Квадратный трёхчлен в функции. Квадратный трёхчлен и его применение к решению задач с параметрами

В которой были рассмотрены функции в составе которых имеется квадратный трёхчлен. Задания на нахождение точек максимума (минимума) или на вычисление наибольшего (наименьшего) значения функции.

Недавно меня попросили рассказать и показать каким образом такие задания можно решить по стандартному алгоритму, то есть через производную. Сразу скажу, что такой подход к решению нерационален, требует больше времени и он «неудобен». Привожу его для вас (чтобы знали).

Рекомендую посмотреть статью « » , также помните, что функций нужно знать наизусть, в теме производной без этого никак нельзя. Также необходимо понимание того, что такое сложная функция, в указанной выше статье имеется видео.

Рассмотрим задачи:

Найдите точку максимума функции

Сначала определим, при каких х функция имеет смысл (найдём область определения функции). Так как подкоренное выражение есть число неотрицательное, то решаем неравенство:

13 + 6х – х 2 ≥ 0

*Как решается квадратное неравенство подробно можно посмотреть .

Данные корни разбивают ось х на три интервала.

Проверим при каких значениях х неравенство будет верным. Подставим из каждого интервала любое значение х в неравенство:

Значит решением неравенства будут являться все значения х принадлежащие интервалу (включая границы):

* Приближенно полученные выражения равны:

Область определения данной функции найдена.

Вычислим производную функции. Это сложная функция:

Найдем нули производной:

Дробь равна нулю тогда, когда её числитель равен нулю, значит:

6 – 2х = 0

х = 3

Полученное значение х входит в область определения и разбивает её на два отрезка. Определим знаки производной на каждом из них (подставим выборочно любые значения в выражение производной), например 2 и 4:

Получили, что в точке х = 3 производная функции меняет свой знак с положительного на отрицательный, а это означает, что данная точка есть точка максимума.

Ответ: 3

Комментарий: представленное решение – это полное, математически грамотное решение, то есть такое как должно быть. О чем я? Дело в том, что для составления «полной картины», в первую очередь необходимо найти область определения. Конечно, можно поспорить. Дело в том, можно сразу находить производную, затем её «нули» и далее установить имеет ли функция значение при этом х. Затем определить знаки в «соседних» точках и станет понятно является ли эта точка точкой максимума (или минимума). Да, можно и так.

Кто проанализировал все типы таких примеров из единого банка заданий ЕГЭ по математике, тот справедливо может сказать, что достаточно вообще найти нули производной, полученное (целое) значение х и будет являться искомым. Согласен! Но понимать суть всего процесса решения «от и до» необходимо.

Если в подобном задании на ЕГЭ будет стоять вопрос о вычислении наибольшего (наименьшего) значения, то оно будет в точке х, полученной при решении f ′(х) = 0 , то есть в «нуле функции».

Найдите точку максимума функции у =log 7 (–2 – 12х – х 2 ) + 10.

Вычислим производную функции, используем формулу производной логарифма и производной сложной функции:

Найдем нули производной:

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю:

– 2х –12 = 0

х = – 6

Данное значение обращает подлогарифмическое выражение в положительное:

–2 – 12∙(–6) – (–6) 2 = 34

то есть оно принадлежит области определения функции.

Определим знаки производной в «соседних» точках, например возьмем точки –7 и –5:

Получили, что в точке х = – 6 производная функции меняет свой знак с положительного на отрицательный, а это означает, что данная точка есть точка максимума функции.

Ответ: –6

Контрольная работа №1 по алгебре в 9 классе

по теме «Функции и их свойства, квадратный трехчлен»

Вариант 1

1. Дана функция f (х) = 17х - 51. При каких значениях аргумента f (х ) =0, f (х ) f (х ) >

х 2 -14х +45; б) 3у 2 +7у- 6.

3. Сократите дробь
.

Рис.

Область определения функции g (рис. 1) отрезок [-2; 6]. Найдите нули функции, промежутки возрастания и убывания, область значений функции.

5. Сумма положительных чисел а и b равна 50. При каких значениях а и b

Вариант 2

1. Дана функция g (х ) = -13х + 65. При каких значениях аргумента g (х ) = 0, g (х ) g (х ) > 0? Является ли эта функция возрастающей или убывающей?

2. Разложите на множители квадратный трехчлен: а) х 2 -10х +21; б) 5у 2 + 9у- 2.

3. Сократите дробь
.

4. Область определения функции f (рис. 2) отрезок [-5; 4]. Найдите нули функции, промежутки возрастания и убывания, класть значений функции.

Рис.

Сумма положительных чисел с и d равна 70. При каких значениях с и d их произведение будет наибольшим?

По учебнику « Алгебра 9 класс» Авторы: под редакцией Ю.Н. Макарычева, Н.Г. Миндюк, К.И.Нешкова, С.Б. Суворова. Издательство: М., «Просвещение», 2008 год

Контрольная работа №2 по алгебре в 9 классе

по теме «квадратичная функция и ее график»

Вариант 1

1. Постройте график функции у = х 2 - 6х + 5. Найдите с помощью графика:

а) значение у при х = 0,5; б) значения х , при которых у = -1;

в) нули функции; промежутки, в которых у > 0 и в которых у

г) промежуток, на котором функция возрастает.

2. Найдите наименьшее значение функции у = х 2 - 8х + 7.

у = х 2 - 6х - 13, где x [-2; 7].

у = х 2 и прямая у = 5х -16. Если точки пересечения существуют, то найдите их координаты.

Вариант 2

1. Постройте график функции у = х 2 - 8х + 13. Найдите с помощью графика:

а) значение у при х = 1,5; б) значения х, при которых у = 2;

в) нули функции; промежутки, в которых у > 0 и в которых y

г) промежуток, в котором функция убывает.

2. Найдите наибольшее значение функции у = -х 2 + 6х – 4.

3. Найдите область значений функции у = x 2 - 4х - 7, где х [-1; 5].

4. Не выполняя построения, определите, пересекаются ли парабола у =х 2 и прямая у =20-3х . Если точки пересечения существуют, то найдите их координаты.

5. Найдите значение выражения
.

Контрольная работа №3 по алгебре в 9 классе

по теме «Уравнения и неравенства с одной переменной»

Вариант 1

1. Решите уравнение: а) х 3 - 81х = 0; б)
.

2. Решите неравенство: а) 2х 2 - 13х + 6 х 2 > 9.

а) (х + 8) (х - 4) (х - 7) > 0; б)

х 4 - 19х 2 + 48 = 0.

5. При каких значениях т уравнение 3х 2 + тх + 3 = 0 имеет два корня?

7. Найдите координаты точек пересечения графиков функций у =
и y = x 2 - 3x +1.

Вариант 2

1. Решите уравнение: а) x 3 - 25x = 0; б)
.

2. Решите неравенство: а) 2х 2 - х - 15 > 0; б) х 2

3. Решите неравенство методом интервалов:

а) (х + 11) (х + 2) (х - 9) > 0.

4. Решите биквадратное уравнение х 4 - 4х 2 - 45 = 0.

5. При каких значениях п уравнение 2х 2 + пх + 8 = 0 не имеет корней?

6. Найдите область определения функции

7. Найдите координаты точек пересечения графиков функций y =
и y =
.

Контрольная работа №4 по алгебре в 9 классе

по теме «Уравнения и неравенства с двумя переменными»

Вариант 1

1. Решите систему уравнений:

2 x + y = 7,

х 2 - у = 1.

5. Решите систему уравнений:

2 y - х = 7,

х 2 – ху - у 2 = 20.

Вариант 2

1. Решите систему уравнений

x - 3y = 2,

xy + y = 6.

5. Решите систему уравнений:

y - 3x = l,

х 2 - 2ху + у 2 = 9.

Контрольная работа №5 по алгебре в 9 классе

по теме «Арифметическая прогрессия»

Вариант 1

1. Найдите двадцать третий член арифметической прогрессии (а n ), если а 1 = -15 и d = 3.

2. Найдите сумму шестнадцати первых членов арифметической прогрессии: 8; 4; 0; ....

3. Найдите сумму шестидесяти первых членов последовательности (b n), заданной формулой b n = 3п - 1.

4. Является ли число 54,5 членом арифметической прогрессии (а n ), в которой а 1 = 25,5 и а 9 = 5,5?

5. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 3 и не превосходящих 100.

Вариант 2

1. Найдите восемнадцатый член арифметической прогрессии (а n ),, если а 1 = 70 и d = -3.

2. Найдите сумму двадцати первых членов арифметической прогрессии: -21; -18; -15; ....

3. Найдите сумму сорока первых членов последовательности (b n), заданной формулой b n = 4п - 2.

4. Является ли число 30,4 членом арифметической прогрессии (а n ), в которой а 1 = 11,6 и а 15 = 17,2?

5. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 7 и не превосходящих 150.

Контрольная работа №6 по алгебре в 9 классе

по теме «Геометрическая прогрессия»

Вариант 1

1. Найдите седьмой член геометрической прогрессии (b n), если b 1 = -32 и q =
.

b n), равен 2, а знаменатель равен 3. Найдите сумму шести первых членов это прогрессии.

3. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии: 24; -12; 6; ....

4. Найдите сумму девяти первых членов геометрической прогрессии (b n), b 2 = 0,04 и b 4 = 0,16.

5. Представьте в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную дробь: а) 0,(27); б) 0,5(6).

Вариант 2

1. Найдите шестой член геометрической прогрессии (b n), если b 1 = 0,81 и q = -
.

2. Первый член геометрической прогрессии (b n), равен 6, а знаменатель равен 2. Найдите сумму семи первых членов это прогрессии.

3. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии: -40; 20; -10; ... .

4. Найдите сумму восьми первых членов геометрической прогрессии (b n), с положительными членами, зная, что b 2 = 1,2 и b 4 = 4,8.

5. Представьте в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную дробь: а) 0,(153); б) 0,3(2).

Контрольная работа №7 по алгебре в 9 классе

по теме «Элементы комбинаторики и теории вероятности»

Вариант 1

1. Сколькими способами могут разместиться 5 человек в салоне автобуса на пяти свободных местах.

2. Сколько трехзначных чисел, в которых нет одинаковых цифр, можно составить из цифр 1, 2, 5, 7, 9?

3. Победителю конкурса книголюбов разрешается выбрать две книги из 10 различных книг. Сколькими способами он может осуществить этот выбор?

4. В доме 90 квартир, которые распределяются по жребию. Какова вероятность того, что жильцу не достанется квартира на первом этаже, если таких квартир 6?

5. Из 8 мальчиков и 5 девочек надо выделить для работы на пришкольном участке 3 мальчиков и 2 девочек. Сколькими способами это можно сделать?

6. На четырех карточках записаны цифры 1, 3, 5, 7. Карточки перевернули и перемешали. Затем наугад последовательно положили эти карточки в ряд одну за другой и открыли. Какова вероятность того, что в результате получится число 3157?

Вариант 2

1. Сколько шестизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 5, 7, 9 без повторений цифр?

2. Из 8 учащихся класса, успешно выступивших на школьной олимпиаде, надо выбрать двух для участия в городской олимпиаде. Сколькими способами можно сделать этот выбор?

3. Из 15 туристов надо выбрать дежурного и его помощника. Какими способами это можно сделать?

4. Из 30 книг, стоящих на полке, 5 учебников, а остальные художественные произведения. Наугад берут с полки одну книгу. Какова вероятность того, что она не окажется учебником?

5. Из 9 книг и 6 журналов надо выбрать 2 книги и 3 журнала. Сколькими способами можно сделать этот выбор?

6. На пяти карточках написаны буквы а, в, и, л, с. Карточки перевернули и перемешали. Затем наугад последовательно эти карточки положили в ряд и открыли. Какова вероятность того, что в результате получится слово "слива"?

Итоговая контрольная работа по алгебре в 9 классе

Вариант 1

1. Упростите выражение:
.

2. Решите систему уравнений:

x - у = 6,

ху = 16.

4. Представьте выражение
в виде степени с основанием а.

5. Постройте график функции у = х 2 - 4. Укажите, при каких значениях х функция принимает положительные значения.

6. В фермерском хозяйстве под гречиху было отведено два участка. С первого участка собрали 105 ц гречихи, а со второго, площадь которого на 3 га больше, собрали 152 ц. Найдите площадь каждого участка, если известно, что урожайность гречихи на первом участке была на 2 ц с 1 га больше, чем на втором.

5. Постройте график функции у = -х 2 + 1. Укажите, при каких значениях х функция принимает отрицательные значения.

6. Из пункта А в пункт В , расстояние между которыми 45 км, выехал велосипедист. Через 30 мин вслед за ним выехал второй велосипедист, который прибыл в пункт B на 15 мин раньше первого. Какова скорость первого велосипедиста, если она на 3 км/ч меньше скорости второго?

Предыдущая статья: Чему равна скорость света Следующая статья: Углерод — характеристика элемента и химические свойства