Данное методическое пособие поможет Вам научиться выполнять действия с матрицами : сложение (вычитание) матриц, транспонирование матрицы, умножение матриц, нахождение обратной матрицы. Весь материал изложен в простой и доступной форме, приведены соответствующие примеры, таким образом, даже неподготовленный человек сможет научиться выполнять действия с матрицами. Для самоконтроля и самопроверки Вы можете бесплатно скачать матричный калькулятор >>> .

Я буду стараться минимизировать теоретические выкладки, кое-где возможны объяснения «на пальцах» и использование ненаучных терминов. Любители основательной теории, пожалуйста, не занимайтесь критикой, наша задача – научиться выполнять действия с матрицами .

Для СВЕРХБЫСТРОЙ подготовки по теме (у кого «горит») есть интенсивный pdf-курс Матрица, определитель и зачёт!

Матрица – это прямоугольная таблица каких-либо элементов . В качестве элементов мы будем рассматривать числа, то есть числовые матрицы. ЭЛЕМЕНТ – это термин. Термин желательно запомнить, он будет часто встречаться, не случайно я использовал для его выделения жирный шрифт.

Обозначение: матрицы обычно обозначают прописными латинскими буквами

Пример: рассмотрим матрицу «два на три»:

Данная матрица состоит из шести элементов :

Все числа (элементы) внутри матрицы существуют сами по себе, то есть ни о каком вычитании речи не идет:

Это просто таблица (набор) чисел!

Также договоримся не переставлять числа, если иного не сказано в объяснениях. У каждого числа свое местоположение, и перетасовывать их нельзя!

Рассматриваемая матрица имеет две строки:

и три столбца:

СТАНДАРТ : когда говорят о размерах матрицы, то сначала указывают количество строк, а только потом – количество столбцов. Мы только что разобрали по косточкам матрицу «два на три».

Если количество строк и столбцов матрицы совпадает, то матрицу называют квадратной , например: – матрица «три на три».

Если в матрице один столбец или одна строка , то такие матрицы также называют векторами .

На самом деле понятие матрицы мы знаем еще со школы, рассмотрим, например точку с координатами «икс» и «игрек»: . По существу, координаты точки записаны в матрицу «один на два». Кстати, вот Вам и пример, почему порядок чисел имеет значение: и – это две совершенно разные точки плоскости.

Теперь переходим непосредственно к изучению действий с матрицами :

1) Действие первое. Вынесение минуса из матрицы (внесение минуса в матрицу) .

Вернемся к нашей матрице . Как вы наверняка заметили, в данной матрице слишком много отрицательных чисел. Это очень неудобно с точки зрения выполнения различных действий с матрицей, неудобно писать столько минусов, да и просто в оформлении некрасиво выглядит.

Вынесем минус за пределы матрицы, сменив у КАЖДОГО элемента матрицы знак :

У нуля, как Вы понимаете, знак не меняется, ноль – он и в Африке ноль.

Обратный пример: . Выглядит безобразно.

Внесем минус в матрицу, сменив у КАЖДОГО элемента матрицы знак :

Ну вот, гораздо симпатичнее получилось. И, самое главное, выполнять какие-либо действия с матрицей будет ПРОЩЕ. Потому что есть такая математическая народная примета: чем больше минусов – тем больше путаницы и ошибок .

2) Действие второе. Умножение матрицы на число .

Пример:

Всё просто, для того чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый элемент матрицы умножить на данное число. В данном случае – на тройку.

Еще один полезный пример:

– умножение матрицы на дробь

Сначала рассмотрим то, чего делать НЕ НАДО :

Вносить дробь в матрицу НЕ НУЖНО, во-первых, это только затрудняет дальнейшие действия с матрицей, во-вторых, затрудняет проверку решения преподавателем (особенно, если – окончательный ответ задания).

И, тем более, НЕ НАДО делить каждый элемент матрицы на минус семь:

Из статьи Математика для чайников или с чего начать , мы помним, что десятичных дробей с запятой в высшей математике стараются всячески избегать.

Единственное, что желательно сделать в этом примере – это внести минус в матрицу:

А вот если бы ВСЕ элементы матрицы делились на 7 без остатка , то тогда можно (и нужно!) было бы поделить.

Пример:

В этом случае можно и НУЖНО умножить все элементы матрицы на , так как все числа матрицы делятся на 2 без остатка .

Примечание: в теории высшей математики школьного понятия «деление» нет. Вместо фразы «это поделить на это» всегда можно сказать «это умножить на дробь». То есть, деление – это частный случай умножения.

3) Действие третье. Транспонирование матрицы .

Для того чтобы транспонировать матрицу, нужно ее строки записать в столбцы транспонированной матрицы.

Пример:

Транспонировать матрицу

Строка здесь всего одна и, согласно правилу, её нужно записать в столбец:

– транспонированная матрица.

Транспонированная матрица обычно обозначается надстрочным индексом или штрихом справа вверху.

Пошаговый пример:

Транспонировать матрицу

Сначала переписываем первую строку в первый столбец:

Потом переписываем вторую строку во второй столбец:

И, наконец, переписываем третью строку в третий столбец:

Готово. Грубо говоря, транспонировать – это значит повернуть матрицу набок.

4) Действие четвертое. Сумма (разность) матриц .

Сумма матриц действие несложное.
НЕ ВСЕ МАТРИЦЫ МОЖНО СКЛАДЫВАТЬ. Для выполнения сложения (вычитания) матриц, необходимо, чтобы они были ОДИНАКОВЫМИ ПО РАЗМЕРУ.

Например, если дана матрица «два на два», то ее можно складывать только с матрицей «два на два» и никакой другой!

Пример:

Сложить матрицы и

Для того чтобы сложить матрицы, необходимо сложить их соответствующие элементы :

Для разности матриц правило аналогичное, необходимо найти разность соответствующих элементов .

Пример:

Найти разность матриц ,

А как решить данный пример проще, чтобы не запутаться? Целесообразно избавиться от лишних минусов, для этого внесем минус в матрицу :

Примечание: в теории высшей математики школьного понятия «вычитание» нет. Вместо фразы «из этого вычесть это» всегда можно сказать «к этому прибавить отрицательное число». То есть, вычитание – это частный случай сложения.

5) Действие пятое. Умножение матриц .

Какие матрицы можно умножать?

Чтобы матрицу можно было умножить на матрицу нужно, чтобы число столбцов матрицы равнялось числу строк матрицы .

Пример:
Можно ли умножить матрицу на матрицу ?

Значит, умножать данные матрицы можно.

А вот если матрицы переставить местами, то, в данном случае, умножение уже невозможно!

Следовательно, выполнить умножение невозможно:

Не так уж редко встречаются задания с подвохом, когда студенту предлагается умножить матрицы, умножение которых заведомо невозможно.

Следует отметить, что в ряде случаев можно умножать матрицы и так, и так.
Например, для матриц, и возможно как умножение , так и умножение

>> Матрицы

4.1.Матрицы. Операции над матрицами

Прямоугольной матрицей размера mxn называется совокупность mxn чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы, содержащей m строк и n столбцов. Мы будем записывать ее в виде

или сокращенно в виде A = (a i j) (i = ; j = ), числа a i j , называются ее элементами; первый индекс указывает на номер строки, второй - на номер столбца. A = (a i j) и B = (b i j) одинакового размера называются равными, если попарно равны их элементы, стоящие на одинаковых местах, то есть A = B, если a i j = b i j .

Матрица, состоящая из одной строки или одного столбца, называется соответственно -строкой или вектор-столбцом. Вектор-столбцы и вектор-строки называют просто векторами.

Матрица, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом. A размера mxn, все элементы которой равны нулю, называются нулевой и обозначается через 0. Элементы с одинаковыми индексами называют элементами главной диагонали. Если число строк равно числу столбцов, то есть m = n, то матрицу называют квадратной порядка n. Квадратные матрицы, у которых отличны от нуля лишь элементы главной диагонали, называются диагональными и записываются так:

.

Если все элементы a i i диагонали равны 1, то она называется единичной и обозначается буквой Е:

.

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, стоящие выше (или ниже) главной диагонали, равны нулю. Транспонированием называется такое преобразование, при котором строки и столбцы меняются местами с сохранением их номеров. Обозначается транспонирование значком Т наверху.

Если в (4.1) переставим строки со столбцами, то получим

,

которая будет транспонированной по отношению к А. В частности, при транспонировании вектора-столбца получается вектор-строка и наоборот.

Произведением А на число b называется матрица, элементы которой получаются из соответствующих элементов А умножением на число b: b A = (b a i j).

Суммой А = (a i j) и B = (b i j) одного размера называется C = (c i j) того же размера, элементы которой определяются по формуле c i j = a i j + b i j .

Произведение АВ определяется в предположении, что число столбцов А равно числу строк В.

Произведением AB, где А = (a i j) и B = (b j k), где i = , j= , k= , заданных в определенном порядке АВ, называется С = (c i k), элементы которой определяются по следующему правилу:

c i k = a i 1 b 1 k + a i 2 b 2 k +... + a i m b m k = a i s b s k . (4.2)

Иначе говоря, элемент произведения AB определяются следующим образом: элемент i-й строки и k-го столбца С равен сумме произведений элементов i-й строки А на соответствующие элементы k-го столбца В.

Пример 2.1. Найти произведение AB и .

Решение. Имеем: А размера 2x3, В размера 3x3, тогда произведение АВ = С существует и элементы С равны

С 11 = 1×1 +2×2 + 1×3 = 8, с 21 = 3×1 + 1×2 + 0×3 = 5, с 12 = 1×2 + 2×0 + 1×5 = 7,

с 22 =3×2 + 1×0 + 0×5 = 6, с 13 = 1×3 + 2×1 + 1×4 = 9, с 23 = 3×3 + 1×1 + 0×4 = 10.

, а произведение BA не существует.

Пример 2.2. В таблице указано количество единиц продукции, отгружаемой ежедневно на молокозаводах 1 и 2 в магазины М 1 , М 2 и М 3 , причем доставка единицы продукции с каждого молокозавода в магазин М 1 стоит 50 ден. ед., в магазин М 2 - 70, а в М 3 - 130 ден. ед. Подсчитать ежедневные транспортные расходы каждого завода.

Молокозавод

Решение. Обозначим через А матрицу, данную нам в условии, а через
В - матрицу, характеризующую стоимость доставки единицы продукции в магазины, т.е.,

,

Тогда матрица затрат на перевозки будет иметь вид:

.

Итак, первый завод ежедневно тратит на перевозки 4750 ден. ед., второй - 3680 ден.ед.

Пример 2.3. Швейное предприятие производит зимние пальто, демисезонные пальто и плащи. Плановый выпуск за декаду характеризуется вектором X = (10, 15, 23). Используются ткани четырех типов Т 1 , Т 2 , Т 3 , Т 4 . В таблице приведены нормы расхода ткани (в метрах) на каждое изделие. Вектор С = (40, 35, 24, 16) задает стоимость метра ткани каждого типа, а вектор P = (5, 3, 2, 2) - стоимость перевозки метра ткани каждого вида.

	Расход ткани
Зимнее пальто
Демисезонное пальто

1. Сколько метров ткани каждого типа потребуется для выполнения плана?

2. Найти стоимость ткани, расходуемой на пошив изделия каждого вида.

3. Определить стоимость всей ткани, необходимой для выполнения плана.

Решение. Обозначим через А матрицу, данную нам в условии, т. е.,

,

тогда для нахождения количества метров ткани, необходимой для выполнения плана, нужно вектор X умножить на матрицу А:

Стоимость ткани, расходуемой на пошив изделия каждого вида, найдем, перемножив матрицу А и вектор C T:

.

Стоимость всей ткани, необходимой для выполнения плана, определится по формуле:

Наконец, с учетом транспортных расходов вся сумма будет равна стоимости ткани, т. е. 9472 ден. ед., плюс величина

X А P T =
.

Итак, X А C T + X А P T = 9472 + 1037 = 10509 (ден. ед).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАТРИЦЫ. ВИДЫ МАТРИЦ

Матрицей размером m ×n называется совокупность m·n чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов. Эту таблицу обычно заключают в круглые скобки. Например, матрица может иметь вид:

Для краткости матрицу можно обозначать одной заглавной буквой, например, А или В .

В общем виде матрицу размером m ×n записывают так

.

Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы . Элементы матрицы удобно снабжать двумя индексами a ij : первый указывает номер строки, а второй – номер столбца. Например, a 23 – элемент стоит во 2-ой строке, 3-м столбце.

Если в матрице число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной , причём число ее строк или столбцов называется порядком матрицы. В приведённых выше примерах квадратными являются вторая матрица – её порядок равен 3, и четвёртая матрица – её порядок 1.

Матрица, в которой число строк не равно числу столбцов, называется прямоугольной . В примерах это первая матрица и третья.

Различаются также матрицы, имеющие только одну строку или один столбец.

Матрица, у которой всего одна строка , называется матрицей – строкой (или строковой), а матрица, у которой всего один столбец, матрицей – столбцом .

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается (0), или просто 0. Например,

.

Главной диагональю квадратной матрицы назовём диагональ, идущую из левого верхнего в правый нижний угол.

Квадратная матрица, у которой все элементы, лежащие ниже главной диагонали, равны нулю, называется треугольной матрицей.

.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме, быть может, стоящих на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной матрицей. Например, или .

Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной матрицей и обозначается буквой E. Например, единичная матрица 3-го порядка имеет вид .

ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ

Равенство матриц . Две матрицы A и B называются равными, если они имеют одинаковое число строк и столбцов и их соответствующие элементы равны a ij = b ij . Так если и , то A=B , если a 11 = b 11 , a 12 = b 12 , a 21 = b 21 и a 22 = b 22 .

Транспонирование . Рассмотрим произвольную матрицу A из m строк и n столбцов. Ей можно сопоставить такую матрицу B из n строк и m столбцов, у которой каждая строка является столбцом матрицы A с тем же номером (следовательно, каждый столбец является строкой матрицы A с тем же номером). Итак, если , то .

Эту матрицу B называют транспонированной матрицей A , а переход от A к B транспонированием .

Таким образом, транспонирование – это перемена ролями строк и столбцов матрицы. Матрицу, транспонированную к матрице A , обычно обозначают A T .

Связь между матрицей A и её транспонированной можно записать в виде .

Например. Найти матрицу транспонированную данной.

Сложение матриц. Пусть матрицы A и B состоят из одинакового числа строк и одинакового числа столбцов, т.е. имеют одинаковые размеры . Тогда для того, чтобы сложить матрицы A и B нужно к элементам матрицы A прибавить элементы матрицы B , стоящие на тех же местах. Таким образом, суммой двух матриц A и B называется матрица C , которая определяется по правилу, например,

Примеры. Найти сумму матриц:

Легко проверить, что сложение матриц подчиняется следующим законам: коммутативному A+B=B+A и ассоциативному (A+B )+C =A +(B+C ).

Умножение матрицы на число. Для того чтобы умножить матрицу A на число k нужно каждый элемент матрицы A умножить на это число. Таким образом, произведение матрицы A на число k есть новая матрица, которая определяется по правилу или .

Для любых чисел a и b и матриц A и B выполняются равенства:

Примеры.

Умножение матриц. Эта операция осуществляется по своеобразному закону. Прежде всего, заметим, что размеры матриц–сомножителей должны быть согласованы. Перемножать можно только те матрицы, у которых число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы (т.е. длина строки первой равна высоте столбца второй). Произведением матрицы A не матрицу B называется новая матрица C=AB , элементы которой составляются следующим образом:

Таким образом, например, чтобы получить у произведения (т.е. в матрице C ) элемент, стоящий в 1-ой строке и 3-м столбце c 13 , нужно в 1-ой матрице взять 1-ую строку, во 2-ой – 3-й столбец, и затем элементы строки умножить на соответствующие элементы столбца и полученные произведения сложить. И другие элементы матрицы-произведения получаются с помощью аналогичного произведения строк первой матрицы на столбцы второй матрицы.

В общем случае, если мы умножаем матрицу A = (a ij) размера m ×n на матрицу B = (b ij) размера n ×p , то получим матрицу C размера m ×p , элементы которой вычисляются следующим образом: элемент c ij получается в результате произведения элементов i -ой строки матрицы A на соответствующие элементы j -го столбца матрицы B и их сложения.

Из этого правила следует, что всегда можно перемножать две квадратные матрицы одного порядка, в результате получим квадратную матрицу того же порядка. В частности, квадратную матрицу всегда можно умножить саму на себя, т.е. возвести в квадрат.

Другим важным случаем является умножение матрицы–строки на матрицу–столбец, причём ширина первой должна быть равна высоте второй, в результате получим матрицу первого порядка (т.е. один элемент). Действительно,

.

Примеры.

Таким образом, эти простые примеры показывают, что матрицы, вообще говоря, не перестановочны друг с другом, т.е. A∙B ≠ B∙A . Поэтому при умножении матриц нужно тщательно следить за порядком множителей.

Можно проверить, что умножение матриц подчиняется ассоциативному и дистрибутивному законам, т.е. (AB)C=A(BC) и (A+B)C=AC+BC .

Легко также проверить, что при умножении квадратной матрицы A на единичную матрицу E того же порядка вновь получим матрицу A , причём AE=EA=A .

Можно отметить следующий любопытный факт. Как известно произведение 2-х отличных от нуля чисел не равно 0. Для матриц это может не иметь места, т.е. произведение 2-х не нулевых матриц может оказаться равным нулевой матрице.

Например , если , то

.

ПОНЯТИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

Пусть дана матрица второго порядка – квадратная матрица, состоящая из двух строк и двух столбцов .

Определителем второго порядка , соответствующим данной матрице, называется число, получаемое следующим образом: a 11 a 22 – a 12 a 21 .

Определитель обозначается символом .

Итак, для того чтобы найти определитель второго порядка нужно из произведения элементов главной диагонали вычесть произведение элементов по второй диагонали.

Примеры. Вычислить определители второго порядка.

Аналогично можно рассмотреть матрицу третьего порядка и соответствующий ей определитель.

Определителем третьего порядка , соответствующим данной квадратной матрице третьего порядка, называется число, обозначаемое и получаемое следующим образом:

.

Таким образом, эта формула даёт разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки a 11 , a 12 , a 13 и сводит вычисление определителя третьего порядка к вычислению определителей второго порядка.

Примеры. Вычислить определитель третьего порядка.

Аналогично можно ввести понятия определителей четвёртого, пятого и т.д. порядков, понижая их порядок разложением по элементам 1-ой строки, при этом знаки "+" и "–" у слагаемых чередуются.

Итак, в отличие от матрицы, которая представляют собой таблицу чисел, определитель это число, которое определённым образом ставится в соответствие матрице.

Пусть имеется квадратная матрица n-го порядка

Матрица А -1 называется обратной матрицей по отношению к матрице А, если А*А -1 = Е, где Е — единичная матрица n-го порядка.

Единичная матрица — такая квадратная матрица, у которой все элементы по главной диагонали, проходящей от левого верхнего угла к правому нижнему углу, — единицы, а остальные — нули, например:

Обратная матрица может существовать только для квадратных матриц т.е. для тех матриц, у которых число строк и столбцов совпадают.

Теорема условия существования обратной матрицы

Для того чтобы матрица имела обратную матрицу необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной.

Матрица А = (А1, А2,...А n) называется невырожденной , если векторы-столбцы являются линейно независимыми. Число линейно независимых векторов-столбцов матрицы называется рангом матрицы . Поэтому можно сказать, что для того, чтобы существовала обратная матрица, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы равнялся ее размерности, т.е. r = n.

Алгоритм нахождения обратной матрицы

1. Записать в таблицу для решения систем уравнений методом Гаусса матрицу А и справа (на место правых частей уравнений) приписать к ней матрицу Е.
2. Используя преобразования Жордана, привести матрицу А к матрице, состоящей из единичных столбцов; при этом необходимо одновременно преобразовать матрицу Е.
3. Если необходимо, то переставить строки (уравнения) последней таблицы так, чтобы под матрицей А исходной таблицы получилась единичная матрица Е.
4. Записать обратную матрицу А -1 , которая находится в последней таблице под матрицей Е исходной таблицы.

Пример 1

Для матрицы А найти обратную матрицу А -1

Решение: Записываем матрицу А и справа приписываем единичную матрицу Е. Используя преобразования Жордана, приводим матрицу А к единичной матрице Е. Вычисления приведены в таблице 31.1.

Проверим правильность вычислений умножением исходной матрицы А и обратной матрицы А -1 .

В результате умножения матриц получилась единичная матрица. Следовательно, вычисления произведены правильно.

Ответ:

Решение матричных уравнений

Матричные уравнения могут иметь вид:

АХ = В, ХА = В, АХВ = С,

где А,В,С — задаваемые матрицы, Х- искомая матрица.

Матричные уравнения решаются с помощью умножения уравнения на обратные матрицы.

Например, чтобы найти матрицу из уравнения , необходимо умножить это уравнение на слева.

Следовательно, чтобы найти решение уравнения , нужно найти обратную матрицу и умножить ее на матрицу , стоящие в правой части уравнения.

Аналогично решаются другие уравнения.

Пример 2

Решить уравнение АХ = В, если

Решение : Так как обратная матрица равняется (см. пример 1)

Матричный метод в экономическом анализе

Наряду с другими в находят применение также матричные методы . Эти методы базируются на линейной и векторно-матричной алгебре. Такие методы применяются для целей анализа сложных и многомерных экономических явлений. Чаще всего эти методы используются при необходимости сравнительной оценки функционирования организаций и их структурных подразделений.

В процессе применения матричных методов анализа можно выделить несколько этапов.

На первом этапе осуществляется формирование системы экономических показателей и на ее основе составляется матрица исходных данных , которая представляет собой таблицу, в которой по ее отдельным строкам показываются номера систем (i = 1,2,....,n) , а по вертикальным графам — номера показателей (j = 1,2,....,m) .

На втором этапе по каждой вертикальной графе выявляется наибольшее из имеющихся значений показателей, которое и принимается за единицу.

После этого все суммы, отраженные в данной графе делят на наибольшее значение и формируется матрица стандартизированных коэффициентов .

На третьем этапе все составные части матрицы возводят в квадрат. Если они имеют различную значимость, то каждому показателю матрицы присваивается определенный весовой коэффициент k . Величина последнего определяется экспертным путем.

На последнем, четвертом этапе найденные величины рейтинговых оценок R j группируются в порядке их увеличения или уменьшения.

Изложенные матричные методы следует использовать, например, при сравнительном анализе различных инвестиционных проектов, а также при оценке других экономических показателей деятельности организаций.

Определение Матрицей – называется таблица чисел содержащая определенное количество строк и столбцов

Элементами матрицы являются числа вида a ij , где i- номер строки j- номер столбца

Пример 1 i = 2 j = 3

Обозначение: А=

Виды матриц:

1. Если число строк не равно числу столбцов , то матрица называется прямоугольной:

2. Если число строк равно числу столбцов , то матрица называется квадратной:

Число строк или столбцов квадратной матрицы называется ее порядком . В примере n = 2

Рассмотрим квадратную матрицу порядка n:

Диагональ, содержащая элементы a 11 , a 22 ……., a nn , называетсяглавной, а диагональ, содержащая элементы а 12 , а 2 n -1 , …….a n 1 – вспомогательная.

Матрица, у которой отличны от нуля только элементы, находящиеся на главной диагонали, называется диагональной :

Пример 4 n = 3

3. Если у диагональной матрицы элементы равны 1, то матрица называется единичной и обозначается буквой Е:

Пример 6 n = 3

4. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей и обозначается буквой О

Пример 7

5. Треугольной матрицей n-ого порядка называется квадратная матрица, все элементы которой, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю:

Пример 8 n = 3

Действия над матрицами:

Суммой матрицы А и В называется такая матрица С, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В.

Складывать можно только матрицы, имеющие одинаковые число строк и столбцов.

Произведением матрицы А на число k называется такая матрица kA, каждый элемент которой равен ka ij

Пример10

Умножение матрицы на число сводится к умножению на это число всех элементов матрицы.

Произведение матриц Что бы умножить матрицу на матрицу, необходимо выбрать первую строку первой матрицы и умножить на соответствующие элементы первого столбца второй матрицы, результат сложить. Этот результат расположить в результатирующей матрице в 1-ой строке и 10ом столбце. Аналогично выполняем действия со всеми остальными элементами: 1-ую строку на второй столбец, на 3-ий и т.д., затем со следующими строками.

Пример 11

Умножение матрицы А на матрицу В возможно только в том случае, если число столбцов первой матрицы равно числу строе второй матрицы.

- произведение существует;

- произведение не существует

Примеры 12 последнюю строчку во II матрицы умножать не с чем, т.е. произведение не существует

Транспонирование матрицы называется операция замены элементов строки на элементы столбца:

Пример13

Возведением в степень называется последовательное перемножение матрицы саму на себя.

Предыдущая статья: Углерод — характеристика элемента и химические свойства Следующая статья: Чему равна скорость света