Вероятностный эксперимент. Предмет и задачи теории вероятностей

Результат которого невозможно точно предсказать. Математическая модель должна удовлетворять требованиям:

Наблюдаемый результат.

- относительная частота реализаций эксперимента .

Точное описание природы случайного эксперимента влечет определение элементарных исходов , случайных событий и их вероятности , случайных величин и т. п.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Случайный эксперимент" в других словарях:

У этого термина существуют и другие значения, см. Эксперимент (значения). Проверить информацию. Необходимо проверить точность фактов и достоверность сведений, изложенных в этой статье. На странице обсуждения должны быть пояснения … Википедия

Эрвин Шрёдингер Кот Шрёдингера (кошка Шрёдингера) герой кажущегося парадоксальным мысленного эксперимента Эрвина Шрёдингера, которым он хотел продемонстрировать неполноту квантовой механики при переходе от субатомных систем к макроскопическим … Википедия

Эксперимент - (лат. experimentum опыт, доказательство) 1) следственный, самостоятельное следственное действие. Состоит в воспроизведении обстановки и иных обстоятельств определенного события и совершении необходимых опытных действий в целях проверки… … Криминалистическая энциклопедия

ЭКСПЕРИМЕНТ в социальных дисциплинах - один из методов эмпирических исследований, применяемый с целью исследования причинных связей или проверки гипотезы. Он является основой так называемых каузальных исследований. История Э. начинается с работ Дж.С. Милля. Милль исходил из того, что … Социология: Энциклопедия

Заданное множество, конечное или бесконечное. Любой случайный эксперимент можно интерпретировать как случайный выбор индивидуума из бесконечной Г. с. При статистическом изучении из Г. с., характеризуемой функцией распределения вероятностей,… … Геологическая энциклопедия

Случайное событие подмножество множества исходов случайного эксперимента; при многократном повторении случайного эксперимента частота наступления события служит оценкой его вероятности. Случайное событие, которое никогда не реализуется в… … Википедия

Функция вероятности … Википедия

Парадокс Эйнштейна Подольского Розена (ЭПР парадокс) попытка указания на неполноту квантовой механики с помощью мысленного эксперимента, заключающегося в измерении параметров микрообъекта косвенным образом, не оказывая на этот… … Википедия

ГОСТ 24026-80: Исследовательские испытания. Планирование эксперимента. Термины и определения - Терминология ГОСТ 24026 80: Исследовательские испытания. Планирование эксперимента. Термины и определения оригинал документа: 34. Адекватность математической модели Адекватность модели Соответствие математической модели экспериментальным данным… …

РДМУ 109-77: Методические указания. Методика выбора и оптимизации контролируемых параметров технологических процессов - Терминология РДМУ 109 77: Методические указания. Методика выбора и оптимизации контролируемых параметров технологических процессов: 73. Адекватность модели Соответствие модели с экспериментальными данными по выбранному параметру оптимизации с… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Реализация намеченного действия, приводящая к некоторому результату, называется экспериментом (опытом). Если, исходя из условий, описывающих эксперимент, его результат предсказуем, то такой эксперимент является детерминированным . (Пример: подброшенный вверх камень обязательно упадет вниз. Повышение жизненного уровня вызывает рост потребления товаров. Поломка системного блока выводит из строя компьютер.)

Эксперимент считается случайным , если он может закончиться любым из некоторой совокупности известных результатов, но до осуществления эксперимента нельзя сказать каким именно. ТВ исследует именно случайные эксперименты, вернее модели экспериментов со случайными исходами . При этом рассматриваются только такие эксперименты, которые можно повторять (воспроизводить) при неизменном комплексе условий произвольное число раз (по крайней мере теоретически). Будем рассматривать событие как результат испытания. Примеры:1. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на несколько частей. Выстрел – это испытание, попадание в определенную область мишени – событие. 2. Извлечение шара из урны – испытание, появление шара определенного цвета – событие. 3. Сдача экзамена – испытание (случайный эксперимент), получение оценки – событие.

Конец работы -

Эта тема принадлежит разделу:

Конспект лекций по теории вероятностей И математической статистике

И математической статистике.. Для специальности Управление информационными.. ресурсами..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Предмет теории вероятностей и математической статистики и их роль в экономике и менеджменте
Теория вероятностей – специальный раздел курса высшей математики, занимающийся изучением математических закономерностей массовых однородных случайных явлений. Следует

Пространство элементарных событий
Пусть в результате испытания наступает одно и только одно из событий События

Совместные и несовместные события
Два события называются совместными в данном опыте, если появление одного из них не исключает появления другого. Примеры: попадание в неразрушаемую цель д

Свойства операций над событиями
Некоторые свойства операций над событиями постулируются, другие легко могут быть получены с помощью диаграмм Венна. Приведем без доказательства основные из этих свойств.

Алгебра и сигма-алгебра событий
Пусть является пространством всех элементарных исходов для какого-нибудь случайного эксперимента, каждому результату которого соответствует

Теорема. Эквивалентные события имеют одинаковые вероятности, т.е. если, то
Доказательство. Действительно, каждый элементарный исход события является таким же элементарным

Статистическое определение вероятности события. Случаи неравновероятных исходов
Классическое определение вероятности имеет ограниченную применимость. Так, оно неприемлемо, если результаты испытания не равновозможны. Во многих случаях более удобным ока

Геометрические вероятности
Чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, связанный с его неприменимостью к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят понятие геометрической вероятнос

Аксиоматическое построение теории вероятностей
Построение логически полноценной теории вероятностей основано на аксиоматическом определении случайного события и его вероятности. В системе аксиом, предложенной А.Н. Колмогоровым, элементарное соб

Полная группа событий
Множество попарно несовместных событий называют полной группой событий, если при любом исходе случайного эксперимента непременно наступает одно из событий, входящих в это множество

Условная вероятность
Во многих случаях вероятности появления одних событий зависят от того, произошло другое событие или нет. Вероятность события, вычи

Формула сложения вероятностей
Теорема: Вероятность суммы конечного числа несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий

Теорема: Вероятность произведения конечного числа независимых в совокупности событий равна произведению вероятностей этих событий
. Проиллюстрируем различие в применении формул вероятности произведения событий для зависимых и нез

Формула полной вероятности
Пусть событие может произойти только с одним из несовместных событий

Формула Байеса
Пусть событие происходит одновременно с одним из несовместных событ

Правила суммы и произведения
Правило суммы – если элемент а может быть выбран способами, а элемент b – m способами, то один из этих

Случай непостоянной вероятности появления события в опытах
Мы предполагали, что вероятность наступления события в каждом из опытов постоянна. На практике часто приходится встречаться с более сложным случаем, когда опыты производятся в неоди

Понятие потока событий
Формула Пуассона находит применение в теории массового обслуживания. Она может рассматриваться как математическая модель простейшего потока событий с интенсивностью

Событий с использованием функций и плотностей распределения
Одним из важнейших понятий теории вероятностей является понятие случайной величины. Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одн

Закон распределения дискретной случайной величины
Соответствие между всеми возможными значениями дискретной случайной величины и их вероятностями, т.е. совокупность пар чисел ()

Функция распределения случайной величины и ее свойства
Как уже отмечалось, дискретная случайная величина может быть задана перечнем всех ее возможных значений и их вероятностей. Такой способ неприменим для непрерывных случайных величин, так как невозмо

Свойства функции распределения
Приведем ряд свойств функции распределения, непосредственно следующих из ее определения. 1. Функция распределения принимает значения из промежутка

Свойства плотности распределения вероятностей
1. Действительно, так как функция распределения неубывающая функция, то е

Математическое ожидание случайной величины
Математическое ожидание характеризует среднее ожидаемое значение случайной величины, т.е. приближенно равно ее среднему значению (вероятностный смысл математического ожидания). Иногда знания этой х

Свойства математического ожидания
Прежде чем формулировать свойства математического ожидания необходимо пояснить смысл арифметических операций,

Дисперсия случайной величины и ее свойства
На практике часто требуется оценить рассеяние случайной величины вокруг ее среднего значения. Например, акции двух компаний могут приносить в среднем одинаковые дивиденды, однако вл

Среднее квадратическое отклонение
Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения кроме дисперсии служат и некоторые другие характеристики. К их числу относится среднее квадратическое отклонен

Биномиальное распределение, его математическое ожидание и дисперсия
Закон распределения случайной величины числа появлений события в схеме Бернулли име

Распределение Пуассона
Ранее отмечалось, что если при увеличении числа испытаний произведение остается постоянным, то биномиальное распределение п

Геометрическое распределение
Дискретная случайная величина имеет геометрическое распределение, если она принимает значения

Равномерное распределение
Непрерывная случайная величина считается равномерно распределеннойна отрезке (a,b), если ее плотность вероятности имеет вид:

Показательное распределение
Показательным (экспоненциальным) распределением непрерывной случайной величины называется

Нормальное распределение и его свойства
Непрерывная случайная величина имеет нормальный закон распределения с параметрами

Свойства функции Гаусса
График плотности нормального распределения называют нормальной кривой Гаусса. Исследуем поведение функции плотности вероятности

Вероятность попадания нормальной случайной величины в заданный интервал
Часто требуется определить вероятность попадания случайной величины в заданный интервал. Эта вероятность может быть выражена в виде разности функции распределения вероятности в граничных точках это

Отклонение нормальной случайной величины от ее математического ожидания. Правило «трех сигм»
Часто требуется вычислить вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины по абсолютной величине от математичес

Многомерные случайные величины
До сих пор мы рассматривали случайные величины, возможные значения которых определялись одним числом (одномерные случайные величины). Например, число очков, которое может выпасть пр

Закон распределения вероятностей двумерной случайной величины
Законом распределения дискретной двумерной случайной величины называют перечень возможных значений этой величины, т.е. пар

Совместная функция распределения двух случайных величин
Функция, определяющая для каждой пары чисел вероятность того, что

Свойства совместной функции распределения двух случайных величин
1. Значениясовместной функции распределения удовлетворяют неравенству: . 2.

Непрерывной двумерной случайной величины
Непрерывную двумерную случайную величину можно задать с помощью плотности распределения. Плотность совместного распределения вероятностей

Независимые случайные величины
Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина.

Корреляционный момент
Характеристикой зависимости между случайными величинами и служит математическое ожи

Свойства коэффициента корреляции
1. 2. Если, то

Неравенство Чебышева
Вероятность того, что отклонение случайной величины X от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа e, не меньше, чем

Теорема Чебышева
Если - попарно независимые случайные величины, причем их дисперсии ограничены (не превышают постоянного числа С), то, как бы мало ни был

Центральная предельная теорема
Причину чрезвычайно широкой распространенности случайных величин, описывающихся нормальным распределением, объясняет центральная предельная теорема, доказанная А.М. Ляпуновым.

Выборочный метод анализа свойств генеральной совокупности
Предметом математической статистики является изучение случайных событий и случайных величин по результатам наблюдений. Совокупность предметов или явлений, объединенных каким-ли

Способы отбора
На практике применяются различные способы отбора, которые можно подразделить на два вида: · Отбор, не требующий расчленения генеральной совокупности на части. Сюда относятс

Вариационный ряд для дискретных и непрерывных случайных величин
Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем значение исследуемого параметра наблюдалось

Полигон и гистограмма
Графически статистическое распределение представляется в частности, с помощью полигона и гистограммы. Полигоном частот

Эмпирическая функция распределения
Пусть известно статистическое распределение частот количественного признака X. Обозначим через число наблюдений, при которы

Важнейшие свойства статистических оценок
Пусть требуется изучить некоторый количественный признак генеральной совокупности. Допустим, что из теоретических соображений удалось установить, какое именно распределение имеет п

Выборочные среднее и дисперсия
Пусть для изучения генеральной совокупности относительно количественного признака X извлечена выборка объема n. Выборочным средним

Надежность и доверительный интервал
До сих пор мы рассматривали точечные оценки, т.е. такие оценки, которые определяются одним числом. При выборке малого объема точечная оценка может

Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии
Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально, причем среднее квадратическое отклонение s этого распределения известно. Требуется оценить неи

Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии
Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально, причем среднее квадратическое отклонение s этого распределения неизвестно. Тре

Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения s нормального распределения
Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально и требуется оценить неизвестное генеральное среднее квадратическое отклонение s по исправленному выборочному среднему к

Проверка статистических гипотез
На прошлой лекции мы рассматривали задачу построения доверительных интервалов для неизвестных параметров генеральной совокупности. Сегодня мы продолжим изучение основных задач математической статис

Критические точки
После выбора определенного критерия множество всех его возможных значений разбивают на два непересекающихся подмножества, одно из которых содержит значения критерия, при кот

Критерий согласия Пирсона о виде распределения
Если закон распределения неизвестен, но есть основания предполагать, что он имеет определенный вид, то проверяют нулевую г

(УИР). Понятие о регрессионном анализе
Две или несколько случайных величин могут быть связаны либо функциональной, либо статистической (стохастической) зависимос

Понятие о регрессионном анализе
При рассмотрении взаимосвязей, как правило, рассматривают одну из величин (X) как независимую (объясняющую), а другую (Y) как зависимую (объясняемую). При этом изменение первой из н

Линейная регрессия
Если функция регрессии линейна, то говорят о линейной регрессии. Линейная регрессия (линейное уравнение) является распространенным (и простым) видом зависимо

Показательная модель
Показательная функция может использоваться при анализе изменения переменной Y с постоянным темпом прирос

(УИР). Понятие о корреляционном анализе
Экономические явления и процессы находятся в тесной взаимосвязи, и исследование этой взаимосвязи играет важную роль в экономических исследованиях. Знание взаимосвязей отдельных экон

А. Парная корреляция
Уравнение как линейной, так и нелинейной регрессии всегда дополняется показателем тесноты связи. При использовании линейной регрессии в каче

Оценка значимости уравнения регрессии в целом
Оценка значимости (качества) уравнения регрессии в целом производится с помощью F-критерия Фишера (F-теста). При этом выдвигается нулевая гипотеза, что коэфф

Оценка значимости отдельных параметров регрессии
По каждому из параметров определяется его стандартная ошибка. Стандартная ошибка линейного коэффициента регрессии о

Б. Множественная корреляция
Множественная регрессия широко используется при изучении функции издержек производства, в макроэкономических расчетах и т.д. Основной целью корреляционного анализа в данном случае является построен

(УИР). Цепи Маркова с дискретным временем
Цепи Маркова широко используются в экономических исследованиях – в частности, при изучении систем массового обслуживания. Примерами процессов массового обслуживания могут служить, в

Однородные цепи Маркова
Однородной называют цепь Маркова, для которой условная вероятность перехода из состояния

Переходные вероятности. Матрица перехода
Переходной вероятностью называют условную вероятность того, что из состояния

Равенство Маркова
Обозначим через вероятность того, что в результате n шагов (испытаний) система перейдет из состояния

Цепи Маркова с непрерывным временем
Марковский случайный процесс называется цепью Маркова с непрерывным временем, если переходы системы из состояние в состояние происходят не в фиксированные

Уравнения Колмогорова
Пусть система имеет конечное число состояний и случайный процесс, протекающий в ней, характеризуется некоторыми вероятностями нахождения системы в каждом из состояний. В случае марковской

Финальные вероятности состояний системы
Если процесс, протекающий в системе, длится достаточно долго, то имеет смысл говорить о предельном поведении вероятностей при

Системы массового обслуживания
Марковский случайный процесс с непрерывным временем характерен для систем массового обслуживания (СМО). Поступающие в случайные моменты времени в СМО заявки обслужи

А. Одноканальная модель с отказами
Простейшая одноканальная модель СМО характеризуется показательным распределением как длительностей интервалов между поступлениями требований, так и длительностей обслуживания. Плотность распределен

Б. Одноканальная модель с ожиданием
Пусть СМО по-прежнему имеет один канал, но заявка, поступившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания. Предположим, что данная система (очередь + обслужив

Многоканальные модели
Ограничимся рассмотрением случая многоканальной СМО с отказами. В многоканальных

1. Теория вероятностей изучает эксперименты со случайными исходами.

Эксперимент - это осуществление намеченного действия и результат такого действия.

Результат - это исход эксперимента.

Эксперимент случвйный, если его исход нельзя предсказать до его получения.

Основное ограничение: Мы будем рассматривать только такие эксперименты, которые можно повторять при неизменных условиях неограниченное число раз.

Каждую ситуацию, которую можно наблюдать в зависимости от исхода эксперимента, будем называть событием.

Пример 1.1. Бросаем кость. Исход - то или иное число очков. Событие

Число очков, скажем, больше 3.

Вероятность - степень уверенности в наступлении того или иного события.

Цель теории вероятностей - вычисление вероятностей событий, их комбинаций, а также изучение свойств вероятностей.

2. Теория вероятностей предполагает, прежде всего, построение математической модели случайного эксперимента, которая служит описанием возможных исходов, событий, вероятностей наступления этих событий. Это описание должно быть выполнено таким образом, чтобы обеспечить возможность вычисления вероятностей комбинации событий.

3. Построим модель случайного эксперимента.

Множество исходов случайного эксперимента назовем пространством исходов и обозначим Пространство исходов может быть дискретным или непрерывным.

Пример 1.2. Дискретное пространство: эксперимент - бросание кости, исход - выпадение числа очков, S = {1,2,3,4,5,6}. Непрерывное пространство: эксперимент - ожидание автобуса при условии, что ожидаешь не более минут, исход - конкретное время ожидания,

Событие - любое подмножество пространства исходов Событие обозначим Е.

Событие произошло, если в результате эксперимента исход X принадлежит

Элементарное событие: оно содержит только один исход.

Достоверное событие: оно совпадает с пространством исходов

Невозможное событие: оно совпадает с пустым множеством.

Противоположное событие оно состоит в том, что событие Е не произошло.

Несовместные события: они не имеют общих исходов.

Сумма (или объединение) событий (или ): это событие, заключающееся в том, что из двух событий А и В в результате случайного эксперимента происходит, по крайней мере, одно.

Произведение событий (или ): это событие, заключающееся в том, что события А и В происходят одновременно.

Мы ограничимся наименьшим классом событий, который обладает следующими свойствами:

Пустое множество 0 принадлежит этому классу;

Если событие Е принадлежит классу, то и противоположное событие также принадлежит классу;

Если каждый юменг счетной последовательности событий принадлежит классу, то суммв (объединение) событий также принадлежит классу.

Из последнего свойства вытекает, что и произведение двух событий (или счетного числа событий) принадлежит классу, если каждое событие принадлежит классу.

Класс событий с указанными свойствами достаточен для описвния любого физического явления, возникающего в результате эксперимента. Такой класс событий назовем полем событий

Поле - это множество событий, для которых определены операции сложения и умножения.

Итак, мы ввели где - пространство исходов, поле событий.

Определим вероятность события Р как число, удовлетворяющее следующим свойствам:

Действительное число;

Для любого

(вероятность достоверного события);

Для любой счетной последовательности взаимно несовместимых событий на

Такое достаточно общее определение вероятности позволяет при рассмотрении тех или иных физических явлений конкретизировать понятие вероятности в зависимости от специфики задачи. Итак, вероятность - это функция, заданная на и принимающая значения на .

4. Некоторые свойства вероятностей, вытекающие из определения вероятности.

Свойство

Доказательство.

Но несовместимы. Следовательно, Отсюда,

Свойство

Доказательство.

Несовместимы и Следовательно, Отсюда

5. Конструктивные способы задания вероятностей.

Наиболее трудная задача математического моделирования реальных явлений состоит в правильном задании вероятностей в зависимости от специфики явлен Такое задание должно быть конструктивным, с одной стороны, соответствовать определению вероятности, а с другой стороны - позволять решать конкретную задачу.

5.1. Выполним эксперимент многократно и подсчитаем, сколько раз произошло событие Е. Если - общее число экспериментов, - число экспериментов, в которых произошло событие Е, то назовем относительной частотой появления события Е.

За вероятность примем предел

5.2. Если - пространство равновозможных несовместных исходов и - число исходов, соответствующих (благоприятствующих) событию Е, то

где - общее число исходов.

5.3. В том случае, если - непрерывная область, - область, благоприятствующая появлению в результате случайного эксперимента события А, за вероятность удобно принять

где - мера области - мера области

5.4. Пусть А и В два произвольных события. Назовем условной вероятностью отношение

при условии

События независимы, если

Пример 1.3. В ящике 94 хороших болта и 6 плохих. Из ящика выбраны случайно 5 болтов. Какова вероятность Р, что все выбранные болты хорошие? .

Пример 1.4. Три человека бросают по очереди монету до первого выпадения “орла”. Выигрывает тот, у кого выпадает “орел”. Каковы относительные шансы выигрыша каждого игрока?

Назовем “серией” однократное бросание монеты тремя игроками, начиная с первого. Пусть - вероятность невыпадения "орла” за к серий. Тогда вероятности выигрыша каждого из трех игроков на следующей серии равны (к - произвольное число):

вероятность выигрыша первого игрока

вероятность выигрыша второго игрока

вероятность выигрыша третьего игрока

Следовательно, шансы игроков откосятся как

Пример 1.5. В комнате находятся студенты в количестве человек. Из них курящих - человек, в очках - человек, курящих и в очках - человек. Удаляем случайным образом студента из комнаты. Курит ли он и носит ли он очки?

Теперь предположим, что мы увидели, что удаленный студент в очках. Какова вероятность, что он и курит?

Пример 1.6. Двое решили встретиться в условленном месте между тремя и четырьмя часами дня, причем пришедший ждет партнера не более 20 мин. Какова вероятность встречи?