Парадокс бертрана рассела. решение проблем логических парадоксов

Владелец парикмахерской в одном селе повесил следующее объявление: "Брею тех и только тех жителей села, кто не бреется сам". Спрашивается, кто бреет брадобрея?

Развитие математической логики особенно активизировалось в XX нашего века в связи с развитием вычислительной техники и программирования.

Ø Определение Математическая логика - это современная форма логики, которая полностью опирается на формальные математические методы. Она изучает только умозаключения со строго определенными объектами и суждениями, для которых можно однозначно решить, истинны они или ложны.

Основным (неопределяемым) понятием математической логики является понятие «простого высказывания ». Высказывание, представляющее собой одно утверждение, принято называть простым или элементарным.

Ø Определение Высказывание - это повествовательное предложение, о котором можно сказать, что оно истинно или ложно.

Высказывания могут быть истинными И или ложными Л.

Пример : Земля - планета Солнечной системы. (Истинно); Каждый параллелограмм есть квадрат (Ложно)

Существуют высказывания, о которых нельзя говорить с уверенностью, истинны они или ложны. «Сегодня хорошая погода»(кому как)

Пример Высказывание "Идет дождь" - простое, а истинное оно или ложное зависит от того, какая погода сейчас за окном. Если действительно льет дождь, то высказывание - истинное, а если солнечно, и бесполезно ждать дождя, то высказывание "Идет дождь" будет ложным.

Пример “ ” – не высказывание (неизвестно, какие значения принимает ).

“Студент второго курса” не высказывание

Ø Определение Элементарные высказывания не могут быть выражены через другие высказывания.

Ø Определение Составные высказывания –высказывания, которые можно выразить с помощью элементарных высказываний.

Пример “Число 22 четное” – элементарное высказывание.

Существуют два основных подхода к установлению истинности высказываний: эмпирический (опытный) и логический.

При эмпирическом подходе истинность высказывания устанавливается с помощью наблюдений, измерений, проведением экспериментов.

Логический подход заключается в том, что истинность высказывания устанавливается на основе истинности других высказываний, то есть без обращения к фактам, к их содержанию, то есть формально. Такой подход основан на выявлении и использовании логических связей между высказываниями, входящими в рассуждение.

2.2 Логика высказываний

Прежде всего нужно определиться с понятиями, потому что один и тот же раздел часто называют по-разному: математическая логика, логика высказываний (предложений), символическая логика, двузначная логика, пропозициональная логика, булева алгебра...

Ø Определение Логика высказываний - раздел логики, в котором вопрос об истинности или ложности высказываний рассматривается и решается на основе изучения способа построения высказываний из элементарных (далее не разлагаемых и не анализируемых) высказываний с помощью логических операций конъюнкции ("и"), дизъюнкции ("или"), отрицания ("не"), импликации ("если..., то...") и др.

Ø Определение Исчисление высказываний – это аксиоматическая логическая система, интерпретацией которой является алгебра высказываний.

Наибольший интерес представляет построение формальной системы, которая среди всех возможных высказываний выделяет такие, которые являются логическими законами (правильно построенными рассуждениями, логическими умозаключениями, тавтологиями, общезначимыми высказываниями).

Формальные теории, не пользуясь естественным (разговорным) языком, нуждаются в собственном формальном языке, на котором записываются встречающиеся в нем выражения.

Ø Определение Формальная система, порождающая высказывания, которые являются тавтологиями и только их, называются исчислением высказываний (ИВ).

Формальная система ИВ определяется:

Какие символы лучше использовать для обозначения логических связок?

Остановимся на следующих обозначениях: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация и эквивалентность. Обычно логические значения результатов применения связок записываются в виде таблиц (т.н. таблицы истинности).

2.3Логические связки..................................................

В естественном языке роль связок при составлении сложных предложений из простых играют следующие грамматические средства:

союзы «и», «или», «не»;

слова «если …, то», «либо … либо»,

«тогда и только тогда, когда» и др.

В логике высказываний логические связки, используемые для составления сложных высказываний, обязаны быть определены точно.

Рассмотрим логические связки (операции) над высказываниями, при которых истинностные значения составных высказываний определяются только истинностными значениями составляющих высказываний, а не их смыслом.

Широко употребительных логических связок пять.

отрицание (изображается знаком),

конъюнкция (знак ),

дизъюнкция (знак v),

импликация (знак )

эквивалентность (знак ).

Ø Определение Отрицание высказывания P - высказывание, истинное тогда и только тогда, когда высказывание P ложно.

Ø Определение Конъюнкция двух высказываний P и Q - высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания.

Ø Определение Дизъюнкция двух высказываний P и Q - высказывание, ложное тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны.

Ø Определение Импликация двух высказываний P и Q - высказывание, ложное тогда и только тогда, когда P - истинно, а Q - ложно. Высказывание P называется посылкой импликации, а высказывание Q - заключением импликации.

Ø Определение Эквивалентность двух высказываний P и Q - высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинностные значения P и Q совпадают.

Употребление слов «если...» «то...» в алгебре логики отличается от употребления их в обыденной речи, где, как правило, считаем, что, если высказывание х ложно, то высказывание «Если х , то у » вообще не имеет смысла. Кроме того, строя предложение вида «если х , то у » в обыденной речи, всегда подразумеваем, что предложение у вытекает из предложения х . Употребление слов «если, то » в математической логике не требует этого, поскольку в ней смысл высказываний не рассматривается.

2.4Логические операции

Основой цифровой техники служат три логические операции, лежащие в основе всех выводов компьютера. Это три логические операции: И, ИЛИ, НЕ, которые называют «тремя китами машинной логики».

К высказываниям можно применять известные из курса дискретной математики логические связки или логические операции. При этом получаются формулы . Формулы становятся высказываниями при подстановке всех значений букв.

Таблицы истинности основных логических операций.

Несколько переменных, связанных между собой с помощью логических операций, называют логической функцией.

Описание всякого исчисления включает в себя описание символов этого исчисления (алфавита), формул, являющихся конечными конфигурациями символов, и определение выводимых формул.

2.5 Алфавит исчисления высказываний

Алфавит исчисления высказывания состоит из символов трех категорий:

Первый из них – знак дизъюнкции или логического сложения, второй – знак конъюнкции или логического умножения, третий – знак импликации или логического следования и четвертый – знак отрицания.

Других символов исчисление высказываний не имеет

2.6 Формулы.Тавтология

Формулы исчисления высказываний представляют собой последовательности символов алфавита исчисления высказываний.

Для обозначения формул используются большие буквы латинского алфавита. Эти буквы не являются символами исчисления. Они представляют собой только условные обозначения формул.

Ø Определение Формула– правильно построенная составное высказывание:

1) Всякая буква есть формула .

2) Если , - формулы, то формулами являются также , , , , .

Очевидно, не являются формулами слова: ) (в третьем из этих слов содержится не закрытая скобка, а в четвертом – нет скобок).

Заметим, что здесь никак не конкретизируются понятия логических связок. Обычно в запись формул вводят некоторые упрощения. Например, в записи формул опускаются скобки по тем же правилам, что и в алгебре высказываний.

Ø Определение. Формула называется тавтологией , если она принимает только истинные значения при любых значениях букв.

Ø Определение Формула ложная при любых значениях букв называетсяпротиворечием

Ø Определение Формула называется выполнимой , если на некотором наборе распределения истинностных значений переменных она принимает значение И.

Ø Определение Формула называется опровержимой , если при некотором распределении истинностных значений переменных она принимает значение Л.

Пример являются формулами согласно п.2 определения.

По этой же причине будут формулами слова:

Одновременно с понятием формулы вводится понятие подформулы или части формулы.

1. Подформулой элементарной формулы является она сама.

2. Если формула имеет вид , то ее подформулами являются: она сама, формула А и все подформулы формулы А.

3. Если формула имеет вид (А*В) (здесь и в дальнейшем под символом * будем понимать любой из трех символов ), то ее подформулами являются: она сама, формулы А и В и все подформулы формул А и В.

Пример Для формулы ее подформулами будут:

- подформула нулевой глубины,

Подформулы первой глубины,

Подформулы второй глубины,

Подформулы третьей глубины,

Подформула четвертой глубины.

Таким образом, по мере “погружения вглубь структуры формулы” выделяем подформулы все большей глубины

Из курса дискретной математики известны основные логические эквивалентности (равносильности), которые являются примерами тавтологий. Все логические законы должны быть тавтологиями.

Иногда законы называются правилами вывода, которые определяют правильный вывод из посылок.

2.7Законы логики высказываний

Алгебра логики обладает коммутативными и ассоциативными законами относительно операций конъюнкции и дизъюнкции и дистрибутивным законом конъюнкции относительно дизъюнкции, эти же законы имеют место и в алгебре чисел.

Поэтому над формулами алгебры логики можно производить те же преобразования, которые проводятся в алгебре чисел (раскрытие скобок, заключение в скобки, вынесение за скобки общего множителя).

Рассмотрим основные законы логики высказываний.

1. Коммутативность:

, .

2. Ассоциативность:

3. Дистрибутивность:

4. Идемпотентность: , .

5. Закон двойного отрицания: .

6. Закон исключения третьего: .

7. Закон противоречия: .

8. Законы де Моргана:

9. Законы идемпотентности (свойства операций с логическими константами)

В алгебре логики нет показателей степеней и коэффициентов. Конъюнкция одинаковых ”сомножителей” равносильна одному из них

Здесь , и – любые буквы.

Примеры. формула тавтология.

Брадобрей бреет тех и только тех, кто не бреется сам,
побреет ли себя брадобрей?

Ответ: Брадобрей будет исполнять акт бритья до тех
пор, пока он сам не поймет, что его совершает. например
состриг хотя бы один волос. Т.е. произошел какой то
рзультат, оценив который, брадобрей сможет сделать
логический вывод, бреется он или нет. После чего он
прекратит бритье по флагу и когда до него дойдет тот
факт, что в данный момент он не бреется, он повторит
свои действия. в результате, скорость бритья будет
зависеть от той скорости, с которой брадобрей сам
работает как аналитическая система. А в итоге, решение
парадокса будет во времени, т.е. бреется не бреется,
бреется не бреется, и т.д. т.е цикл, а по
нашему-генератор.

Значит Брадобрей в результате побреется?

Зависит о критерия истинности для термина бриться (в
задаче он не указан, вследствие чего задача не
корректно поставлена).

поэтому я позволил себе его установить, чтобы задача
имела решение и ввести определение "бреется"
факт бритья есть состригание одного волоса в момент
времени t1-t2.

копипаст с другого форума:

"Давайте уж расставим все точки над Ё!"
Ну факт истинности бритья это конечно круто! А кто его собственно будет устанавливать???"

Сам брадобрей естесственно!
Ведь он сам для себя определяет, выполняет он условие задачи в данный момент времени или нет.
Если он не бреется в данный момент, то он спокойненько может приступать к бритью. В этот момент он для себя не является брадобреем.
В условии не сказано, что запрещено начинать процедуру бритья или быть выбритым.
Ему нельзя иметь факт осознания им самим процесса бритья, иначе он нарушит условие.
Т.е. если он его не сможет осознать, то условие задачи он НЕ нарушает!
И в его системе отсчета по закону исключенного третьего этого произойти не может.

Поскольку он просто не успеет осознать действие состригания волоса в момент времени т1-т2.

Получиться, что действие произошло, а брадобрей не виноват. Да, он осознает, что свершил акт бритья, но ведь в момент времени, когда он его еще не совершал, он имел полное право начать процедуру бритья по условию! Он же не был брадобреем в своей ИСО. А когда сбрил, его совесть опять чиста, потому что он опять себя не бреет. А сам факт действия бритья в его ИСО вообще не определен.
С точки зрения любого жителя деревни, брадобрей тоже условия не нарушал, потому что все, что он делал в столь малый интервал времени не определяется из их ИСО и подавно. Им обоим виден только результат: был не брит, а теперь он побритый.

Если взять "скоростного брадобрея", который способен будет определить факт своего бритья в момент состригания половины волоса, то он просто остановится, чтобы условие не нарушать, и тут же продолжит бритье, поскольку опять перестанет быть брадобреем.

В любом случае, брадобрей будет выбрит и осознание того, что он таки нарушил условие, к нему так и не придет, несмотря на постфактум.

Вот вам же не приходит в голову, что тело движется прямолинейно и равноускоренно в вакууме не просто так постфактум? Вы воспринимаете это как должное чудо, правда? опаньки! Тело переместилось, энергия не затратилась, а кто его переместил? Кто энергию потратил?
Так же и брадобрей будет поставлен перед фактом. Опаньки! Пабрилси! Как так получилось? Это, конечно, если у него память отшибло и он не помнит, что делал мнгновение назад.

А в случае с 1-м законом Ньютона, просто не вы это делаете, вот и все.

И только за счет того, что брадобрей помнит, что он делал мгновение назад, а также, что он был не побрит, он может сделать ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ дедуктивное, что побрился он сам и что условие он нарушил.
Факта бритя установить не удалось, но определенно он был.
Применяем закон логики инверсии причинности:
дедуктивный вывод превращается в индуктивный в случае доказательства, что другого дедуктивного вывода не может быть, а его не может быть, рядом то никого не было, следовательно брадобрей сам побрился, а не чудо его побрило, и факт нарушения установлен уже индуктивно.
(Попрошу вот этот момент прочувствовать, т.к. я вам здесь показал, как работает закон инверсии причинности для понятия индукции и дедукции, где еще смогу показать)

Но это опять не нарушает условия задачи, поскольку в задаче ничего не сказано о том, должен ли брадобрей страдать от этого постфактум. Там был вопрос побреется или не побреется.

Даже если брадобрей сделает вывод о том, что он нарушает условие после факта сбривания одного волоса, и что попытка побриться снова, приведет его к следующему нарушению условия задачи, то это опять ничего не меняет, поскольку в задаче не было указания учитывать отрицательные обратные связи во времени, т.е. по умолчанию, мы ими пренебрегаем по условию.

"Наблюдатель? Это еще одно ИСО. "

Задача ведь ставится для брадобрея, а не для какого то там стороннего наблюдателя, который может померить процедуру сбривания одного волоса расквантовав это действие еще болеее детально чем брадобрей на составляющие в другой ИСО (замедленная съемка), осознать процесс сбривания половины волоса и сказать, что брадобрей нарушает условие. Ну да, с его позиции брадобрей его нарушит, но это не противоречит условию задачи.

Парадокс Рассела (антиномия Рассела , также парадокс Рассела - Цермело ) - открытый в 1901 году Бертраном Расселом теоретико-множественный парадокс (антиномия), демонстрирующий противоречивость логической системы Фреге , являвшейся ранней попыткой формализации наивной теории множеств Георга Кантора . Был открыт ранее, но не опубликован Эрнстом Цермело .

На неформальном языке парадокс можно описать следующим образом. Условимся называть множество «обычным», если оно не является своим собственным элементом. Например, множество всех людей является «обычным», так как само множество - не человек. Примером «необычного» множества является множество всех множеств , так как оно само является множеством, а следовательно, само является собственным элементом .

Можно рассмотреть множество, состоящее только из всех «обычных» множеств, такое множество называется расселовским множеством . Парадокс возникает при попытке определить, является ли это множество «обычным» или нет, то есть содержит ли оно себя в качестве элемента. Есть две возможности.

С одной стороны, если оно «обычное», то оно должно включать себя в качестве элемента, так как оно по определению состоит из всех «обычных» множеств. Но тогда оно не может быть «обычным», так как «обычные» множества - это те, которые себя не включают.
Остаётся предположить, что это множество «необычное». Однако оно не может включать себя в качестве элемента, так как оно по определению должно состоять только из «обычных» множеств. Но если оно не включает себя в качестве элемента, то это «обычное» множество.

В любом случае получается противоречие .

Энциклопедичный YouTube

1 / 5

✪ Лекция 1. Определение множества. Законы де Моргана. Парадокс Рассела. Теорема Вейерштрасса

✪ 3 Парадокс Рассела

✪ Бертран Рассел Совет будущим поколениям

✪ Лекция 21: Наивная теория множеств и нечёткая логика

✪ Парадокс Монти Холла - Numberphile

Субтитры

Формулировка парадокса

Парадокс Рассела можно сформулировать в наивной теории множеств . Следовательно, наивная теория множеств является противоречивой . Противоречив фрагмент наивной теории множеств, который можно определить как теорию первого порядка с бинарным отношением принадлежности ∈ {\displaystyle \in } и схемой выделения : для каждой логической формулы с одной свободной переменной в наивной теории множеств есть аксиома

∃ y ∀ x (x ∈ y ⟺ P (x)) {\displaystyle \exists y\forall x(x\in y\iff P(x))} .

Эта схема аксиом говорит, что для всякого условия P (x) {\displaystyle P(x)} существует множество y , {\displaystyle y,} состоящее из тех x , {\displaystyle x,} которые удовлетворяют условию P (x) {\displaystyle P(x)} .

Этого оказывается достаточно, чтобы сформулировать парадокс Рассела следующим образом. Пусть P (x) {\displaystyle P(x)} есть формула x ∉ x . {\displaystyle x\notin x.} (То есть P (x) {\displaystyle P(x)} означает, что множество x {\displaystyle x} не содержит себя в качестве элемента, или, в нашей терминологии, является «обычным» множеством.) Тогда, по аксиоме выделения, найдётся множество y {\displaystyle y} (расселовское множество) такое, что

∀ x (x ∈ y ⟺ x ∉ x) {\displaystyle \forall x(x\in y\iff x\notin x)} .

Так как это верно для любого x , {\displaystyle x,} то верно и для x = y . {\displaystyle x=y.} То есть

y ∈ y ⟺ y ∉ y . {\displaystyle y\in y\iff y\notin y.}

Из этого следует, что в наивной теории множеств выводится противоречие .

Парадокс не возник бы, если предположить, что расселовского множества не существует. Однако само такое предположение парадоксально: в канторовской теории множеств считается, что любое свойство определяет множество элементов, удовлетворяющих этому свойству. Так как свойство множества быть «обычным» выглядит корректно определённым, то должно существовать множество всех «обычных» множеств. Сейчас такая теория называется наивной теорией множеств .

История

Рассел, вероятно, открыл свой парадокс в мае или июне 1901 года . Согласно самому Расселу, он пытался найти ошибку в доказательстве Кантора того парадоксального факта (известного как парадокс Кантора), что не существует максимального кардинального числа (или же множества всех множеств). В результате Рассел получил более простой парадокс . Рассел сообщил свой парадокс другим логикам, в частности Уайтхеду и Пеано . В своём письме к Фреге 16 июня 1902 года он писал, что обнаружил противоречие в «Исчислении понятий » - книге Фреге, опубликованной в 1879 году. Он изложил свой парадокс в терминах логики, а потом в терминах теории множеств, используя определение Фреге для функции :

Я испытал трудности только в одном месте. Вы утверждаете (стр. 17), что функция может сама выступать в качестве неизвестного. Раньше я тоже так считал. Но теперь такой взгляд мне кажется сомнительным из-за следующего противоречия. Пусть w предикат: «быть предикатом, который не приложим к самому себе». Может ли w быть приложим к самому себе? Из любого ответа следует обратное. Следовательно, мы должны заключить, что w - не предикат. Аналогично не существует класса (как целого) тех классов, которые, взятые как целое, не принадлежат себе. Отсюда я заключаю, что иногда определённое множество не формирует целостного образования.

Оригинальный текст (нем.)
Nur in einem Punkte ist mir eine Schwierigkeit begegnet. Sie behaupten (S. 17) es könne auch die Funktion das unbestimmte Element bilden. Dies habe ich früher geglaubt, jedoch jetzt scheint mir diese Ansicht zweifelhaft, wegen des folgenden Widerspruchs: Sei w das Prädicat, ein Prädicat zu sein welches von sich selbst nicht prädicirt werden kann. Kann man w von sich selbst prädiciren? Aus jeder Antwort folgt das Gegentheil. Deshalb muss man schließen dass w kein Prädicat ist. Ebenso giebt es keine Klasse (als Ganzes) derjenigen Klassen die als Ganze sich selber nicht angehören. Daraus schliesse ich dass unter gewissen Umständen eine definierbare Menge kein Ganzes bildet .

Фреге получил письмо как раз в то время, когда завершил работу над вторым томом «Основных законов арифметики» (нем. Grundgesetze der Arithmetik ). У Фреге не было времени исправить свою теорию множеств. Он лишь добавил приложение ко второму тому с изложением и своим анализом парадокса, которое начиналось с знаменитого замечания:

Вряд ли с учёным может приключиться что-нибудь худшее, чем если у него из-под ног выбьют почву в тот самый момент, когда он завершит свой труд. Именно в таком положении оказался я, получив письмо от Бертрана Рассела, когда моя работа уже была завершена .

Оригинальный текст (нем.)
Einem wissenschaftlichen Schriftsteller kann kaum etwas Unerwünschteres begegnen, als daß ihm nach Vollendung einer Arbeit eine der Grundlagen seines Baues erschüttert wird. In diese Lage wurde ich durch einen Brief des Herrn Bertrand Russell versetzt, als der Druck dieses Bandes sich seinem Ende näherte .

z ∈ { x: P (x) } ⟺ P (z) {\displaystyle z\in \{x\colon P(x)\}\iff P(z)} ,

которая говорила, что можно построить множество элементов, удовлетворяющих свойству P (x) , {\displaystyle P(x),} он предложил использовать следующую аксиому:

z ∈ { x: P (x) } ⟺ P (z) & z ≠ { x: P (x) } {\displaystyle z\in \{x\colon P(x)\}\iff P(z)\ \&\ z\neq \{x\colon P(x)\}} ,

таким образом исключив возможность для множества быть элементом самого себя. Однако небольшая [какая? ] модификация парадокса Рассела доказывает, что и эта аксиома тоже приводит к противоречию .

Рассел опубликовал свой парадокс в своей книге «Принципы математики » в 1903 году .

Ниже приведены несколько из возможных подходов к построению системы аксиом, свободной от расселовских парадоксов.

Теория типов Рассела

Первым, кто предложил теорию, свободную от парадокса Рассела, был сам Рассел. Он разработал теорию типов, первая версия которой появилась в книге Рассела и Уайтхеда «Принципы математики » в 1903 году . В основе этой теории лежит следующая идея: простые объекты в этой теории имеют тип 0, множества простых объектов имеют тип 1, множества множеств простых объектов имеют тип 2 и так далее. Таким образом, ни одно множество не может иметь себя в качестве элемента. Ни множество всех множеств , ни расселовское множество не могут быть определены в этой теории. Аналогичная иерархия вводится для высказываний и свойств. Высказывания о простых объектах принадлежат типу 1, высказывания о свойствах высказываний типа 1 принадлежат типу 2 и так далее. В общем, функция по определению принадлежит типу более высокому, чем переменные, от которых она зависит. Такой подход позволяет избавиться не только от парадокса Рассела, но и многих других парадоксов, включая парадокс лжеца (), парадокс Греллинга - Нельсона, парадокс Бурали-Форти . Рассел и Уайтхед показали, как свести к аксиомам теории типов всю математику, в своём трёхтомном труде «Principia Mathematica », выпущенном в 1910-1913 годах .

Однако такой подход встретил трудности. В частности, возникают проблемы при определении таких понятий, как точная верхняя грань для множеств вещественных чисел. По определению точная верхняя грань есть наименьшая из всех верхних граней. Следовательно, при определении точной верхней грани используется множество вещественных чисел. Значит, точная верхняя грань является объектом более высокого типа, чем вещественные числа. А значит, сама не является вещественным числом. Чтобы избежать этого, пришлось вводить так называемую аксиому сводимости . Из-за её произвольности аксиому сводимости отказывались принимать многие математики, да и сам Рассел называл её дефектом своей теории. Кроме того, теория оказалась очень сложной. В итоге она не получила широкого применения .

Теория множеств Цермело - Френкеля

Самым известным подходом к аксиоматизации математики является теория множеств Цермело - Френкеля (ZF), которая возникла как расширение теории Цермело (1908). В отличие от Рассела, Цермело сохранил логические принципы, а изменил только аксиомы теории множеств . Идея этого подхода заключается в том, что допускается использовать только множества, построенные из уже построенных множеств при помощи определённого набора аксиом . Так, например, одна из аксиом Цермело говорит, что можно построить множество всех подмножеств данного множества (аксиома булеана). Другая аксиома (схема выделения ) говорит, что из каждого множества можно выделить подмножество элементов, обладающих данным свойством. В этом состоит главное отличие теории множеств Цермело от наивной теории множеств: в наивной теории множеств можно рассмотреть множество всех элементов, обладающих данным свойством, а в теории множеств Цермело - только выделить подмножество из уже построенного множества. В теории множеств Цермело нельзя построить множество всех множеств . Таким образом и расселовское множество там построить нельзя .

Классы

Иногда в математике бывает полезно рассматривать все множества как единое целое, например, чтобы рассматривать совокупность всех групп . Для этого теория множеств может быть расширена понятием класса , как, например, в системе Неймана - Бернайса - Гёделя (NBG). В этой теории совокупность всех множеств является классом . Однако, этот класс не является множеством и не является элементом никакого класса, что позволяет избежать парадокса Рассела .

Более сильной системой, позволяющей брать кванторы по классам, а не только по множествам, является, например, теория множеств Морса - Келли (MK) . В этой теории основным понятием является понятие класса , а не множества . Множествами в этой теории считаются такие классы, которые сами являются элементами каких-то классов . В этой теории формула z ∈ { x: P (x) } {\displaystyle z\in \{x\colon P(x)\}} считается эквивалентной формуле

P (z) & ∃ y . z ∈ y {\displaystyle P(z)\ \&\ \exists y.z\in y} .

Так как ∃ y . z ∈ y {\displaystyle \exists y.z\in y} в этой теории значит, что класс z {\displaystyle z} является множеством , эту формулу надо понимать как то, что { x: P (x) } {\displaystyle \{x\colon P(x)\}} является классом всех множеств (а не классов) z {\displaystyle z} , таких что P (z) {\displaystyle P(z)} . Парадокс Рассела в этой теории разрешается тем, что не любой класс является множеством .

Можно пойти дальше и рассматривать совокупности классов - конгломераты , совокупности конгломератов и так далее .

Влияние на математику

Аксиоматизация математики

Парадокс Рассела, вместе с другими математическими антиномиями , открытыми в начале XX века, стимулировал пересмотр оснований математики, результатом которого явилось построение аксиоматических теорий для обоснования математики, некоторые из которых упомянуты выше.

Во всех построенных новых аксиоматических теориях парадоксы, известные к середине XX века (в том числе парадокс Рассела), были устранены . Однако доказать, что новые подобные парадоксы не могут быть обнаружены в будущем (в этом состоит проблема непротиворечивости построенных аксиоматических теорий), оказалось, в современном понимании этой задачи, невозможно (см. Теоремы Гёделя о неполноте).

Интуиционизм

Параллельно возникло новое течение в математике, называемое интуиционизмом , основателем которого является Л. Э. Я. Брауэр . Интуиционизм возник независимо от парадокса Рассела и других антиномий. Однако открытие антиномий в теории множеств усилило недоверие интуиционистов к логическим принципам и ускорило формирование интуиционизма . Основной тезис интуиционизма говорит, что для доказательства существования некоторого объекта необходимо предъявить способ его построения . Интуиционисты отвергают такие абстрактные понятия, как множество всех множеств. Интуиционизм отрицает закон исключенного третьего , впрочем, необходимо отметить, что закон исключенного третьего не нужен для вывода противоречия из антиномии Рассела или любой другой (в любой антиномии доказывается, что A {\displaystyle A} влечёт отрицание A {\displaystyle A} и отрицание A {\displaystyle A} влечёт A , {\displaystyle A,} однако из (A ⇒ ¬ A) & (¬ A ⇒ A) {\displaystyle (A\Rightarrow \neg A)\&(\neg A\Rightarrow A)} даже в интуиционисткой логике следует противоречие) . Стоит также отметить, что в более поздних аксиоматизациях интуиционисткой математики были обнаружены парадоксы, аналогичные расселовскому, как, например, парадокс Жирара в первоначальной формулировке Мартина-Лёфа .

Диагональный аргумент (самоприменимость)

Несмотря на то что рассуждения Рассела приводят к парадоксу, основная идея этого рассуждения часто используется в доказательстве математических теорем. Как было уже сказано выше, Рассел получил свой парадокс, анализируя доказательство Кантора о несуществовании наибольшего кардинального числа . Этот факт противоречит существованию множества всех множеств, так как его мощность должна быть максимальной. Тем не менее, по теореме Кантора , множество всех подмножеств данного множества имеет бо́льшую мощность, чем само множество. Доказательство этого факта основано на следующем диагональном аргументе ?! :

Пусть есть взаимнооднозначное соответствие , которое каждому элементу x {\displaystyle x} множества X {\displaystyle X} ставит в соответствие подмножество s x {\displaystyle s_{x}} множества X . {\displaystyle X.} Пусть d {\displaystyle d} будет множеством, состоящим из элементов x {\displaystyle x} таких, что x ∈ s x {\displaystyle x\in s_{x}} (диагональное множество ). Тогда дополнение этого множества s = d ¯ {\displaystyle s={\overline {d}}} не может быть ни одним из s x . {\displaystyle s_{x}.} А следовательно, соответствие было не взаимнооднозначным.

Кантор использовал диагональный аргумент при доказательстве несчётности действительных чисел в 1891 году. (Это не первое его доказательство несчётности действительных чисел, но наиболее простое) .

Связанные парадоксы

Самоприменимость используется во многих парадоксах, кроме рассмотренных выше:

Парадокс всемогущества - средневековый вопрос: «Может ли всемогущий бог создать камень, который он сам не сможет поднять?»
Парадокс Бурали-Форти (1897) - аналог парадокса Кантора для ординальных чисел .
Парадокс Мириманова (1917) - обобщение парадокса Бурали-Форти для класса всех фундированных классов .
Парадокс Ришара (1905) - семантический парадокс, показывающий важность разделения языка математики и метаматематики.
Парадокс Берри (1906) - опубликованный Расселом упрощённый вариант парадокса Ришара.
Парадокс Клини - Россера (1935) - формулировка парадокса Ришара в терминах λ-исчисления .
Парадокс Карри (1941) - упрощение парадокса Клини - Россера.
Парадокс Жирара (1972) - формулировка парадокса Бурали-Форти в терминах интуиционистской теории типов .
- полушутливый парадокс, напоминающий парадокс Берри.

Примечания

Godehard Link (2004), One hundred years of Russell"s paradox , с. 350, ISBN 9783110174380 , .
Антиномия Рассела // Словарь по логике. Ивин А. А., Никифоров А. Л. - М.: Туманит, ВЛАДОС, 1997. - 384 с. - ISBN 5-691-00099-3 .
Andrew David Irvine, Harry Deutsch. Russell"s Paradox // The Stanford Encyclopedia of Philosophy / Edward N. Zalta. - 2014-01-01.
Антиномия - статья из Математической энциклопедии . А. Г. Драгалин
А. С. Герасимов. Курс математической логики и теории вычислимости . - Издание третье, исправленное и дополненное. - Санкт-Петербург: ЛЕМА, 2011. - С. 124-126. - 284 с.

Всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента. Содержит ли само себя в качестве элемента? Если да, то, по определению , оно не должно быть элементом - противоречие. Если нет - то, по определению , оно должно быть элементом - вновь противоречие.

Противоречие в парадоксе Рассела возникает из-за использования в рассуждении внутренне противоречивого понятия множества всех множеств и представления о возможности неограниченного применения законов классической логики при работе с множествами. Для преодоления этого парадокса было предложено несколько путей. Наиболее известный состоит в предъявлении для теории множеств непротиворечивой формализации , по отношению к которой являлись бы допустимыми все «действительно нужные» (в некотором смысле) способы оперирования с множествами. В рамках такой формализации утверждение о существовании множества всех множеств было бы невыводимым.

Действительно, допустим, что множество всех множеств существует. Тогда, согласно аксиоме выделения , должно существовать и множество , элементами которого являются те и только те множества, которые не содержат себя в качестве элемента. Однако предположение о существовании множества приводит к парадоксу Рассела. Следовательно, ввиду непротиворечивости теории , утверждение о существовании множества невыводимо в этой теории, что и требовалось доказать.

В ходе реализации описанной программы «спасения» теории множеств было предложено несколько возможных её аксиоматизаций (теория Цермело - Френкеля ZF, теория Неймана - Бернайса - Гёделя NBG и т. д.), однако ни для одной из этих теорий до настоящего момента не найдено доказательства непротиворечивости. Более того, как показал Гёдель, разработав ряд теорем о неполноте , такого доказательства не может существовать (в некотором смысле).

Другой реакцией на открытие парадокса Рассела явился интуиционизм Л. Э. Я. Брауэра .

Варианты формулировок

Существует много популярных формулировок этого парадокса. Одна из них традиционно называется парадоксом брадобрея и звучит так:

Одному деревенскому брадобрею приказали «брить всякого, кто сам не бреется, и не брить того, кто сам бреется» . Как он должен поступить с самим собой?

Еще один вариант:

В одной стране вышел указ: «Мэры всех городов должны жить не в своем городе, а в специальном Городе мэров» . Где должен жить мэр Города мэров?

И ещё один:

Некая библиотека решила составить библиографический каталог, в который входили бы все те и только те библиографические каталоги, которые не содержат ссылок на самих себя. Должен ли такой каталог включать ссылку на себя?

См. также

Литература

Курант Р. , Роббинс Г. Что такое математика? - гл. II, § 4.5
Мирошниченко П. Н. Что же разрушал парадокс Рассела в системе Фреге? // Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке. - СПб., 2000. - С. 512-514.
Катречко С. Л. Расселовский парадокс брадобрея и диалектика Платона - Аристотеля // Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке. - СПб., 2002. - С. 239-242.
Мартин Гарднер А ну-ка, догадайся! = Aha! Gotcha. Paradoxes to puzzle and delight. - М .: Мир , 1984. - С. 22-23. - 213 с.

Примечания

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Парадокс Рассела" в других словарях:

- (греч. paradoxos неожиданный, странный) в широком смысле: утверждение, резко расходящееся с общепринятым, устоявшимся мнением, отрицание того, что представляется «безусловно правильным»; в более узком смысле два противоположных утверждения, для… … Философская энциклопедия

Парадокс Рассела открытая в 1903 году Бертраном Расселом и позднее независимо переоткрытая Э. Цермело теоретико множественная антиномия, демонстрирующая несовершенство языка наивной теории множеств Г. Кантора, а не ее противоречивость. Антиномия… … Википедия

парадокс - ПАРАДОКС (от греч. para вне и doxa мнение). 1) В широком (внелогическом) смысле все то, что так или иначе вступает в конфликт (расходится) с общепринятым мнением, подтвержденным традицией, законом, правилом, нормой или здравым смыслом.… … Энциклопедия эпистемологии и философии науки

Положение, которое сначала еще не является очевидным, однако, вопреки ожиданиям, выражает истину. В античной логике парадоксом называли утверждение, многозначность которого относится прежде всего к его правильности или неправильности. В… … Философская энциклопедия

- (парадокс класса всех фундированных классов) парадокс в теории множеств, являющийся обобщением парадокса Бурали Форти. Назван именем русского математика Д. Мириманова. Содержание 1 Формулировка … Википедия

Демонстрирует, что предположение о существовании множества всех порядковых чисел ведёт к противоречиям и, следовательно, противоречивой является теория множеств, в которой построение такого множества возможно. Содержание 1 Формулировка 2 История … Википедия

- (от греч. parádoxes неожиданный, странный) неожиданное, непривычное (хотя бы по форме) суждение (высказывание, предложение), резко расходящееся с общепринятым, традиционным мнением по данному вопросу. В этом смысле эпитет «парадоксальный» … Большая советская энциклопедия

Парадокс Кантора парадокс теории множеств, который демонстрирует, что предположение о существовании множества всех множеств ведёт к противоречиям и, следовательно, противоречивой является теория, в которой построение такого множества… … Википедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Парадокс (значения). Роберт Бойль. Схема доказательства того, что вечного двигателя не существует Парадокс … Википедия

Книги

Крушение метафизической концепции универсальности предметной области в логике. Контроверза Фреге-Шредер , Б. В. Бирюков. В настоящей книге рассматривается драматическая история математической логики, связанная с понятием "универсума рассуждения" - предметной области в логике. Освещается коллизия взглядов двух…

Брадобрей, получив приказ, сначала обрадовался, потому что многие солдаты умели бриться сами, побрил тех, кто бриться сам не умел, а потом сел на пенек и задумался: а что ему с собой-то делать? Ведь если он будет брить себя, то нарушит приказ командира не брить тех, кто бреется сам. Брадобрей уже решил было, что брить себя не будет. Но тут его осенила мысль, что если он сам себя брить не будет, то окажется, что он сам не бреется, и по приказу командира он должет все-таки себя побрить…

Что с ним стало, история умалчивает.

Причем же здесь теория множеств? А вот причем: командир пытался определить множество людей, которых брадобрею нужно брить, таким образом:

те и только те, кто не бреется сам.

Казалось бы, обычное множество, описывается несколькими русскими словами, чем оно хуже, например, множества

все ученики школы?

Но с этим множеством тут же возникает проблема: непонятно, принадлежит ли этому множеству брадобрей.

Вот другая версия этого парадокса.

Прилагательное русского языка назовем рефлексивным , если оно обладает свойством, которое определяет. Например, прилагательное "русский" - рефлексивное, а прилагательное "английский" - нерефлексивное, прилагательное "трехсложный" - рефлексивное (это слово состоит из трех слогов), а прилагательное "четырехсложный" - нерефлексивное (состоит из пяти слогов) . Вроде бы ничто не мешает нам определить множество

все рефлексивные прилагательные.

Но давайте рассмотрим прилагательное "нерефлексивный". Оно рефлексивное или нет?

Можно заявить, что прилагательное "нерефлексивный" не является ни рефлексивным, ни нерефлексивным. Но как тогда быть с таким заклинанием:

верно либо утверждение, либо его отрицание?

(Это заклинание называется законом исключенного третьего; на нем, собственно, и основан метод от противного.)

Наконец, третья версия парадокса. Рассмотрим множество

Множества , такие что

Мы включаем во множество только те множества , которые принадлежат сами себе. Бывают же множества, которые содержат другие множества. Например, пусть

множеству принадлежат числа , а множеству - два элемента: множество и число . Возвращаясь к коробкам, это можно сказать так: одни коробки можно класть в другие коробки. (Оказывается, что в каждой такой последовательности вложенных коробок всегда конечное число элементов - этому есть глубокие причины.)

Рассмотренное множество - это своего рода "брадобрей". Если предположить, что , сразу приходим к выводу, что . Если же предположить, что - получаем, что .

Столкнувшись с этими парадоксами, создатели теории множеств осознали, что нельзя задавать множества произвольными словосочетаниями . После этого они стали бороться с парадоксами двумя способами.

Первый способ - способ Кантора, придумавшего "наивную теорию множеств", в которой запрещаются все действия и операции, ведущие к парадоксам. Идея в следующем: разрешается работать со множествами, которые " встречаются в природе", также разрешается работать со множествами, которые получаются из них разумными теоретико-множественными операциями. Пусть, например,

Множество учащихся школы,
= множество непрерывных функций

(эти множества "встречаются в природе"), из них можно получить объединение , пересечение . Можно даже умножить множество на множество : по определению

Множество пар, в которых первый элемент из первого множества, а второй - из второго. В нашем случае - это множество пар, в которых первый элемент - учащийся школы, а второй - какая-нибудь непрерывная функция.

Другой способ - аксиоматический. Этот способ преодоления парадоксов развивали Цермело и Френкель (система аксиом Цермело–Френкеля), Гедель и Бернайс (система аксиома Геделя–Бернайса). Согласно этой теории, множество - это нечто, удовлетворяющее аксиомам, например, следующим .

Записи аксиом дублируются на "языке кванторов". Вот значения используемых кванторов:
- для любого ;
- существует ;
- существует единственный ;
- является множеством;
- множество тех и только тех , которые удовлетворяют условию ;
- логическое "или";
- логическое "и".

1. Аксиома объемности . Множество определяется своими элементами: множества, состоящие из одних и тех же элементов, равны.

2. Аксиома объединения . Объединение всех элементов множества есть множество.

3. Аксиома выделения . Для каждого множества и каждого условия существует множество

Подмножество элементов множества , удовлетворяющих условию .

Другими словами, мы не можем взять множество всех летающих крокодилов со всего мира или множество тех множеств, которые не содержат сами себя, а можем, взяв некоторое множество, выделить в нем "кусочек" - множество его элементов, удовлетворяющих некоторому условию.

4. Аксиома степени . Множество всех подмножеств данного множества есть множество.

5. Аксиома подстановки . Пусть - множество, а - произвольная формула. Тогда если для каждого существует и единственен , такой что истинно , то существует множество всех , для которых найдется , такой что истинно.

6. Аксиома фундирования . Не существует бесконечной последовательности вложенных множеств: каждая цепочка множеств

7. Аксиома бесконечности . Существуют бесконечные множества, т. е. такие множества , что равномощно .

8. Аксиома выбора . Еще одна очень сложная, но и очень очевидная аксиома - о ней позже.

Подробнее об аксиоматике теории множеств см. книгу .

Предыдущая статья: Чему равна скорость света Следующая статья: Углерод — характеристика элемента и химические свойства

Парадокс бертрана рассела. решение проблем логических парадоксов

Энциклопедичный YouTube

Субтитры

Формулировка парадокса

Популярные версии парадокса

Парадокс лжеца

Парадокс брадобрея

Вариант о каталогах

Парадокс Греллинга - Нельсона

История

Теория типов Рассела

Теория множеств Цермело - Френкеля

Классы

Влияние на математику

Аксиоматизация математики

Интуиционизм

Диагональный аргумент (самоприменимость)

Связанные парадоксы

Примечания

Варианты формулировок

См. также

Литература

Примечания

Смотреть что такое "Парадокс Рассела" в других словарях:

Книги