Вероятностное пространство. Качественные и количественные модели оценки вероятности банкротства
1. Теория вероятностей изучает эксперименты со случайными исходами.
Эксперимент - это осуществление намеченного действия и результат такого действия.
Результат - это исход эксперимента.
Эксперимент случвйный, если его исход нельзя предсказать до его получения.
Основное ограничение: Мы будем рассматривать только такие эксперименты, которые можно повторять при неизменных условиях неограниченное число раз.
Каждую ситуацию, которую можно наблюдать в зависимости от исхода эксперимента, будем называть событием.
Пример 1.1. Бросаем кость. Исход - то или иное число очков. Событие
Число очков, скажем, больше 3.
Вероятность - степень уверенности в наступлении того или иного события.
Цель теории вероятностей - вычисление вероятностей событий, их комбинаций, а также изучение свойств вероятностей.
2. Теория вероятностей предполагает, прежде всего, построение математической модели случайного эксперимента, которая служит описанием возможных исходов, событий, вероятностей наступления этих событий. Это описание должно быть выполнено таким образом, чтобы обеспечить возможность вычисления вероятностей комбинации событий.
3. Построим модель случайного эксперимента.
Множество исходов случайного эксперимента назовем пространством исходов и обозначим Пространство исходов может быть дискретным или непрерывным.
Пример 1.2. Дискретное пространство: эксперимент - бросание кости, исход - выпадение числа очков, S = {1,2,3,4,5,6}. Непрерывное пространство: эксперимент - ожидание автобуса при условии, что ожидаешь не более минут, исход - конкретное время ожидания,
Событие - любое подмножество пространства исходов Событие обозначим Е.
Событие произошло, если в результате эксперимента исход X принадлежит
Элементарное событие: оно содержит только один исход.
Достоверное событие: оно совпадает с пространством исходов
Невозможное событие: оно совпадает с пустым множеством.
Противоположное событие оно состоит в том, что событие Е не произошло.
Несовместные события: они не имеют общих исходов.
Сумма (или объединение) событий (или ): это событие, заключающееся в том, что из двух событий А и В в результате случайного эксперимента происходит, по крайней мере, одно.
Произведение событий (или ): это событие, заключающееся в том, что события А и В происходят одновременно.
Мы ограничимся наименьшим классом событий, который обладает следующими свойствами:
Пустое множество 0 принадлежит этому классу;
Если событие Е принадлежит классу, то и противоположное событие также принадлежит классу;
Если каждый юменг счетной последовательности событий принадлежит классу, то суммв (объединение) событий также принадлежит классу.
Из последнего свойства вытекает, что и произведение двух событий (или счетного числа событий) принадлежит классу, если каждое событие принадлежит классу.
Класс событий с указанными свойствами достаточен для описвния любого физического явления, возникающего в результате эксперимента. Такой класс событий назовем полем событий
Поле - это множество событий, для которых определены операции сложения и умножения.
Итак, мы ввели где - пространство исходов, поле событий.
Определим вероятность события Р как число, удовлетворяющее следующим свойствам:
Действительное число;
Для любого
(вероятность достоверного события);
Для любой счетной последовательности взаимно несовместимых событий на
Такое достаточно общее определение вероятности позволяет при рассмотрении тех или иных физических явлений конкретизировать понятие вероятности в зависимости от специфики задачи. Итак, вероятность - это функция, заданная на и принимающая значения на .
4. Некоторые свойства вероятностей, вытекающие из определения вероятности.
Свойство
Доказательство.
Но несовместимы. Следовательно, Отсюда,
Свойство
Доказательство.
Несовместимы и Следовательно, Отсюда
5. Конструктивные способы задания вероятностей.
Наиболее трудная задача математического моделирования реальных явлений состоит в правильном задании вероятностей в зависимости от специфики явлен Такое задание должно быть конструктивным, с одной стороны, соответствовать определению вероятности, а с другой стороны - позволять решать конкретную задачу.
5.1. Выполним эксперимент многократно и подсчитаем, сколько раз произошло событие Е. Если - общее число экспериментов, - число экспериментов, в которых произошло событие Е, то назовем относительной частотой появления события Е.
За вероятность примем предел
5.2. Если - пространство равновозможных несовместных исходов и - число исходов, соответствующих (благоприятствующих) событию Е, то
где - общее число исходов.
5.3. В том случае, если - непрерывная область, - область, благоприятствующая появлению в результате случайного эксперимента события А, за вероятность удобно принять
где - мера области - мера области
5.4. Пусть А и В два произвольных события. Назовем условной вероятностью отношение
при условии
События независимы, если
Пример 1.3. В ящике 94 хороших болта и 6 плохих. Из ящика выбраны случайно 5 болтов. Какова вероятность Р, что все выбранные болты хорошие? .
Пример 1.4. Три человека бросают по очереди монету до первого выпадения “орла”. Выигрывает тот, у кого выпадает “орел”. Каковы относительные шансы выигрыша каждого игрока?
Назовем “серией” однократное бросание монеты тремя игроками, начиная с первого. Пусть - вероятность невыпадения "орла” за к серий. Тогда вероятности выигрыша каждого из трех игроков на следующей серии равны (к - произвольное число):
вероятность выигрыша первого игрока
вероятность выигрыша второго игрока
вероятность выигрыша третьего игрока
Следовательно, шансы игроков откосятся как
Пример 1.5. В комнате находятся студенты в количестве человек. Из них курящих - человек, в очках - человек, курящих и в очках - человек. Удаляем случайным образом студента из комнаты. Курит ли он и носит ли он очки?
Теперь предположим, что мы увидели, что удаленный студент в очках. Какова вероятность, что он и курит?
Пример 1.6. Двое решили встретиться в условленном месте между тремя и четырьмя часами дня, причем пришедший ждет партнера не более 20 мин. Какова вероятность встречи?
В науке и практике известны три пути проверки гипотез. Первый состоит в непосредственном (прямом) установлении выдвинутого предположения. Этот метод в криминалистической практике может быть применен к сравнительно небольшой группе предсказательных версий (разыскных и поисковых). Второй путь...(Криминалистика)
Распределения вероятностей и ожидаемая доходность
Как уже не раз говорилось, риск связан с вероятностью того, что фактическая доходность будет ниже се ожидаемого значения. Поэтому распределения вероятностей являются основой для измерения риска проводимой операции. Однако следует помнить, что получаемые при этом оценки носят вероятностный характер. Пример...(Методы принятия управленческих решений)
Качественные и количественные модели оценки вероятности банкротства
Риск дефолта, или кредитный риск, представляет собой риск невыполнения условий кредитного соглашения или рыночной сделки, прежде всего выраженный в неспособности заемщика своевременно и в полном объеме исполнить взятые на себя долговые обязательства (например, в установленный срок выплатить оговоренные...(Финансовый анализ для менеджеров)
Распределение Вигнера на фазовом пространстве и отрицательная вероятность
Даже в нерелятивистской квантовой механике возникают отрицательные вероятности. Здесь нельзя ввести распределение вероятностей (Максвелла) координат х и моментов р, так же, как и в статистической механике. Это невозможно в силу соотношения неопределенности, которое препятствует одновременному измерению...р-адичсское вероятностное пространство
Пусть р : А Qp - мера, определённая на отделимой алгебре А. подмножеств множества 12, которая удовлетворяет условию нормировки /i(12) = 1. Положим Т = Afl и обозначим продолжение меры р на алгебру F символом Р. Тройку (12, J-. Р) называют р-адическим...(КВАНТОВАЯ ФИЗИКА И НЕКОЛМОГОРОВСКИЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ)
РЕГРЕССИЯ. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА
Постановка задачи о составлении эмпирических формул Рассмотрим задачу, аналогичную приведенной в параграфе 4.1. Пусть теперь в течение 10 дней в супермаркете проведено исследование зависимости числа посетителей и объема продаж. В этом случае получается некоторый набор пар значений х - числа...(ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ)
Математическое ожидание случайной функции
Рассмотрим случайную функцию X(i). При фиксированном значении аргумента, например при t = tv получим сечение - случайную величину X(t{) с математическим ожиданием M. (Полагаем, что математическое ожидание любого сечения существует.) Таким образом, каждое фиксированное...(ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА)
Вероятностное пространство - это математическая модель случайного эксперимента (опыта) в аксиоматике А. Н. Колмогорова. Вероятностное пространство содержит в себе всю информацию о свойствах случайного эксперимента, необходимую для его математического анализа средствами теории вероятностей. Любая задача теории вероятностей решается в рамках некоторого вероятностного пространства, полностью заданного изначально. Задачи, в которых вероятностное пространство задано не полностью, а недостающую информацию следует получить по результатам наблюдений, относятся к области математической статистики.
Определение
Вероятностное пространство - это тройка , где:
Заметим, что последнее свойство сигма-аддитивности меры эквивалентно (при условии выполнения всех прочих свойств, в том числе конечной аддитивности) любому из следующих свойств непрерывности меры :
Примеры наиболее часто использующихся вероятностных пространств
Дискретные вероятностные пространства
Если множество элементарных исходов конечно или счетно: , то соответствующее вероятностное пространство называется дискретным . В случае дискретных вероятностных пространств событиями обычно считают все возможные подмножества . В этом случае для задания вероятности необходимо и достаточно приписать каждому элементарному исходу число так, чтобы их сумма была равна 1. Тогда вероятность любого события задается следующим образом:
Важным частным случаем такого пространства является классический способ задания вероятностей , когда количество элементарных исходов конечно и все они имеют одинаковую вероятность. Тогда вероятность любого события определяется как отношение его мощности (т.е. количества элементарных исходов, благоприятствующих данному событию) к общему числу элементарных исходов:
.Однако всегда необходимо помнить, что для того, чтобы применять данный способ, необходимо убедиться в том, что элементарные исходы действительно равновероятны. Это должно либо быть сформулировано как исходное условие, либо этот факт следует строго вывести из имеющихся начальных условий.
Вероятностные пространства на прямой
Вероятностные пространства на прямой () естественным образом возникают при изучении случайных величин . При этом в общем случае уже не получается рассматривать в качестве событий любые подмножества прямой, поскольку на таком широком классе обычно нельзя задать вероятностную меру, удовлетворяющую необходимым аксиомам. Универсальная сигма-алгебра событий, достаточная для работы - это сигма-алгебра борелевских множеств : наименьшая сигма-алгебра, содержащая все открытые множества. Эквивалентное определение - наименьшая сигма-алгебра, содержащая все интервалы . Универсальный способ задания вероятностной меры на данной сигма-алгебре - через функцию распределения случайной величины.
Вероятностные пространства в конечномерном пространстве
Вероятностные пространства с множеством элементарных исходов естественным образом возникают при изучении случайных векторов . Универсальной сигма-алгеброй событий при этом также является борелевская сигма-алгебра , порожденная всеми открытыми множествами. Принципиально этот случай мало чем отличается от случая одной прямой.
Базовые понятия 1 ТВ
Базовые понятия (часть1) по курсу Теория вероятностей
Модель случайного эксперимента.
События (случайные события) и их свойства.
Вероятность и её свойства.
Условная вероятность.
Независимость событий.
Формула полной вероятности.
Формула Байеса.
Модель случайного эксперимента, вероятностное пространство.
Модель такого эксперимента - согласованная тройка объектов (Ω , А ,Р ):
Ω = { ω } - пространство элементарных исходов, совокупность всех возможных элементарных исходов эксперимента. Различные элементарные исходы не пересекаются, они не могут произойти в эксперименте одновременно.
А
= {
А,В,…
}
- класс событий,
полный набор интересующих нас событий.
Каждое событие
– это некоторое подмножество возможных элементарных исходов эксперимента.
Р
-
вероятностная мера
событий
эксперимента.
Для каждого события А
определена его вероятность
Р
(А
), вычисляемая по единому правилу.
Свойства событий:
Полнота класса событий А означает:
А) с каждым событием A мы рассматриваем и его дополнение - событие, состоящее из всех возможных элементарных исходов эксперимента не вошедших в событие А ;
Б) вместе с любыми двумя событиями А
и
В
мы рассматриваем их объединение
, и пересечение
.
Следствия:
называют достоверным
событием, а 
называют невозможным
событием.
Если = , то события А и В называют несовместными.
Свойства вероятностей:
Способы задания вероятностной меры.
Классическая вероятность . Если
Б) Все элементарные исходы события (элементарные события ), ω А .
В) Вероятности всех элементарных событий равны (равномерная вероятностная мера ), Р (ω ) = 1 / n .
Тогда вероятность любого события А определяется как доля количества элементарных исходов в А (А ) от количества элементарных исходов в Ω . Р (А ) = А ⁄ Ω .
Геометрическая вероятность . Если на пространстве элементарных исходов Ω задана конечная неотрицательная мера s (· ), тогда вероятность любого события А определяется как отношение меры А, s (А ), к мере Ω , s (Ω ). Р (А ) = s (А ) ⁄ s (Ω ).
Плотность распределения. Если
Б) Задана неотрицательная функция р (ω ), (р (ω ) ≥ 0 ), с площадью (s (· )) фигуры V Ω , ограниченной графиком р (ω ) и числовой осью Ω , равной 1 (s (V Ω ) = 1).
А) Функция р (ω ) называется плотностью распределения.
Б) Вероятность любого события А ⊆ Ω задаётся площадью s (V А ) фигуры, ограниченной графиком р (ω ) на части А числовой оси и числовой осью Ω . Р (А ) = s (V А ).
Условная вероятность.
Р В (А )= Р (А В )=[ Р (А В ) ⁄ Р (В )] . При этом 0 ≤ Р В (А ) ≤ 1, т.к. (А В ) ⊆ В и Р (В )>0 .
Независимость событий.
Три события независимы в совокупности,
если:
а) каждые два из них независимы, и
б) объединение каждых двух событий независимо с третьим событием.
Аналогично распространяется понятие независимости в совокупности на большее число событий.
Полная группа событий.
Формула полной вероятности.
Р (А )) = ∑ i [P (Н i )· Р (А Н i )].
Вероятность события можно вычислять как взвешенную сумму условных вероятностей этого события при условии, что происходили события из полной группы событий, где в качестве весовых коэффициентов берутся вероятности соответствующих событий из полной группы.
Формула Байеса.
Р А (Н к ) = (Р (А Н к )) ⁄ (Р (А )) = (Р (А Н к )) ⁄ (∑ i [P (Н i )· Р (А Н i )]).
Типовые модели случайного эксперимента.
Эксперимент с двумя альтернативными событиями - исходами У (успех) и Н (неудача).
Р (У) = p , Р (Н) = q = 1 p .
У(2) . Простейшая Урновая модель .
Извлечение шара из урны с двумя шарами. Модель эквивалентна модели Бернулли В (½).
У(n ) илиR (n ). Классическая Урновая модель .
Извлечение шара из урны с n перенумерованными шарами. Элементарный исход – элементарное событие – номер извлеченного шара. Классическая вероятность с равномерным распределением вероятностей элементарных событий.
У(n
;
m
)
. Урновая модель.
Извлечение шара из урны с m
белыми и (n
–
m
) черными шарами.
Модель эквивалентна модели Бернулли В
(m
/
n
).
Последовательность случайных экспериментов.
У (n *n ). Последовательное извлечение с возвращением двух шаров из урны с n шарами.
У (2 * 2). Последовательное извлечение с возвращением двух шаров из урны с двумя шарами. Модель эквивалентна Биномиальной модели В (2; p ).
У(n *(n -1)). Последовательное извлечение без возвращения двух шаров из урны с n шарами.
Предыдущая статья: Чему равна скорость света Следующая статья: Углерод — характеристика элемента и химические свойства