Изобразить на единичной окружности точку соответствующую числу. Тригонометрическая окружность

Учащиеся старших классов никогда не знают, в какой момент у них могут возникнуть проблемы с учебой. Трудности способен доставить любой предмет, изучаемый в школе, начиная от русского языка и заканчивая ОБЖ. Одной из учебных дисциплин, регулярно заставляющих школьников попотеть, является алгебра. Алгебраическая наука начинает терроризировать умы ребят ещё с седьмого класса и продолжает это дело на десятом и одиннадцатом годах обучения. Облегчить себе жизнь подростки могут с помощью разнообразных средств, в число которых неизменно входят решебники.

Сборник ГДЗ для 10-11 классов по алгебре (Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачёва) – это прекрасное дополнение к основной книге. Посредством приведенной в нем справочной информации ученик готов решить любое упражнение. Задания предполагают разбор следующих тем:

тригонометрические функции и уравнения;
логарифмы;
степени.

Представленные ответы и комментарии имеют необходимые авторские пометки, которые обязательно помогут ребенку.

Для чего нужен решебник

Издание даёт возможность всем школьникам самостоятельно проработать материал, а в случае непонимания или пропуска какой-нибудь темы – самому пройти ее без ущерба качеству. Также справочные данные позволяют эффективно подготовиться к грядущим самостоятельным и контрольным работам. Наиболее любознательные учащиеся могут идти по учебной программе вперёд, что в дальнейшем положительно скажется на усвоении знаний и увеличению среднего балла оценки.

Помимо десяти- и одиннадцатиклассников пособием Алимова по алгебре для 10-11 классов вполне могут пользоваться родители и учителя: для первых оно станет инструментом контроля знаний ребенка, а для вторых – основой для разработки своих материалов и тестовых заданий для классных занятий.

Как устроен сборник

Ресурс полностью повторяет структуру учебника. Внутри пользователь имеет возможность просмотреть ответы к 1624 упражнениям, а также к заданиям раздела «Проверь себя», разделенным на тринадцать глав. Ключи доступны круглосуточно, номер можно найти через поисковое поле или посредством удобной навигации.

Урок и презентация на тему: "Числовая окружность на координатной плоскости"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 10 класса от 1С
Алгебраические задачи с параметрами, 9–11 классы
Решаем задачи по геометрии. Интерактивные задания на построение для 7-10 классов

Что будем изучать:
1. Определение.
2. Важные координаты числовой окружности.
3. Как искать координату числовой окружности?
4. Таблица основных координат числовой окружности.
5. Примеры решения задач.

Определение числовой окружности на координатной плоскости

Расположим числовую окружность в координатной плоскости так, чтобы центр окружности совместился с началом координат, а её радиус принимаем за единичный отрезок. Начальная точка числовой окружности A совмещена с точкой (1;0).

Каждая точка числовой окружности имеет в координатной плоскости свои координаты х и у, причем:
1) при $x > 0$, $у > 0$ - в первой четверти;
2) при $х 0$ - во второй четверти;
3) при $х 4) при $х > 0$, $у
Для любой точки $М(х; у)$ числовой окружности выполняются неравенства: $-1
Запомните уравнение числовой окружности: $x^2 + y^2 = 1$.

Нам важно научиться находить координаты точек числовой окружности, представленных на рисунке.

Найдем координату точки $\frac{π}{4}$

Точка $М(\frac{π}{4})$ - середина первой четверти. Опустим из точки М перпендикуляр МР на прямую ОА и рассмотрим треугольник OMP.Так как дуга АМ составляет половину дуги АВ, то $∠MOP=45°$.
Значит, треугольник OMP - равнобедренный прямоугольный треугольник и $OP=MP$, т.е. у точки M абсцисса и ордината равны: $x = y$.
Так как координаты точки $M(х;y)$ удовлетворяют уравнению числовой окружности, то для их нахождения нужно решить систему уравнений:
$\begin {cases} x^2 + y^2 = 1, \\ x = y. \end {cases}$
Решив данную систему, получаем: $y = x =\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Значит, координаты точки M, соответствующей числу $\frac{π}{4}$, будут $M(\frac{π}{4})=M(\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2})$.
Аналогичным образом рассчитываются координаты точек, представленных на предыдущем рисунке.

Координаты точек числовой окружности

Рассмотрим примеры

Пример 1.
Найти координату точки числовой окружности: $Р(45\frac{π}{4})$.

Решение:
$45\frac{π}{4} = (10 + \frac{5}{4}) * π = 10π +5\frac{π}{4} = 5\frac{π}{4} + 2π*5$.
Значит, числу $45\frac{π}{4}$ соответствует та же точка числовой окружности, что и числу $\frac{5π}{4}$. Посмотрев значение точки $\frac{5π}{4}$ в таблице, получаем: $P(\frac{45π}{4})=P(-\frac{\sqrt{2}}{2};-\frac{\sqrt{2}}{2})$.

Пример 2.
Найти координату точки числовой окружности: $Р(-\frac{37π}{3})$.

Решение:

Т.к. числам $t$ и $t+2π*k$, где k-целое число, соответствует одна и та же точка числовой окружности то:
$-\frac{37π}{3} = -(12 + \frac{1}{3})*π = -12π –\frac{π}{3} = -\frac{π}{3} + 2π*(-6)$.
Значит, числу $-\frac{37π}{3}$ соответствует та же точка числовой окружности, что и числу $–\frac{π}{3}$, а числу –$\frac{π}{3}$ соответствует та же точка, что и $\frac{5π}{3}$. Посмотрев значение точки $\frac{5π}{3}$ в таблице, получаем:
$P(-\frac{37π}{3})=P(\frac{{1}}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2})$.

Пример 3.
Найти на числовой окружности точки с ординатой $у =\frac{1}{2}$ и записать, каким числам $t$ они соответствуют?

Решение:
Прямая $у =\frac{1}{2}$ пересекает числовую окружность в точках М и Р. Точка М соответствует числу $\frac{π}{6}$ (из данных таблицы). Значит, и любому числу вида: $\frac{π}{6}+2π*k$. Точка Р соответствует числу $\frac{5π}{6}$, а значит, и любому числу вида $\frac{5π}{6} +2 π*k$.
Получили, как часто говорят в таких случаях, две серии значений:
$\frac{π}{6} +2 π*k$ и $\frac{5π}{6} +2π*k$.
Ответ: $t=\frac{π}{6} +2 π*k$ и $t=\frac{5π}{6} +2π*k$.

Пример 4.
Найти на числовой окружности точки с абсциссой $x≥-\frac{\sqrt{2}}{2}$ и записать, каким числам $t$ они соответствуют.

Решение:

Прямая $x =-\frac{\sqrt{2}}{2}$ пересекает числовую окружность в точках М и Р. Неравенству $x≥-\frac{\sqrt{2}}{2}$ соответствуют точки дуги РМ. Точка М соответствует числу $3\frac{π}{4}$ (из данных таблицы). Значит, и любому числу вида $-\frac{3π}{4} +2π*k$. Точка Р соответствует числу $-\frac{3π}{4}$, а значит, и любому числу вида $-\frac{3π}{4} +2π*k$.

Тогда получим $-\frac{3π}{4} +2 π*k ≤t≤\frac{3π}{4} +2πk$.

Ответ: $-\frac{3π}{4} +2 π*k ≤t≤\frac{3π}{4} +2πk$.

Задачи для самостоятельного решения

1) Найти координату точки числовой окружности: $Р(\frac{61π}{6})$.
2) Найти координату точки числовой окружности: $Р(-\frac{52π}{3})$.
3) Найти на числовой окружности точки с ординатой $у = -\frac{1}{2}$ и записать, каким числам $t$ они соответствуют.
4) Найти на числовой окружности точки с ординатой $у ≥ -\frac{1}{2}$ и записать, каким числам $t$ они соответствуют.
5) Найти на числовой окружности точки с абсциссой $x≥-\frac{\sqrt{3}}{2}$ и записать, каким числам $t$ они соответствуют.

>> Числовая окружность

Изучая курс алгебры 7-9-го классов, мы до сих пор имели дело с алгебраическими функциями, т.е. функциями, заданными аналитически выражениями, в записи которых использовались алгебраические операции над числами и переменной (сложение, вычитание, умножение, деление , возведение в степень, извлечение квадратного корня). Но математические модели реальных ситуаций часто бывают связаны с функциями другого типа, не алгебраическими. С первыми представителями класса неалгебраических функций - тригонометрическими функциями - мы познакомимся в этой главе. Более детально изучать тригонометрические функции и другие виды неалгебраических функций (показательные и логарифмические) вам предстоит в старших классах.
Для введения тригонометрических функций нам понадобится новая математическая модель - числовая окружность, с которой вы до сих пор не встречались, зато хорошо знакомы с числовой прямой. Напомним, что числовая прямая - это прямая, на которой заданы начальная точка О, масштаб (единичный отрезок) и положительное направление. Любое действительное число мы можем сопоставить с точкой на прямой и обратно.

Как по числу х найти на прямой соответствующую точку М? Числу 0 соответствует начальная точка О. Если х > 0, то, двигаясь по прямой из точки 0 в положительном направлении, нужно пройти п^ть длиной х; конец этого пути и будет искомой точкой М(х). Если х < 0, то, двигаясь по прямой из точки О в отрицательном направлении, нужно пройти путь 1*1; конец этого пути и будет искомой точкой М(х). Число х - координата точки М.

А как мы решали обратную задачу, т.е. как искали координату х заданной точки М на числовой прямой? Находили длину отрезка ОМ и брали ее со знаком «+» или * - » в зависимости от того, с какой стороны от точки О расположена на прямой точка М.

Но в реальной жизни двигаться приходится не только по прямой. Довольно часто рассматривается движение по окружности . Вот конкретный пример. Будем считать беговую дорожку стадиона окружностью (на самом деле это, конечно, не окружность, но вспомните, как обычно говорят спортивные комментаторы: «бегун пробежал круг», «до финиша осталось пробежать полкруга» и т.д.), ее длина равна 400 м. Отмечен старт - точка А (рис. 97). Бегун из точки А движется по окружности против часовой стрелки. Где он будет через 200 м? через 400 м? через 800 м? через 1500 м? А где провести финишную черту, если он бежит марафонскую дистанцию 42 км 195 м?

Через 200 м он будет находиться в точке С, диаметрально противоположной точке А (200 м - это длина половины беговой дорожки, т.е. длина половины окружности). Пробежав 400 м (т.е. «один круг», как говорят спортсмены), он вернется в точку А. Пробежав 800 м (т.е. «два круга»), он вновь окажется в точке А. А что такое 1500 м? Это «три круга» (1200 м) плюс еще 300 м, т.е. 3

Беговой дорожки - финиш этой дистанции будет в точке 2) (рис. 97).

Нам осталось разобраться с марафоном. Пробежав 105 кругов, спортсмен преодолеет путь 105-400 = 42 000 м, т.е. 42 км. До финиша остается 195 м, это на 5 м меньше половины длины окружности. Значит, финиш марафонской дистанции будет в точке М, расположенной около точки С (рис. 97).

Замечание. Вы, разумеется, понимаете условность последнего примера. Марафонскую дистанцию по стадиону никто не бегает, максимум составляет 10 000 м, т.е. 25 кругов.

По беговой дорожке стадиона можно пробежать или пройти путь любой длины. Значит, любому положительному числу соответствует какая-то точка - «финиш дистанции». Более того, можно и любому отрицательному числу поставить в соответствие точку окружности: просто надо заставить спортсмена бежать в противоположном направлении, т.е. стартовать из точки А не в направлении против,ав направлении по часовой стрелке. Тогда беговую дорожку стадиона можно рассматривать как числовую окружность.

В принципе, любую окружность можно рассматривать как числовую, но в математике условились использовать для этой цели единичную окружность - окружность с радиусом 1. Это будет наша «беговая дорожка». Длина Ь окружности с радиусом К вычисляется по формуле Длина половины окружности равна n, а длина четверти окружности - АВ, ВС, СБ, DА на рис. 98 - равна Условимся называть дугу АВ первой четвертью единичной окружности, дугу ВС - второй четвертью, дугу СB - третьей четвертью, дугу DА - четвертой четвертью (рис. 98). При этом обычно речь идет об Открытой дуге, т.е. о дуге без ее концов (что-то вроде интервала на числовой прямой).

Определение. Дана единичная окружность, на ней отмечена начальная точка А - правый конец горизонтального диаметра (рис. 98). Поставим в соответствие каждому действительному числу I точку окружности по следующему правилу:

1) если x > 0, то, двигаясь из точки А в направлении против часовой стрелки (положительное направление обхода окружности), опишем по окружности путь длиной и конечная точка М этого пути и будет искомой точкой: М = М(x);

2) если x < 0, то, двигаясь из точки А в направлении по часовой стрелке (отрицательное направление обхода окружности), опишем по окружности путь длиной и |; конечная точка М этого пути и будет искомой точкой: М = М(1);

0 поставим в соответствие точку А: А = А(0).

Единичную окружность с установленным соответствием (между действительными числами и точками окружности) будем называть числовой окружностью.
Пример 1. Найти на числовой окружности
Так как первые шесть из заданных семи чисел положительны, то для отыскания соответствующих им точек на окружности нужно пройти по окружности путь заданной длины, двигаясь из точки А в положительном направлении. Учтем при этом, что

Числу 2 соответствует точка А, так как, пройдя по окружности путь длиной 2, т.е. ровно одну окружность, мы снова попадем в начальную точку А Итак, А = А(2).
Что такое Значит, двигаясь из точки А в положительном направлении, нужно пройти целую окружность.

Замечание. Когда мы в 7-8-м классах работали с числовой прямой, то условились, ради краткости, не говорить «точка прямой, соответствующая числу х», а говорить «точка х». Точно такой же договоренности будем придерживаться и при работе с числовой окружностью: «точка f» - это значит, что речь идет о точке окружности, которая соответствует числу
Пример 2.
Разделив первую четверть АВ на три равные части точками К и Р, получим:

Пример 3. Найти на числовой окружности точки, соответствующие числам
Построения будем делать, пользуясь рис. 99. Отложив дугу АМ (ее длина равна -) от точки А пять раз в отрицательном направлении, получим точку!, - середину дуги ВС. Итак,

Замечание. Обратите внимание на некоторую вольность, которую мы позволяем себе в использовании математического языка. Ясно, что дуга АК и д л ина дуги АК - разные вещи (первое понятие - геометрическая фигура, а второе понятие - число). Но обозначается и то и другое одинаково: АК. Более того, если точки А и К соединить отрезком, то и полученный отрезок, и его длина обозначаются так же: АК. Обычно из контекста бывает ясно, какой смысл вкладывается в обозначение (дуга, длина дуги, отрезок или длина отрезка).

Поэтому нам очень пригодятся два макета числовой окружности.

ПЕРВЫЙ МАКЕТ
Каждая из четырех четвертей числовой окружности разделена на две равные части, и около каждой из имеющихся восьми точек записаны их «имена» (рис. 100).

ВТОРОЙ МАКЕТ Каждая из четырех четвертей числовой окружности разделена на три равные части, и около каждой из имеющихся двенадцати точек записаны их «имена» (рис. 101).

Учтите, что на обоих макетах мы могли бы заданным точкам присвоить и другие «имена».
Заметили ли вы, что во всех разобранных примерах длины дуг
выражались некоторыми долями числа п? Это неудивительно: ведь длина единичной окружности равна 2п, и если мы окружность или ее четверть делим на равные части, то получаются дуги, длины которых выражаются долями числа и. А как вы думаете, можно ли найти на единичной окружности такую точку Е, что длина дуги АЕ будет равна 1? Давайте прикинем:

Рассуждая аналогичным образом, делаем вывод, что на единичной окружности можно найти и точку Ег, для которой АЕ, = 1, и точку Е2, для которой АЕг = 2, и точку Е3, для которой АЕ3 = 3, и точку Е4, для которой АЕ4 = 4, и точку Еь, для которой АЕЪ = 5, и точку Е6, для которой АЕ6 = 6. На рис. 102 отмечены (приблизительно) соответствующие точки (причем для ориентировки каждая из четвертей единичной окружности разделена черточками на три равные части).

Пример 4. Найти на числовой окружности точку, соответствующую числу -7.

Нам нужно, отправляясь из точки А(0) и двигаясь в отрицательном направлении (в направлении по часовой стрелке), пройти по окружности путь длиной 7. Если пройти одну окружность, то получим (приближенно) 6,28, значит, нужно еще пройти (в том же направлении) путь длиной 0,72. Что же это за дуга? Немного меньше половины четверти окружности, т.е. ее длина меньше числа -.

Итак, начисловой окружности, как и начисловой прямой, каждому действительному числу соответствует одна точка (только, разумеется, на прямой ее найти легче, чем на окружности). Но для прямой верно и обратное: каждая точка соответствует единственному числу. Для числовой окружности такое утверждение неверно, выше мы неоднократно убеждались в этом. Для числовой окружности справедливо следующее утверждение.
Если точка М числовой окружности соответствует числу I, то она соответствует и числу вида I + 2як, где к - любое целое число (к е 2).

В самом деле, 2п - длина числовой (единичной) окружности, а целое число |й| можно рассматривать как количество полных обходов окружности в ту или другую сторону. Если, например, к = 3, то это значит, что мы делаем три обхода окружности в положительном направлении; если к = -7, то это значит, что мы делаем семь (| к | = | -71 = 7) обходов окружности в отрицательном направлении. Но если мы находимся в точке М(1), то, выполнив еще | к | полных обходов окружности, мы снова окажемся в точке М.

А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки

Координаты x лежащих на окружности точек равны cos(θ), а координаты y соответствуют sin(θ), где θ - величина угла.

Если вам сложно запомнить данное правило, просто помните, что в паре (cos; sin) "синус стоит на последнем месте".
Это правило можно вывести, если рассмотреть прямоугольные треугольники и определение данных тригонометрических функций (синус угла равен отношению длины противолежащего, а косинус - прилежащего катета к гипотенузе).

Запишите координаты четырех точек на окружности. "Единичная окружность" - это такая окружность, радиус которой равен единице. Используйте это, чтобы определить координаты x и y в четырех точках пересечения координатных осей с окружностью. Выше мы обозначили эти точки для наглядности "востоком", "севером", "западом" и "югом", хотя они не имеют устоявшихся названий.

"Восток" соответствует точке с координатами (1; 0) .
"Север" соответствует точке с координатами (0; 1) .
"Запад" соответствует точке с координатами (-1; 0) .
"Юг" соответствует точке с координатами (0; -1) .
Это аналогично обычному графику, поэтому нет необходимости запоминать эти значения, достаточно помнить основной принцип.

Запомните координаты точек в первом квадранте. Первый квадрант расположен в верхней правой части круга, где координаты x и y принимают положительные значения. Это единственные координаты, которые необходимо запомнить:

Проведите прямые линии и определите координаты точек их пересечения с окружностью. Если вы проведете от точек одного квадранта прямые горизонтальные и вертикальные линии, вторые точки пересечения этих линий с окружностью будут иметь координаты x и y с теми же абсолютными значениями, но другими знаками. Иными словами, можно провести горизонтальные и вертикальные линии от точек первого квадранта и подписать точки пересечения с окружностью теми же координатами, но при этом оставить слева место для правильного знака ("+" или "-").

Для определения знака координат используйте правила симметрии. Существует несколько способов определить, где следует поставить знак "-":

вспомните основные правила для обычных графиков. Ось x отрицательна слева и положительна справа. Ось y отрицательна снизу и положительна сверху;
начните с первого квадранта и проведите линии к другим точкам. Если линия пересечет ось y , координата x изменит свой знак. Если линия пересечет ось x , изменится знак у координаты y ;
запомните, что в первом квадранте положительны все функции, во втором квадранте положителен только синус, в третьем квадранте положителен лишь тангенс, и в четвертом квадранте положителен только косинус;
какой бы метод вы ни использовали, в первом квадранте должно получиться (+,+), во втором (-,+), в третьем (-,-) и в четвертом (+,-).

Проверьте, не ошиблись ли вы. Ниже приведен полный список координат "особых" точек (кроме четырех точек на координатных осях), если двигаться по единичной окружности против часовой стрелки. Помните, что для определения всех этих значений достаточно запомнить координаты точек лишь в первом квадранте:

первый квадрант: ( 3 2 , 1 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}},{\frac {1}{2}}} ); ( 2 2 , 2 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}},{\frac {\sqrt {2}}{2}}} ); ( 1 2 , 3 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}},{\frac {\sqrt {3}}{2}}} );
второй квадрант: ( − 1 2 , 3 2 {\displaystyle -{\frac {1}{2}},{\frac {\sqrt {3}}{2}}} ); ( − 2 2 , 2 2 {\displaystyle -{\frac {\sqrt {2}}{2}},{\frac {\sqrt {2}}{2}}} ); ( − 3 2 , 1 2 {\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{2}},{\frac {1}{2}}} );
третий квадрант: ( − 3 2 , − 1 2 {\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{2}},-{\frac {1}{2}}} ); ( − 2 2 , − 2 2 {\displaystyle -{\frac {\sqrt {2}}{2}},-{\frac {\sqrt {2}}{2}}} ); ( − 1 2 , − 3 2 {\displaystyle -{\frac {1}{2}},-{\frac {\sqrt {3}}{2}}} );
четвертый квадрант: ( 1 2 , − 3 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}},-{\frac {\sqrt {3}}{2}}} ); ( 2 2 , − 2 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}},-{\frac {\sqrt {2}}{2}}} ); ( 3 2 , − 1 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}},-{\frac {1}{2}}} ).

Предыдущая статья: Углерод — характеристика элемента и химические свойства Следующая статья: Чему равна скорость света