Работа большинства механизмов основана на простейших законах физики и математики. Довольно большое распространение получило понятие пружинного маятника. Подобный механизм получил весьма широкое распространение, так как пружина обеспечивает требуемую функциональность, может быть элементом автоматических устройств. Рассмотрим подробнее подобное устройство, принцип действия и многие другие моменты подробнее.
Как ранее было отмечено, пружинный маятник получил весьма широкое распространение. Среди особенностей можно отметить следующее:
В целом можно сказать, что пружинный маятник определение довольно обобщенное. При этом скорость перемещения объекта зависит от различных параметров, к примеру, величины приложенного усилия и других моментов. Перед непосредственным проведением расчетов проводится создание схемы:
Схема требуется для схематического отображения всех сил, которые оказывают влияние на устройство. Только в этом случае можно учесть все, что влияет на скорость перемещения, инерцию и многие другие моменты.
Пружинные маятники применяются не только при расчетах ил решении различных задач, но также и на практике. Однако, не все свойства подобного механизма применимы.
Примером можно назвать случай, когда колебательные движения не требуются:
Проводимые расчеты пружинного маятника позволяют подобрать наиболее подходящий вес тела, а также тип пружины. Она характеризуется следующими особенностями:
При математических расчетах многие моменты не учитываются. Усилие упругости и многие другие показатели выявляются путем расчета.
Выделяют несколько различных видов пружинного маятника. Стоит учитывать, что классификация может проводится по типу устанавливаемой пружины. Среди особенностей отметим:
Рассчитывается движение пружинного маятника можно при использовании достаточно большого количества различных формул, который должны учитывать воздействие всех сил. В большинстве случаев устанавливается классическая пружина. Среди особенностей отметим следующее:
В результате этого возникает колебание, которое может длиться в течение длительного периода. Приведенная выше формула позволяет провести расчет с учетом всех моментов.
При проектировании и вычислении основных показателей также уделяется довольно много внимания частоте и периоду колебания. Косинус – периодическая функция, в которой применяется значение, неизменяемое через определенный промежуток времени. Именно этот показатель называют период колебаний пружинного маятника. Для обозначения этого показателя применяется буква Т, также часто используется понятие, характеризующее значение, обратное периоду колебания (v). В большинстве случаев при расчетах применяется формула T=1/v.
Период колебаний вычисляется по несколько усложненной формуле. Она следующая: T=2п√m/k. Для определения частоты колебания используется формула: v=1/2п√k/m.
Рассматриваемая циклическая частота колебаний пружинного маятника зависит от следующих моментов:
Не стоит забывать о том, что при сильном растяжении пружины закон Гука прекращает действовать. При этом период пружинного колебания начинает зависеть от амплитуды.
Для измерения периода применяется всемирная единица времени, в большинстве случаев секунды. В большинстве случаев амплитуда колебаний вычисляется при решении самых различных задач. Для упрощения процесса проводится построение упрощенной схемы, на которой отображаются основные силы.
Определившись с особенностями проходимых процессов и зная уравнение колебаний пружинного маятника, а также начальные значения можно провести расчет амплитуды и начальной фазы пружинного маятника. Для определения начальной фазы применяется значение f, амплитуда обозначается символом A.
Для определения амплитуды может использоваться формула: А=√x 2 +v 2 /w 2 . Начальная фаза высчитывается по формуле: tgf=-v/xw.
Применяя эти формулы можно провести определение основных параметров, которые применяются при расчетах.
Рассматривая колебание груза на пружине нужно учитывать тот момент, что при движение маятника может описываться двумя точками, то есть оно носит прямолинейный характер. Этот момент определяет выполнение условий, касающихся рассматриваемой силы. Можно сказать, что полная энергия потенциальная.
Провести расчет энергии колебаний пружинного маятника можно при учете всех особенностей. Основными моментами назовем следующее:
Приведенная выше информация указывают на то, что закон сохранения энергии выглядит следующим образом: mx 2 /2+mw 2 x 2 /2=const. Применяемая формула говорит о следующем:
Провести определение энергии колебания пружинного маятника можно при решении самых различных задач.
Рассматривая то, чем вызваны свободные колебания пружинного маятника следует уделить внимание действию внутренних сил. Они начинают формироваться практически сразу после того, как телу было передано движение. Особенности гармонических колебаний заключаются в нижеприведенных моментах:
Не стоит забывать о том, что существует просто огромное количество различных видов систем, в которых осуществляется движение колебательного характера. В них также возникает упругая деформация, которая становится причиной применения для выполнения какой-либо работы.
), один конец которой жёстко закреплён, а на втором находится груз массы m.
Когда на массивное тело действует упругая сила, возвращающая его в положение равновесия, оно совершает колебания около этого положения.Такое тело называют пружинным маятником. Колебания возникают под действием внешней силы. Колебания, которые продолжаются после того, как внешняя сила перестала действовать, называют свободными. Колебания, обусловленные действием внешней силы, называют вынужденными. При этом сама сила называется вынуждающей.
В простейшем случае пружинный маятник представляет собой движущееся по горизонтальной плоскости твердое тело, прикрепленное пружиной к стене.
Второй закон Ньютона для такой системы при условии отсутствия внешних сил и сил трения имеет вид:
Если на систему оказывают влияние внешние силы, то уравнение колебаний перепишется так:
, где f(x) - это равнодействующая внешних сил соотнесённая к единице массы груза.В случае наличия затухания , пропорционального скорости колебаний с коэффициентом c :
Wikimedia Foundation . 2010 .
У этого термина существуют и другие значения, см. Маятник (значения). Колебания маятника: стрелками показаны векторы скорости (v) и ускорения (a) … Википедия
Маятник - устройство, которое, колеблясь, упорядочивает движение механизма часов. Пружинный маятник. Регулирующая деталь часов, состоящая из маятника и его пружины. До изобретения маятниковой пружины, часы приводились в движение одним маятником.… … Словарь часов
МАЯТНИК - (1) математический (или простой) (рис. 6) тело небольших размеров, свободно подвешенное к неподвижной точке на нерастяжимой нити (или стержне), масса которой пренебрежимо мала по сравнению с массой тела, совершающего гармонические (см.)… … Большая политехническая энциклопедия
Твёрдое тело, совершающее под действием прилож. сил колебания ок. неподвижной точки или оси. Математическим М. наз. материальная точка, подвешенная к неподвижной точке на невесомой нерастяжимой нити (или стержне) и совершающая под действием силы… … Большой энциклопедический политехнический словарь
Часы с пружинным маятником - пружинный маятник регулирующая часть часов, также используется в часах средних и маленьких размеров (переносные часы, настольные, и т.д.) … Словарь часов - маленькая спиральная пружина, прикрепленная концами к маятнику и его молоточку. Пружинный маятник регулирует часы, точность которых частично зависит от качества маятниковой пружины … Словарь часов
ГОСТ Р 52334-2005: Гравиразведка. Термины и определения - Терминология ГОСТ Р 52334 2005: Гравиразведка. Термины и определения оригинал документа: (гравиметрическая) съемка Гравиметрическая съемка, проводимая на суше. Определения термина из разных документов: (гравиметрическая) съемка 95… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
Исследование колебаний маятника проводится на установке, схема которой приведена на рис.5. Установка состоит из пружинного маятника, системы регистрации колебаний на основе пьезоэлектрического датчика, системы возбуждения вынужденных колебаний, а также системы обработки информации на персональном компьютере. Исследуемый пружинный маятник состоит из стальной пружины с коэффициентом жесткости k и тела маятника m , в центре которого вмонтирован постоянный магнит. Движение маятника происходит в жидкости и при небольших скоростях колебаний возникающая сила трения может быть с достаточной точностью аппроксимирована линейным законом, т.е.
Рис.5 Блок-схема экспериментальной установки
Для увеличения силы сопротивления
при движении в жидкости,
тело маятника изготовлено
в виде шайбы с отверстиями.
Для регистрации колебаний
используется пьезоэлектрический
датчик, к которому
подвешена пружина маятника.
Во время движения маятника
сила упругости
пропорциональна смещению х
,
Так как ЭДС, возникающая в
пьезодатчике в свою очередь
пропорциональна силе давления,
то сигнал, получаемый с датчика
будет
пропорционален смещению
тела маятника от положения
равновесия.
Возбуждение колебаний осуществляется
с помощью магнитного
поля. Гармонический сигнал,
создаваемый ПК усиливается
и подается на
катушку возбуждения,
расположенную под телом
маятника. В
резултате этого катушки образуется
переменное во времени и неоднородное в пространстве
магнитное поле.
Это поле действует
на постоянный магнит,
вмонтированный в тело
маятника и создает внешнюю
периодическую силу. При движении
тела вынуждающую силу можно представить
в виде суперпозиции гармонических функций
, и колебания маятника будут являться
суперпозицией колебаний с частотами mw.
Однако заметное влияние на движение маятника
будет оказывать лишь составляющая силы на
частоте w
,
так как она наиболее близка к резонансной частоте.
Поэтому амплитуды
составляющих колебаний
маятника на частотах mw
будут малы.
То есть в случае
произвольного
периодического воздействия
колебания с большой степенью
точности можно считать гармоническими на
частоте w
.
Система обработки информации
состоит из аналого-цифрового
преобразователя и персонального
компьютера. Аналоговый сигнал
с пьезоэлектрического датчика
с помощью аналоге-цифрового преобразователя
представляется в цифровом виде и подается на
персональном компьютере.
Управление экспериментальной установкой с помощью ЭВМ
После включения компьютера и загрузки программы на экране мо-
нитора появляется основное меню,
общий вид которого показан на рис.5.
Используя клавиши управления
курсором
, ,
, ,
можно выбрать
один из пунктов меню.
После нажатия кнопки ENTER
компьютер приступает к
выполнению выбранного режима
работы. Простейшие подсказки
по выбранному режиму работы
содержатся в выделенной строке
внизу экрана.
Рассмотрим возможные режимы работы программы:
Статика
- этот пункт меню
используется для обработки
результатов первого упражнения
(см. рис.5)
После нажатия на
кнопку ENTER
компьютер запрашивает
массу груза маятника.
После следующего
нажатия кнопки ENTER
на экране появляется новая
картинка с мигающим
курсором. Последовательно
записывают на экране массу
груза в граммах и,
после нажатия пробела,
величину растяжения пружины.
Нажав на ENTER
переходят на новую строку
и снова записывают массу
груза и величину растяжения
пружины. Допускается
редактирование данных в
пределах последней
строки. Для этого нажав
клавишу Backspase
удаляют неправильное значение
массы или растяжения пружины
и записывают новое значение.
Для изменения данных в других
строках необходимо последовательно
нажать Esc
и ENTER
,
а затем повторить набор
результатов.
После набора данных
нажимают на функциональную
клавишу F2
.
На экране появляются
расчитанные с помощью
метода наименьших
квадратов значения
коэффициента жесткости
пружины и частоты
свободных колебаний маятника.
После нажатия на ENTER
на экране монитора появляется
график зависимости упругой силы
от величины расрастяжения пружины.
Возврат в основное меню происходит
после нажатия любой клавиши.
Эксперимент
-
этот пункт имеет несколько
подпунктов (рис.6).
Рассмотрим особенности
работы каждого из них.
Частота
- в этом режиме
с помощью клавиш управления
курсором осуществляется
задание частоты вынуждающей
силы. В том случае,
если проводится эксперимент
со свободными колебаниями,
то необходимо установить
значение частоты равное 0
.
Старт
- в этом режиме после
нажатия кнопки ENTER
программа начинает снимать
экспериментальную зависимость отклонения
маятника от времени. В
том случае, когда частота
вынуждающей силы равна
нулю, на экране появляется
картина затухающих колебаний.
В отдельном окошке записываются значения частоты колебаний и постоянной
затухания. Если частота возбуждающей
силы не равна нулю, то наряду
с графиками зависимостей отклонения
маятника и вынуждающей
силы от времени на экране
в отдельных окошках записываются
значения
частоты вынуждающей силы и ее амплитуды,
а также измеренных
частоты и амплитуды
колебаний маятника.
Нажав на клавишу Esc
можно
выйти в основное меню.
Сохранить
- если результат
эксперимента удовлетворителен, то
его можно сохранить, нажав на соответствующую клавишу меню.
Нов. Серия
- этот пункт меню используется в
том случае, если возникла необходимость
отказаться от данных текущего эксперимента.
После нажатия клавиши ENTER
в этом режиме из памяти машины
стираются результаты всех предыдущих
экспериментов, и можно начать новую серию измерений.
После проведения эксперимента переходят в режим
Измерения
.
Этот пункт меню имеет несколько подпунктов (рис.7)
График АЧХ
- этот пункт
меню используется после окончания
эксперимента по изучению вынужденных колебаний. На экране монитора
строится амллитудно-частотная
характеристика вынужденных
колебаний.
График ФЧХ
- В этом режиме после окончания эксперимента по
изучению вынужденных
колебаний на экране
монитора строится
фазочастотная характеристика.
Таблица
- этот пункт
меню позволяет выдать на экран
монитора значения амплитуды и фазы
колебаний в зависимости от частоты
вынуждающей силы. Эти данные
переписываются в тетрадь для
отчета по данной работе.
Пункт меню компьютера Выход
- окончание работы программы
(см. например, рис. 7)
Упражнение 1. Определение коэффициента жесткости пружины статическим методом.
Измерения проводятся путем определения удлинения пружины под действием грузов с известными массами. Рекомендуется провести не менее 7-10 измерений удлинения пружины постепенно подвешивая грузы и изменяя тем самым нагрузку от 20 до 150 г. Используя пункт меню работы программы Статистика результаты этих измерений заносят в память компьютера и определяют коэффициент жесткости пружины используя метод наименьших квадратов. В ходе выполнения упражнения необходимо расчитать значение собственной частоты колебаний маятника
Определение 1
Свободные колебания могут совершаться под действием внутренних сил только после выведения из положения равновесия всей системы.
Чтобы колебания совершались согласно гармоническому закону, нужно, чтобы сила, возвращающая тело в положение равновесия, была пропорциональна смещению тела из равновесного положения и направлена в сторону, противоположную смещению.
F (t) = m a (t) = - m ω 2 x (t) .
Соотношение говорит о том, что ω является частотой гармонического колебания. Данное свойство характерно для упругой силы в пределах применимости закона Гука:
F у п р = - k x .
Определение 2
Силы любой природы, которые удовлетворяют условию, называют квазиупругими .
То есть груз с массой m , прикрепляющийся к пружине жесткости k с неподвижным концом, изображенным на рисунке 2 . 2 . 1 , составляют систему, способную совершать гармонические свободные колебания при отсутствии силы трения.
Определение 3
Груз, располагаемый на пружине, называют линейным гармоническим осциллятором.
Рисунок 2 . 2 . 1 . Колебания груза на пружине. Трения нет.
Нахождение круговой частоты ω 0 производится с помощью применения формулы второго закона Ньютона:
m a = - k x = m ω 0 2 x .
Значит, получаем:
Определение 4
Частоту ω 0 называют собственной частотой колебательной системы .
Определение периода гармонических колебаний груза на пружине Т находится из формулы:
T = 2 π ω 0 = 2 π m k .
Горизонтальное расположение системы пружина-груз, сила тяжести компенсируется силой реакции опоры. При подвешивании груза на пружину направление силы тяжести идет по линии движения груза. Положение равновесия растянутой пружины равняется:
x 0 = m g k , тогда как колебания выполняются около нового равновесного состояния. Формулы собственной частоты ω 0 и периода колебаний Т в вышеуказанных выражениях являются справедливыми.
Определение 5
При имеющейся математической связи между ускорением тела а и координатой х поведение колебательной системы характеризуется строгим описанием: ускорение является второй производной координаты тела х по времени t:
Описание второго закона Ньютона с грузом на пружине запишется как:
m a - m x = - k x , или x ¨ + ω 0 2 x = 0 , где свободная частота ω 0 2 = k m .
Если физические системы зависят от формулы x ¨ + ω 0 2 x = 0 , тогда они в состоянии совершать свободные колебательные гармонические движения с различной амплитудой. Это возможно, так как применяется x = x m cos (ω t + φ 0) .
Определение 6Уравнение вида x ¨ + ω 0 2 x = 0 получило название уравнения свободных колебаний . Их физические свойства могут определять только собственную частоту колебаний ω 0 или период Т.
Амплитуда x m и начальная фаза φ 0 находят при помощи способа, который вывел их из состояния равновесия начального момента времени.
Пример 1
При наличии смещенного груза из положения равновесия на расстояние ∆ l и моменте времени, равном t = 0 , производится его опускание без начальной скорости. Тогда x m = ∆ l , φ 0 = 0 . Если груз находился в положении равновесия, то при толчке передается начальная скорость ± υ 0 , отсюда x m = m k υ 0 , φ 0 = ± π 2 .
Амплитуда x m с начальной фазой φ 0 определяются наличием начальных условий.
Рисунок 2 . 2 . 2 . Модель свободных колебаний груза на пружине.
Механические колебательные системы отличаются наличием сил упругих деформаций в каждой из них. Рисунок 2 . 2 . 2 показывает угловой аналог гармонического осциллятора, совершающий крутильные колебания. Диск располагается горизонтально и висит на упругой нити, закрепленной в его центре масс. Если его повернуть на угол θ , тогда возникает момент силы упругой деформации кручения M у п р:
M у п р = - x θ .
Данное выражение не соответствует закону Гука для деформации кручения. Величина x аналогична k жесткости пружины. Запись второго закона Ньютона для вращательного движения диска принимает вид
I ε = M у п р = - x θ или I θ ¨ = - x θ , где моментом инерции обозначается I = I C , а ε – угловое ускорение.
Аналогично с формулой пружинного маятника:
ω 0 = x I , T = 2 π I x .
Применение крутильного маятника замечено в механических часах. Он получил название балансира, в котором создание момента упругих сил производится при помощи спиралевидной пружины.
Рисунок 2 . 2 . 3 . Крутильный маятник.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Пружинный маятник - это колебательная система, состоящая из материальной точки массой т и пружины. Рассмотрим горизонтальный пружинный маятник (рис. 1, а). Он представляет собой массивное тело, просверленное посередине и надетое на горизонтальный стержень, вдоль которого оно может скользить без трения (идеальная колебательная система). Стержень закреплен между двумя вертикальными опорами.
К телу одним концом прикреплена невесомая пружина. Другой ее конец закреплен на опоре, которая в простейшем случае находится в покое относительно инерциальной системы отсчета, в которой происходят колебания маятника. В начале пружина не деформирована, и тело находится в положении равновесия С. Если, растянув или сжав пружину, вывести тело из положения равновесия, то со стороны деформированной пружины на него начнет действовать сила упругости, всегда направленная к положению равновесия.
Пусть мы сжали пружину, переместив тело в положение А, и отпустили . Под действием силы упругости оно станет двигаться ускоренно. При этом в положении А на тело действует максимальная сила упругости, так как здесь абсолютное удлинение x m пружины наибольшее. Следовательно, в этом положении ускорение максимальное. При движении тела к положению равновесия абсолютное удлинение пружины уменьшается, а следовательно, уменьшается ускорение, сообщаемое силой упругости. Но так как ускорение при данном движении сонаправлено со скоростью, то скорость маятника увеличивается и в положении равновесия она будет максимальна.
Достигнув положения равновесия С, тело не остановится (хотя в этом положении пружина не деформирована, и сила упругости равна нулю), а обладая скоростью, будет по инерции двигаться дальше, растягивая пружину. Возникающая при этом сила упругости направлена теперь против движения тела и тормозит его. В точке D скорость тела окажется равной нулю, а ускорение максимально, тело на мгновение остановится, после чего под действием силы упругости начнет двигаться в обратную сторону, к положению равновесия. Вновь пройдя его по инерции, тело, сжимая пружину и замедляя движение, дойдет до точки А (так как трение отсутствует), т.е. совершит полное колебание. После этого движение тела будет повторяться в описанной последовательности. Итак, причинами свободных колебаний пружинного маятника являются действие силы упругости, возникающей при деформации пружины, и инертность тела.
По закону Гука F x = -kx. По второму закону Ньютона F x = ma x . Следовательно, ma x = -kx. Отсюда
Динамическое уравнение движения пружинного маятника.
Видим, что ускорение прямопропорционально смешению и противоположно ему направлено. Сравнивая полученное уравнение с уравнением гармонических колебаний , видим, что пружинный маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой
Период колебаний пружинного маятника.
По этой же формуле можно рассчитывать и период колебаний вертикального пружинного маятника (рис. 1. б). Действительно, в положении равновесия благодаря действию силы тяжести пружина уже растянута на некоторую величину x 0 , определяемую соотношением mg = kx 0 . При смещении маятника из положения равновесия O на х проекция силы упругости