Возведение числа в квадрат. Возведение многочленов в квадрат

Возведение в квадрат трехзначных чисел - впечатляющее проявление искусности в ментальном фокусничестве. Так же как при возведении в квадрат двузначного числа выполняется его округление в большую или меньшую сторону для получения кратного 10, для возведения трехзначного числа в квадрат его нужно округлить в большую или меньшую сторону для получения кратного 100. Возведем в квадрат число 193.

Путем ок ругления 193 до 200 (второй сомножитель стал равным 186) задача типа «3 на 3» преобразовалась в более простую типа «3 на 1», так как 200 х 186 - это всего лишь 2 х 186 = 372 с двумя нулями в конце. Почти готово! Теперь все, что нужно сделать, это прибавить 7 2 = 49 и получить ответ - 37 249.

Попробуем возвести в квадрат 706.

При округлении числа 706 до 700 необходимо еще и изменить это же число на 6 в большую сторону для получения 712.

Так как 712 х 7 = 4984 (простая задача типа «3 на 1»), 712 х 700 = = 498 400. Прибавив 6 2 = 36, получаем 498 436.

Последние примеры не так уж страшны, потому что не включают в себя сложения как такового. Кроме того, вы наизусть знаете, чему равняются 6 2 и 7 2 . Возводить в квадрат число, которое отстоит от кратного 100 больше чем на 10 единиц, значительно труднее. Попробуйте свои силы с 314 2 .

В этом примере число 314 уменьшилось на 14 ради округления до 300 и увеличилось на 14 до 328. Умножаем 328 х 3 = 984 и добавляем два нуля в конце, чтобы получить 98 400. Затем прибавляем квадрат 14. Если вам мгновенно приходит на ум (благодаря памяти или быстрым вычислениям), что 14 2 = 196, то вы в хорошей форме. Далее просто сложите 98 400 + 196 для получения окончательного ответа 98 596.

Если вам нужно время для подсчета 14 2 , повторите «98 400» несколько раз, прежде чем продолжить. Иначе можно вычислить 14 2 = 196 и забыть, к какому числу нужно прибавить произведение.

Если у вас есть аудитория, которую вы хотели бы впечатлить, можете произнести вслух «279 000», прежде чем найдете 292. Но такое не пройдет в случае каждой решаемой задачи.

Например, попытайтесь возвести в квадрат 636.

Теперь ваш мозг по-настоящему заработал, не правда ли?

Не забывайте повторять «403 200» самому себе несколько раз, пока будете возводить в квадрат привычным способом 36, чтобы получить 1296. Самое сложное - суммировать 1296 + 403 200. Делайте это по одной цифре за раз, слева направо, и получите ответ 404 496. Даю слово, что, как только вы лучше ознакомитесь с возведением в квадрат двузначных чисел, задачки с трехзначными значительно упростятся.

Вот еще более сложный пример: 863 2 .

Первая проблема - надо решить, какие числа перемножать. Несомненно, одно из них будет 900, а другое - больше 800. Но какое именно? Это можно рассчитать двумя способами.

1. Сложный способ: разность между 863 и 900 составляет 37 (дополнение для 63), вычитаем 37 из 863 и получаем 826.

2. Легкий способ: удваиваем число 63, получаем 126, теперь последние две цифры этого числа прибавляем к числу 800, что в итоге даст 826.

Вот как работает легкий способ. Поскольку оба числа имеют одинаковую разность с числом 863, их сумма должна равняться удвоенному числу 863, то есть 1726. Одно из чисел 900, значит, другое будет равно 826.

Затем проводим следующие вычисления.

Если вам трудно вспомнить число 743 400 после возведения в квадрат числа 37, не расстраивайтесь. В следующих главах вы узнаете систему мнемотехники и научитесь запоминать такие числа.

Попробуйте свои силы на самой трудной пока задаче - на возведении в квадрат числа 359.

Для получения 318 либо отнимите 41 (дополнение для 59) от 359, либо умножьте 2 х 59 = 118 и используйте последние две цифры. Далее умножьте 400 х 318 = 127 200. Прибавление к этому числу 412 = 1681 даст в сумме 128 881. Вот и все! Если вы сделали все правильно с первого раза, вы молодец!

Завершим этот раздел большой, но легкой задачей: вычислим 987 2 .

УПРАЖНЕНИЕ: ВОЗВЕДЕНИЕ В КВАДРАТ ТРЕХЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ

1. 409 2 2. 805 2 3. 217 2 4. 896 2

5. 345 2 6. 346 2 6. 276 2 8. 682 2

9. 413 2 10. 781 2 11. 975 2

Что за дверью номер 1?

Математической банальностью 1991 года, которая поставила всех в тупик, оказалась статья Мэрилин Савант - женщины с самым высоким в мире IQ (что зарегистрировано в Книге рекордов Гиннесса) - в журнале Parade. Этот парадокс стал известен как «проблема Монти Холла», и заключается он в следующем.

Вы участник шоу Монти Холла «Давайте совершать сделки» (Let’s Make a Deal). Ведущий дает вам возможность выбрать одну из трех дверей, за одной из которых находится большой приз, за двумя другими - козы. Допустим, вы выбираете дверь № 2. Но прежде чем показать, что скрывается за этой дверью, Монти открывает дверь № 3. Там коза. Теперь в своей дразнящей манере Монти спрашивает вас: вы хотите открыть дверь № 2 или рискнете посмотреть, что находится за дверью № 1? Что вам следует сделать? Если предположить, что Монти собирается подсказать вам, где нет главного приза, то он всегда будет открывать одну из «утешительных» дверей. Это оставляет вас перед выбором: одна дверь с большим призом, а вторая - с утешительным. Сейчас ваши шансы составляют 50 на 50, не так ли?

А вот и нет! Шанс, что вы правильно выбрали в первый раз, по-прежнему 1 к 3. Вероятность того, что большой приз окажется за другой дверью, увеличивается до 2/3, потому что вероятности в сумме должны давать 1.

Таким образом, изменив свой выбор, вы удвоите шансы на выигрыш! (В задаче предполагается, что Монти всегда будет давать игроку возможность сделать новый выбор, показывая «невыигрышную» дверь, и, когда ваш первый выбор окажется правильным, откроет «невыигрышную» дверь наугад.) Поразмышляйте об игре с десятью дверями. Пусть после вашего первого выбора ведущий откроет восемь «невыигрышных» дверей. Здесь ваши инстинкты, скорее всего, потребуют поменять дверь. Люди обычно ошибаются, думая, что если Монти Холл не знает, где главный приз, и открывает дверь № 3, за которой оказывается коза (хотя мог бы быть и приз), то дверь № 1 с вероятностью в 50 процентов будет нужной. Такое рассуждение противоречит здравому смыслу, тем не менее Мэрилин Савант получила груды писем (многие от ученых, и даже математиков), в которых говорилось, что ей не следовало писать о математике. Конечно, все эти люди были неправы.

*квадраты до сотни

Для того, чтобы бездумно не возводить в квадрат по формуле все числа, нужно максимально упростить себе задачу следующими правилами.

Правило 1 (отсекает 10 чисел)

Для чисел, оканчивающихся на 0.
Если число заканчивается на 0, умножить его не сложнее, чем однозначное число. Стоит лишь дописать пару нулей.
70 * 70 = 4900.
В таблице отмечены красным.

Правило 2 (отсекает 10 чисел)

Для чисел, оканчивающихся на 5.
Чтобы возвести в квадрат двузначное число, оканчивающееся на 5, нужно умножить первую цифру (x) на (x+1) и дописать к результату “25”.
75 * 75 = 7 * 8 = 56 … 25 = 5625.
В таблице отмечены зеленым.

Правило 3 (отсекает 8 чисел)

Для чисел от 40 до 50.
XX * XX = 1500 + 100 * вторую цифру + (10 - вторая цифра)^2
Достаточно трудно, верно? Давайте разберем пример:
43 * 43 = 1500 + 100 * 3 + (10 - 3)^2 = 1500 + 300 + 49 = 1849.
В таблице отмечены светло-оранжевым.

Правило 4 (отсекает 8 чисел)

Для чисел от 50 до 60.
XX * XX = 2500 + 100 * вторую цифру + (вторая цифра)^2
Тоже достаточно трудно для восприятия. Давайте разберем пример:
53 * 53 = 2500 + 100 * 3 + 3^2 = 2500 + 300 + 9 = 2809.
В таблице отмечены темно-оранжевым.

Правило 5 (отсекает 8 чисел)

Для чисел от 90 до 100.
XX * XX = 8000+ 200 * вторую цифру + (10 - вторая цифра)^2
Похоже на правило 3, но с другими коэффициентами. Давайте разберем пример:
93 * 93 = 8000 + 200 * 3 + (10 - 3)^2 = 8000 + 600 + 49 = 8649.
В таблице отмечены темно-темно-оранжевым.

Правило №6 (отсекает 32 числа)

Необходимо запомнить квадраты чисел до 40. Звучит дико и трудно, но на самом деле до 20 большинство людей знают квадраты. 25, 30, 35 и 40 поддаются формулам. И остается лишь 16 пар чисел. Их уже можно запомнить при помощи мнемоники (о которой я также хочу рассказать позднее) или любыми другими способами. Как таблицу умножения:)
В таблице отмечены синим.

Вы можете запомнить все правила, а можете запомнить выборочно, в любом случае все числа от 1 до 100 подчиняются двум формулам. Правила же помогут, не используя эти формулы, быстрее посчитать больше 70% вариантов. Вот эти две формулы:

Формулы (осталось 24 цифры)

Для цифр от 25 до 50
XX * XX = 100(XX - 25) + (50 - XX)^2
Например:
37 * 37 = 100(37 - 25) + (50 - 37)^2 = 1200 + 169 = 1369

Для цифр от 50 до 100

XX * XX = 200(XX - 25) + (100 - XX)^2

Например:
67 * 67 = 200(67 - 50) + (100 - 67)^2 = 3400 + 1089 = 4489

Конечно не стоит забывать про обычную формулу разложения квадрата суммы (частный случай бинома Ньютона):
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.
56^2 = 50^2 + 2*50*6 + 6*2 = 2500 + 600 + 36 = 3136.

Возведение в квадрат, возможно, не самая полезная в хозяйстве вещь. Не сразу вспомнишь случай, когда может понадобиться квадрат числа. Но умение быстро оперировать числами, применять подходящие правила под каждое из чисел отлично развивает память и «вычислительные способности» вашего мозга .

Кстати, думаю, все читатели хабры знают, что 64^2 = 4096, а 32^2 = 1024.
Многие квадраты чисел запоминаются на ассоциативном уровне. Например, я легко запомнил 88^2 = 7744, из-за одинаковых чисел. У каждого наверняка найдутся свои особенности.

Две уникальные формулы я впервые нашел в книге «13 steps to mentalism», которая мало связана с математикой. Дело в том, что раньше (возможно, и сейчас) уникальные вычислительные способности были одним из номеров в сценической магии: фокусник рассказывал байку о том, как он получил сверхспособности и в доказательство этого моментально возводит числа до сотни в квадрат. В книге так же указаны способы возведения в куб, способы вычитания корней и кубических корней.

Если тема быстрого счета интересна - буду писать еще.
Замечания об ошибках и правки прошу писать в лс, заранее спасибо.

Старинная запись на квитанции в уплате подати («ясака»). Она означает сумму 1232 руб. 24 коп. Иллюстрация из книги: Яков Перельман «Занимательная арифметика»

Ещё Ричард Фейнман в книге «Вы конечно шутите, мистер Фейнман!» поведал несколько приёмов устного счёта. Хотя это очень простые трюки, они не всегда входят в школьную программу.

Например, чтобы быстро возвести в квадрат число X около 50 (50 2 = 2500), нужно вычитать/прибавлять по сотне на каждую единицы разницы между 50 и X, а потом добавить разницу в квадрате. Описание звучит гораздо сложнее, чем реальное вычисление.

52 2 = 2500 + 200 + 4
47 2 = 2500 – 300 + 9
58 2 = 2500 + 800 + 64

Молодого Фейнмана научил этому трюку коллега-физик Ханс Бете, тоже работавший в то время в Лос-Аламосе над Манхэттенским проектом.

Ханс показал ещё несколько приёмов, которые использовал для быстрых вычислений. Например, для вычисления кубических корней и возведения в степень удобно помнить таблицу логарифмов. Это знание очень упрощает сложные арифметические операции. Например, вычислить в уме примерное значение кубического корня из 2,5. Фактически, при таких вычислениях в голове у вас работает своеобразная логарифмическая линейка, в которой сложение и деление чисел заменяется сложением и вычитанием их логарифмов. Удобнейшая вещь.

Логарифмическая линейка

До появления компьютеров и калькуляторов логарифмическую линейку использовали повсеместно. Это своеобразный аналоговый «компьютер», позволяющий выполнить несколько математических операций, в том числе умножение и деление чисел, возведение в квадрат и куб, вычисление квадратных и кубических корней, вычисление логарифмов, потенцирование, вычисление тригонометрических и гиперболических функций и некоторые другие операции. Если разбить вычисление на три действия, то с помощью логарифмической линейки можно возводить числа в любую действительную степень и извлекать корень любой действительной степени. Точность расчётов - около 3 значащих цифр.

Чтобы быстро проводить в уме сложные расчёты даже без логарифмической линейки, неплохо запомнить квадраты всех чисел, хотя бы до 25, просто потому что они часто используются в расчётах. И таблицу степеней - самых распространённых. Проще запомнить, чем вычислять каждый раз заново, что 5 4 = 625, 3 5 = 243, 2 20 = 1 048 576, а √3 ≈ 1,732.

Ричард Фейнман совершенствовал свои навыки и постепенно замечал всё новые интересные закономерности и связи между числами. Он приводит такой пример: «Если кто-то начинал делить 1 на 1,73, можно было незамедлительно
ответить, что это будет 0,577, потому что 1,73 - это число, близкое к квадратному корню из трёх. Таким образом, 1/1,73 - это около одной трети квадратного корня из 3».

Настолько продвинутый устный счёт мог бы удивить коллег в те времена, когда не было компьютеров и калькуляторов. В те времена абсолютно все учёные умели хорошо считать в уме, поэтому для достижения мастерства требовалось достаточно глубоко погрузиться в мир цифр.

В наше время люди достают калькулятор, чтобы просто поделить 76 на 3. Удивить окружающих стало гораздо проще. Во времена Фейнмана вместо калькулятора были деревянные счёты, на которых тоже можно было производить сложные операции, в том числе брать кубические корни. Великий физик уже тогда заметил, что использование таких инструментов, людям вообще не нужно запоминать множество арифметический комбинаций, а достаточно просто научиться правильно катать шарики. То есть люди с «расширителями» мозга не знают чисел. Они хуже справляются с задачами в «автономном» режиме.

Вот пять очень простых советов устного счёта, которые рекомендует Яков Перельман в методичке «Быстрый счёт» 1941 года издательства.

1. Если одно из умножаемых чисел разлагается на множители, удобно бывает последовательно умножать на них.

225 × 6 = 225 × 2 × 3 = 450 × 3
147 × 8 = 147 × 2 × 2 × 2, то есть трижды удвоить результат

2. При умножении на 4 достаточно дважды удвоить результат. Аналогично, при делении на 4 и 8, число делится пополам дважды или трижды.

3. При умножении на 5 или 25 число можно разделить на 2 или 4, а затем приписать к результату один или два нуля.

74 × 5 = 37 × 10
72 × 25 = 18 × 100

Здесь лучше сразу оценивать, как проще. Например, 31 × 25 удобнее умножать как 25 × 31 стандартным способом, то есть как 750+25, а не как 31 × 25, то есть 7,75 × 100.

При умножении на число, близкое к круглому (98, 103), удобно сразу умножить на круглое число (100), а затем вычесть/прибавить произведение разницы.

37 × 98 = 3700 – 74
37 × 104 = 3700 + 148

4. Чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5 (например, 85), умножают число десятков (8) на него же плюс единица (9), и приписывают 25.

8 × 9 = 72, приписываем 25, так что 85 2 = 7225

Почему действует это правило, видно из формулы:

(10Х + 5) 2 = 100Х 2 + 100Х + 25 = 100Х (X+1) + 25

Приём применяется и к десятичным дробям, которые оканчиваются на 5:

8,5 2 = 72,25
14,5 2 = 210,25
0,35 2 = 0,1225

5. При возведении в квадрат не забываем об удобной формуле

(a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab
44 2 = 1600 + 16 + 320

Конечно же, все способы можно сочетать между собой, создавая более удобные и эффективные приёмы для конкретных ситуаций.

Мы привыкли думать, что возведение дома - это длительный и дорогостоящий процесс. Иногда он растягивается на годы, превращаясь в долгострой, выкачивающий все средства из семейного бюджета. Об этом мы рассказывали в материале, . Но в жизни бывают ситуации, когда построить дом надо быстро и за минимальную сумму.

Кажется, что это или невозможно, или придётся серьёзно поступиться качеством возводимого сооружения. Но на нашем портале есть масса примеров, когда начинающие застройщики опровергали это утверждение. Главное - обстоятельно подойти к делу, подготовить все для постройки дома и выбрать правильную и посильную для себя технологию строительства.

Из этой статьи вы узнаете:

• Какие новые материалы для дома и новые технологии чаще всего используют для быстрого строительства загородного дома.
• Дома из разных материалов, построенные в короткие сроки.
• Материал для строительства дома в короткие сроки.
• Из чего класть стены дома. Как быстро построить каменный дом.
• Какую же стену выбрать для индивидуального дома. Почему так популярно возведение домов по каркасной технологии.
• Постройка дома из современных материалов. Почему строительство из СИП-панелей упрощает возведение коттеджа.
• В чём заключаются плюсы свайно-винтового фундамента и технологии несъёмной опалубки.
• Какие принципы ускоряют возведение строения.

Материал для строительства дома - что выбрать

Возведение загородного коттеджа, долговечного отвечающего всем строительным нормам, должно начинаться с тщательно разработанного плана. Необходимо заранее просчитать смету, выбрать технологию возведения и лучший строительный материал для строительства дома. Также следует учитывать климатические условия места, где будет вестись строительство, и свойства грунта. Только после сбора всех необходимых данных можно выбрать наиболее рациональные, быстрые и экономически выгодные способы строительства.

Материал для стен дома. Что выбрать - дерево, панели или класть из камня.

Причём, данный принцип вдвойне важен при необходимости быстрого возведения постройки, т.к. любая ошибка или заминка приведёт к срыву сроков строительства. Если рассмотреть общие принципы выбора технологии для ускоренного возведения строения, то отправной точкой является гарантированное качество материалов, строго заданная геометрия, простота и технологичность при их монтаже, а также доступность.

Отсюда, для быстрой кладки материал для стен дома выбираем заводского изготовления. Технические характеристики должны гарантированно отвечать заявленным требованиям. Попытка сэкономить и использовать разные кустарно произведённые материалы т.н. гаражного изготовления - лотерея, без гарантий получения качественного результата.

Строительство дома - выбор материала для самостройщиков и строительных фирм

Если планируется выбрать самый долговечный материал и быстро построить полный достоинства каменный дом, то следует использовать крупноформатные блоки с чёткой геометрией, хорошо поддающиеся механической обработке (пилению, штроблению, сверлению) на строительной площадке. Такой материал проще и быстрее класть.

Дерево как материал стен для частного особняка или дачного дома выбирают поклонники каркасной технологии. В этом случае на первое место выходит простота работы, а значит - высокая скорость строительства, минимизация использования строительной техники (т.к. поставить деревянный каркас можно даже в одиночку), широкая доступность и то, что древесина достаточно дешевый материал.

Если каркасное строительство - выбор самостройщиков, планирующих в максимально сжатые сроки индивидуально поставить коробку дома, то долговечные крупноформатные панели заводского изготовления (СИП и т.д.) предпочитают использовать застройщики, возводящие постройку при помощи строительных компаний.

У каждого из этих способов есть свои разные особенности, но об этом – чуть позже.

Особенности быстрого строительства каменного дома

Опыт пользователей FORUMHOUSE говорит о том, что путь к «быстрому дому» у каждого свой, но можно выделить несколько ключевых моментов, общих для всех индивидуальных застройщиков. В первую очередь - это отсутствие собственного жилья, дороговизна квадратных метров в новостройках и нежелание выбрасывать деньги на ветер, беря квартиру в аренду.

Владимир Егоров (ник Bobahina) Пользователь FORUMHOUSE

Семья у меня молодая - я, жена и двое маленьких детей. Своего жилья нет, поэтому пришлось жить на съёмных квартирах. Я как-то посчитал, что за 5 лет «кочевой» жизни мы потратили на аренду (фактически подарили «дяде») 1 млн руб. Поэтому после очередного переезда я принял твёрдое решение - хватит скитаться, надо обзаводиться собственным углом.

Сведя дебит с кредитом, Владимир рассчитал, что, взяв в кредит 1-1.5 млн руб., выгоднее построить дом, а не вкладываться в ипотеку. После того, как большое решение было принято, осталось выбрать технологию строительства, которая позволит с «0» быстро возвести коттедж, готовый для переезда семьи. Проанализировав, «сколько стоит дом построить», Владимир решил разбить стройку на несколько этапов и выбрать материал для несущих стен, который оптимально подойдёт для самостоятельного строительства.

Забегая вперёд, скажем, что нашему пользователю удалось осуществить свою мечту: в максимально сжатые сроки возвести дом размером 10х7.5 м и подготовить первый этаж под ПМЖ. Причём, в качестве строительного материала был выбран газобетон. Стоит отметить, что земельный участок Владимиру предоставил его отец, что стало одним из решающих факторов успеха этой стройки.

Также заметим, что каменный дом был фактически построен силами одного человека за 6 месяцев. В случае использования наёмного труда - бригады из нескольких человек, эти сроки можно было сократить в 2-3 раза, но при увеличении стоимости возводимой конструкции. Поэтому, задумав быстрое строительство, всегда приходится идти на компромисс: скорость/смета, а также выбирать - строить полностью самостоятельно (для этого нужно время) или работать и всё это время контролировать стройку.

Высокой скорости возведения дома способствует наличие всех видов необходимых коммуникаций на участке - свет и вода, а также грамотное планирование каждого строительного этапа и выбор современной технологии.

Строя каменный дом, надо постараться свести к минимуму «мокрые» процессы и оптимизировать все технологические этапы.

Каркасная технология строительства

Современный строительный опыт говорит о том, что значительно ускорить процесс строительства можно, используя отработанную технологию, уже прошедшую обкатку временем. При условии, что это решение эффективно для конкретного региона проживания. Т.е. выбранный материал для стен распространён в местности, где вы проживаете, и не является дефицитом, а строительные бригады знают, как с ним работать и уже «набили руку». В этом случае, при должном контроле, можно гарантировать получение качественного результата.

В случае, если нужно возвести дом быстро и не разориться, многие застройщики выбирают возведение домов по каркасной технологии строительства, как наиболее рациональной для самостроя.

Ufonru Пользователь FORUMHOUSE

У меня есть участок в 6 соток в СНТ под Питером. Решил построить на нём дом. Осталось выбрать технологию, чтобы можно было строить одному в свободное время, быстро и качественно. Причём уложиться в 400 тыс. руб.

В итоге перелопачивания информации Ufonru остановил свой выбор на «каркасниках». Нашему пользователю удалось в одиночку, за 80 дней, построить тёплый дом стоимостью в 350 тыс. руб, с мансардой и чистовой отделкой, размером 6х10 м.

В плюсы «каркасников» можно записать: возможность вести практически круглогодичное строительство, материал предусматривает минимум «мокрых» процессов (требующих времени и хороших погодных условий), отработанность технологии и высокую скорость строительства.

Надо сразу сказать, что Ufonru обстоятельно подошёл к делу. Для минимизации отходов габариты дома были рассчитаны, исходя из размеров плит ОСП, досок, гипсокартона, утеплителя и т.д. Это позволило использовать всю их полезную площадь, без остатков и сэкономить время на раскрое материала .

В качестве фундамента был выбран мелкозаглубленный ленточный фундамент, причём для опалубки выбрали доски размером 100х50 мм, которые затем все до одной пошли на стойки каркаса и обвязку без последующего подрезания. А это дополнительная скорость и экономия материалов.

Используя принцип оптимизации, только цену фундамента под этот дом удалось снизить до 65 тыс. руб.

Нюансы строительства дома из СИП-панелей и сроки возведения свайно-винтового фундамента

В погоне за скоростью возведения коттеджа многие начинающие застройщики наивно полагают, что дом – это коробка из стен со вставленными окнами и дверьми. На самом деле - это не так. Жить в доме можно при наличии минимума коммуникаций - т.н. инженерки. Это - электричество, канализация и вода.

Посмотрите, как самостоятельно, за полгода, построить газобетонный дом под ПМЖ . Из нашего видео вы также узнаете о

В продолжение разговора про степень числа логично разобраться с нахождением значения степени. Этот процесс получил название возведение в степень . В этой статье мы как раз изучим, как выполняется возведение в степень, при этом затронем все возможные показатели степени – натуральный, целый, рациональный и иррациональный. И по традиции подробно рассмотрим решения примеров возведения чисел в различные степени.

Навигация по странице.

Что значит «возведение в степень»?

Начать следует с объяснения, что называют возведением в степень. Вот соответствующее определение.

Определение.

Возведение в степень – это нахождение значения степени числа.

Таким образом, нахождение значение степени числа a с показателем r и возведение числа a в степень r – это одно и то же. Например, если поставлена задача «вычислите значение степени (0,5) 5 », то ее можно переформулировать так: «Возведите число 0,5 в степень 5 ».

Теперь можно переходить непосредственно к правилам, по которым выполняется возведение в степень.

Возведение числа в натуральную степень

На практике равенство на основании обычно применяется в виде . То есть, при возведении числа a в дробную степень m/n сначала извлекается корень n -ой степени из числа a , после чего полученный результат возводится в целую степень m .

Рассмотрим решения примеров возведения в дробную степень.

Пример.

Вычислите значение степени .

Решение.

Покажем два способа решения.

Первый способ. По определению степени с дробным показателем . Вычисляем значение степени под знаком корня, после чего извлекаем кубический корень: .

Второй способ. По определению степени с дробным показателем и на основании свойств корней справедливы равенства . Теперь извлекаем корень , наконец, возводим в целую степень .

Очевидно, что полученные результаты возведения в дробную степень совпадают.

Ответ:

Отметим, что дробный показатель степени может быть записан в виде десятичной дроби или смешанного числа, в этих случаях его следует заменить соответствующей обыкновенной дробью, после чего выполнять возведение в степень.

Пример.

Вычислите (44,89) 2,5 .

Решение.

Запишем показатель степени в виде обыкновенной дроби (при необходимости смотрите статью ): . Теперь выполняем возведение в дробную степень:

Ответ:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Следует также сказать, что возведение чисел в рациональные степени является достаточно трудоемким процессом (особенно когда в числителе и знаменателе дробного показателя степени находятся достаточно большие числа), который обычно проводится с использованием вычислительной техники.

В заключение этого пункта остановимся на возведении числа нуль в дробную степень. Дробной степени нуля вида мы придали следующий смысл: при имеем , а при нуль в степени m/n не определен. Итак, нуль в дробной положительной степени равен нулю, например, . А нуль в дробной отрицательной степени не имеет смысла, к примеру, не имеют смысла выражения и 0 -4,3 .

Возведение в иррациональную степень

Иногда возникает необходимость узнать значение степени числа с иррациональным показателем . При этом в практических целях обычно достаточно получить значение степени с точностью до некоторого знака. Сразу отметим, что это значение на практике вычисляется с помощью электронной вычислительной техники, так как возведение в иррациональную степень вручную требует большого количества громоздких вычислений. Но все же опишем в общих чертах суть действий.

Чтобы получить приближенное значение степени числа a с иррациональным показателем , берется некоторое десятичное приближение показателя степени , и вычисляется значение степени . Это значение и является приближенным значением степени числа a с иррациональным показателем . Чем более точное десятичное приближение числа будет взято изначально, тем более точное значение степени будет получено в итоге.

В качестве примера вычислим приближенное значение степени 2 1,174367... . Возьмем следующее десятичное приближение иррационального показателя: . Теперь возведем 2 в рациональную степень 1,17 (суть этого процесса мы описали в предыдущем пункте), получаем 2 1,17 ≈2,250116 . Таким образом, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Если взять более точное десятичное приближение иррационального показателя степени, например, , то получим более точное значение исходной степени: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Список литературы.

• Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. МатематикаЖ учебник для 5 кл. общеобразовательных учреждений.
• Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 7 кл. общеобразовательных учреждений.
• Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 8 кл. общеобразовательных учреждений.
• Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 9 кл. общеобразовательных учреждений.
• Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 - 11 классов общеобразовательных учреждений.
• Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы).

Предыдущая статья: Чему равна скорость света Следующая статья: Углерод — характеристика элемента и химические свойства