Соотношения неопределённости Гейзенберга

В классической механике состояние материальной точки (классической частицы определяется заданием значений координат, импульса, энергии и т.д.). Микрообъекту не могут быть приписаны перечисленные переменные. Однако, информацию о микрочастицах мы получаем, наблюдая их взаимодействие с приборами представляющие собой макроскопические тела. Поэтому результаты измерений поневоле выражаются в терминах, разработанных для характеристики макротел, следовательно, приписываются и микрочастицам. Например, говорят о состоянии электрона, в котором он имеет какое-то значение энергии или импульса.

Своеобразие свойств микрочастиц проявляется в том, что не для всех переменных получается при измерениях точные значения. Так, например, электрон (и любая другая микрочастица) не может одновременно иметь точных значений координаты х и компоненты импульса Р х. Неопределённость значений x и Р х удовлетворяет соотношению:

Из уравнения (1) следует, что чем меньше неопределённость одной из переменных, тем больше неопределённость другой. Возможно, такое состояние, в котором одна из переменных имеет точное значение, другая переменная при этом оказывается совершенной неопределенной (ее неопределённость равна бесконечности).

– классические в механике пары называются

канонически сопряженными

т.е.

Произведение неопределённостей значений двух сопряженных переменных не может быть по порядку величины меньше постоянной Планка .

Гейзенберг (1901-1976 гг.), немец, Нобелевский лауреат 1932 г., в 1927 г. сформулировал принцип неопределенности, ограничивающий применение к микрообъектам классических понятий и представлений:

– это соотношение означает, что определение энергии с точностью до E должно занять интервал времени, равный по меньшей мере

Попытаемся определить значение координаты х свободно летящей микрочастицы, поставив на ее пути щель шириной х, расположенную перпендикулярно к направлению движения частицы. До прохождения через щель, Р х =0 Þ , зато координата х является совершенно неопределенной. В момент прохождения щель положение меняется. Вместо полной неопределенности х появляется неопределенность х, но это достигается ценой утраты определенности значения P х. Вследствие дифракции появляется некоторая вероятность того, что частица будет двигаться в пределах угла 2j, j – угол, соответствующий первому дифракционному min (интенсивностью высших порядков можно пренебречь).

Краю центрального дифракционного max (первому min) получающемуся от щели шириной х, соответствует угол j, для которого

Соотношение неопределённости показывает в какой мере можно пользоваться понятиями классической механики, в частности, с какой степенью точности можно говорить о траектории микрочастиц.

Подставим вместо

Мы видим, что чем больше масса частицы, тем меньше неопределённости её координаты и скорости, следовательно, c тем большей точностью применимо для неё понятие траектории.

Соотношение неопределённости является одним из фундаментальных положений квантовой механики.

В частности, оно позволяет объяснить тот факт, что электрон не падает на ядро атома, а также оценить размеры простейшего атома и минимальную возможную энергию электрона в таком атоме.

Если бы электрон упал на ядро, его координаты и импульс приняли бы определенные (нулевые) значения, что несовместимо с принципом неопределенности (доказательство от обратного).

Пример Хотя соотношение неопределённости распространяется на частицы любых масс, для макрочастиц оно принципиального значения не имеет. Например, для тела m=1 г., движущегося с =600 м/с, при определении скорости с очень высокой точностью 10 -6 %, неопределенность координаты:

Т.е. очень и очень мала.

Для электрона движущегося с (что соответствует его энергии в 1эВ).

При определении скорости с точностью до 20%

Это очень большая неопределенность, т.к. расстояние между узлами кристаллической решетки твердых тел порядка единиц ангстрем.

Таким образом, любая квантовая система не может находится в состояниях, в которых координаты ее центра инерции (для частицы – координаты частицы) и импульс одновременно принимает вполне определенные значения.

В квантовой механике теряет смысл понятие траектории, т.к. если мы точно определим значения координат, то ничего не можем сказать о направлении ее движения (т.е. импульса), и наоборот.

Вообще говоря, принцип неопределенности справедлив как для макро-, так и для микрообъектов. Однако для макрообъектов значения неопределенности, оказывается пренебрежимо малыми по отношению к значениям самих этих величин, тогда как в микромире эти неопределённости оказываются существенными.

В наших предыдущих псевдолекциях мы как могли растолковали простому люду про чёртов , о том, что вся материя вокруг нас на самом деле имеет волновые свойства, даже кирпич или бутылка водки, и что лишает его вездесущности.
Сегодня мы, наконец, продолжим издеваться над обывателями и расскажем в предельно доступной форме про неопределенность, правящую миром, вызвав у тех, кто профессионально разбирается в предмете тонны ненависти и раздражения. Случайные картинки из гугла прилагаются, хотя в силу усложнения текста эти картинки стало труднее выискивать. Тем, кто не в теме, рекомендуем почитать наши предыдущие посты, потому что сейчас действительно будет сложно для понимания нахрапом. Мотивирующую картинку прилагаем.

Итак, понимание того безумия, которое творится в квантовой физике, было бы очень неполным без одного открытия, который сделал в 1927 молодой немецкий физик Вернер Гейзенберг. Кстати на тот моемент ему было 26 лет, подумайте об этом. Впрочем, его гениальность не помогла отвертеться от участия в немецком ядерном проекте во время второй мировой, и что характерно теория относительности и квантовая физика считались тогда еврейскими лженауками - в общем, бытовые проблемы человечества снова и снова мешали и будут мешать ученым разгадывать тайны мироздания.

Примерно в 20-е и 30-е годы прошлого века в научных кругах шла эпическая битва за правильное понимание законов квантового мира. Проклятых либералов возглавлял Нильс Бор, а консерваторов - лично дедушка Альберт, который, напомню, до конца жизни не верил в квантовую физику. Одним из камней преткновения оказалось вычисление местоположения электрона в атоме и его скорости в определенный момент времени. По странным и непонятным причинам ученые никак не могли вывести формулу для расчета обоих значений одновременно. Эйнштейн говорил, что все эти теоретики неучи и двоечники, потому что чего-то упускают, и бог, знаете ли, не играет со Вселенной в азартные игры. Нильс Бор попивал пивко и утверждал, что классическая физика вообще не применяется для таких случаев как движение электронов. И тут вундеркинд Гейзенберг заявил: все нормально, мужики, так и должно быть.

Давайте вместе ужаснемся открытию на примере. Если пнуть ногой мяч с точно рассчитанной силой, то удивительная и не всем доступная наука физика, в частности классическая механика, легко ответит нам на вопрос, где будет находиться мяч через пять секунд после пинка и какова его скорость. Это же элементарно: расстояние равно время умножить на скорость. Садись, Вовочка, пять по физике!
Теперь мы пнём электроном. По специальным (но все же классическим) формулам считаем его скорость и местоположение на пятой секунде полета и проверяем экспериментом. И получается что-то невероятное. Мы поймали частицу в двух метрах от начала полета, но полученная по результатам эксперимента скорость вообще не такая, да еще и каждый раз разная. И наоборот, чем точнее мы рассчитываем скорость (а вернее импульс, который равен массе, умноженной на скорость), тем хуже себе представляем, где находится частица.

Давайте раз и навсегда разберемся с импульсом, а то эта вещь хоть и из школьной физики, но сильно затрудняет понимание. Импульс это такая характеристика движущегося тела, равная массе этого тела, умноженную на его скорость. Его еще называют количеством движения и измеряют в килограммах на метр в секунду. Чем больше масса движущегося тела, тем больше его импульс. В принципе, косвенно импульс намекает, как больно нам прилетит в лоб брошеный булыжник, и степень этой боли будет зависеть как от массы булыжника, так и от его скорости к моменту прилета в нашу башку. Импульс имеет важное свойство - они никуда не пропадает при столкновении, а передается другому телу, тем самым создавая всемирный закон сохранения импульса.

Не в меру умный Гейзенберг объяснил монстрам классической физики, что это не "фигня какая-то", а фундаментальное свойство нашего мира.
И нарисовал им поясняющую формулу: Δx * Δv > h/m , которая означает, что если мы умножим неопределенность положения частицы (длина отрезка координаты, где кажется находится частица) на неопределенность ее скорости (разница между верхней и нижней предполагаемой скоростей этой частицы), то всегда получим число большее нуля, равное массе частицы, поделенной на постоянную Планка (это такая цифра, у которой ноль целых, тридцать три нуля после запятой, а потом уже цифра 6 и другие). Проверьте сами: если мы точно знаем, где находится частица, то есть Δx=0, то тогда ее скорость равна невозможному значению, математической бесконечности, потому что для ее расчета нам придется поделить число из правой части формулы на ноль. А на ноль делить нельзя…

Можете себе представить, как тряхануло весь ученый мир - остальной народ ничего не понял, так как готовился ко Второй Мировой, занимался коллективизацией, пытался вылезти из Великой Депрессии и т.д. и т.п.
Оказалось, что природа защитила свои секреты вот таким вот законом, который никому никогда не обойти. Мы можем узнать вероятные значения параметров частицы с заданной точностью, но никогда не предскажем точно оба параметра. Кроме того принцип Гейзенберга распространяется не только на импульс и местонахождение - он также справедлив для энергии частицы и момента времени, когда частица этой энергией обладает.
Вот формула для самых любознательных читателей: ΔЕ*Δt > h

Цитируя одного замечательного автора: "если бы нам удалось абсолютно точно установить координаты квантовой частицы, о ее скорости мы не имели бы ни малейшего представления; если бы нам удалось точно зафиксировать скорость частицы, мы бы понятия не имели, где она находится. На практике, конечно, физикам-экспериментаторам всегда приходится искать какой-то компромисс между двумя этими крайностями и подбирать методы измерения, позволяющие с разумной погрешностью судить и о скорости, и о пространственном положении частиц ".

Опять же, читатель, лениво прочитавший все вышенаписанное, скажет, мол, товарищи, это все математика и абстракции, мы живем в мире, где поезд выходит из города А в город Б со скоростью, которую нужно рассчитать согласно условиям учебника. Где факты, подтверждающие формулы всех этих немцев и евреев?

Во-первых, мы действительно не можем наблюдать непосредственно этот эффект, потому что различия становятся заметны на очень малых расстояниях (на это нам намекает постоянная Планка в формуле с ее тридцатью тремя нулями после запятой). А во-вторых, принцип неопределенности не так и чужд нашей Вселенной, а очень многое объясняет, почему вещи устроены так как сейчас, а не иначе.
Например, становится ясно, почему существует твердая материя.

Не могу не процитировать еще одного хорошего автора: "что случится с электроном, если его начнут слишком сильно прижимать к ядру. Это будет означать, что его местоположение станет известным с большой степенью точности. Но, согласно принципу неопределенности Гейзенберга, чем больше мы уверены в местоположении частицы, тем меньше мы уверены в ее импульсе. Это очень похоже на то, как если бы мы засунули пчелу в спичечный коробок. Встряхните коробок — пчела разозлится и будет с остервенением колотиться о стены своей тюрьмы. Вот электроны в атомах и есть те самые пчелы в коробках. <…> Когда мы ступаем по земле, наш вес сжимает атомы, из которых она состоит. Это сжатие заставляет электроны хоть чуть-чуть, но приблизиться к ядрам. А принцип неопределенности Гейзенберга понуждает их воспротивиться и оттолкнуться от ядер ".

Еще один пример действия квантовой неопределенности мы уже встречали в нашей . Теперь стало немного понятнее, почему вакуум не может существовать с точки зрения квантовой физики: вакуум это поле с нулевой энергией и нулевым количеством частиц. А этого одновременно быть не может, поэтому природе приходится создавать квантовую пену, лишь бы обойти дурацкий запрет на точное знание всех параметров частиц.

Тем не менее, многие люди, включая даже настоящих ученых, полагают, что неопределенность измерения можно объяснить классическими средствами. Ведь что получается, говорят эти люди, если мы пытаемся измерить местоположение частицы, то для этого мы должны как-то обнаружить ее в пространстве и для этого мы ставим для нее преграду или ловим потоком других частиц (фотонами, например). Если в макромире освещение фонариком предмета не приведет к изменению параметров предмета, то в микромире ситуация другая. Длина волны фотона сопоставима с длиной волны разыскиваемой частицы и их "столкновение" фатально для системы.

Если фотон имеет очень большую длину волны, мы не можем точно определить положение частицы. Фотоны с большой длиной волны ударяют слабо, поэтому измерение не слишком влияет на электрон, а значит, мы можем определить его скорость достаточно точно. С другой стороны, чтобы как следует понять, где находится частица, нужно ударить ее фотоном с маленькой длиной волны. Фотон с маленькой длиной волны очень энергичный, а значит, сильно ударяет частицу. В результате мы не можем определить ее скорость достаточно точно. (тоже цитата)

На картинке как раз примеры длин электромагнитных волн - ну и какой именно волной ловить частичку, когда в случае красного света она просто потеряется между началом и концом одного "гребня", а в случае с ультрафиолетом - столкнется с практически твердой преградой и отскочит к черту на кулички.

Действительно, кажется, что проблема неопределенности в ограничениях, связанных с измерением - мы не можем измерить технически, а не вообще. Но на самом деле свойство неопределенности фундаментально и не зависит от времени, места, способа измерения параметров частицы. Неопределенность есть даже тогда, когда мы ее не измеряем (но это не значит, что существует некий Вселенский Измеритель наподобие Бога, Аллаха, Летающего Макаронного Монстра, Невидимого Розового Единорога или Ктулху, которые сидят с линейкой и решают, что измерить в каждый момент времени - координаты или импульс).

Интереснейшим практическим следствием неопределенности является туннельный эффект.
Если по каким-то причинам местонахождение частицы становится все более и более определенным, то скорость частицы становится, как мы знаем, непредсказуемой. Строго говоря, непредсказуемым становится импульс частицы. Вследствие этого обычного квантового явления неопределенность импульса может дать частице дополнительную энергию и такая частица иногда может сделать очень странную вещь: пройти сквозь непреодолимый барьер. В макромире это выглядело бы как прохождение сквозь стену или выпрыгивание из ямы без видимых причин.

Но туннелирование в самом деле существует. И мы им пользуемся в таких достижениях прогресса как туннельный диод или сверхпроводники. Тот же радиоактивный распад существует благодаря эффекту туннелирования: альфа-частицы отрываются от тяжелого ядра не за счет собственных сил - ядро их на самом деле очень крепко держит (мы как-то уже рассказывали ) - а как раз из-за существования ненулевой вероятности прорваться через энергетический барьер. И существование термоядерного синтеза внутри звезд (из-за которого наше солнце светит) также обусловлено туннелированием. Вот ведь как все на самом деле-то, котаны.

Как мы уже говорили, Эйнштейну очень не нравились всякие неопределенности в физике. И в то время, когда Нильс Бор пытался создать хоть какое-то подобие квантовой теории, Эйнштейн всячески изводил его провокационными вопросами. Так в 30-е годы Эйнштейн и два его единомышленника - Подольский и Розен - предложили так называемый ЭПР-парадокс (по первым буквам фамилий хитрых физиков), гипотетический эксперимент, который доказывал, что неопределенность Гейзенберга можно обойти. Те, кто немного разбирались в том, что происходит, запасались попкорном и издалека наблюдали как физики троллят друг друга. Заголовок газеты тех времен гласил: "Эйнштейн атакует квантовую теорию: Учёный и двое его коллег находят её „неполной“, хотя и „корректной“

Попробуем упрощенно разобрать суть парадокса. Допустим Гейзенберг немного прав, и мы почему-то не можем измерить импульс и координаты частицы одновременно. Но попробуем пойти в обход. Давайте столкнем две частицы, и после удара они разлетятся, получив некоторые общие характеристики. Такие частицы физики называют "запутанными ". Отбросив сложную матчасть, вспомним закон сохранения импульса из классической механики - суммарный импульс тел до соударения равен суммарному импульсу после соударения . Итак, частицы сталкиваются, и они разлетаются, поделив импульс, как биллиардные шары после столкновения. Затем мы измеряем координату у первой частицы и импульс у второй. Таким образом узнаем и координату первой частицы (которую измерили непосредственно), и ее импульс (который просто вычислили, измерив импульс у второй частицы и отняв ее от первоначального импульса до соударения).

Осознайте, насколько коварен был Эйнштейн! Поставить подобный эксперимент в те годы было затруднительно (коллайдеры еще не изобрели). Нильс Бор практически на одной вере в чудеса заявил, что эксперимент не получится, потому что частица приобретает значения импульса только после измерения, а не в момент столкновения. Но Эйнштейн казался таким логичным - ведь это будет святотатство - нарушение закона сохранения импульса. Противостояние физиков перешло в затяжную стадию с перевесом в пользу Эйнштейна.

И только спустя 30 лет, один физик по имени Белл придумал специальную формулу, с помощью которой можно было бы проверить, кто прав Эйнштейн или Бор. А еще 22 года спустя (в 1982 году) французские ученые сумели поставить эксперимент и проверили результаты по формулам Белла. Оказалось, что прав был Нильс Бор: Никакой "объективной физической реальности", о которой грезил Эйнштейн, в микромире не существует.

На картинке еще одно более сложное, но все-таки популярное объяснение ЭПР-парадокса (разбирайтесь сами).

Квантовая запутанность крайне сложная вещь - о ней и прочих страшных вещах (квантовая нелокальность, квантовые компьютеры, все эти необъяснимые спины, запрет Паули, неравества Белла и т.д.) мы как-нибудь попробуем рассказать в следующих ликбезах от дружного коллектива Quantuz, если, конечно, рейтинги статей дадут нам понять, что народу эта тема все еще интересна. Искренне просим прощения за возможные неточности в изложении. Напоминаем, что наша цель как можно более популярно объяснить людям, почему физика интереснее "битвы экстрасенсов".
Помните, что если вы что-то не поняли, то это нормально. Квантовую физику мало кто понимает целиком. Не унывайте.

Все изображения взяты из гугла (поиск по картинкам) - авторство определяется там же.
Незаконное копирование текста преследуется, пресекается, ну, и сами знаете. ..

Само наличие у частицы волновых свойств накладывает определенные ограничения на возможность корпускулярного описания ее поведения. Для классической частицы всегда можно указать ее точное положение и импульс. Для квантового объекта имеем иную ситуацию.

Представим цуг волн пространственной протяженностью - образ локализованного электрона, положение которого известно с точностью . Длину волны де Бройля для электрона можно определить, подсчитав число N пространственных периодов на отрезке :

Какова точность определения ? Ясно, что для слегка отличающейся длины волны мы получим примерно то же самое значение N. Неопределенность в длине волны ведет к неопределенности

в числе узлов, причем измерению доступны лишь . Так как

то отсюда немедленно следует знаменитое соотношение неопределенностей В. Гейзенберга для координат - импульсов (1927 г.):

Точности ради надо заметить, что, во-первых, величина в данном случае означает неопределенность проекции импульса на ось OX и, во-вторых, приведенное рассуждение имеет скорее качественный, нежели количественный характер, поскольку мы не дали строгой математической формулировки, что понимается под неопределенностью измерения. Обычно соотношение неопределенностей для координат-импульсов записывается в виде

Аналогичные соотношения справедливы для проекций радиуса-вектора и импульса частицы на две другие координатные оси:

Представим теперь, что мы стоим на месте и мимо проходит электронная волна. Наблюдая за ней в течение времени , хотим найти ее частоту n . Насчитав колебаний, определяем частоту с точностью

откуда имеем

или (с учетом соотношения )

Аналогично неравенству (3.12) соотношение неопределенностей Гейзенберга для энергии системы чаще используется в виде

Рис. 3.38. Ве́рнер Карл Ге́йзенберг (1901–1976)

Поговорим о физическом смысле этих соотношений. Может сложиться представление, что в них проявляется «несовершенство» макроскопических приборов. Но приборы совсем не виноваты: ограничения носят принципиальный, а не технический характер. Сам микрообъект не может быть в таком состоянии, когда определенные значения одновременно имеют какая-то из его координат и проекция импульса на ту же ось.

Смысл второго соотношения: если микрообъект живет конечное время, то его энергия не имеет точного значения, она как бы размыта. Естественная ширина спектральных липни - прямое следствие формул Гейзенберга. На стационарной орбите электрон живет неограниченно долго и энергия определена точно. В этом - физический смысл понятия стационарного состояния. Если неопределенность в энергии электрона превышает разность энергий соседних состояний

то нельзя точно сказать, на каком уровне находится электрон. Иными словами, на короткое время порядка

электрон может перескочить с уровня 1 на уровень 2 , не излучая фотона, и затем вернуться назад. Это - виртуальный процесс, который не наблюдается и, следовательно, не нарушает закона сохранения энергии.

Похожие соотношения существуют и для других пар так называемых канонически сопряженных динамических переменных. Так, при вращении частицы вокруг некоторой оси по орбите радиусом R неопределенность ее угловой координаты влечет за собой неопределенность ее положения на орбите . Из соотношений (3.12) следует, что неопределенность импульса частицы удовлетворяет неравенству

Учитывая связь момента импульса электрона L с его импульсом L = Rp, получаем , откуда следует еще одно соотношение неопределенностей

Некоторые следствия соотношений неопределенностей

Отсутствие траекторий частиц. Для нерелятивистской частицы p = mv и Для массивных объектов правая часть исчезающе мала, что позволяет одновременно измерить скорость и положение объекта (область справедливости классической механики). В атоме же Бора импульс электрона и неопределенность положения оказывается порядка радиуса орбиты. Невозможность состояния покоя в точке минимума потенциальной энергии.

Например, для осциллятора (тело на пружине) энергию Е можно записать в виде

Основное состояние в классической механике это состояние покоя в положении равновесия:

Поэтому величина неопределенностей и имеет порядок самих значений импульса и координаты, откуда получаем

Минимум энергии достигается в точке

Вообще говоря, такие оценки не могут претендовать на точный ответ, хотя в данном случае (как и для атома водорода) он действительно точен. Мы получили так называемые нулевые колебания : квантовый осциллятор, в отличие от классического, не может оставаться в покое - это противоречило бы соотношению неопределенностей Гейзенберга. Точные расчеты показывают, что формулу Планка для уровней энергии осциллятора надо было бы писать в виде

где n = 0, 1, 2, 3, ... - колебательное квантовое число.

При решении задач на применение соотношения неопределенностей следует иметь в виду, что в основном состоянии в классической физике электрон покоится в точке, соответствующей минимуму потенциальной энергии. Соотношения неопределенностей не позволяют ему это делать в квантовой теории, так что электрон должен иметь некоторый разброс импульсов. Поэтому неопределенность импульса (его отклонение от классического значения 0 ) и сам импульс по порядку величины совпадают

Открытие Вернером Гейзенбергом принципов неопределенности, которое он сделал в 1927 году, стало одним из важнейших достижений науки, сыгравших фундаментальную роль в развитии квантовой механики, а затем и оказавшим влияние на развитие всего современного естествознания.

Традиционное исследование мироздания исходило из установки, что коль все материальные объекты, которые мы можем наблюдать, ведут себя неким определенным образом, то и все остальные, которые мы не можем познавать с помощью ощущений, тоже должны вести себя также. Если же происходит некое возмущение в этом поведении, то оно квалифицируется как парадокс и вызывает недоумение. Такой была реакция естествоиспытателей, когда они проникли в микромир и столкнулись с явлениями, не укладывающимися в традиционную модель миропонимания. Особенно ярко этот феномен проявился в области где рассматривались предметы несоизмеримые по величине с теми, с которыми ученые привыкли иметь дело до этого. Принцип по сути, дал ответ на вопрос, чем микромир отличается от мира привычного нам.

Ньютоновская физика практически игнорировала такое явление, как влияние инструмента познания на сам объект познания, путем воздействия на его В начале 1920-х годов Вернер Гейзенберг поднимает данную проблему и приходит к формуле, в которой описывается степень влияния метода измерения свойств объекта, на сам объект. В результате и был открыт принцип неопределенности Гейзенберга. Математическое отражение он получил в теории соотношения неопределенностей. Категория «неопределенность» в данной концепции обозначала то, что исследователь точно не знает местоположения исследуемой частицы. В своем практическом значении принципы неопределенности Гейзенберга утверждали, что чем точнее по характеристикам, используется прибор для измерения физических свойств предмета, тем будет достигнута меньшая неопределенность наших представлений об этих свойствах. Например, принцип неопределенности Гейзенберга при использовании в исследовании микромира позволял сделать выводы о «нулевой» неопределенности, когда воздействие инструмента на изучаемый объект была ничтожно мала.

В дальнейших исследованиях было установлено, что принцип неопределенности Гейзенберга связывает своим содержанием не только пространственные координаты и скорость. Здесь он просто более наглядно проявляется. На самом деле его влияние присутствует во всех частях системы, которую мы изучаем. Этот вывод позволяет сделать несколько замечаний в отношении действия принципа Гейзенберга. Во-первых, этот принцип предполагает, что установить одинаково точно пространственные параметры объектов невозможно. Во-вторых, это свойство - объективно и не зависит от человека, который проводит измерения.

Эти выводы стали мощным импульсом для развития теорий управления в самых разных областях человеческой деятельности, где главным как правило, выступает пресловутый «человеческий фактор». В этом проявилось общественная значимость открытия Гейзенберга.

Современные научные и околонаучные дискуссии относительно принципов неопределенности, высказывают предположение, что если мол, роль человека в познании микромира ограничена, и он не может активно влиять на нее, то не является ли это свидетельством того, что сознание человека связано неким образом с «Высшим разумом» (теория «Новой эры»). Данные выводы не представляется возможным признать серьезными потому, что в них изначально неверно трактуется сам принцип. По Гейзенбергу, главным в его открытии, является не факт присутствия человека, а именно факт влияния инструмента на предмет исследования.

Принципы Гейзенберга на сегодняшний день являются одним из самых употребляемых методологических инструментов, применяемых в различных областях знаний.

Гипотеза Де Бройля. Электронная микроскопия. Волновая функция.

Волны де Бройля

В начале XX века картина мира выглядела очень чётко и не представляла вариантов для толкования:

Каких частиц - это отдельный вопрос. Но именно так: или частицы иливолна - и никак иначе! Всё ясно и понятно.

Такая идиллия продолжалась до 1924 года, пока французский физик Луи де Бройль не пришёл к выводу, что волновые свойства присущи абсолютно всем материальным объектам .

(1)

На эту гипотезу де Бройля натолкнуло сходство уравнений, описывающих поведение лучей света методами геометрической оптики, и движение частиц в механике методом уравнений Гамильтона .

Предположение было неожиданным, красивым и многое объясняло, но нужно было его экспериментальное подтверждение, иначе всё так и осталось бы на уровне гипотезы.

Первое экспериментальное подтверждение гипотезы де Бройля в 1927 году получили американские исследователи Дэвидсон и Джермер . Они изучали угловое распределение электронов, рассеивающихся на монокристалле никеля.

Ионизационной камерой 4 , с присоединённым с ней гальванометром 5 , по силе возникающего тока I измерялось число электронов, отражённых от кристалла под углом , равным углу падения, то есть - интенсивность отражённого электронного пучка .

2. Если же угол падения электронного пучка на кристалл менялся , а ускоряющее напряжение Uоставалось неизменным , то интенсивность отражённого пучка имела ярко выраженные максимумы при углах падения, удовлетворяющих условию Вульфа-Брэгга.

Способ нахождения импульса зависит от скорости, которую имеет частица. Если скорость движения частицы во много раз меньше скорости света в вакууме, то импульс (количество движения) определяется привычной формулой.

Выясним, какое выражение (2 или 3) надо использовать для нахождения импульса в данном случае. Для этого сравним энергию электронов в условиях опыта Дэвидсона и Джермера с их энергией покоя.

В проведённых экспериментах ускоряющее напряжение было на уровне 400В . В этом случае энергия электронов не превышала E e = eU = 400 эВ . Энергия же покоя электрона E o = m o c 2 = 0,511 МэВ = 511000 эВ . Следовательно, E e <, электроны являются нерелятивистскими и для нахождения их импульса можно использовать выражение (2).

При разгоне (ускорении) электрона работа сил электрического поля идёт на увеличение его кинетической энергии. Для условий эксперимента получаем

Подстановка числовых значений даёт

Следовательно, при U = 400 В в описываемых экспериментах имеем для электрона значение длины волны де Бройля равное = 6,2 10 -11 м .

Такое же значение для длины волны дал и расчёт по формуле Вульфа-Брэгга, основанной на волновой теории.

Гипотеза Луи де Бройля о наличии у частиц волновых свойств получила своё экспериментальное подтверждение.

Вроде бы можно успокоиться и заняться чем-либо другим. Однако вопрос, поднятый де Бройлем , был слишком фундаментальным и нужны были более наглядные подтверждения. Поэтому экспериментаторы продолжили свою работу.

Следует отметить, что одновременно и независимо от Дэвидсона этими вопросами занимался профессор Абердинского университета Джордж П.Томсон (сын знаменитого Джозефа Джона Томсона , открывшего электрон), который и добился успеха первым.

На рис. 3 приведены первые фотографии с двумя дифракционными картинами при разных напряжениях на катодной трубке. Видно, что увеличение напряжения (левый снимок), приводящее к увеличению энергии электронов, приводит и к более чёткой картине с большим числом колец.

Многократно повторив свои эксперименты с различными образцами фольги, Джордж П.Томсон пришёл к выводу:

Несколько послеДж.П.Томсона аналогичные результаты были получены П.С.Тартаковским , а затем и другими физиками, которые также смогли зафиксировать дифракционные кольца, возникающие при прохождении пучка электронов через тонкие слои металла.

Советский физик Иосив Мандельштам с сотрудниками пошёл ещё дальше, он сумел экспериментально показать, что де Бройлевские волны могут интерферировать между собой.

Затем был показано, что волновые свойства обнаруживают нейтроны, протоны и даже молекулы водорода.

Дифракция электронов (электронография ) применяется сейчас при исследовании структуры поверхности, например, при изучении коррозии, при адсорбции газов на поверхностях.

Дифракция нейтронов (нейтронография ) является мощным средством изучения структур, в особенности органических кристаллов, содержащих водород, что невозможно сделать с использованием рентгеновского излучения.

Появились и новая отрасль науки - электронная оптика , давшая миру новый прибор - электронный микроскоп , без которого в настоящее время немыслимы многие исследования. При ускоряющих напряжениях от 50 до 100кВ разрешающая способность электронных микроскопов приближается к 20 .

Но всё это было позже, а первопроходцы

Соотношение неопределённости Гейзенберга

Доказанное одновременное наличие у микрочастиц и корпускулярных и волновых свойств приводило к невозможности применения к ним законов классической механики.

В макромире можно однозначно определить в любой момент времени импульс и координату движущего тела или материальной точки; можно рассчитать и траекторию их движения.

В микромире из-за наличия волновых свойств одновременные значения координат и скорости (импульса) не существуют: если известна скорость (импульс), то местоположение частицы (её координаты) не имеют определённого значения - понятие длина волны в конкретной точке не имеет смысла . То же самое и наоборот.

Налицо парадокс, который впервые был сформулирован немецким физиком Вернером Гейзенбергом в виде так называемого
принципа неопределённости :

Разделив выражение (4) на массу m частицы, получим другую форму записи принципа неопределённости:

Сказанное выше хорошо иллюстрируется несколькими примерами, с которыми можно познакомиться здесь.

Если выразить p х через энергию ( p х = Е/ v x), то учитывая, что х/ v х = t, получаем соотношение неопределённостей для энергииE и времениt :

(6)

Здесь tпредставляет собой время, в течение которого микрочастица обладает энергией .

Например, атом на самом низком энергетическом уровне может пребывать сколь угодно долго (), поэтому энергия этого состояния вполне определена: Е = 0.

В более высоком энергетическом состояни и атом пребывает очень недолго. Если это время равно t, то энергия атома в этом состоянии может быть определена с точностью до и будет равна . При переходе атома с более высокого уровня на более низкий энергетический уровень с энергией Е" он излучает фотон с энергией

(7)

Таким образом, энергия излучённого фотона может быть известна только с точностью до Е. Величина же Е определяется временем t жизни атома в возбуждённом состоянии.

На основании выражения (7) можно утверждать, что частота излучённого кванта (фотона) имеет неопределённость , равную = Е / h, то есть линии в спектре будут иметь частоту, равную Е / h.

Уравнение Шредингера

В классической механике движение любой материальной точки однозначно описывается уравнением Исаака Ньютона (второй закон Ньютона ), которое в движении вдоль оси ОХ (одномерный случай) имеет вид

	(8)

В квантовой механике необходим учёт волновых свойств частиц. Поэтому вместо формулы (8) должно быть использовано другое уравнение. Такое уравнение в 1926 году было записано Эрнестом Шредингером и носит его имя.

Чтобы уравнение, описывающее движения микрочастицы, учитывало её волновые свойства , это уравнение должно быть волновым . Для плоской волны, распространяющейся вдоль оси ОХ, волновое уравнение представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных . Независимыми переменными в нём являются координата и время.

В случае электромагнитной волны имеем

Для описания движения микрочастицы введём функцию = (x, y, z, t) , связанную с длиной волны де Бройля (смысл этой функции рассмотрим ниже). В этих обозначениях получим

Возьмём вторую частную производную уравнения (11) по времени, то есть продифференцируем его два раза по t

Поскольку v/ = , то можем записать ( /v) 2 =1/() 2 . Теперь, зная, что длина волны де Бройля = h/(mv), получим

С учётом (14) и (15) из (13) получаем

(17)

Здесь - оператор Лапласа. Применение его к пси-функции даёт - лаплассиан .

В общем случае волновое уравнение является функцией двух видов переменных. Как уже говорилось, уравнение Шредингера в виде (16) и (17) не зависит от времени и записано для стационарного случая, при котором волновая функция не зависит от времени: в уравнении (16) = (x) , а в уравнении (17) = (x, y, z) .

При учёте времени как ещё одной переменной, = (x, y, z, t) и уравнение Шредингера принимает вид

Во-первых , оно справедливо лишь при малых (по сравнению со скоростью света в вакууме) скоростях движения частицы, когда
v<< c.

Во-вторых , уравнение Шредингера не описывает процессы, происходящие с изменением числа взаимодействующих частиц, их рождением или аннигиляцией, и не учитывает внутренних степеней свободы частиц, таких, например, как спин.

Релятивистский вариант этого уравнения (когда v c.) был получен Полем Дираком (здесь мы его не рассматриваем).

Записанные выше (16) и (17) стационарные варианты уравнения Шредингера получаются из временн го уравнения (18) при не учёте фактора времени.

Уравнение Шредингера записано для частицы, движущейся в поле, характеризуемом потенциальной энергией U . При решении этого уравнения надо задать вид потенциального поля и закон изменения U . Из решения этого уравнения следует закон квантования энергии для частиц, совпадающий с правилами, введёнными Бором при разработке теории атома водорода. Однако здесь он получается естественным путём , как результат решения, а не искусственно постулируетс я, как у Бора.

Приведённые в этом разделе рассуждения не претендуют на вывод уравнения Шредингера. По сути, уравнение (18) постулируется, а об его справедливости судят, сравнивая следствия из этого уравнения с результатами экспериментов.

Именно благодаря экспериментальным свидетельствам и можно с уверенностью утверждать, что уравнение Шредингера успешно описывает поведение микрообъектов в нерелятивистском приближении.

Допустим, что имеется столь слабый поток частиц, что сквозь щель проходит один электрон за другим через большой промежуток времени. Уравнение Шредингера не позволяет точно предсказать, в какое именно место экрана попадёт конкретный электрон. Это уравнение даёт только вероятность распределения частиц по экрану после прохождения щели. Однако, если эксперимент продолжать достаточно долго, так, чтобы на экран попало большое количество частиц, возникает обычная дифракционная картина.

Следовательно, теория предсказывает только статистический результат , то есть то, что произойдёт в среднем, за большой промежуток времени.

Волновая функция

Попробуем теперь разобраться, что представляет собой введённая в предыдущем параграфе волновая функция = (x, y, z, t) ,.

Для этого рассмотрим в общем виде плоскую волну, которая распространяется в направлении нормали On (см. рис.4). Колебания в плоскости волнового фронта волны АВ запишем в комплексном виде

= 0 exp(-2 i t),

(19)

где 0 - амплитуда, - частота, t - время. Через некоторое время фронт волны переместится и займёт положение A"B" .

Предыдущая статья: Углерод — характеристика элемента и химические свойства Следующая статья: Чувственное и рациональное в познавательном процессе