Трифанова Марина Анатольевна
учитель математики, МОУ "Гимназия № 48 (многопрофильная)", г. Талнах
Триединая цель урока :
Образовательная:
систематизация и обобщение знаний по решению уравнений высших степеней.
Развивающая:
содействовать развитию логического мышления, умения самостоятельно работать, навыков взаимоконтроля и самоконтроля, умений говорить и слушать.
Воспитывающая:
выработка привычки к постоянной занятости, воспитание отзывчивости, трудолюбия, аккуратности.
Тип урока :
урок комплексного применения знаний, умений и навыков.
Форма урока :
проветривание, физминутка, разнообразные формы работы.
Оборудование:
опорные конспекты, карточки с заданиями, матрица мониторинга урока.
ХОД УРОКА
I. Организационный момент
На доске написаны уравнения и ответы для каждого из них. Учащиеся проверяют ответы и дают краткий анализ решения каждого уравнения или отвечают на вопросы учителя (фронтальный опрос). Самоконтроль – учащиеся выставляют себе оценки и сдают тетради на проверку учителю для коррекции оценок или их утверждения. Школа оценок записана на доске:
“5+” - 6 уравнений;
“5” - 5 уравнений;
“4” - 4 уравнения;
“3” - 3 уравнения.
Вопросы учителя по домашнему заданию:
1 уравнение
2 уравнение
3 уравнение
4 уравнение
5 уравнение
6 уравнение
II. Работа по группам – основная часть урока.
Класс делится на 4 группы. Каждой группе дается карточка с теоретическим и практическим (Приложение 3) вопросами: “Разобрать предложенный способ решения уравнения и объяснить его на данном примере”.
Работа в группах продолжается по карточкам № 5 – 8. На каждое уравнение дается 5 минут на обсуждение в группе. Затем у доски идет отчет по данному уравнению – краткий анализ решения. Уравнение может быть решено не до конца – дорабатывается дома, но последовательность его решения в классе обговаривается вся.
III. Самостоятельная работа. Приложение 4 .
IV. Итог урока.
Домашнее задание.
Оформить решение незаконченных уравнений. Подготовиться к контрольному срезу.
Выставление оценок.
Основные цели:
Формы, методы и педагогические приемы, которые используются учителем на уроке:
План урока:
Конспект урока
1. Организационный момент.
Формулировка темы урока: “Уравнения высших степеней. Методы их решения”.
2. Актуализация знаний учащихся.
Теоретический опрос – беседа. Повторение некоторых ранее изученных сведений из теории. Учащиеся формулируют основные определения и дают формулировки необходимых теорем. Приводят примеры, демонстрируя уровень полученных ранее знаний.
3. Изучение новой темы.
Будем рассматривать целое рациональное уравнение n -й степени стандартного вида с одной неизвестной переменной x: P n (x) = 0 , где P n (x) = a n x n + a n-1 x n-1 + a 1 x + a 0 – многочлен n -й степени от x , a n ≠ 0 . Если a n = 1 то такое уравнение называют приведенным целым рациональным уравнением n -й степени. Рассмотрим такие уравнения при различных значениях n и перечислим основные методы их решения.
n = 1 – линейное уравнение.
n = 2 – квадратное уравнение. Формула дискриминанта. Формула для вычисления корней. Теорема Виета. Выделение полного квадрата.
n = 3 – кубическое уравнение.
Метод группировки.
Пример: x 3 – 4x 2 – x + 4 = 0 (x – 4)(x 2 – 1) = 0 x 1 = 4 , x 2 = 1, x 3 = -1.
Возвратное кубическое уравнение вида ax 3 + bx 2 + bx + a = 0. Решаем, объединяя члены с одинаковыми коэффициентами.
Пример: x 3 – 5x 2 – 5x + 1 = 0 (x + 1)(x 2 – 6x + 1) = 0 x 1 = -1, x 2 = 3 + 2, x 3 = 3 – 2.
Подбор Z-корней на основании теоремы. Схема Горнера. При применении этого метода необходимо сделать акцент на том, что перебор в данном случае конечный, и корни мы подбираем по определенному алгоритму в соответствии с теоремой о Z -корнях приведенного целого рационального уравнения с целыми коэффициентами.
Пример: x 3 – 9x 2 + 23x – 15 = 0. Уравнение приведенное. Выпишем делители свободного члена {+ 1; + 3; + 5; + 15}. Применим схему Горнера:
x 3 | x 2 | x 1 | x 0 | вывод | |
1 | -9 | 23 | -15 | ||
1 | 1 | 1 х 1 – 9 = -8 | 1 х (-8) + 23 = 15 | 1 х 15 – 15 = 0 | 1 – корень |
x 2 | x 1 | x 0 |
Получаем (x – 1)(x 2 – 8x + 15) = 0 x 1 = 1, x 2 = 3, x 3 = 5.
Уравнение с целыми коэффициентами. Подбор Q-корней на основании теоремы. Схема Горнера. При применении этого метода необходимо сделать акцент на том, что перебор в данном случае конечный и корни мы подбираем по определенному алгоритму в соответствии с теоремой о Q -корнях неприведенного целого рационального уравнения с целыми коэффициентами.
Пример: 9x 3 + 27x 2 – x – 3 = 0. Уравнение неприведенное. Выпишем делители свободного члена {+ 1; + 3}. Выпишем делители коэффициента при старшей степени неизвестного. {+ 1; + 3; + 9} Следовательно, корни будем искать среди значений {+ 1; + ; + ; + 3}. Применим схему Горнера:
x 3 | x 2 | x 1 | x 0 | вывод | |
9 | 27 | -1 | -3 | ||
1 | 9 | 1 x 9 + 27 = 36 | 1 x 36 – 1 = 35 | 1 x 35 – 3 = 32 ≠ 0 | 1 – не корень |
-1 | 9 | -1 x 9 + 27 = 18 | -1 x 18 – 1 = -19 | -1 x (-19) – 3 = 16 ≠ 0 | -1 – не корень |
9 | x 9 + 27 = 30 | x 30 – 1 = 9 | x 9 – 3 = 0 | корень | |
x 2 | x 1 | x 0 |
Получаем (x – )(9x 2 + 30x + 9) = 0 x 1 = , x 2 = - , x 3 = -3.
Для удобства подсчета при подборе Q-корней бывает удобно сделать замену переменной, перейти к приведенному уравнению и подбирать Z-корни .
Формула Кардано. Существует универсальный метод решения кубических уравнений – это формула Кардано. Эту формулу связывают с именами итальянских математиков Джероламо Кардано (1501–1576), Николо Тарталья (1500–1557), Сципиона дель Ферро (1465–1526). Эта формула лежит за рамками нашего курса.
n = 4 – уравнение четвертой степени.
Метод группировки.
Пример: x 4 + 2x 3 + 5x 2 + 4x – 12 = 0 (x 4 + 2x 3) + (5x 2 + 10x ) – (6x + 12) = 0 (x + 2)(x 3 + 5x – 6) = 0 (x + 2)(x – 1)(x 2 + x + 6) = 0 x 1 = -2, x 2 = 1.
Метод замены переменной.
Пример: x 4 + 5x 2 – 36 = 0. Замена y = x 2 . Отсюда y 1 = 4, y 2 = -9. Поэтому x 1,2 = + 2 .
Решаем, объединяя члены с одинаковыми коэффициентами, путем замены вида
Пример 3. Замена общего вида (вытекает из вида конкретного уравнения).
n = 3.
Уравнение с целыми коэффициентами. Подбор Q-корней n = 3.
Формула общего вида. Существует универсальный метод решения уравнений четвертой степени. Эту формулу связывают с именем Людовико Феррари (1522–1565). Эта формула лежит за рамками нашего курса.
n > 5 – уравнения пятой и более высоких степеней.
Уравнение с целыми коэффициентами. Подбор Z-корней на основании теоремы. Схема Горнера. Алгоритм аналогичен рассмотренному выше для n = 3.
Уравнение с целыми коэффициентами. Подбор Q-корней на основании теоремы. Схема Горнера. Алгоритм аналогичен рассмотренному выше для n = 3.
Симметрические уравнения. Любое возвратное уравнение нечетной степени имеет корень x = -1 и после разложения его на множители получаем, что один сомножитель имеет вид (x + 1), а второй сомножитель – возвратное уравнение четной степени (его степень на единицу меньше, чем степень исходного уравнения). Любое возвратное уравнение четной степени вместе с корнем вида x = φ содержит и корень вида . Используя эти утверждения, решаем задачу, понижая степень исследуемого уравнения.
Метод замены переменной. Использование однородности.
Не существует формулы общего вида для решения целых уравнений пятой степени (это показали итальянский математик Паоло Руффини (1765–1822) и норвежский математик Нильс Хенрик Абель (1802–1829)) и более высоких степеней (это показал французский математик Эварист Галуа (1811–1832)).
4. Подведение итогов.
Резюме: Теперь мы овладели основными методами решения различных уравнений высших степеней (для n > 3). Наша задача научиться эффективно использовать перечисленные выше алгоритмы. В зависимости от вида уравнения мы должны будем научиться определять, какой способ решения в данном случае является наиболее эффективным, а также правильно применять выбранный метод.
5. Домашнее задание.
: п.7, стр. 164–174, №№ 33–36, 39–44, 46,47.
: №№ 9.1–9.4, 9.6–9.8, 9.12, 9.14–9.16, 9.24–9.27.
Возможные темы докладов или рефератов по данной тематике:
Анализ усвоения материала и интереса учащихся к теме:
Опыт показывает, что интерес учащихся в первую очередь вызывает возможность подбора Z -корней и Q -корней уравнений при помощи достаточно простого алгоритма с использованием схемы Горнера. Также учащиеся интересуются различными стандартными типами замены переменных, которые позволяют существенно упрощать вид задачи. Особый интерес обычно вызывают графические методы решения. В этом случае дополнительно можно разобрать задачи на графический метод решения уравнений; обсудить общий вид графика для многочлена 3, 4, 5 степени; проанализировать, как связано число корней уравнений 3, 4, 5 степени с видом соответствующего графика. Ниже приведен список книг, в которых можно найти дополнительную информацию по данной тематике.
Список литературы:
Методы решения уравнений: n n n Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x) = g(x) Разложение на множители. Введение новой переменной. Функционально – графический метод. Подбор корней. Применение формул Виета.
Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x) = g(x). Метод можно применять только в том случае, когда y = h(x) – монотонная функция, которая каждое свое значение принимает по одному разу. Если функция немонотонная, то возможна потеря корней.
Решить уравнение (3 x + 2)²³ = (5 x – 9)²³ y = x ²³ возрастающая функция, поэтому от уравнения (3 x + 2)²³ = (5 x – 9)²³ можно перейти к уравнению 3 x + 2 = 5 x – 9, откуда находим x = 5, 5. Ответ: 5, 5.
Разложение на множители. Уравнение f(x)g(x)h(x) = 0 можно заменить совокупностью уравнений f(x) = 0; g(x) = 0; h(x) = 0. Решив уравнения этой совокупности, нужно взять те их корни, которые принадлежат области определения исходного уравнения, а остальные отбросить как посторонние.
Решить уравнение x³ – 7 x + 6 = 0 Представив слагаемое 7 x в виде x + 6 x, получим последовательно: x³ – x – 6 x + 6 = 0 x(x² – 1) – 6(x – 1) = 0 x(x – 1)(x + 1) – 6(x – 1) = 0 (x – 1)(x² + x – 6) = 0 Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений x – 1 = 0; x² + x – 6 = 0. Ответ: 1, 2, – 3.
Введение новой переменной. Если уравнение y(x) = 0 удалось преобразовать к виду p(g(x)) = 0, то нужно ввести новую переменную u = g(x), решить уравнение p(u) = 0, а затем решить совокупность уравнений g(x) = u 1; g(x) = u 2; … ; g(x) = un , где u 1, u 2, … , un – корни уравнения p(u) = 0.
Решить уравнение Особенностью этого уравнения является равенство коэффициентов его левой части, равноудаленных от ее концов. Такие уравнения называют возвратными. Поскольку 0 не является корнем данного уравнения, делением на x² получаем
Введем новую переменную Тогда Получаем квадратное уравнение Так корень y 1 = – 1 можно не рассматривать. Получим Ответ: 2, 0, 5.
Решите уравнение 6(x² – 4)² + 5(x² – 4)(x² – 7 x +12) + (x² – 7 x + 12)² = 0 Данное уравнение может быть решено как однородное. Поделим обе части уравнения на (x² – 7 x +12)² (ясно, что значения x такие, что x² – 7 x +12=0 решениями не являются). Теперь обозначим Имеем Отсюда Ответ:
Функционально – графический метод. Если одна из функций у = f(x), y = g(x) возрастает, а другая – убывает, то уравнение f(x) = g(x) либо не имеет корней, либо имеет один корень.
Решить уравнение Достаточно очевидно, что x = 2 – корень уравнения. Докажем, что это единственный корень. Преобразуем уравнение к виду Замечаем, что функция возрастает, а функция убывает. Значит, уравнение имеет только один корень. Ответ: 2.
Подбор корней n n n Теорема 1: Если целое число m является корнем многочлена с целыми коэффициентами, то свободный член многочлена делится на m. Теорема 2: Приведенный многочлен с целыми коэффициентами не имеет дробных корней. Теорема 3: – уравнение с целыми Пусть коэффициентами. Если число и дробь где p и q – целые числа несократима, является корнем уравнения, то p есть делитель свободного члена an , а q – делитель коэффициента при старшем члене a 0.
Теорема Безу. Остаток при делении любого многочлена на двучлен (x – a) равен значению делимого многочлена при x = a. Следствия теоремы Безу n n n n Разность одинаковых степеней двух чисел делится без остатка на разность этих же чисел; Разность одинаковых четных степеней двух чисел делится без остатка как на разность этих чисел, так и на их сумму; Разность одинаковых нечетных степеней двух чисел не делится на сумму этих чисел; Сумма одинаковых степеней двух не чисел делится на разность этих чисел; Сумма одинаковых нечетных степеней двух чисел делится без остатка на сумму этих чисел; Сумма одинаковых четных степеней двух чисел не делится как на разность этих чисел, так и на их сумму; Многочлен делится нацело на двучлен (x – a) тогда и только тогда, когда число a является корнем данного многочлена; Число различных корней многочлена, отличного от нуля, не более чем его степень.
Решить уравнение x³ – 5 x² – x + 21 = 0 Многочлен x³ – 5 x² – x + 21 имеет целые коэффициенты. По теореме 1 его целые корни, если они есть, находятся среди делителей свободного члена: ± 1, ± 3, ± 7, ± 21. Проверкой убеждаемся в том, что число 3 является корнем. По следствию из теоремы Безу многочлен делится на (x – 3). Таким образом, x³– 5 x² – x + 21 = (x – 3)(x²– 2 x – 7). Ответ:
Решить уравнение 2 x³ – 5 x² – x + 1 = 0 По теореме 1 целыми корнями уравнения могут быть только числа ± 1. Проверка показывает, что данные числа не являются корнями. Так как уравнение не является приведенным, то оно может иметь дробные рациональные корни. Найдем их. Для этого умножим обе части уравнения на 4: 8 x³ – 20 x² – 4 x + 4 = 0 Сделав подстановку 2 x = t, получим t³ – 5 t² – 2 t + 4 = 0. По тереме 2 все рациональные корни данного приведенного уравнения должны быть целыми. Их можно найти среди делителей свободного члена: ± 1, ± 2, ± 4. В данном случае подходит t = – 1. Следовательно По следствию из теоремы Безу многочлен 2 x³ – 5 x² – x + 1 делится на (x + 0, 5): 2 x³ – 5 x² – x + 1 = (x + 0, 5)(2 x² – 6 x + 2) Решив квадратное уравнение 2 x² – 6 x + 2 = 0, находим остальные корни: Ответ:
Решить уравнение 6 x³ + x² – 11 x – 6 = 0 По теореме 3 рациональные корни этого уравнения следует искать среди чисел Подставляя их поочередно в уравнение, найдем, что удовлетворяют уравнению. Ими и исчерпываются все корни уравнения. Ответ:
Найти сумму квадратов корней уравнения x³ + 3 x² – 7 x +1 = 0 По теореме Виета Заметим, что откуда
Укажите, каким методом можно решить каждое из данных уравнений. Решите уравнения № 1, 4, 15, 17.
Ответы и указания: 1. Введение новой переменной. 2. Функционально – графический метод. 3. Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x) = g(x). 4. Разложение на множители. 5. Подбор корней. 6 Функционально – графический метод. 7. Применение формул Виета. 8. Подбор корней. 9. Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x) = g(x). 10. Введение новой переменной. 11. Разложение на множители. 12. Введение новой переменной. 13. Подбор корней. 14. Применение формул Виета. 15. Функционально – графический метод. 16. Разложение на множители. 17. Введение новой переменной. 18. Разложение на множители.
1. Указание. Запишите уравнение в виде 4(x²+17 x+60)(x+16 x+60)=3 x², Разделите обе его части на x². Введите переменную Ответ: x 1 = – 8; x 2 = – 7, 5. 4. Указание. Прибавьте к левой части уравнения 6 y и – 6 y и запишите его в виде (y³ – 2 y²) + (– 3 y² + 6 y) + (– 8 y + 16) = (y – 2)(y² – 3 y – 8). Ответ:
14. Указание. По теореме Виета Так как – целые числа, то корнями уравнения могут быть только числа – 1, – 2, – 3. Ответ: 15. Ответ: – 1. 17. Указание. Разделите обе части уравнения на x² и запишите его в виде Введите переменную Ответ: 1; 1, 5; 2; 3.
Библиография. n n n Колмогоров А. Н. «Алгебра и начала анализа, 10 – 11» (М. : Просвещение, 2003). Башмаков М. И. «Алгебра и начала анализа, 10 – 11» (М. : Просвещение, 1993). Мордкович А. Г. «Алгебра и начала анализа, 10 – 11» (М. : Мнемозина, 2003). Алимов Ш. А. , Колягин Ю. М. и др. «Алгебра и начала анализа, 10 – 11» (М. : Просвещение, 2000). Галицкий М. Л. , Гольдман А. М. , Звавич Л. И. «Сборник задач по алгебре, 8 – 9» (М. : Просвещение, 1997). Карп А. П. «Сборник задач по алгебре и началам анализа, 10 – 11» (М. : Просвещение, 1999). Шарыгин И. Ф. «Факультативный курс по математике, решение задач, 10» (М. : Просвещение. 1989). Скопец З. А. «Дополнительные главы по курсу математики, 10» (М. : Просвещение, 1974). Литинский Г. И. «Уроки математики» (М. : Аслан, 1994). Муравин Г. К. «Уравнения, неравенства и их системы» (Математика, приложение к газете «Первое сентября» , № 2, 3, 2003). Колягин Ю. М. «Многочлены и уравнения высших степеней» (Математика, приложение к газете «Первое сентября» , № 3, 2005).
«Методы решения уравнений высших степеней»
( Киселёвские чтения )
Учитель математики Афанасьева Л.А
МКОУ Верхнекарачанская СОШ
Грибановского района, Воронежской области
2015 год
Математическое образование, получаемое в общеобразовательной школе, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры современного человека.
Известный немецкий математик Курант писал: «На протяжении двух с лишним тысячелетий обладание некоторыми, не слишком поверхностными, знаниями в области математики входило необходимой составной частью в интеллектуальный инвентарь каждого образованного человека». И среди этих знаний не последнее место принадлежит умению решать уравнения.
Уже в древности люди осознали, как важно научиться решать алгебраические уравнения. Около 4000 лет назад вавилонские ученые владели решением квадратного уравнения и решали системы двух уравнений, из которых одно – второй степени. С помощью уравнений решались разнообразные задачи землемерия, архитектуры и военного дела, к ним сводились многие и разнообразные вопросы практики и естествознания, так как точный язык математики позволяет просто выразить факты и соотношения, которые, будучи изложенными обычным языком, могут показаться запутанными и сложными. Уравнение одно из важнейших понятий математики. Развитие методов решения уравнений, начиная с зарождения математики как науки, долгое время было основным предметом изучения алгебры. И сегодня на уроках математики, начиная с первой ступени обучения, решению уравнений различных видов уделяется большое внимание.
Универсальной формулы для нахождения корней алгебраического уравнения n – ой степени нет. Многим, разумеется, приходила в голову заманчивая мысль найти для любой степени n формулы, которые выражали бы корни уравнения через его коэффициенты, то есть, решали бы уравнение в радикалах. Однако «мрачное средневековье» оказалось как нельзя более мрачным и в отношении обсуждаемой задачи – в течение целых семи столетий требуемых формул никто не нашёл! Только в 16 веке итальянским математикам удалось продвинуться дальше – найти формулы для n =3 и n =4 . Одновременно вопросом об общем решении уравнений 3-й степени занимались Сципион Даль Ферро, его ученик Фиори и Тарталья. В 1545 году вышла книга итальянского математика Д Кардано «Великое искусство, или О правилах алгебры», где наряду с другими вопросами алгебры рассматриваются общие способы решения кубических уравнений, а так же метод решения уравнений 4 – й степени, открытый его учеником Л. Феррари. Полное изложение вопросов, связанных с решением уравнений 3-й 4-й степеней, дал Ф. Виет. А в 20-х годах 19 века норвежский математик Н. Абель доказал, что корни уравнений 5-й и более высоких степеней не могут быть выражены через радикалы.
Процесс отыскания решений уравнения заключается обычно в замене уравнения равносильным. Замена уравнения равносильным основана на применении четырёх аксиом:
1. Если равные величины увеличить на одно и то же число, то результаты будут равны.
2. Если из равных величин вычесть одно и то же число, то результаты будут равны.
3. Если равные величины умножить на одно и то же число, то результаты будут равны.
4. Если равные величины разделить на одно и то же число, то результаты будут равны.
Поскольку левая часть уравнения Р(х) = 0 представляет собой многочлен n-й степени, то полезно напомнить следующие утверждения:
Утверждения о корнях многочлена и его делителях:
1. Многочлен n-й степени имеет число корней не превышающее число n, причем корни кратности m встречаются ровно m раз.
2. Многочлен нечетной степени имеет хотя бы один действительный корень.
3. Если α – корень Р(х), то Р n (х) = (х — α)·Q n — 1 (x), где Q n — 1 (x) – многочлен степени (n – 1).
4. Всякий целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем свободного члена.
5. Приведенный многочлен с целыми коэффициентами не может иметь дробных рациональных корней.
6. Для многочлена третьей степени
Р 3 (х) = ах 3 + bx 2 + cx + d возможно одно из двух: либо он разлагается в произведение трех двучленов
Р 3 (x) = а (х — α)(х — β)(х — γ), либо разлагается в произведение двучлена и квадратного трехчлена Р 3 (x) = а(х — α)(х 2 + βх + γ).
7. Любой многочлен четвертой степени раскладывается в произведение двух квадратных трехчленов.
8. Многочлен f (x) делится на многочлен g(х) без остатка, если существует многочлен q(x), что f(x) = g(x)·q(x). Для деления многочленов применяется правило «деления уголком».
9. Для делимости многочлена P(x) на двучлен (x – c) необходимо и достаточно, чтобы с было корнем P(x) (Следствие теоремы Безу).
10. Теорема Виета: Если х 1 , х 2 , …, х n – действительные корни многочлена
Р(х) = а 0 х n + а 1 х n — 1 + … + а n , то имеют место следующие равенства:
х 1 + х 2 + … + х n = -а 1 /а 0 ,
х 1 · х 2 + х 1 · х 3 + … + х n — 1 · х n = a 2 /а 0 ,
х 1 · х 2 · х 3 + … + х n — 2 · х n — 1 · х n = -a 3 /а 0 ,
х 1 · х 2 · х 3 · х n = (-1) n a n /а 0 .
Решение примеров
Пример 1 . Найти остаток от деления Р(х) = х 3 + 2/3 x 2 – 1/9 на (х – 1/3).
Решение. По следствию из теоремы Безу: «Остаток от деления многочлена на двучлен (х — с) равен значению многочлена от с». Найдем Р(1/3) = 0. Следовательно, остаток равен 0 и число 1/3 – корень многочлена.
Ответ: R = 0.
Пример 2 . Разделить «уголком» 2х 3 + 3x 2 – 2х + 3 на (х + 2). Найти остаток и неполное частное.
Решение:
2х 3 + 3x 2 – 2х + 3| х + 2
2х 3 + 4x 2 2x 2 – x
X 2 – 2x
X 2 – 2x
Ответ: R = 3; частное: 2х 2 – х.
Основные методы решения уравнений высших степеней
1. Введение новой переменной
Метод введения новой переменной заключается в том, что для решения уравнения f(x) = 0 вводят новую переменную (подстановку) t = x n или t = g(х) и выражают f(x) через t, получая новое уравнение r(t). Решая затем уравнение r(t), находят корни: (t 1 , t 2 , …, t n). После этого получают совокупность n уравнений q(x) = t 1 , q(x) = t 2 , … , q(x) = t n , из которых находят корни исходного уравнения.
Пример; (х 2 + х + 1) 2 – 3х 2 — 3x – 1 = 0.
Решение: (х 2 + х + 1) 2 – 3х 2 — 3x – 1 = 0.
(х 2 + х + 1) 2 – 3(х 2 + x + 1) + 3 – 1 = 0.
Замена (х 2 + х + 1) = t.
t 2 – 3t + 2 = 0.
t 1 = 2, t 2 = 1. Обратная замена:
х 2 + х + 1 = 2 или х 2 + х + 1 = 1;
х 2 + х — 1 = 0 или х 2 + х = 0;
Из первого уравнения: х 1, 2 = (-1 ± √5)/2, из второго: 0 и -1.
Метод введения новой переменной находит применение при решении возвратных уравнений, то есть уравнений вида а 0 х n + а 1 х n – 1 + .. + а n – 1 х + а n =0, в котором коэффициенты членов уравнения, одинаково отстоящих от начала и конца, равны.
2. Разложение на множители методом группировки и формул сокращенного умножения
Основа данного метода заключается в группировке слагаемых таким образом, чтобы каждая группа содержала общий множитель. Для этого иногда приходится применять некоторые искусственные приемы.
Пример: х 4 — 3x 2 + 4х – 3 = 0.
Решение. Представим — 3x 2 = -2x 2 – x 2 и сгруппируем:
(х 4 — 2x 2) – (x 2 — 4х + 3) = 0.
(х 4 — 2x 2 +1 – 1) – (x 2 — 4х + 3 + 1 – 1) = 0.
(х 2 – 1) 2 – 1 – (x – 2) 2 + 1 = 0.
(х 2 – 1) 2 – (x – 2) 2 = 0.
(х 2 – 1 – х + 2)(х 2 – 1 + х — 2) = 0.
(х 2 – х + 1)(х 2 + х — 3) = 0.
х 2 – х + 1 = 0 или х 2 + х — 3 = 0.
В первом уравнении нет корней, из второго: х 1, 2 = (-1 ± √13)/2.
3. Разложение на множители методом неопределенных коэффициентов
Суть метода состоит в том, что исходный многочлен раскладывается на множители с неизвестными коэффициентами. Используя свойство, что многочлены равны, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях, находят неизвестные коэффициенты разложения.
Пример: х 3 + 4x 2 + 5х + 2 = 0.
Решение. Многочлен 3-й степени можно разложить в произведение линейного и квадратного множителей.
х 3 + 4x 2 + 5х + 2 = (х — а)(x 2 + bх + c),
х 3 + 4x 2 + 5х + 2 = х 3 +bx 2 + cх — ax 2 — abх — ac,
х 3 + 4x 2 + 5х + 2 = х 3 + (b – a)x 2 + (c – ab)х – ac.
Решив систему:
получим
х 3 + 4x 2 + 5х + 2 = (х + 1)(x 2 + 3х + 2).
Корни уравнения (х + 1)(x 2 + 3х + 2) = 0 находятся легко.
Ответ: -1; -2.
4. Метод подбора корня по старшему и свободному коэффициенту
Метод опирается на применение теорем:
1) Всякий целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем свободного члена.
2) Для того, чтобы несократимая дробь p/q (p – целое, q — натуральное) была корнем уравнения с целыми коэффициентами, необходимо, чтобы число p было целым делителем свободного члена а 0 , а q – натуральным делителем старшего коэффициента.
Пример: 6х 3 + 7x 2 — 9х + 2 = 0.
Решение:
2: p = ±1, ±2
6: q = 1, 2, 3, 6.
Следовательно, p/q = ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6.
Найдя один корень, например – 2, другие корни найдем, используя деление уголком, метод неопределенных коэффициентов или схему Горнера.
Ответ: -2; 1/2; 1/3.
5. Графический метод.
Данный метод состоит в построении графиков и использовании свойств функций.
Пример: х 5 + х – 2 = 0
Представим уравнение в виде х 5 = — х + 2. Функция у = х 5 является возрастающей, а функция у = — х + 2 — убывающей. Значит, уравнение х 5 + х – 2 = 0 имеет единственный корень -1.
6.Умножение уравнения на функцию.
Иногда решение алгебраического уравнения существенно облегчается, если умножить обе его части на некоторую функцию – многочлен от неизвестной. При этом надо помнить, что возможно появление лишних корней – корней многочлена, на который умножили уравнение. Поэтому надо либо умножать на многочлен, не имеющий корней, и получить равносильное уравнение, либо умножать на многочлен, имеющий корни, и тогда каждый из таких корней надо обязательно подставить в исходное уравнение и установить, является ли это число его корнем.
Пример. Решить уравнение:
X 8 – X 6 + X 4 – X 2 + 1 = 0. (1)
Решение: Умножив обе части уравнения на многочлен Х 2 + 1, не имеющий корней, получим уравнение:
(Х 2 +1) (Х 8 – Х 6 + Х 4 – Х 2 + 1) = 0 (2)
равносильное уравнению (1). Уравнение (2) можно записать в виде:
Х 10 + 1= 0 (3)
Ясно, что уравнение (3) не имеет действительных корней, поэтому уравнение (1) их не имеет.
Ответ: нет решений.
Кроме названных методов решения уравнений высших степеней существуют и другие. Например, выделение полного квадрата, схема Горнера, представление дроби в виде двух дробей. Из общих методов решения уравнений высших степеней, которые встречаются чаще всего, используют: метод разложения левой части уравнения на множители;
метод замены переменной (метод введения новой переменной); графический способ. С этими методами мы знакомим учащихся 9 класса при изучении темы «Целое уравнение и его корни». В учебнике Алгебра 9 (авторы Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г и др) последних годов издания достаточно подробно рассматриваются основные методы решения уравнений высших степеней. Кроме этого в разделе «Для тех, кто хочет знать больше», на мой взгляд, доступно излагается материал о применении теорем о корне многочлена и целых корнях целого уравнения при решении уравнений высших степеней. Хорошо подготовленные ученики с интересом изучают этот материал, а затем представляют одноклассникам решённые уравнения.
Практически всё, что окружает нас, связано в той или иной мере с математикой. А достижения в физике, технике, информационных технологиях только подтверждают это. И что очень важно – решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать.
Рассмотрим решения уравнений с одной переменной степени выше второй.
Степенью уравнения Р(х) = 0 называется степень многочлена Р(х), т.е. наибольшая из степеней его членов с коэффициентом, не равным нулю.
Так, например, уравнение (х 3 – 1) 2 + х 5 = х 6 – 2 имеет пятую степень, т.к. после операций раскрытия скобок и приведения подобных получим равносильное уравнение х 5 – 2х 3 + 3 = 0 пятой степени.
Вспомним правила, которые понадобятся для решения уравнений степени выше второй.
Утверждения о корнях многочлена и его делителях:
1. Многочлен n-й степени имеет число корней не превышающее число n, причем корни кратности m встречаются ровно m раз.
2. Многочлен нечетной степени имеет хотя бы один действительный корень.
3. Если α – корень Р(х), то Р n (х) = (х – α) · Q n – 1 (x), где Q n – 1 (x) – многочлен степени (n – 1).
4.
5. Приведенный многочлен с целыми коэффициентами не может иметь дробных рациональных корней.
6. Для многочлена третьей степени
Р 3 (х) = ах 3 + bx 2 + cx + d возможно одно из двух: либо он разлагается в произведение трех двучленов
Р 3 (x) = а(х – α)(х – β)(х – γ), либо разлагается в произведение двучлена и квадратного трехчлена Р 3 (x) = а(х – α)(х 2 + βх + γ).
7. Любой многочлен четвертой степени раскладывается в произведение двух квадратных трехчленов.
8. Многочлен f(x) делится на многочлен g(х) без остатка, если существует многочлен q(x), что f(x) = g(x) · q(x). Для деления многочленов применяется правило «деления уголком».
9. Для делимости многочлена P(x) на двучлен (x – c) необходимо и достаточно, чтобы число с было корнем P(x) (Следствие теоремы Безу).
10. Теорема Виета: Если х 1 , х 2 , …, х n – действительные корни многочлена
Р(х) = а 0 х n + а 1 х n - 1 + … + а n , то имеют место следующие равенства:
х 1 + х 2 + … + х n = -а 1 /а 0 ,
х 1 · х 2 + х 1 · х 3 + … + х n – 1 · х n = a 2 /а 0 ,
х 1 · х 2 · х 3 + … + х n – 2 · х n – 1 · х n = -a 3 / а 0 ,
х 1 · х 2 · х 3 · х n = (-1) n a n / а 0 .
Решение примеров
Пример 1.
Найти остаток от деления Р(х) = х 3 + 2/3 x 2 – 1/9 на (х – 1/3).
Решение.
По следствию из теоремы Безу: «Остаток от деления многочлена на двучлен (х – с) равен значению многочлена от с». Найдем Р(1/3) = 0. Следовательно, остаток равен 0 и число 1/3 – корень многочлена.
Ответ: R = 0.
Пример 2.
Разделить «уголком» 2х 3 + 3x 2 – 2х + 3 на (х + 2). Найти остаток и неполное частное.
Решение:
2х 3 + 3x 2 – 2х + 3| х + 2
2х 3 + 4 x 2 2x 2 – x
X 2 – 2 x
Ответ: R = 3; частное: 2х 2 – х.
Основные методы решения уравнений высших степеней
1. Введение новой переменной
Метод введения новой переменной уже знаком на примере биквадратных уравнений. Он заключается в том, что для решения уравнения f(x) = 0 вводят новую переменную (подстановку) t = x n или t = g(х) и выражают f(x) через t, получая новое уравнение r(t). Решая затем уравнение r(t), находят корни:
(t 1 , t 2 , …, t n). После этого получают совокупность n уравнений q(x) = t 1 , q(x) = t 2 , … , q(x) = t n , из которых находят корни исходного уравнения.
Пример 1.
(х 2 + х + 1) 2 – 3х 2 – 3x – 1 = 0.
Решение:
(х 2 + х + 1) 2 – 3(х 2 + x) – 1 = 0.
(х 2 + х + 1) 2 – 3(х 2 + x + 1) + 3 – 1 = 0.
Замена (х 2 + х + 1) = t.
t 2 – 3t + 2 = 0.
t 1 = 2, t 2 = 1. Обратная замена:
х 2 + х + 1 = 2 или х 2 + х + 1 = 1;
х 2 + х - 1 = 0 или х 2 + х = 0;
Ответ: Из первого уравнения: х 1, 2 = (-1 ± √5)/2, из второго: 0 и -1.
2. Разложение на множители методом группировки и формул сокращенного умножения
Основа данного метода также не нова и заключается в группировке слагаемых таким образом, чтобы каждая группа содержала общий множитель. Для этого иногда приходится применять некоторые искусственные приемы.
Пример 1.
х 4 – 3x 2 + 4х – 3 = 0.
Решение.
Представим - 3x 2 = -2x 2 – x 2 и сгруппируем:
(х 4 – 2x 2) – (x 2 – 4х + 3) = 0.
(х 4 – 2x 2 +1 – 1) – (x 2 – 4х + 3 + 1 – 1) = 0.
(х 2 – 1) 2 – 1 – (x – 2) 2 + 1 = 0.
(х 2 – 1) 2 – (x – 2) 2 = 0.
(х 2 – 1 – х + 2)(х 2 – 1 + х - 2) = 0.
(х 2 – х + 1)(х 2 + х – 3) = 0.
х 2 – х + 1 = 0 или х 2 + х – 3 = 0.
Ответ: В первом уравнении нет корней, из второго: х 1, 2 = (-1 ± √13)/2.
3. Разложение на множитель методом неопределенных коэффициентов
Суть метода состоит в том, что исходный многочлен раскладывается на множители с неизвестными коэффициентами. Используя свойство, что многочлены равны, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях, находят неизвестные коэффициенты разложения.
Пример 1.
х 3 + 4x 2 + 5х + 2 = 0.
Решение.
Многочлен 3-й степени можно разложить в произведение линейного и квадратного множителей.
х 3 + 4x 2 + 5х + 2 = (х – а)(x 2 + bх + c),
х 3 + 4x 2 + 5х + 2 = х 3 +bx 2 + cх – ax 2 – abх – ac,
х 3 + 4x 2 + 5х + 2 = х 3 + (b – a)x 2 + (cх – ab)х – ac.
Решив систему:
{b – a = 4,
{c – ab = 5,
{-ac = 2,
{a = -1,
{b = 3,
{c = 2, т.е.
х 3 + 4x 2 + 5х + 2 = (х + 1)(x 2 + 3х + 2).
Корни уравнения (х + 1)(x 2 + 3х + 2) = 0 находятся легко.
Ответ: -1; -2.
4. Метод подбора корня по старшему и свободному коэффициенту
Метод опирается на применение теорем:
1) Всякий целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем свободного члена.
2) Для того, чтобы несократимая дробь p/q (p – целое, q – натуральное) была корнем уравнения с целыми коэффициентами, необходимо, чтобы число p было целым делителем свободного члена а 0 , а q – натуральным делителем старшего коэффициента.
Пример 1.
6х 3 + 7x 2 – 9х + 2 = 0.
Решение:
6: q = 1, 2, 3, 6.
Следовательно, p/q = ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6.
Найдя один корень, например – 2, другие корни найдем, используя деление уголком, метод неопределенных коэффициентов или схему Горнера.
Ответ: -2; 1/2; 1/3.
Остались вопросы? Не знаете, как решать уравнения?
Чтобы получить помощь репетитора – .
Первый урок – бесплатно!
blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.