Что такое центр масс.

Определение

Положение центра масс (центра инерции) системы материальных точек в классической механике определяется следующим образом:

- радиус-вектор i -й точки системы, - масса i -й точки.

Для случая непрерывного распределения масс:

- суммарная масса системы, - объём, - плотность.

Центр масс, таким образом, характеризует распределение массы по телу или системе частиц.

Центры масс однородных фигур

• У отрезка - середина.
• У многоугольников (как сплошных плоских фигур, так и каркасов):
  • У треугольника - точка пересечения медиан (центроид ).
• У правильного многоугольника - центр поворотной симметрии.

В механике

Понятие центра масс широко используется в физике.

Движение твёрдого тела можно рассматривать как суперпозицию движения центра масс и вращательного движения тела вокруг его центра масс. Центр масс при этом движется так же, как двигалось бы тело с такой же массой, но бесконечно малыми размерами (материальная точка). Последнее означает, в частности, что для описания этого движения применимы все законы Ньютона . Во многих случаях можно вообще не учитывать размеры и форму тела и рассматривать только движение его центра масс.

Часто бывает удобно рассматривать движение замкнутой системы в системе отсчёта , связанной с центром масс. Такая система отсчёта называется системой центра масс (Ц-система), или системой центра инерции. В ней полный импульс замкнутой системы всегда остаётся равным нулю, что позволяет упростить уравнения её движения.

Центр масс в релятивистской механике

В случае высоких скоростей (порядка скорости света) (например, в физике элементарных частиц) для описания динамики системы применяется аппарат СТО . В релятивистской механике (СТО) понятия центра масс и системы центра масс также являются важнейшими понятиями, однако, определение понятия меняется:

- радиус-вектор центра масс, - радиус-вектор i -й частицы системы, - полная энергия i -й частицы.

Во избежание ошибок следует понимать, что в СТО центр масс характеризуется не распределением массы, а распределением энергии. В курсе теоретической физики Ландау и Лившица предпочтение отдается термину «центр инерции». В западной литературе по элементарным частицам применяется термин «центр масс» (center-of-mass). Оба термина эквивалентны.

Скорость центра масс в релятивистской механике можно найти по формуле:

Центр тяжести

Центр масс тела не следует путать с центром тяжести!

Центром тяжести тела называется точка, относительно которой суммарный момент сил тяжести, действующих на систему, равен нулю. Например, в системе, состоящей из двух одинаковых масс, соединённых несгибаемым стержнем, и помещённой в неоднородное гравитационное поле (например, планеты), центр масс будет находиться в середине стержня, в то время как центр тяжести системы будет смещён к тому концу стержня, который находится ближе к планете (ибо вес массы P = m·g зависит от параметра гравитационного поля g ), и, вообще говоря, даже расположен вне стержня.

В постоянном параллельном (однородном) гравитационном поле центр тяжести всегда совпадает с центром масс. Поэтому на практике эти два центра почти совпадают (так как внешнее гравитационное поле в некосмических задачах может считаться постоянным в пределах объёма тела).

По этой же причине понятия центр масс и центр тяжести совпадают при использовании этих терминов в геометрии, статике и тому подобных областях, где применение его по сравнению с физикой можно назвать метафорическим и где неявно предполагается ситуация их эквивалентности (так как реального гравитационного поля нет и не имеет смысла учёт его неоднородности). В этих применениях традиционно оба термина синонимичны, и нередко второй предпочитается просто в силу того, что он более старый.

См. также

Wikimedia Foundation . 2010 .

• Плазма
• Шитте, Людвиг

Смотреть что такое "Центр масс" в других словарях:

центр масс - (центр инерции) тела (системы материальных точек), точка, положение которой характеризует распределение масс в теле или механической системе. При движении тела его центр масс движется как материальная точка с массой, равной массе всего тела, к… … Энциклопедический словарь

ЦЕНТР МАСС - (центр инерции) тела (системы материальных точек) точка, характеризующая распределение масс в теле или механическлй системе. При движении тела его центр масс движется как материальная точка с массой, равной массе всего тела, к которой приложены… … Большой Энциклопедический словарь

центр масс - механической системы; центр масс; отрасл. центр инерции Геометрическая точка, для которой сумма произведений масс всех материальных точек, образующих механическую систему, на их радиус векторы, проведенные из этой точки, равна нулю … Политехнический терминологический толковый словарь

ЦЕНТР МАСС - то же, что центр инерции. Физический энциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1983. ЦЕНТР МАСС … Физическая энциклопедия

центр масс - 3.1 центр масс: Точка, связанная с физическим телом и обладающая таким свойством, что воображаемый точечный объект массой, равной массе этого физического тела, будучи помещен в эту точку, имел бы тот же момент инерции относительно произвольной… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Центр масс - центр инерции, геометрическая точка, положение которой характеризует распределение масс в теле или механической системе. Координаты Ц. м. определяются формулами, или для тела при непрерывном распределении масс … … Большая советская энциклопедия

ЦЕНТР МАСС - центр инерци и, точка С, характеризующая распределение масс в механич. системе. Радиус вектор Ц. м. системы, состоящей из материальных точек, где mi и ri масса и радиус вектор i й точки, а М масса всей системы. При движении системы Ц. м. движется … Большой энциклопедический политехнический словарь

ЦЕНТР МАСС - (центр инерции) тела (системы материальных точек), точка, положение к рой характеризует распределение масс в теле или механич. системе. При движении тела его Ц. м. движется как материальная точка с массой, равной массе всего тела, к к рой… … Естествознание. Энциклопедический словарь

Определение

При рассмотрении системы частиц, часто удобно найти такую точку, которая характеризует положение и движение рассматриваемой системы как единого целого. Такой точкой является центр масс .

Если у нас две частицы одинаковой массы, то такая точка находится посередине между ними.

Координаты центра масс

Допустим, что две материальные точки, имеющие массы $m_1$ и $m_2$ находятся на оси абсцисс и имеют координаты $x_1$ и $x_2$. Расстояние ($\Delta x$) между этими частицами равно:

\[\Delta x=x_2-x_1\left(1\right).\]

Определение

Точку С (рис.1), делящую расстояние между этими частицами на отрезки, обратно пропорциональные массам частиц называют центром масс этой системы частиц.

В соответствии с определением для рис.1 имеем:

\[\frac{l_1}{l_2}=\frac{m_2}{m_1}\left(2\right).\]

где $x_c$ - координата центра масс, то получаем:

Из формулы (4) получим:

Выражение (5) легко обобщается для множества материальных точек, которые расположены произвольным образом. При этом абсцисса центра масс равна:

Аналогично получают выражения для ординаты ($y_c$) центра масс и его аппликаты ($z_c$):

\ \

Формулы (6-8) совпадают с выражениями, определяющими центр тяжести тела. В том случае, если размеры тела малы в сравнении с расстоянием до центра Земли, центр тяжести считают совпадающим с центром масс тела. В большинстве задач центр тяжести совпадает с центром масс тела.

Если положение N материальных точек системы задано в векторной форме, то радиус - вектор, определяющий положение центра масс находим как:

\[{\overline{r}}_c=\frac{\sum\limits^N_{i=1}{m_i{\overline{r}}_i}}{\sum\limits^N_{i=1}{m_i}}\left(9\right).\]

Движение центра масс

Выражение для скорости центра масс (${\overline{v}}_c=\frac{d{\overline{r}}_c}{dt}$) имеет вид:

\[{\overline{v}}_c=\frac{m_1{\overline{v}}_1+m_2{\overline{v}}_2+\dots +m_n{\overline{v}}_n}{m_1+m_2+\dots +m_n}=\frac{\overline{P}}{M}\left(10\right),\]

где $\overline{P}$ - суммарный импульс системы частиц; $M$ масса системы. Выражение (10) справедливо при движениях со скоростями которые существенно меньше скорости света.

Если система частиц является замкнутой, то сумма импульсов ее частей не изменяется. Следовательно, скорость центра масс при этом величина постоянная. Говорят, что центр масс замкнутой системы перемещается по инерции, то есть прямолинейно и равномерно, и это движение не зависимо от движения составных частей системы. В замкнутой системе могут действовать внутренние силы, в результате их действия части системы могут иметь ускорения. Но это не оказывает влияния на движение центра масс. Под действием внутренних сил скорость центра масс не изменяется.

Примеры задач с решением

Пример 1

Задание. Запишите координаты центра масс системы из трех шариков, которые находятся в вершинах и центра равностороннего треугольника, сторона которого равна $b\ (м)$ (рис.2).

Решение. Для решения задачи используем выражения, определяющие координаты центра масс:

\ \

Из рис.2 мы видим, что абсциссы точек:

\[\left\{ \begin{array}{c} m_1=2m,\ \ x_1=0;;\ \ \\ {\rm \ }m_2=3m,\ \ \ \ x_2=\frac{b}{2};; \\ m_3=m,\ \ x_3=\frac{b}{2};; \\ m_4=4m,\ \ x_4=b. \end{array} \right.\left(2.3\right).\]

Тогда абсцисса центра масса равна:

Найдем ординаты точек.

\[ \begin{array}{c} m_1=2m,\ \ y_1=0;;\ \ \\ {\rm \ }m_2=3m,\ \ \ \ y_2=\frac{b\sqrt{3}}{2};; \\ m_3=m,\ \ y_3=\frac{b\sqrt{3}}{6};; \\ m_4=4m,\ \ y_4=0. \end{array} \left(2.4\right).\]

Для нахождения ординаты $y_2$ вычислим, чему равна высота в равностороннем треугольнике:

Ординату $y_3$ найдем, помня, что медианы в равностороннем треугольнике точкой пересечения делятся в отношении 2:1 от вершины, получаем:

Вычислим ординату центра масс:

Ответ. $x_c=0,6b\ {\rm \ }{\rm м}$; $y_c=\frac{b\sqrt{3}\ }{6}$ м

Пример 2

Задание. Запишите закон движения центра масс.

Решение. Закон изменения импульса системы частиц является законом движения центра масс. Из формулы:

\[{\overline{v}}_c=\frac{\overline{P}}{M}\to \overline{P}=M{\overline{v}}_c\left(2.1\right)\]

при постоянной массе $M$ продифференцировав обе части выражения (2.1), получим:

\[\frac{d\overline{P}}{dt}=M\frac{d{\overline{v}}_c}{dt}\left(2.2\right).\]

Выражение (2.2) означает, что скорость изменения импульса системы равняется произведению массы системы на ускорение ее центра масс. Так как

\[\frac{d\overline{P}}{dt}=\sum\limits^N_{i=1}{{\overline{F}}_i\left(2.3\right),}\]

В соответствии с выражением (2.4) получаем, что центр масс системы движется так, как двигалась бы одна материальная точка массы M, если на нее действует сила, равная сумме всех внешних сил, действующих на частицы, которые входят в рассматриваемую систему. Если $\sum\limits^N_{i=1}{{\overline{F}}_i=0,}$ то центр масс движется равномерно и прямолинейно.

Понятие интеграла широко применимо в жизни. Интегралы применяется в различных областях науки и техники. Основными задачами, вычисляемыми с помощью интегралов являются задачи на:

1. Нахождение объема тела

2. Нахождение центра масс тела.

Рассмотрим каждую из них более подробно. Здесь и далее, для обозначения определенного интеграла от некоторой функции f(x), с пределами интегрирования от a до b, будем использовать следующую запись ∫ a b f(x) .

Нахождение объема тела

Рассмотрим следующий рисунок. Допустим, имеется некоторое тело, объем которого равен V. Так же имеется прямая такая, что если мы возьмем некоторую плоскость, перпендикулярную этой прямой, на будет известна площадь сечения S данного тела этой плоскостью.

Каждая такая плоскость будет перпендикуляра оси Ох, а следовательно будет пересекать её в некоторой точке х. То есть каждой точке х, из отрезка будет поставлена в соответствие число S(x) - площадь сечения тела плоскость проходящей через эту точку.

Получается, на отрезке будет задана некоторая функция S(x). Если эта функция будет непрерывна на этом отрезке, то будет справедлива следующая формула:

V = ∫ a b S(x)dx.

Доказательство этого утверждения выходит за рамки программы школьного курса.

Вычисление центра масс тела

Центр масс чаще всего используется в физике. Например, есть некоторое тело которое движется с какой-либо скорость. Но большое тело рассматривать неудобно, и поэтому в физике рассматривается это тело, как движение точки, в предположении, что эта точка имеет такую же массу, как и все тело.

А задача вычисления цетра масс тела, является основной в этом вопросе. Потому как тело-то большое, и какую именно точку надо взять за центр масс? Может быть ту, которая находится в середине тела? Или может саму ближнюю точку к переднему краю? Тут приходит на помощь интегрирование.

Для нахождения центра масс используется следующие два правила:

1. Координата x’ центра масс некоторой системы материальных точек A1, A2,A3, … An с массами m1,m2,m3, … mn соответственно расположенных на прямой в точках с координатами x1, x2, x3, … xn находится последующей формуле:

x’ = (m1*x1 + ma*x2 + … + mn*xn)/(m1 + m2 + m3 +… + mn)

2. При вычислении координаты центра масс можно любую часть рассматриваемой фигуры заменить на материальную точку, при этом поместив ее в центр масс этой отдельной части фигуры, а массу взять равную массе этой части фигуры.

Например, если вдоль стержня - отрезка оси Ох распределена масса плотностью p(x), где p(x) есть непрерывная функция, то координата центра масс x’ будет равняться.

Центр масс это геометрическая точка находящаяся внутри тела, которая определяет распределение массы этого тела. Любое тело можно представить в виде суммы некоторого количества материальных точек. В этом случае положение центра масс определяет радиус вектор.

Формула 1 - Радиус вектора центра масс.

mi - масса итой точки.

ri - радиус вектор итой точки.

Если просуммировать массы всех материальных точек, то получится масса всего тела. На положение центра масс влияет однородность распределения массы по объему тела. Центр масс может находиться как внутри тела, так и за его приделами. Скажем у кольца, центр масс находится в центре окружности. Там где нет вещества. В общем, для симметричных тел обладающих однородным распределением массы центр масс всегда находится в центре симметрии или на ее оси.

Рисунок 1 - Центры массы симметричных тел.

Если к телу прикладывать некоторую силу, то оно начнет двигаться. Представьте себе кольцо, лежащее на поверхности стола. Если к нему приложить силу, а попросту начать толкать, то оно будет скользить по поверхности стола. А вот направление движения будет завесить от места приложения силы.

Если силу направить от внешнего края к центру, по перпендикуляру к внешней поверхности, то кольцо начнет прямолинейно двигаться по поверхности стола в направлении приложения силы. Если же силу приложить по касательной к внешнему радиусу кольца, то оно начнет поворачиваться относительно своего центра масс. Таким образом, можно заключить, что движение тела состоит из суммы поступательного движения и вращательного относительно центра масс. То есть движение любого тела можно описать движением материальной точки находящейся в центре масс и имеющей массу всего тела.

Рисунок 2 - Поступательное и вращательное движение кольца.

Существует также понятие центр тяжести. В общем, это не одно и то же что и центр масс. Центр тяжести это точка относительно, которой общий момент силы тяжести равен нулю. Если представить себе стержень длинной скажем 1 метр, диаметром 1см, и однородный по своему сечению. На концах стержня закреплены металлические шары одинаковой массы. То центр масс этого стержня будет находиться посередине. Если этот стержень поместить в неоднородное гравитационное поле, то центр тяжести будет смещён в сторону большей напряжённости поля.

Рисунок 3 - Тело в неоднородном и однородном гравитационном поле.

На поверхности земли, где сила тяжести однородна, центр масс практически совпадает с центром тяжести. Для любого постоянного однородного гравитационного поля центр тяжести всегда будет совпадать с центром масс.

Урок «Центр масс»

Регламент: 2 урока

Цель: Познакомить учащихся с понятием «центр масс» и его свойствами.

Оборудование: фигуры из картона или фанеры, «неваляшка», перочинный нож, карандаши.

План урока

Этапы урока время методы и приемы

I Введение учащихся 10 фронтальный опрос, работа учащихся у доски.

в проблему урока

II. Изучение нового 15-20 Рассказ учителя, решение задачи,

материала: 10 экспериментальное задание

III Отработка нового 10 сообщения учащихся

материала: 10-15 решение задач,

15 фронтальный опрос

IV.Выводы. Домашнее 5-10 Устное обобщение материала учителем.

задание Запись на доске

Ход урока.

I Повторение 1. Фронтальный опрос: плечо силы, момент силы, условие равновесия, виды равновесия

Эпиграф: Центром тяжести каждого тела является некоторая располо-женная внутри его точка - такая, что если за нее мысленно подвесить тело, то оно остается в покое и сохраняет первона-чальное положение.

II . Объяснение нового материала

Пусть дано тело или система тел. Мысленно разобьем тело на сколь угодно малые части с массами m1, m2, m3… Каждую из этих частей можно рассматривать как материальную точку. Положение в пространстве i-ой материальной точки с массой mi определяется радиус-вектором r i (рис. 1.1). Масса тела есть сумма масс отдельных его частей: т = ∑ mi.

Центром масс тела (системы тел) называет-ся такая точка С, радиус-вектор которой определяется по формуле

r = 1/m∙∑ mi r i

Можно показать, что положение центра масс относительно тела не за-висит от выбора начала координат О, т.е. данное выше определение центра масс однозначно и корректно.

Центр масс однородных симметричных тел рас-положен в их геометрическом центре или на оси симметрии, центр масс у плоского тела в виде произвольного треугольника находится на пересече-нии его медиан.

Решение задачи

ЗАДАЧА 1. На легком стержне (рис. 1.2) закреплены однородные ша-ры массами m1 = 3 кг, m2 = 2 кг, m3 = 6 кг, и m4 = 3 кг. Расстояние между центрами любых ближайших шаров

а = 10 см. Найти положе-ние центра тяжести и центра масс конструкции.

РЕШЕНИЕ. Положение относительно шаров центра тяжести конструкции не зависит от ориентации стержня в пространстве. Для ре-шения задачи удобно располо-жить стержень горизонтально, как показано на рисунке 2. Пусть центр тяжести находится на стержне на расстоянии L от центра левого шара, т.е. от т. А. В центре тяжести приложена равнодействующая всех сил тяжести и ее момент относительно оси А равен сумме моментов сил тяжести шаров. Имеем r = (m1 + m2 + m3 + m4) g ,

R L = m2gα + m 3 g 2 а + m 4 g 3 а.

Отсюда L=α (m1 +2m3 + 3m4)/ (m1 + m2 + m3 + m4) ≈ 16,4 см

ОТВЕТ. Центр тяжести совпадает с центром масс и находится, в точке С на расстоянии L=16,4см от центра левого шара.

Оказывается, что у центра масс тела (или системы тел) есть ряд за-мечательных свойств. В динамике показывается, что импульс произвольно движущегося тела равен произведению массы тела на скорость его центра масс и что центр масс движется так, как если бы все внешние силы, действующие на тело, были приложены в центре масс, а масса все-го тела была сосредоточена в нем.

Центром тяжести тела, находящегося в поле тяготения Земли, на-зывают точку приложения равнодействующей всех сил тяжести, дейст-вующих на все части тела. Эта равнодействующая называется силой тя-жести, действующей на тело. Сила тяжести, приложенная в центре тя-жести тела, оказывает на тело такое же воздействие, как и нее силы тя-жести, действующие на отдельные части тела.

Интересен случай, когда размеры тела намного меньше размеров Зем-ли. Тогда можно считать, что на все части тела действуют параллельные силы тяжести, т.е. тело находится в однородном поле тяжести. У парал-лельных и одинаково направленных сил всегда есть равнодействующая, что можно доказать. Но при определенном положении тела в простран-стве можно указать только линию действия равнодействующей всех параллельных сил тяжести, точка ее приложения останется пока неопреде-ленной, т.к. для твердого тела любую силу можно переносить вдоль ли-нии ее действия. Как же быть с точкой приложения?

Можно показать, что при любом положении тела в однородном поле тяжести, линия действия равнодействующей всех сил тяжести, действу-ющих на отдельные части тела, проходят через одну и ту же точку, не-подвижную относительно тела. В этой точке и прикладывается равно-действующая, а сама точка будет центром тяжести тела.

Положение центра тяжести относительно тела зависит только от фор-мы тела и распределения массы в теле и не зависит от положения тела в однородном поле тяжести. Центр тяжести не обязательно находится в са-мом теле. Например, у обруча в однородном поле тяжести центр тяжести лежит в его геометрическом центре.

В однородном поле тяжести центр тяжести те-ла совпадает с его центром масс.

В подавляющем боль-шинстве случаев один термин безбо-лезненно можно заменять другим.

Но: центр масс тела су-ществует независимо от наличия поля тяжести, а о центре тяжести мож-но говорить только при наличии силы тяжести.

Местоположение центра тяжести тела, а значит и центра масс, удобно находить, учитывая симметричность тела и используя понятие момента силы.

Если плечо силы равно нулю, то момент силы равен нулю и такая сила не вызывает вращательного движения тела.

Следовательно, если линия действия силы проходит через центр масс, то оно движется поступательно.

Таким образом, можно определить центр масс любой плоской фигуры. Для этого надо закрепить ее в одной точке, дав ей возможность свободно поворачиваться. Она установится так, чтобы сила тяжести, поворачивающая ее, проходила через центр масс. В точке закрепления фигуры подвесим нить с грузом (гайкой), проведем линию вдоль подвеса (т.е. линию действия силы тяжести). Повторим действия, закрепив фигуру в другой точке. Пересечение линий действия сил тяжести - центр масс тела

Экспериментальное задание: определить центр тяжести плоской фигуры (по приготовленным ранее учащимися фигурам из картона или фанеры).

Инструкция: закрепляем фигурку на штативе. Подвешиваем за один из углов фигуры отвес. Проводим линию действия силы тяжести. Поворачиваем фигуру, повторяем действие. Центр масс лежит в точке пересечения линий действия силы тяжести.

Быстро справившимся с заданием учащимся можно дать дополнительное задание: прикрепить к фигуре груз (металлический болт) и определить новое положение центра масс. Сделать вывод.

Изучение замечательных свойств «центров», которому более двух тыся-челетий, оказалось полезным не толь-ко для механики - например, при конструировании транспортных средств и военной техники, расчете устойчивости сооружений или для вывода уравнений движения реактив-ных аппаратов. Вряд ли Архимед мог даже помыслить о том, что поня-тие центра масс окажется весьма удоб-ным для исследований в ядерной фи-зике или в физике элементарных час-тиц.

Сообщения учащихся:

В своем труде «О равновесии плос-ких тел» Архимед употреблял понятие центра тяжести, фактически не опре-деляя его. Видимо, оно впервые было введено неизвестным предшественни-ком Архимеда или же им самим, но в более ранней, не дошедшей до нас работе.

Должно было пройти долгих сем-надцать столетий, прежде чем наука прибавила к исследованиям Архимеда о центрах тяжести новые результаты. Это произошло, когда Леонардо да Винчи сумел найти центр тяжести тет-раэдра. Он же, размышляя об устойчи-вости итальянских наклонных башен, в том числе - Пизанской, пришел к «теореме об опорном многоугольни-ке».

Выясненные еще Архимедом усло-вия равновесия плавающих тел впос-ледствии пришлось переоткрывать. Занимался этим в конце XVI века: голландский ученый Симон Стевин, применявший, наряду с понятием цен-тра тяжести, и понятие «центр давле-ния» - точку приложения силы давле-ния окружающей тело воды.

Прин-цип Торричелли (а его имя носят и формулы для расчета центра масс), оказывается, был предвосхищен его учителем Галилеем. В свою очередь, этот принцип лег в основу классичес-кого труда Гюйгенса о маятниковых часах, а также был использован в знаменитых гидростатических иссле-дованиях Паскаля.

Метод, позволивший Эйлеру изу-чать движение твердого тела под дей-ствием любых сил, состоял в разложе-нии этого движения на перемещение центра масс тела и вращение вокруг проходящих через него осей.

Для сохранения в неизменном по-ложении предметов при движении их опоры уже несколько столетий приме-няется так называемый карданов под-вес - устройство, в котором центр тяжести тела располагают ниже осей, вокруг которых оно может вращаться. Примером может служить корабельная керосиновая лампа.

Хотя на Луне сила тяжести в шесть раз меньше, чем на Земле, увеличить там рекорд по прыжкам в высоту уда-лось бы «всего» лишь в четыре раза. К такому выводу приводят расчеты по изменению высоты центра тяжести тела спортсмена.

Помимо суточного вращения вок-руг своей оси и годового обращения вокруг Солнца, Земля принимает уча-стие еще в одном круговом движении. Вместе с Луной она «крутится» вокруг общего центра масс, расположенного примерно в 4700 километрах от центра Земли.

Некоторые искусственные спутни-ки Земли снабжены складной штангой в несколько или даже в десятки мет-ров, утяжеленной на конце (так назы-ваемый гравитационный стабилиза-тор). Дело в том, что спутник вытяну-той формы стремится при движении по орбите повернуться вокруг своего центра масс так, чтобы его продольная ось расположилась вертикально. Тог-да он, подобно Луне, будет все время обращен к Земле одной стороной.

Наблюдения за движением неко-торых видимых звезд свидетельству-ют о том, что они входят в двойные системы, в которых происходит вра-щение «небесных партнеров» вокруг общего центра масс. Одним из невиди-мых компаньонов в такой системе мо-жет быть нейтронная звезда или, воз-можно, черная дыра.

Объяснение учителя

Теорема о центре масс: центр масс те-ла может изменить свое положение только под действием внешних сил.

Следствие теоремы о центре масс: центр масс замкнутой системы тел остается неподвижным при любых взаимодействиях тел системы.

Решение задачи (у доски)

ЗАДАЧА 2. Лодка стоит неподвижно в стоячей воде. Человек, находящийся в лодке, переходит с носа на корму. На какое расстояние h сдви-нется лодка, если масса человека m= 60кг, масса лодки М = 120кг, длина лодки L=3м? Сопротивлением воды пренебречь.

РЕШЕНИЕ. Воспользуемся условием задачи, что начальная скорость центра масс равна нулю (лодка и человек вначале покоились) и сопротивление воды отсутствует (никакие внешние силы в горизонтальном направлении на систему «человек-лодка» не действуют). Следователь-но, координата центра масс системы в горизонтальном направлении не изменилась. На рис.3 изображено начальное и конечное положение лодки и человека. Начальная координата х0 центра масс х0 = (mL+ML/2)/(m+M)

Конечная координата х центра масс х = (mh+M(h+L/2))/(m+M)

Приравнивая х0 = х, находим h= mL/(m+M) =1м

Дополнительно: сборник задач Степановой Г.Н. №393

Объяснение учителя

Вспоминая условия равновесия, мы выяснили, что

Для тел, имеющих площадь опоры, устойчивое равновесие наблюдается в том случае, когда линия действия силы тяжести проходит через основание.

Следствие: чем больше площадь опоры и ниже центр тяжести, тем устойчивее положение равновесия.

Демонстрация

Поставьте детскую игрушку неваляш-ку (Ваньку - Встаньку) на шерохова-тую доску и приподнимите правый край доски. В какую сторону откло-нится «голова» игрушки при сохране-нии ее равновесия?

Объяснение: Центр тяжести С неваляшки находится ниже геометрического центра О шарообразной поверхности «туловища». В положе-нии равновесия точка С и точка касания А игрушки с на-клонной плоскостью должны находиться на одной вертикали; следовательно «голова» неваляшки отклонится влево

Как объяснить сохранение рав-новесия в случае, показанном на ри-сунке?

Объяснение: Центр тяжести системы карандаш - нож лежит ниже точ-ки опоры

III Закрепление. Фронтальный опрос

Вопросы и задачи

1. При перемещении тела с экватора на полюс действующая на него сила тяжести меняется. Отражается ли это на положении центра тяжести тела?

Ответ: нет, т.к. относительные изменения силы тяжести всех элементов тела одинаковы.

2. Можно ли найти центр тяжести «гантели», состоящей из двух массив-ных шариков, соединенных невесо-мым стержнем, при условии, что дли-на «гантели» сравнима с диаметром Земли?

Ответ: нет. Условие существования центра тяжести - однород-ность поля тяготения. В неоднородном гравитационном поле повороты «гантели» вокруг ее центра масс приводят к тому, что линии действия L1 и L2, равнодействующих сил тяжести, приложенных к шарикам, не имеют общей точки

3. Почему при резком торможении автомобиля его передняя часть опус-кается?

Ответ: при торможении на колеса со стороны дороги действует сила трения, создающая вращающий момент вокруг центра масс автомобиля.

4. Где находится центр тяжести буб-лика?

Ответ: в дырке!

5. В цилиндрический стакан понем-ногу наливают воду. Как будет изме-няться положение центра тяжести си-стемы стакан - вода?

Ответ: Центр тяжести системы сначала будет понижаться, а потом - повышаться.

6. Какой длины конец надо отрезать от однородного стержня, чтобы его центр тяжести сместился на ∆ℓ?

Ответ: длиной 2∆ℓ.

7. Однородный стержень согну-ли посередине под прямым углом. Где оказался теперь его центр тяжес-ти?

Ответ: в точке О — середине отрезка О1О2, соединяющего сере-дины участков АВ и ВС стержня

9. Неподвижная космическая ста-ция представляет собой цилиндр. Космонавт начинает круговой обход ста-ции по ее поверхности. Что произойдет со станцией?

Ответ: с танция придет во вращение в противоположную сторо-ну, причем ее центр будет описывать окружность вокруг об-щего с космонавтом центра масс.

11. Почему трудно передвигаться на ходулях?

Ответ: центр тяжести человека на ходулях значительно повыша-ется, а площадь его опоры на землю уменьшается.

12. Когда канатоходцу легче удер-жать равновесие - при обычном пере-движении по канату или при переносе сильно изогнутого коромысла, нагру-женного ведрами с водой?

Ответ: Во втором случае, так как центр масс канатоходца с вед-рами лежит ниже, т.е. ближе к опоре - канату.

IV Домашнее задание: (выполняется желающими - задачи трудные, решившие их получают "5").

*1. Найдите центр тяжести системы шаров, находящихся в вершинах равностороннего невесомого треугольника, изображенного на рисунке

Ответ: центр тяжести лежит на середине биссектрисы угла, в вершине которого находится шар массой 2m

*2. Глубина лунки в доске, в кото-рую вставлен шар, в два раза меньше радиуса шара. При каком угле накло-на доски к горизонту шар выскочит из лунки?

Предыдущая статья: Чему равна скорость света Следующая статья: Углерод — характеристика элемента и химические свойства