Пусть задана некоторая ось и . Применяя к каждому из этих векторов формулу (2.2), получим, что , т. е. равные векторы имеют равные проекции на одну и ту же ось.

Определение. Проекции , , вектора на оси , и прямоугольной системы координат называются координатами вектора в этой системе координат.

Если для вектора , , , то символически это записывается в виде

Теорема 2. Для любых двух точек и координаты вектора определяются по формулам

Доказательство. Проведем через точки и плоскости, перпендикулярные оси , и обозначим точки пересечения оси и построенных плоскостей и .

Точки и имеют на оси координаты и . По определению , но , т. е. . Аналогично доказываются и остальные соотношения. Теорема доказана.

Рассмотрим свойства проекций векторов на ось.

Теорема 3. Проекция суммы двух векторов на ось равна сумме их проекций на эту ось, т. е.

Доказательство. Пусть , тогда, приложив вектор к концу вектора , т. е. к точке , можем считать, что . Обозначим через , , проекции точек , и С на ось . По определению проекции вектора на ось имеем: , , , (последнее равенство следует из правила сложения величин вещественных чисел).

Таким образом, . Теорема доказана.

Теорема 4. При умножении вектора на число его проекция на ось также умножается на это число, т. е.

Доказательство. Пусть - угол между осью и вектором , а - угол между осью и вектором . Если , то векторы и направлены одинаково и . Если же , то векторы и имеют противоположное направление и .

Согласно (2.2) при имеем: . Если же , то . При обе части равенства (2.6) обращаются в нуль. Таким образом, при любых вещественных значениях . Теорема доказана.

Из этой теоремы вытекает следствие.

Следствие. Если векторы и заданы своими координатами, т. е. , , то при любых действительных числах и вектор имеет координаты

Пусть - углы наклона вектора к осям , и соответственно.

Определение. Три числа , и называются направляющими косинусами вектора .

Из определения координат вектора следует, что если , то

Так как является диагональю прямоугольного параллелепипеда со сторонами, которые отсекают на координатных осях величины , и , то

Из формул (2.8) и (2.9) находятся выражения для направляющих косинусов вектора через его координаты:

Возводя полученные равенства в квадрат и складывая, получим, что , т. е. сумма квадратов направляющих косинусов любого вектора равна единице.

Так как вектор однозначно определяется заданием трех его координат, из полученных формул (2.8) следует, что вектор однозначно определяется заданием его длины и трех направляющих косинусов.

П р и м е р 22. Даны два вектора и . Найти проекции на координатные оси векторов и .

Решение. Проекциями вектора на координатные оси являются его координаты. По формуле (2.7) получим: , .

2.5. Скалярное произведение векторов

Определение. Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число (скаляр), равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т. е.

где - угол между векторами и .

Если хотя бы один из векторов или - нулевой, то угол между векторами не определен, и скалярное произведение полагается равным нулю.

Проекцию вектора на ось, определяемую вектором , обозначим . По определению проекции вектора на ось имеем: . Тогда скалярное произведение двух ненулевых векторов и определяется формулой

Учитывая, что в определении скалярного произведения векторы и взаимозаменяемые, его можно представить в виде

Соотношения (2.17) и (2.18) позволяют сформулировать другое определение скалярного произведения.

Определение. Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число (скаляр), равное произведению длины одного из этих векторов на проекцию другого вектора на ось, определяемую первым из указанных векторов.

Физический смысл скалярного произведения заключается в следующем: если точка приложения силы, задаваемой постоянным вектором , перемещается вдоль вектора , то работа этой силы определяется равенством , где - угол между векторами и , т. е. работа равна скалярному произведению векторов и .

Теорема 8. Необходимым и достаточным условием ортогональности (перпендикулярности) двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения.

Доказательство. Необходимость. Пусть векторы и ортогональны, - угол между ними, тогда , и в силу формулы (2.16) .

Достаточность. Пусть . Докажем, что векторы и ортогональны. Если хотя бы один из векторов равен нулевому вектору, то он имеет неопределенное направление, и можно считать, что векторы ортогональны. Если оба вектора и ненулевые, то , , поэтому из (2.16) следует, что , т, е. векторы и ортогональны. Теорема доказана.

Если два вектора привести к общему началу, то в качестве угла между этими векторами можно взять любой из углов или .

Действительно, сумма углов и равна , поэтому . В определение скалярного произведения входит сомножителем только косинус угла между векторами. Из двух углов и между векторами один всегда не более . За угол между векторами принимается наименьший из углов и , т. е. .

Если скалярное произведение двух ненулевых неколлинеарных векторов и положительно (отрицательно), то эти два вектора составляют острый (тупой) угол.

Свойства скалярного произведения:

Доказательство. Это свойство непосредственно вытекает из определения скалярного произведения: . Свойство доказано.

Доказательство. Для доказательства этого свойства воспользуемся формулой (2.18) для определения скалярного произведения и свойствами проекций векторов на ось: . Свойство доказано.

Доказательство. Воспользуемся формулой (2.18) для определения скалярного произведения и свойствами проекций векторов на ось. Получим: . Свойство доказано.

4. , если , и , если .

Доказательство. Из определения скалярного произведения с использованием соотношения (2.16) следует, что . Если , то и . Если же , то , поэтому . Свойство доказано.

Эти свойства позволяют при скалярном перемножении векторных многочленов выполнять действия почленно, не учитывая порядок векторных сомножителей и сочетая числовые множители.

Из определения и свойств скалярного произведения векторов следует, что для базисных векторов , , выполняются соотношения,

Определение. Тройка векторов называется упорядоченной, если указано, какой из векторов считается первым, какой - вторым, а какой - третьим.

Например, - упорядоченная тройка векторов, в которой первым вектором является вектор , вторым - вектор , третьим - вектор .

В силу того, что

союз

Синтаксические конструкции, начинающиеся с союза «в силу того, что», выделяются с двух сторон знаками препинания. При этом первый знак препинания обычно ставится между частями союза (перед словом «что»).

«Мы действуем в силу того, что мы признаем полезным, – промолвил Базаров. – В теперешнее время полезнее всего отрицание – мы отрицаем». И. Тургенев, Отцы и дети. Для них абсолютный эталон остался в прошлом, и любые новшества являются злом в силу того, что уводят от этого эталона еще дальше. В. Пелевин, Чапаев и Пустота.

@ Аналогичным образом оформляются на письме такие союзные конструкции, как «в силу того обстоятельства, что», «в силу... убеждения, что» и т. п.: Но это было не по низкопоклонности его характера, а в силу того внутреннего убеждения, что он исполняет обязанность и воздает каждому должное. В. Соллогуб, Аптекарша. Был же он в запустении буфет пополнился в тот день двумя ящиками первоклассных сарделек. В. Ерофеев, Записки психопата. Сближение с Фроськой произошло случайно в силу того обстоятельства, что Гераська, живший теперь невдалеке от Беренди, взялся сделать мещанам, у которых жила Фроська, шкаф. Н. Гарин-Михайловский, Гимназисты.

Словарь-справочник по пунктуации. - М.: Справочно-информационный интернет-портал ГРАМОТА.РУ . В. В. Свинцов, В. М. Пахомов, И. В. Филатова . 2010 .

Смотреть что такое "в силу того, что" в других словарях:

в силу того, что - См … Словарь синонимов

в силу того что - потому что, благодаря тому что, вследствие того что, затем что, потому, оттого что, потому как Словарь русских синонимов … Словарь синонимов

В силу того что - СИЛА, ы, ж. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова

в силу того что - в силу/ того/ что, союз … Слитно. Раздельно. Через дефис.

в силу того, что - см. сила; в зн. союза. По причине чего л., из за чего л. Ответ задерживается в силу того, что не хватает сотрудников … Словарь многих выражений

В Силу Того Что - союз Употребляется при присоединении придаточной части сложноподчиненного предложения со значением причины (обусловливающей действие главной части), соответствуя по значению сл.: так как, в связи с тем что, из за того что. Толковый словарь… … Современный толковый словарь русского языка Ефремовой

в силу того что - союз … Орфографический словарь русского языка

вследствие того, что - См … Словарь синонимов

вследствие того что - потому, потому как, в силу того что, затем что, потому что, благодаря тому что, оттого что Словарь русских синонимов … Словарь синонимов

что - 1. ЧТО [шт], чего, чему, чем, о чём и неизм.; местоим. сущ. и союзн. сл. 1. Указывает на предмет, явление, ситуацию, о которых идёт речь. Что случилось? Скажи, что случилось. Чего тебе: чаю или кофе? Что вы говорите? (также: как выражение… … Энциклопедический словарь

Книги

• Ах вот оно что! Медитация - состояние пробужденности. Открывая Будду (комплект из 3 книг) (количество томов: 3) , Ошо. "Ах вот оно что! Дзен - это будильник, который пробуждает ото сна" . Прочитав книгу, вы будете чаще радоваться (уже ради одного это прочитать стоит!). Вы начнете замечать те самые мелкие… Купить за 1134 руб
• Что таят жесты. Повелительница. Королева сердец (комплект их 3-х книг) (количество томов: 3) , Кудряшов Николай Иванович. "Что таят в себе женские жесты?". Как мужчине понять, что он нравится женщине? Как девушке привлечь парня? Какие жесты во время общения могут расположить, а не оттолкнуть собеседника? Обо…

"Поступай так, чтобы максима твоей воли могла в то же время иметь силу принципа всеобщего законодательства". Это - категорический императив И. Канта. Кем до Канта была сформулирована подобная мысль? Как она называется и каково ее содержание?

КАНТ Иммануил (17241804) родоначальник немецкой классической философии. Свои политико-правовые воззрения Кант изложил в трактатах: "Идеи всеобщей истории с космополитической точки зрения", "К вечному миру", "Метафизические начала учения о праве".

Краеугольный принцип социально-политических воззрений Канта состоит в том, что каждое лицо обладает совершенным достоинством, абсолютной ценностью. Человек - субъект нравственного сознания, в корне отличный от окружающей природы, - в своем поведении должен руководствоваться велениями нравственного закона. Закон этот априорен, не подвержен влиянию никаких внешних обстоятельств и потому безусловен. Кант называет его "категорическим императивом". Он гласит: "Поступай так, чтобы максима твоего поведения могла быть вместе с тем и принципом всеобщего законодательства". Или иными словами: поступай так, чтобы ты относился к человечеству и в своем лице, и в лице любого другого как к цели и никогда только как к средству.

Совокупность условий, ограничивающих произвол одного по отношению к другим посредством объективного общего закона свободы, Кант называет правом. Всякое право должно выступать как право принудительное. Сообщить праву столь нужное ему свойство способно лишь государство - исконный и первичный носитель принуждения. По Канту, оказывается, что государственность вызывают к жизни и ее бытие оправдывают в конце концов требования категорического императива.

Выдвижение и защита Кантом тезиса о том, что благо и назначение государства - в совершенном праве, в максимальном соответствии устройства и режима государства принципам права, дали основание считать Канта одним из родоначальников концепции правового государства.

Заимствованную у Ш.Л. Монтескье идею разделения властей в государстве Кант не стал толковать как идею равновесия властей. По его мнению, всякое государство имеет три власти: законодательную (принадлежащую только суверенной "коллективной воле народа"), исполнительную (сосредоточенную у законного правителя и подчиненную законодательной. верховной власти), судебную (назначаемую властью исполнительной). Субординация и согласие этих трех властей способны предотвратить деспотизм и гарантировать благоденствие государства. Спиркин А.Г. Философия: Учебник. - М.: Гардарика, 1998-355с.

В силу

В силу СИ́ЛА, -ы, ж.

Толковый словарь Ожегова . С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949-1992 .

Смотреть что такое "В силу" в других словарях:

Силур … Русское словесное ударение

силу - давать силу обладание, каузация дать силу обладание, каузация знать силу знание, понимание использовать силу использование набирать силу обладание, начало показать силу демонстрация потерять силу обладание, прерывание почувствовать… … Глагольной сочетаемости непредметных имён

А, м. геол. То же, что силурийский период … Малый академический словарь

силуєт - єта, ч. Рс. Те саме, що сильветка … Словник лемківскої говірки

силӯн - сухой … Нанайско-русский словарь

Затраты на рабочую силу - (Labor costs) Определение затрат на рабочую силу, состав затрат Информация об определении затрат на рабочую силу, состав затрат, формы оплаты труда Содержание Содержание Определение Состав () на рабочую силу Международная стандартная… … Энциклопедия инвестора

В. в законную силу решений гражданских судов это тот момент, когда решения эти приобретают характер непререкаемости, или, как выражаются юристы, формальной истины, исключающей возможность нового судебного спора по тому предмету, о котором… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Время вступления в силу административно-правовых норм - При решении вопроса о времени вступления в силу административно правовых норм принципиальное значение имеет вид источника административного права правового акта, содержащего эти нормы. Согласно статье 15 Конституции Российской Федерации все… …

Порядок вступления в силу правового акта управления - При решении вопроса о времени вступления в силу правовых актов управления (административных актов), нормативных актов принципиальное значение имеет положение статьи 15 Конституции Российской Федерации, согласно которой все законы, а также… … Административное право. Словарь-справочник

в силу того, что - союз Синтаксические конструкции, начинающиеся с союза «в силу того, что», выделяются с двух сторон знаками препинания. При этом первый знак препинания обычно ставится между частями союза (перед словом «что»). «Мы действуем в силу того, что мы… … Словарь-справочник по пунктуации

Вступление в силу подзаконных нормативных правовых актов - предусмотренный законодательством специальный порядок придания законной юридической силы принятым (изданным) нормативным правовым актам. Для актов различной юридической силы существуют специальные правила введения их в действие. Для актов… … Элементарные начала общей теории права

Книги

• Производство по пересмотру вступивших в законную силу судебных актов по вновь открывшимся обстоят. , Петручак Руслан Константинович. Монография посвящена анализу института пересмотра вступивших в законную силу судебных актов по вновь открывшимся или новым обстоятельствам в гражданском и арбитражном процессе после его…
• Здоровье через силу стихий , Меньшикова Ксения Евгеньевна. Здоровье - это сила земли, сила природы, и каждый рождённый имеет право на эту силу лишь на основании факта своего рождения здесь - все живые в равной степени. Это очень важно понять:…