Сложение натуральных чисел и их свойства. Аксиоматическое определение сложения натуральных чисел

Сложением натуральных чисел называется бинарная операция, удовлетворяющая следующим двум аксиомам:

С1: а + 1 = а /

С2: а + b / = (a + b) /

Пример. Найдём на основании определения сумму 2 + 2:

2 + 2 = 2 + 1 / = (2 + 1) / = (2 /) / = 3 / = 4.

Теорема 1 (о существовании и единственности сложения ). Каждой паре натуральных чисел а и b соответствует однозначно определённая сумма а + b, удовлетворяющая определению сложения (аксиомам С1 и С2).

Доказательство. Единственность. Предположим, что наряду с операцией +, удовлетворяющей условиям С1 и С2, существует также другая операция , удовлетворяющая условиям С1 / и С2 / :

С1 / : а  1 = а /

С2 / : а  b / = (a  b) /

Тогда для любых натуральных чисел справедливо равенство: а + b = a  b.

Доказательство проведём методом математической индукции по переменной b. При b = 1 на основании С1 и С1 / получаем:

a + 1 = a / = a  1

Таким образом, при b = 1 данное свойство справедливо.

Индукционное предположение: a + k = a  k

Докажем данное утверждение при b = k / :

На основании С2 a + k / = (a +k) /

Из индукционного предположения на основании аксиомы А 2 из определения натуральных чисел a + k = a  k => (a + k) / = (a  k) / , откуда по условиям С2 и С2 / имеем:

a + k / = (a +k) / = (a  k) / = a  k / ,

что и требовалось.

Существование. Введённое индуктивное определение позволяет найти сумму для любого второго слагаемого (элемента b). Выясним, можно ли найти сумму для любого первого слагаемого (элемента а). Для этого сами введём операцию, удовлетворяющую условиям (*) и (**)

(**) а / + b = (a +b) / .

Докажем, что введённая нами операция является сложением, то есть удовлетворяет условиям С1 и С2. Доказательство будем проводить индукцией по а.

Начнем с доказательства С1. База индукции: Для а = 1

1 + 1 = 1 / (на основании условия (*)).

Индукционное предположение: k + 1 = k /

Шаг индукции: Для а = k / требуется доказать, что k / + 1 = (k /) / .

На основании условия (**) k / + 1 = (k+1) / = (k /) / (по индукционному предположению). Таким образом, условие С1 выполняется для всех натуральных а.

С2: Для а = 1 по условию (*) 1 + b / = (b /) / = (1 + b) / .

Индукционное предположение (и.п.): k + b / = (k +b) / .

Для а = k / требуется доказать, что k / + b / = (k / + b) / .

Здесь над каждым равенством указано обоснование – свойство, на основании которого данное равенство выполняется. Таким образом, условие С2 также выполняется для всех натуральных а. Теорема полностью доказана.

Теорема 2 . Для любых натуральных чисел а, b, c выполняется ассоциативный закон сложения (а.з.с.): (a + b) + c = a + (b +c)

Доказательство (индукцией по с): При с = 1 имеем:

Индукционное предположение: (a+b)+k = a+(b+k).

Согласно принципу индукции теперь требуется доказать, что

(a+b)+k / = a+(b+k /). Докажем это.

Таким образом, для k / утверждение справедливо, следовательно, согласно теореме индукции, ассоциативный закон справедлив для любых натуральных чисел.

Теорема 3. Для любых натуральных чисел выполняется коммутативный закон сложения (к.з.с.) a + b = b + a

Доказательству теоремы предпошлём лемму.

Лемма 1 . a + 1 = 1 + a (Л1)

Докажем её индукцией по а. База индукции: 1 + 1 = 1 + 1 (справедливо)

Индукционное предположение: k + 1 = 1 + k.

Шаг индукции: Докажем, что k / + 1 = 1 + k / .

Лемма доказана.

Теперь докажем саму теорему индукцией по b. Для b = 1 утверждение теоремы истинно по лемме 1.

Индукционное предположение: a + k = k + a.

Шаг индукции:

Теорема 4. Сумма двух чисел не равна ни одному из слагаемых:

Доказательство индукцией по b: Для b = 1 утверждение теоремы истинно по аксиоме 1 из определения натуральных чисел (a /  1).

Индукционное предположение: a + k  k.

Из индукционного предположения и теоремы 1 пункта 1.2 следует, что (а + k) /  k / . Применяя С2, получаем:

а + k / = (а + k) /  k / .

Теорема 5. а = b => a + c = b + c.

Доказательство (индукцией по с):

а = b => (по А 2) a / = b / => (по С1) а + 1 = b +1.

Индукционное предположение: a = b => a + k = b+k.

Докажем, что a = b влечёт за собой a + k / = b + k / .

Таким образом, для k / утверждение справедливо, следовательно, согласно теореме индукции, теорема справедлива для любых натуральных чисел.

Следствие 1. a + с  b + с = > a  b (доказательство проводится методом от противного и предоставляется читателю).

Теорема 6. a + c = b + c => а = b.

Доказательство (индукцией по с):

а + 1 = b + 1 => a / = b / => а = b (по С1 и А 3).

Индукционное предположение: a + k = b + k => a = b.

Докажем, что a + k / = b + k / влечёт за собой a = b.

Отсюда, утверждение справедливо и для k / , что доказывает нашу теорему.

Следствие 2. a  b = > a + с  b + с (доказательство методом от противного).

Решением уравнения а + х = b (а, b – натуральные числа, х – переменная) называется такое натуральное число с, при подстановке которого вместо х в уравнение, получается верное числовое равенство а + с = b

Теорема 7. Если уравнение а + х = b имеет решение, то это решение единственно.

Доказательство : Предположим, что существуют два решения с 1 и с 2 . Тогда а + с 1 = b и а + с 2 = b, откуда а + с 1 = а + с 2 , а по теореме 6 и коммутативному закону это означает, что с 1 = с 2 (то есть решение единственно).

Задания для самостоятельного решения

№ 1.2. Сложить на основании определения сложения натуральных чисел 5 + 3. Выполнить то же действие в представленных ниже моделях натуральных чисел

а) {3, 4, 5 …}; n / = n +1

б) {n  –2, n  Z }; n / = n +1

в) нечётные натуральные числа, n / = n +2

г) Целые числа,

№ 1.3. Докажите равенства для любого натурального n:

а) 1 + 2 + …+ n =
;

б) 1 2 + 2 2 + … + n 2 =
;

в) 1 3 + 2 3 + … + n 3 =
;

г) 1 + 3 + 5 + … + (2n + 1) = (n + 1) 2 ;

д) 1 2 + 3 2 + … + (2n – 1) 2 =
;

e) 12 + 23 + … + (n – 1)n =
;

ж)
;

з)
.

Давайте разберемся, как ее использовать для сложения десятков с десятками, сотен с сотнями и т.д.

Сложим 8 десятков и 9 десятков. Из таблицы сложения находим, что 8+9=10+7 . Следовательно, если сложить 8 десятков и 9 десятков, то получим сумму 10 десятков и 7 десятков, то есть, сумму 100 и 70 . Таким образом, 80+90=100+70 . Сумма 100+70 представляет собой сумму разрядных слагаемых числа 170 . Все эти рассуждения удобно записывать в виде последовательной цепочки равенств: 80+90=100+70=170 . Подобные записи означают, что значения всех выражений, которые разделены знаками равенства, равны.

Для закрепления материала рассмотрим решение еще одного примера. Выполним сложение 4 000+7 000 . Таблица сложения дает нам равенство 4+7=10+1 . Таким образом, сложить 4 тысячи и 7 тысяч это все равно, что сложить 10 тысяч и 1 тысячу. Следовательно, 4 000+7 000=10 000+1 000 . Последняя сумма представляет собой разложение по разрядам натурального числа 11 000 . Имеем 4 000+7 000=10 000+1 000=11 000 .

Сложение произвольных натуральных чисел.

Прежде чем перейти к сложению произвольных натуральных чисел, рекомендуем досконально изучить материал статьи сумма разрядных слагаемых , чтобы Вы не задумываясь могли раскладывать любое натуральное число по разрядам, и также не задумываясь по известному разложению сразу могли записать разложенное натуральное число. От этого напрямую будет зависеть, насколько легко Вам будет выполнять сложение произвольных натуральных чисел.

Опишем последовательность действий:

заменяем слагаемые их разложениями по разрядам;
переставляем слагаемые так, чтобы единицы оказались рядом с единицами, десятки - с десятками, сотни - с сотнями и так далее;
выполняем сложение единиц с единицами, затем - десятков с десятками, затем – сотен с сотнями и т.д.;
все предыдущие действия нас приводят к сумме, которая представляет собой разложение по разрядам натурального числа;
наконец, записываем искомое число по его разложению.

Разберем сложение двух натуральных чисел на примерах.

Пример.

Выполните сложение 36+2 .

Решение.

Разложение числа 36 по разрядам имеет вид 30+6 , а числа 2 – вид 2 . Тогда 36+2=30+6+2 .

В этом примере нам не нужно переставлять слагаемые, так как они и так находятся в нужном нам порядке.

Теперь складываем единицы: 6+2=8 . Следовательно, 30+6+2=30+8 .

Пришли к сумме 30+8 , которая равна 38 .

Таким образом, решение можно записать так: 36+2=30+6+2=30+8=38 .

Ответ:

36+2=38 .

Пример.

Сложите числа 57 и 17 .

Решение.

Так как 57=50+7 , а 17=10+7 , то 57+17=50+7+10+7 .

После перестановки слагаемых сумма примет следующий вид: 50+10+7+7 .

Теперь складываем единицы (если не помните наизусть, то обращайтесь к таблице сложения): 7+7=10+4 .

Таким образом, 50+10+7+7=50+10+10+4 .

Переходим к сложению десятков, то есть, к нахождению суммы трех слагаемых 50 , 10 и 10 . Сложим сначала 50 и 10 , после чего к полученному результату прибавим оставшееся число 10 . Поехали: 50+10=60 , так как 5+1=6 , тогда 50+10+10=60+10=70 , так как 6+1=7 .

Имеем, 50+10+10+4=70+4 . Последняя сумма представляет собой разложение по разрядам числа 74 .

Итак, 57+17=50+7+10+7=50+10+7+7= 50+10+10+4=70+4=74 .

Ответ:

57+17=74 .

Пример.

Вычислите сумму чисел 3 007 и 200 .

Решение.

Разложение числа 3 007 по разрядам имеет вид 3 000+7 , а числа 200 – вид 200 . Тогда 3 007+200=3 000+7+200=3 000+200+7 . Мы получили разложение по разрядам числа 3 207 . Таким образом, 3 007+200=3 207 .

Ответ:

3 007+200=3 207 .

Пример.

Сложите числа 28 301 и 73 745 .

Решение.

Разложим данные числа по разрядам: 28 301=20 000+8 000+300+1 и 73 745=70 000+3 000+700+40+5 .

Тогда
28 301+73 745= 20 000+8 000+300+1+70 000+ 3 000+700+40+5= 20 000+70 000+8 000+ 3 000+300+700+40+1+5 .
(При переносе равенств на следующую строку знак «=» записывают еще раз).

Складываем единицы: 1+5=6 . После этого имеем 20 000+70 000+8 000+ 3 000+300+700+40+1+5= 20 000+70 000+8 000+ 3 000+300+700+40+6 .

Десятки складывать не нужно.

Складываем сотни: 300+700=1 000 , так как 3+7=10 . На этом этапе имеем 20 000+70 000+8 000+ 3 000+300+700+40+6= 20 000+70 000+8 000+ 3 000+1000+40+6 .

Складываем тысячи. Так как 8+3=10+1 , то 8 000+3 000+1 000= 10 000+1 000+1 000= 10 000+2 000 . На этом этапе получаем
20 000+70 000+8 000+ 3 000+1 000+40+6= 20 000+70 000+10 000+2 000+40+6 .

Складываем десятки тысяч: 20 000+70 000+10 000= 90 000+10 000=100 000 . Тогда 20 000+70 000+10 000+2 000+40+6= 100 000+2 000+40+6 .

Сумма 100 000+2 000+40+6 равна числу 102 046 .

Ответ:

28 301+73 745=102 046 .

В заключение этого пункта отметим, что сложение многозначных натуральных чисел удобно проводить в столбик, поэтому рекомендуем изучить материал статьи сложение натуральных чисел столбиком .

Сложение натуральных чисел на координатном луче.

Целью этого пункта является представление геометрической интерпретации операции сложения натуральных чисел. Достигнуть этой цели нам поможет . Будем считать, что координатный луч расположен горизонтально и вправо.

На координатном луче сложение двух натуральных чисел a и b представляет собой последовательность следующих действий. Сначала мы находим точку с координатой a . Из этой точки последовательно друг за другом откладываем b единичных отрезков так, чтобы происходило удаление от начала отсчета. Это нас приведет в точку на координатном луче, координатой которой является натуральное число, равное сумме a+b . Иными словами мы из точки с координатой a перемещаемся вправо на расстояние b , при этом попадаем в точку, координата которой равна сумме чисел a и b .

Для наглядности приведем пример. Покажем, что представляет собой сложение натуральных чисел 2 и 4 на координатном луче (смотрите рисунок ниже). Из точки с координатой 2 мы откладываем 4 единичных отрезка. После этого мы попадаем в точку, координатой которой является число 6 . Таким образом, 2+4=6 .

Проверка результата сложения натуральных чисел вычитанием.

Проверка результата сложения натуральных чисел с помощью вычитания основана на достаточно очевидной связи между сложением и вычитанием. Проследить эту связь легко, обратившись к следующему примеру.

Пусть у нас есть 7 яблок и 2 груши. Сложим эти фрукты вместе, тогда сумма 7+2=9 в силу смысла сложения натуральных чисел определяет общее количество фруктов. Понятно, что если из сложенных вместе фруктов (всего их 9 ) отложить в сторону 7 яблок, то в другой стороне останутся 2 груши. Описанному действию в силу смысла вычитания натуральных чисел соответствует равенство 9−7=2 . Аналогично, если из сложенных вместе фруктов в сторону отложить 2 груши, то в другой стороне останутся 7 яблок. Этому действию отвечает равенство 9−2=7 .

Рассмотренный пример приводит нас к правилу, формулировка которого такова: если из суммы двух натуральных чисел вычесть одно из слагаемых, то результатом будет другое слагаемое . Это правило с помощью букв записывается следующим образом: если a+b=c вычитание натуральных чисел.

Выполним проверку результата сложения. Для этого вычтем из полученной суммы 163 слагаемое 106 и посмотрим, получится ли число, равное второму слагаемому 57 . Имеем 163−106=57 . Таким образом, проверка прошла успешно, и можно утверждать, что сложение было выполнено правильно.

Ответ:

106+57=163 .

Список литературы.

Математика. Любые учебники для 1, 2, 3, 4 классов общеобразовательных учреждений.
Математика. Любые учебники для 5 классов общеобразовательных учреждений.

На этом уроке вы познакомитесь с сложением натуральных чисел и законами, которым оно подчиняется. Выясните, что, используя эти законы, гораздо удобнее складывать числа. А также решите несколько примеров.

БАН + КА = БАНКА

Но иногда делают и наоборот: КА + БАН = КАБАН

Лена и Ваня наливают воду в ведро. У Лены есть двухлитровая банка с водой, а у Вани - трехлитровая. Есть разница, в какой последовательности они выльют воду? Нет. В любом случае там окажется одинаковое количество воды (5 литров).

В обоих примерах складывали две части. Но в первом случае порядок был важен, и если мы переставляли слагаемые местами, то менялся результат. Во втором случае порядок был не важен, слагаемые можно было менять местами.

Вычислите: .

То есть .

Все эти три записи означают одно и то же количество.

Вспоминая примеры со слогами и водой, приходим к предположению, что математическое сложение похоже на второй пример с водой, где менять местами слагаемые было можно.

Чтобы понять, что можно делать при сложении, а чего нельзя, нужно выяснить, что это такое. Что значит сложить 5 и 3? Это значит, что надо сложить 5 единиц и 3 единицы. Можно представить их палочками (см. рис. 1).

Рис. 1. Представление сложения

Слово «сложить» значит сложить в одну кучу. А потом посчитать, сколько там всего. Получится восемь (см. рис. 2).

Количество единиц, палочек в большой куче всегда можно посчитать. То есть любые две группы палочек можно сложить в одну большую. И там будет конкретное количество палочек.

На языке математики это можно сказать следующим образом: два любых натуральных числа и можно сложить. В результате получится новое натуральное число .

Числа и называются слагаемыми. Число называют суммой чисел и . Саму запись тоже называют суммой.

Складывая две группы единиц в одну большую, можно поступить двумя способами:

1) к первой группе добавить вторую,

2) ко второй добавить первую.

Неважно, в какой последовательности это делать. Взять сначала пять единиц и к ним добавить три или наоборот. То есть мы просто внутри большой кучки поменяли местами несколько элементов. Но от этого их количество не изменится. Результат всегда будет одинаков. Единиц, палочек в общей кучке всегда будет одно и то же количество. В данном случае восемь.

На языке математики это можно сказать следующим образом: от перестановки слагаемых сумма не изменяется.

Так , потому что и та, и другая сумма равны 8.

С большими числами этот закон тоже работает: . Эти две суммы равны друг другу. Чтобы это понять, не нужно считать. Мы знаем, что от перестановки слагаемых сумма не меняется.

Пусть теперь у нас три числа (три группы единиц) и их нужно сложить. То есть сложить в одну кучу. Есть два варианта:

1) добавить к первой сначала вторую, потом третью,

2) добавить к первой уже сложенные заранее вторую и третью.

Нет никакой разницы. Мы всегда будем получать одно и то же множество единиц, палочек. Ниоткуда новые не возьмутся, и имеющиеся не потеряются.

Если записать это с помощью чисел:

Если складывать любые три числа , то можно сложить сначала первые два числа, а можно начать с последних двух. Последовательность действий при сложении нескольких слагаемых не важна.

Эти законы очень сильно могут облегчить вычисления.

Мы можем складывать в любой последовательности. Выберем такую последовательность, чтобы было удобно. Смотрим на последние цифры. Если они дают в сумме 10, то лучше попробовать начать с них, их проще сложить. У второго слагаемого в конце 6, а у третьего 4, в сумме они дают 10, поэтому сложим сначала их, а затем прибавим первое слагаемое.

Первое и последнее числа заканчиваются на пять, значит, сумма будет заканчиваться на ноль, это удобно. Но они стоят не подряд. Поменяем местами 39 и 295.

Идея проста: если надо сложить сразу несколько чисел, мы можем переставлять их, как хотим, и выполнять действия в любом порядке.

Первое число удобно сложить с последним, а второе - с третьим.

Пусть у нас несколько ваз, в каждой какое-то количество яблок. Нужно узнать, сколько яблок всего. Не нужно ссыпать все яблоки в одну кучу и пересчитывать их. Просто выпишем на бумагу, сколько в каждой вазе яблок, и сложим эти числа. Например, .

Если какая-то ваза окажется пустой, то мы напишем, что в ней ноль яблок, и общий подсчет будет выглядеть так: .

Пустая ваза не влияет на общее количество яблок. То есть добавления нуля не меняет исходное количество: .

Сложение столбиком, или как еще говорят, сложение в столбик - это метод, широко используемый для сложения многозначных натуральных чисел. Суть этого метода в том, что сложение двух и более многозначных чисел сводится к нескольким простым операциям сложения однозначных чисел.

В статье подробно расписано, как выполнять сложение двух и большего количества многозначных натуральных чисел. Дано правило сложения чисел в столбик и примеры решения с разбором всех самых характерных ситуаций, возникающих при сложении чисел в столбик.

Сложение двух чисел в столбик: что нужно знать?

Прежде чем мы перейдем непосредственно к операции сложения в столбик, рассмотрим некоторые важные моменты. Для быстрого освоения материала желательно:

Знать и хорошо ориентироваться в таблице сложения. Так, при проведении промежуточных вычислений, вам не придется тратить время и постоянно обращаться к таблице сложения.
Помнить свойства сложения натуральных чисел. Особенно свойства, связанные со сложением нулей. Напомним их кратко. Если одно из двух слагаемых равно нулю, то сумма равна другому слагаемому. Сумма двух нулей есть нуль.
Знать правила сравнения натуральных чисел.
Знать, что такое разряд натурального числа. Напомним, что разряд - это позиция и значение цифры в записи числа. Разряд определяет значение цифры в числе - единицы, десятки, сотни, тысячи и т.д.

Опишем алгоритм сложения чисел столбиком с использованием конкретного примера. Пусть мы складываем числа 724980032 и 30095 . Сначала следует записать эти числа по правилам записи сложения в столбик.

Числа записываются одно под другим, цифры каждого разряда располагаются, соответственно, одна под другой. Слева ставим знак "плюс", а под числами проводим горизонтальную линию.

Теперь мысленно разбиваем запись на столбики по разрядам.

Все, что остается сделать - сложить однозначные числа в каждом столбике.

Начинаем с крайнего правого столбика (разряд единиц). Складываем числа, и под чертой записываем значение единиц. Если при сложении значение десятков в результате получилось отличным от нуля, запоминаем это число.

Складываем цифры второго столбика. К результату прибавляем число десятков, которое мы запомнили на предыдущем шаге.

Повторяем весь процесс с каждым столбиком, вплоть до крайнего левого.

Данное изложение - упрощенная схема алгоритма сложения натуральных чисел столбиком. Теперь, когда мы разобрались с сутью метода, рассмотрим каждый шаг подробно.

Сначала складываем единицы, то есть числа в правом столбце. Если у нас получилось число, меньшее чем 10 , записываем его в том же столбике и переходим к следующему. Если же результат сложения больше или равен 10 , то под чертой в первом столбике записываем значение разряда единиц, а значение разряда десятков - запоминаем. Например, получилось число 17 . Тогда записываем число 7 - значение единиц, а значение десятков - 1 - запоминаем. Обычно говорят: "семь пишем, один в уме".

В нашем примере, при сложении чисел первого столбика, мы получаем число 7 .

7 < 10 , поэтому записываем это число в разряд единиц результата, а запоминать нам ничего не нужно.

Далее складываем числа в следующем столбце, то есть в разряде десятков. Проводим те же действия, только к сумме нужно прибавить число, которое мы держали в уме. Если сумма получилась меньше 10 , просто записываем число под вторым столбиком. Если же результат больше или равен 10 , записываем во втором столбике значение единиц этого числа, а цифру из разряда десятков запоминаем.

В нашем случае мы складываем числа 3 и 9 , в результате имеем 3 + 9 = 12 . На предыдущем шаге мы ничего не запоминали, поэтому к этому результату ничего прибавлять не нужно.

12 > 10 , поэтому во втором столбике записываем цифру 2 из разряда единиц, а цифру 1 из разряда десятков держим в уме. Для удобства можно записать это число над следующим столбиком другим цветом.

В третьем столбике сумма цифр равна нулю (0 + 0 = 0). К этой сумме прибавляем то число, которое ранее держали в уме, и получаем 0 + 1 = 1 . записываем:

Переходя к следующему столбцу также складываем 0 + 0 = 0 и записываем в результате 0 , так как на предыдущем шаге мы ничего не запоминали.

Следующий шаг дает 8 + 3 = 11 . В столбике записываем цифру 1 из разряда единиц. Цифру 1 из разряда десятков держим в уме и переходим к следующему столбцу.

Этот столбик содержит только одно число 9 . Если бы у нас не было в памяти числа 1 , мы бы просто переписали число 9 под горизонтальную черту. Однако, учитывая, что не предыдущем шаге мы запомнили число 1 , нужно сложить 9 + 1 и записать результат.

Поэтому, под горизонтальной чертой мы записываем 0 , а единицу снова держим в уме.

Переходя к следующему столбику складываем 4 и 1 , результат пишем под чертой.

Следующий столбик содержит только число 2 . Так на предыдущем шаге мы ничего не запоминали, просто переписываем это число под черту.

Также поступаем и с последним столбиком, содержащим число 7 .

Столбцов более нет, и в памяти также ничего нет, поэтому можно сказать, что операция сложения в столбик окончена. Число, записанное под чертой - результат сложения двух верхних чисел.

Чтобы разобраться со всеми возможными нюансами, рассмотрим еще несколько примеров.

Пример 1. Сложение натуральных чисел столбиком

Сложим два натуральных числа: 21 и 36 .

Сначала запишем эти числа по правилу записи при сложении столбиком:

Начав с правого столбика, приступаем к сложению чисел.

Так как 7 < 10 , записываем 7 под чертой.

Складываем числа во втором столбике.

Так как 5 < 10 , а в памяти с предыдущего шага ничего нет, записываем результат

В памяти и в следующем столбике чисел более нет, сложение закончено. 21 + 36 = 57

Пример 2. Сложение натуральных чисел столбиком

Сколько будет 47 + 38 ?

7 + 8 = 15 , поэтому запишем 5 в первом столбике под чертой, а 1 будем держать в уме.

Теперь складываем значения из разряда десятков: 4 + 3 = 7 . Не забываем о единице и прибавляем ее к результату:

7 + 1 = 8 . Полученное число записываем под чертой.

Это и есть результат сложения.

Пример 3. Сложение натуральных чисел столбиком

Теперь возьмем два трехзначных числа и выполним их сложение.

3 + 9 = 12 ; 12 > 10

Записываем 2 под чертой, 1 держим в уме.

8 + 5 = 13 ; 13 > 10

Складываем 13 и запомненную единицу, получаем:

13 + 1 = 14 ; 14 > 10

Записываем 4 под чертой, 1 держим в уме.

Не забываем, что на предыдущем шаге мы запомнили 1 .

Записываем 0 под чертой, 1 держим в уме.

В последнем столбике переносим единицу, которую мы запомнили ранее, под черту, и получаем окончательный результат сложения.

783 + 259 = 1042

Пример 4. Сложение натуральных чисел столбиком

Найдем сумму чисел 56927 и 90 .

Как всегда, сначала записываем условие:

7 + 0 = 7 ; 7 < 10

2 + 9 = 11 ; 11 > 10

Записываем 1 под чертой, 1 держим в уме и переходим к следующему столбику.

Записываем 0 под чертой, 1 держим в уме и переходим к следующему столбику.

Столбик содержит одно число 6 . Складываем его с запомненной единицей.

6 + 1 = 7 ; 7 < 10

Записываем 7 под чертой и переходим к следующему столбику.

Столбик содержит одно число 5 . Переносим его под черту и заканчиваем операцию сложения.

56927 + 90 = 57017

Следующий пример приведем без промежуточных результатов и пояснений, как образец записи сложения в столбик на практике.

Предыдущая статья: Чему равна скорость света Следующая статья: Чувственное и рациональное в познавательном процессе