200 = 106556.
5. Повторяем действия, описанные в пункте 4, но применительно к остатку от деления. В результате получаем следующий разряд результата (2) и новый остаток (29516). Повторяем эти действия до тех пор, пока остаток больше делителя. Когда остаток от деления становится меньше делителя, означает, что найдена целая часть результата. В нашем случае это произойдет после трех итераций, и целая часть результата будет 127.
6. Увеличиваем остаток от деления в 10 раз и проводим с ним описанные выше действия, в результате получаем десятые доли результата (для нашего примера 6) и новый остаток. Повторяем эти действия до тех пор, пока не будет достигнута необходимая точность деления или остаток не будет равен нулю.

Извлечение квадратного корня этап 1

Извлечение квадратного корня происходит поэтапно. Число разбивают на группы по 2 цифры, начиная с права, и на каждом этапе оперируют со своей парой цифр. При этом от этапа к этапу к паре чисел присоединяется остаток от извлечения квадратного корня на предыдущем этапе.
Этап 1. Число 56349 разбивается на пары следующим образом: 5 63 49. Извлечение квадратного корня начинается с крайней левой группы, в нашем случае это 5.
Выбираем из первого ряда палочки для деления максимальное число, но меньшее первой группы (пяти). Это будет четыре: 4
Определяем остаток от операции над первой группой, отнимая от значения группы (5) выбранное нами число (4). Остаток будет 1 (5-4 = 1). Зная остаток от операции над первой группой, определяем значение для второго этапа извлечения квадратного корня. Путем объединения остатка(1) и второй группы(63) получаем число 163.
Смотрим значение второго столбца палочки для деления во второй строке (4) и выкладываем это число слева от этой палочки, как показано на рисунке «Извлечение кв. корня. Этап 1». Подсчитываем сумму всех рядов по наклонной плоскости, игнорируя второй и третий столбцы палочки, для извлечения квадратного корня и записываем их справа от выложенных палочек.

Выбираем наибольшее число из столбца суммирования строк по наклонной плоскости, которое в свою очередь меньше числа, определенного для второго этапа (163). Это будет 129 (129
Смотрим значение второго столбца палочки для деления в третьей строке (6) и выкладываем палочку, соответствующую этому числу слева от палочки для деления, как показано на рисунке «Извлечение кв. корня. Этап 2». Подсчитываем сумму всех рядов по наклонной плоскости, игнорируя второй и третий столбцы палочки, для извлечения квадратного корня и записываем их справа от выложенных палочек.

Этап 3

Этап 4. Выбираем наибольшее число из столбца суммирования строк по наклонной плоскости, которое меньше числа, определенного для четвертого этапа (18000). Это будет 14229 (14229
Далее повторяем действия, описанные в третьем этапе, до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность или остаток от операции не будет равен нулю. Если получен нулевой остаток, то это означает, что корень извлекается точно.

«Палочки Непера» стали началом новой эпохи – «эпохи науки», которая пришла на смену ранее популярному торговому делу. Счетные палочки – это изобретение шотландского математика Джона Непера, который вошел в историю, благодаря изобретению логарифмов. С помощью первой вычислительной техники развитие арифметики сделало шаг вперед, а «палочки Непера» до сих пор считаются прообразом первой вычислительной техники, например, такой, как калькулятор.

Джон Непер – шотландский математик, известный как изобретатель нового вида вычислительных инструментов – логарифмов, толчком к появлению которых стали «палочки Непера». В ХVI веке наука ощущала потребность в проведении сложных расчетов, однако в то время не были созданы необходимые условия для ее дальнейшего развития. Поэтому Джон Непер предложил вместо сложной операции умножения использовать процесс сложения, который ему же удалось сопоставить с помощью специальных таблиц. Благодаря этой схеме, трудоемкий процесс деления также может быть заменен на операцию вычитания. Это изобретение позволило заметно облегчить работу вычислителям.

Палочки Непера – что это

Джон Непер в 1617 году выпустил книгу, в которой предложил новый метод проведения операции умножения с помощью специальных палочек. В то время большой популярностью пользовался способ решетчатого умножения, поэтому ученый и решил на его основе создать собственную методику.

«Палочки Непера» представляли собой комплект специальных палочек, состоящих из дощечки с разметкой от одного до девяти и остальными палочками, на которые была помещена таблица умножения с такой же разметкой цифр. Вверху каждой дощечки располагались числа в порядке возрастания, а по всей длине выложенной таблицы Непер разместил собственно результаты умножения чисел на цифры от одного до девяти. Иными словами, таблица давала возможность совершать операции умножения числа 123456789 на число 123456789. Сама сетка была разделена столбцами.

Для того чтобы получить результат при умножении, нужно было выбрать палочки, которые бы отвечали разряду множимого, и расположить их в линию, ряд чисел которой обозначал бы само число. Из-за того, что разряды в множимом могли повторяться, в комплекте всегда были дополнительные палочки, отвечающие за каждый разряд. Дощечка с вертикально расположенными цифрами от одного до девяти, ставилась слева. С помощью нее можно было выбирать строку, соответствующую для разряда множителя.

Джон Непер решил, что если разделить ячейку на 2 части с помощью диагональной линии, то можно будет компактно записать результат операции: в верхнем отсеке зафиксировать старший разряд полученного числа, а в нижнем – младший разряд. Для получения окончательного результата операции нужно сложить числа в «таблице» справа налево – сумма цифр и будет необходимым ответом.

«Палочки Непера» могли использоваться, как для операции умножения, так и для деления, и вычисления квадратного корня числа. Если делить числа можно было по принципу схожему с умножением, то для того, чтобы извлечь квадратный корень в набор добавлялась еще одна палочка, состоящая из трех колонок. В первой колонке находились возведенные в квадрат числа, которые соответствовали значению дощечки, указывающей строки, во второй - цифры, полученные при результате умножения указателя строк на два, а в третьем столбце находились числа от одного до девяти.

Модернизация «палочек Непера»

После изобретения этого арифметического метода, многие ученые-математики старались внести какие-то новшества в разработанный до них механизм. Например, в 1666 году английским ученым-изобретателем была сделана попытка перенести всю таблицу с палочек на диски. Этот опыт увенчался успехом, так как подобная методика упростила работу с изобретением предшественника. А в конце 60-х немецкий математик Каспар Шот выдвинул идею заменить дощечки цилиндрами, на двух сторонах которых следовало разместить все числовые значения вместе с сеткой умножения от одного до девяти. Если поставить цилиндры в такое положение, чтобы их верхняя сторона с цифрами образовывала множитель, то операцию умножения можно производить по тому же принципу, что и с помощью «палочек Непера».

Уже в ХIX столетии, чтобы облегчить пользование прибором, вместо обычных ровных дощечек стали изготовлять бруски под наклоном, с углом 65 градусов. В результате, треугольники, содержащие числа для операции, можно было использовать по порядку, так как теперь они находились друг под другом. Уже к концу века внесли еще некоторые изменения, связанные с заменой палочек на тонкие полоски, зафиксированные в специальном чехле, который напоминал блокнот. Полоски нужно было передвигать с помощью острой палочки.

«Палочки Непера» пользовались большим спросом в свое время. Это, казалось бы, несложное открытие сделало большой прорыв в области развития арифметики.

14. Ученики 6-го класса прочитали стихотворение Н. П. Кончаловской и поспорили.

Марина утверждала, что ничего нового по сравнению с текстом о Науме Грамотнике она не прочитала в этом стихотворении. А Юра сказал, что в стихотворении есть важная новая информация.

С кем из учеников ты согласишься? Запиши свой ответ и приведи обоснование.

15. На уроке ученикам предложили придумать собственную подпись к картине художника Б. М. Кустодиева. Какая из предложенных подписей наиболее точно отражает содержание картины? Запиши номер правильного ответа.

1) «Азбуку учат - на всю избу кричат».

2) Урок в школе Древней Руси.

3) Учение - свет.

4) Урок чтения.

16. Сколько времени проходило в старину от начала учебного года до обряда посвящения в ученики? Запиши номер правильного ответа.

2) 2 месяца

3) 3 месяца

4) 6 месяцев

17. Какие приметы существовали в древнерусской школе? Запиши две приметы.

18. День учителя отмечался как один из первых профессиональных праздников на Руси. И в современной России День учителя является всенародным праздником. Как ты думаешь, почему этот праздник пережил века? Запиши слова (обоснование) из текста, подтверждающие твоё мнение.

ПАЛОЧКИ НЕПЕРА

Прочитай текст и выполни задания 19-27

Я всегда старался, насколько позволяли мои силы

и способности, освободить людей от трудности и

скуки вычислений, докучливость которых

обыкновенно отпугивает очень многих от

изучения математики.

Джон Непер,

шотландский богослов и любитель математ ики

Джон Непер

В 1617 году Непер опубликовал трактат под названием «Рабдология, или Искусство счёта с помощью палочек» (рис. 1). В нём он описал способ, благодаря которому можно было без труда умножать числа. Сегодня никто не задумывается о сложности этого арифметического действия, даже словосочетание «способ умножения» звучит как-то странно, ведь единственный известный большинству алгоритм умножения «в столбик» проходят в третьем классе. А в те далёкие времена умножение было наукой, которой посвящали целые трактаты.

Рис. 1. Одно из первых

изданий трактата Непера

В набор для вычислений, описанный Непером (рис. 2), входили: одна палочка с цифрами от 1 до 9 (это указатель строк) и палочки с таблицей умножения всех чисел от 1 до 9 (разряды множимого). Сверху каждой палочки были нанесены числа от 1 до 9, а по всей длине результаты умножения этого числа на числа от 1 до 9, причём для записи результата ячейка разделена по диагонали на две части: в верхней записан разряд десятков, а в нижней - единиц (рис. 3).

Палочки были похожи на кости домино, кроме того для их изготовления нередко использовалась слоновая кость.

Для умножения выбирались палочки, соответствующие значениям разряда множимого, и выкладывались в ряд так, чтобы цифры сверху каждой палочки составляли множимое. Слева прикладывали указатель строк - по нему выбирали строки, соответствующие разрядам множителя. Затем числа суммировались вдоль диагональной линии. Суммирование проводилось поразрядно с переносом переполнения в старший разряд.

Например, чтобы умножить 187 на 3, необходимо выбрать три палочки, соответствующиее числам 1, 8 и 7, и выстроить их так, как изображено на рисунке 4. Третья строка показывает следующее:

Суммируем два числа, одно из которых находится под диагональю, а другое - над диагональю, но не этого квадрата, а соседнего справа (рис. 5).

Эти суммы и дают нам разряды произведения: 561.

В основу своего счётного устройства Непер положил принцип умножения решёткой, широко распространённый в его время. Для умножения решёткой рисовали таблицу, содержащую столько столбцов, сколько разрядов у множимого, и столько строк, сколько разрядов у множителя. Над столбцами таблицы записывали множимое так, чтобы разряды числа находились каждый над своим столбцом. Справа от таблицы записывали множитель (рис. 6).

Умножение решёткой

Затем заполняли клетки таблицы результатами умножения разряда множимого, находящегося над этой клеткой, и разряда множителя, находящегося справа от этой клетки. Именно эти действия Непер и упростил, нанеся таблицу умножения на палочки. Далее произведения суммировались, как и в случае с палочками.

Палочкам Непера была суждена долгая жизнь: несколько веков они использовались для вычислений в самых разных областях деятельности человека. Они повлияли на создание логарифмической линейки, ставшей классическим инженерным инструментом XIX и XX веков, и благополучно дожили до эры компьютеров и калькуляторов.

Задания

19. Какую основную цель преследовал Джон Непер, работая над созданием счётного устройства, получившего его имя? Напиши верный номер ответа.

1) привлечь людей к изучению математики;

2) заложить начало новой науки - вычислительной математики;

3) освободить людей от трудности вычислений;

4) разработать новый способ вычислений, отличный от умножения «в столбик».

20. О том, как устроены палочки Непера, говорится во втором абзаце текста. Прочитай его ещё раз и ответь на вопрос: какое число должно быть написано в верхнем квадрате палочки, изображённой на рисунке? Запиши получившееся число.

21. С помощью палочек Непера надо выполнить умножение: 4169·5. Палочки, соответствующие каким числам, надо выбрать? Запиши номера соответствующихпалочек.

22. Второе название описанного счётного устройства - кости Непера. С чем связано это название? Найди в тексте те слова, которые содержат ответ на этот вопрос, и запиши их.

23. С помощью палочек Непера умножают 187 на 4. Используя рисунки 4 и 5, выполни задания А-В.

А. Какую строку надо выбрать?

Б. Запиши все необходимые суммы.

В. Запиши результат.

24. Представь, что тебе надо рассказать младшему брату - третьекласснику, как умножить решёткой двузначное число на однозначное. Ниже описаны отдельные шаги этого алгоритма. Используя рисунок 6 и описание в тексте, запиши для каждого шага его порядковый номер. Первый шаг уже указан: D-1

A. Записываем полученное число.

B. Умножаем разряд единиц множимого на множитель, записываем результат во вторую клетку.

C. Суммируем поразрядно числа в ячейках по диагонали.

D. Чертим таблицу с двумя столбцами и одной строкой.

E. Умножаем разряд десятков множимого на множитель, записываем результат в первую клетку.

F. Каждую клетку таблицы разделяем по диагонали на две ячейки.

25. Как умножали числа, в разряде которых был 0? Как бы ты умножал(-а) 1807 на 3, используя палочки Непера? Нарисуй схему и запиши ответ: 1807·3=

26. Таня прочитала в энциклопедии, что палочки Непера долгое время использовались для вычислений в астрономии, артиллерии и других областях, а на родине автора - в Шотландии - на протяжении нескольких столетий они применялись для обучения школьников арифметике. Она пытается понять, чем этот способ был так привлекателен в те времена. У неё есть несколько предположений.

Предыдущая статья: Чему равна скорость света Следующая статья: Углерод — характеристика элемента и химические свойства