Площади небольших участков с криволинейными граница­ми можно измерять с помощью палеток. Палетка для измере­ния площадей – лист прозрачного материала (восковки, лавса­на, пластика, кальки), на который нанесена сетка квадратов размером 2×2 мм или система равноотстоящих параллельных линий.

Наложив палетку с сеткой квадратов на план, подсчиты­вают число квадратов, уместившихся в измеряемой площади, оценивая дробные части квадратов на краях участка на глаз. Результат подсчета умножают на площадь одного квадрата.

Так, квадрату размером 2×2 мм на плане масштаба 1:1000 соответствует на местности квадрат 2×2 м, то есть площадь равная 4 м 2 . Если подсчитанное число квадратиков равно 122,4, то площадь участка равна 122,4 · 4 м 2 = 490 м 2 .

Для измерения площади палеткой с параллельными линия­ми ее накладывают на план так, чтобы противоположные края участка расположились посредине между линиями палетки (рис. 5.1).

Отрезки линий палетки, ограниченные контуром участка, можно рассматривать как средние линии трапеций, заключенных на рисунке между пунктирными линиями. Из­мерив длины средних линий d 1 , d 2 , ..., d n , площадь участка вычисляют по формуле (5.1):

P = h (d 1 + d 2 + … + d n ), (5.1)

где h - расстояние между линиями палетки (в масштабе).

Определение суммы отрезков d 1 + d 2 + … + d n выполняют циркулем-измерителем. Взяв в раствор измерителя отрезок d 1 , переносят измеритель на следующую линию, на продолжение отрезка d 2 и увеличивают раствор так, что в растворе будет набрана сумма d 1 + d 2 . Продолжая, накапливают всю сумму расстояний и определяют ее значение по масштабной линейке.

Прямоугольная палетка построена в виде сетки квадратов. Определение площади прямоугольной палеткой выполняют по способу А.Н. Савича (рис.5.2).

Способ А. Н. Савича применяется при измерении на плане больших площадей. Часть Р 0 площади участка (рис. 5.2), состоящая из целых квадратов, образованных линиями координатной сетки, не требует измерения – она равна сумме известных площадей квадратов. Измеряют площади Р 1 , Р 2 , Р 3 , Р 4 , расположенные на краях участка и составленные

Р = Р 0 + Р 1 + Р 2 + Р 3 + Р 4 . (5.2)

Измерение площадей Р 1 , Р 2 , Р 3 , Р 4 может быть выполнено любым из описанных выше методов (по координатам, по линейно-угловым измерениям).

Рис. 5.3 К способу Савича

Для повышения точности измерения площадей Р 1 , Р 2 , Р 3 и Р 4 рекомендуется измерять еще и дополнения этих площа­дей до целых квадратов и окончательные их значения вычис­лять. Пусть, например, непосредственное измерение площади Р 1 дало результат R (рис. 5.3). Измерением площади, дополняющей R до пяти целых квадратов, получен результат Q . Если бы не погрешности измерений и деформации бумаги, то сумма R + Q равнялась бы точно P Q – площади прямоуголь­ника, состоящего из пяти квадратов. Полагая погрешности пропорциональными размерам измеряемых площадей, напишем пропорцию , откуда следует . (5.3)

Аналогично вычисляют и площади Р 2 , Р 3 , Р 4 .

Достоинством способа Савича является то, что значитель­ная часть площади (а именно – Р 0 ) определяется без измере­ний, аналитически. Уменьшение измеряемой части площади и выполнение измерений с контролем повышают точность оп­ределения площади. Кроме того, оказывается учтенной дефор­мация бумаги.

Если значительная часть площади составлена целыми квад­ратами, а измерять приходится лишь малую ее часть, точность способа Савича близка к точности аналитических способов.

5.2 Способы определения площади участка с криволинейными границами

Измерение площади фигуры с помощью палетки

В школе дети знакомятся с большим количеством измерительных приборов и приспособлений.
Инна СЫЧЕВА, учитель школы № 1936 г. Москвы, показывает, как вычисляется площадь фигуры с помощью одного из таких приспособлений – палетки.

Тема. "Измерение площади фигуры с помощью палетки".

Цели. Научить выполнять приближенное вычисление площадей; познакомить с вычислением площади с помощью палетки по алгоритму; повторить единицы длины и единицы измерения площади; развивать мышление, внимание, память.

Оборудование. Учебник "Математика" (4-й класс, часть 1, авт. М.И. Моро и др.), таблица алгоритма, палетки, индивидуальные карточки, экран, эпидиаскоп, пленки с фигурами.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

II. Сообщение темы урока

Учитель. Сегодня на уроке вы научитесь выполнять приближенное вычисление площади и познакомитесь с приспособлением для этого.

III. Знакомство с новым материалом

У. Рассмотрите фигуру на экране.

– Сколько места занимает фигура А на плоскости? Другими словами, какова ее площадь?

Выслушиваются ответы детей.

– Ответ на этот вопрос мы можем дать лишь приблизительно, указав границы, в которых находится площадь фигуры А . Площадь фигуры больше 6 клеток, но меньше 16.

На доске:

Результат записывают на доске с помощью знака приближенного равенства ».

– Значит, площадь нашей фигуры приблизительно 11 квадратных единиц.

Все это мы смогли вычислить благодаря тому, что фигура А была разбита на клетки. Что делать, если таких клеток нет?

Дети. Самим расчертить фигуру на квадраты.

У. Правильно, но на это уйдет много времени. Чтобы ускорить работу, люди придумали приспособление для определения площади фигур.

Учитель раздает детям прозрачные пленки, расчерченные на квадратные сантиметры, и карточки с фигурами.

– Перед вами такое приспособление. Откройте учебники на странице 49 и прочитайте, как оно называется.

Д. Для приблизительного определения площади фигуры используется палетка .

Палетка – прозрачная пленка, разделенная на одинаковые квадраты: это могут быть квадратные дециметры, квадратные сантиметры, квадратные миллиметры.

У. Посмотрите на ваши палетки. Как они разделены?

Д. На квадратные сантиметры.

У. В учебнике на странице 49 на цветные фигуры так же наложена палетка, разделенная на квадратные сантиметры. Прочитайте, как находили площадь фигуры голубого цвета.

Дети читают текст, отмеченный красной чертой.

– Чему равна площадь этой фигуры?

Д. Примерно 31 квадратный сантиметр.

У. Попробуем вывести формулу, по которой приблизительно считается площадь.

Дети вместе с учителем выводят и записывают формулу.

На доске:

– Найдите площадь фигур зеленого и розового цветов.

Д. Площадь зеленой фигуры приблизительно равна 6 + 16: 2 = 14 квадратных сантиметров.

– Площадь розовой фигуры приблизительно равна 5 + 16: 2 = 13 квадратных сантиметров.

У. Возьмите в руки карточки с изображенными на них фигурами. С помощью палетки найдите их площадь.

Дети выполняют задание.

– Попробуем вывести алгоритм нахождения площади фигуры с помощью палетки.

Учитель записывает каждый шаг на доске.

На доске:

IV. Физкультминутка

V. Практическая работа

У. Нарисуйте на листе бумаги какую-нибудь замкнутую линию и найдите площадь фигуры, ограниченной этой линией.

Дети выполняют задание в тетради, находят площадь, называют свои ответы.

– Начертите циркулем окружность радиусом 4 сантиметра, найдите с помощью палетки площадь получившегося круга.

Дети находят площадь.

VI. Закрепление пройденного материала

У. Найдите задание 265 на странице 50. Задание выполняем по вариантам: вариант 1 – первая часть номера, вариант 2 – вторая часть.

Дети самостоятельно выполняют задание.

– Поменяйтесь тетрадями и проверьте работу ваших соседей.

Дети делают проверку.

– Вычислите периметр и площадь многоугольника.

На доске:

– Решите логическую задачу. Для каждой фигуры объясните, почему она лишняя.

На доске:

Д. Сначала уберем фигуру В , так как среди четырехугольников – треугольник. Затем уберем фигуру С , так как останутся фигуры с попарно равными сторонами. Уберем фигуру D , так как в ней углы не прямые.

VII. Самостоятельная работа

У. Выполните упражнения 267 и 262.

Дети выполняют работу и сдают тетради.

VIII. Итог урока

У. С помощью какого инструмента вы научились находить приближенное значение площади фигуры?

Д. С помощью палетки.

У. Какой формулой вы пользовались?

Д. S = а + в : 2.

У. Кто из вас научился выполнять приближенное вычисление площади фигуры?

Дети поднимают руки.

IХ. Домашнее задание

Учитель раздает карточки с цифрой 5 :

У. Дома вычислите площадь цифры и решите задачи 261 и 263.

Сегодня ты узнаешь, как можно найти площадь новым способом.

Ответь на вопросы учителю (можно в видеокомнате).

1. Вспомни, что такое площадь?
2. В каких единицах она измеряется?
3. Назови, какие геометрические фигуры ты знаешь?
4. Площади, каких фигур ты умеете находить?
5. Какие формулы ты можешь использовать для этого? Напиши их и покажи учителю. Можешь показать в видеокомнате или написать на .

А можешь ли ты найти площадь треугольника?

Знаешь ли ты формулу, которая может тебе помочь решить эту задачу?

Сейчас ты не знаешь эту формулу. Тебе расскажут о ней в старших классах.

И все же попробуем решить эту задачу.

На рисунке 1 дан прямоугольник. Указаны его размеры и площадь S = 200 кв. ед .

Предложи варианты нахождения площадей треугольников, указанных на рисунке 2.

Запиши свои решения в тетради и объясни их учителю (можно в видеокомнате).

Итак, ты смог найти площадь прямоугольного треугольника. Предложенный тобой способ справедлив только для этого вида треугольников.

Но они бывают разные. Поэтому нам нужно познакомиться с новым способом нахождения площадей.

Сегодня на уроке ты будешь учиться находить площадь фигур с помощью .

Давай научимся определять площадь с помощью палетки.

Рассуждения:

1. Одна длина стороны прямоугольника равна 3 см.
2. В три сантиметра укладываются 3 стороны маленького квадратика.
3. Следовательно длина стороны квадратика равна 1 см (3 см: 3 = 1 см).
4. Другая длина стороны прямоугольника равна 5 см.
5. В пять сантиметров укладываются 5 сторон маленького квадратика.
6. Следовательно длина стороны квадратика равна 1 см (5 см: 5 = 1 см).
7. Делаем вывод, что действительно у нас квадратики со стороной 1 см.
8. Площадь этого маленького квадратика равна 1 см 2 .
9. Считаем, сколько квадратиков внутри прямоугольника. Их 15.
10. Поэтому площадь прямоугольника будет равна: 1 см 2 · 15 = 15 см 2 .
11. Значит правильный ответ у Коли.

Познакомься с алгоритмом нахождения площади фигуры с помощью палетки.

Посмотри и повтори , как можно использовать палетку для нахождения площади фигуры произвольной формы.

Рассмотрим пример нахождения площади геометрической фигуры с помощью палетки.

Для определения на плане площадей небольших участков с криволинейными контурами применяют прямолинейные и кри­волинейные палетки. К прямолинейным относят известные и наиболее распространенные квадратные и параллельные палетки.

Квадратная палетка представляет сеть взаимно перпендику­лярных линий, проведенных через 1 мм на прозрачном целлулои­де, плексигласе, фотопленке, стекле или восковке (рис.1.1, а). Площадь фигуры вычисляют простым подсчетом клеток палетки, наложенной на фигуру. Доли клеток, рассекаемых контуром на части, учитывают на глаз. Как видно на рисунке 5.2, а, площадь контура занимает 58 клеток 1 . Для плана масштаба 1:10 000 пло­щадь клетки со стороной 1 мм равна 10x10= 100 м 2 = 0,01 га. Сле­довательно, площадь контура равна 0,58 га.

Для упрощения подсчетов проводят утолщенные линии через 0,5 и 1 см, чтобы число клеток можно подсчитать сразу группами (25 и 100 мм 2).

Недостаток ее применения помимо того, что площади долей клеток, рассекаемых контуром, приходится оценивать на глаз, со­стоит еще в том, что подсчет числа целых клеток нередко сопро­вождается грубыми ошибками.

Таких недостатков не наблюдается при определении площадей параллельной палеткой, представляющей собой листок прозрачно­го целлулоида, плексигласа или восковки, на котором нанесены параллельные линии, проведенные преимущественно через 2 мм одна от другой (рис.1.1, б).

Площадь контура этой палеткой вычисляют следующим обра­зом. Накладывают ее на контур так, чтобы крайние точки а и b разместились посередине между параллельными линиями палет­ки. Таким образом, весь контур оказывается расчлененным парал­лельными линиями на фигуры, близкие к трапециям с одинако­выми высотами, причем отрезки параллельных линий внутри кон­тура являются средними линиями трапеций. Прерывистыми ли­ниями на рисунке 1.1 , б показаны основания этих трапеций. Сумма площадей трапеций, т. е. площадь контура,

P=cdh + efh + mnh + ... + klh.

Так как все высоты трапеций равны,

P=h(cd+ef+mn + ... + kl)

.

Рис. 1.1 – Определение площади контура квадратной (а) и параллельной (б) палетками

Следовательно, чтобы получить площадь контура, нужно взять сумму средних линий, т. е. сумму отрезков параллельных прямых, проходящих внутри контура, и умножить на расстояние между ними.

Для упрощения определения площади сумму средних линий последовательно набирают в раствор циркуля: сначала берут отрезок cd, затем, не сжимая циркуля, совмещают левую его ножку с точкой /(см. рис. 5.2, б). После этого, не сдвигая правую ножку циркуля с места, увеличивают раствор циркуля, установив левую ножку в точку е. Таким образом, в растворе циркуля получают отрезок, равный cd + ef. Далее левую ножку циркуля устанавливают в точку л, вследствие чего пра­вая ножка встанет от точки п на расстоянии cd + ef После этого, не сдвигая пра­вую ножку с места, раствор циркуля увеличивают, установив левую ножку в точку т, и т.д. Последним отрезом, набираемым в раствор циркуля, будет отрезок к). Набранную в раствор циркуля сумму средних линий определяют по масштабной линейке, и полученную длину умножают на расстояние Л, соответствующее числу метров на местности.

Например, если масштаб плана 1:10 000, h – 20 м и сумма сред­них линий равна 682 м, то площадь контура будет равна 13 640 м 2 , или 1,36 га. Чтобы не выполнять подобных вычислений, для нуж­ного масштаба плана строят специальную шкалу, по которой от­считывают площадь контура, зная сумму средних линий. Рассчи­таем основание шкалы для масштаба 1:10 000. При расстоянии между параллельными линиями 2 мм и при основании шкалы 1 см площадь будет равна 20 100 = 2000 м 2 = 0,20 га. Следовательно, каждому сантиметру шкалы будет соответствовать 0,20 га на мест­ности. Левое основание шкалы делят на 10 частей, как это делают при построении линейного масштаба (см. рис. 1.1 , б).

Основанию масштаба 1:25 000, равному 1 см, будет соответство­вать площадь 1,25 га. Такое основание неудобно для определения площадей, поэтому следует рассчитать основание, которому соот­ветствует площадь 1 га. В этом случае длина основания, очевидно, будет равна 0,8 см. Левое основание шкалы также делят на 10 час­тей.

Для масштаба 1:5000 основание принимают 2 см, которое будет соответствовать площади 0,1 га.

После того как сумма средних линий в раствор циркуля набра­на, определяют площадь по шкале так же, как расстояния по ли­нейному масштабу. Палетку и шкалу обычно строит сам исполни­тель. Параллельной палеткой не следует определять площади больше 10 см 2 на плане.

К криволинейным относят гиперболические палетки, представляющие систе­му гиперболических кривых и применяющиеся для определения площадей про­стейших геометрических фигур. Эти палетки не находят заметного распростране­ния, так как при помощи их нельзя быстро определить площадь участка с криво­линейным контуром.

«Площади фигур геометрия» - Площади фигур. Равные фигуры имеют равные площади. Решите ребус. Квадратный миллиметр. Фигуры разбиты на квадраты со стороной 1см. Площадь треугольника. Равные фигуры б). в). чему будет равна площадь фигуры составленной из фигур А и Г. Теорема Пифагора. Прямоугольник, треугольник, параллелограмм. Среди фигур приведенных на рисунке укажите.

«Равновеликие фигуры» - Равновеликие фигуры. Трапеция. Площадь треугольника. В параллелограмме вырезан параллелограмм. Сторона. Диагонали. Дополнительные задачи. Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей. Равновелики ли равные фигуры. Зависимость. Площади параллелограммов. Разрежьте прямоугольник по прямой линии.

«Число Пи» - Важным достижением в изучении числа? было выяснение его теоретико-числовой природы. Первый шаг в изучении свойств числа? сделал Архимед. В сочинении «Измерение круга» Архимед вывел знаменитое неравенство. Загадка таинственного числа не разрешена вплоть до сегодняшнего дня. ? нельзя представить в виде дроби.

«Методы вычисления площадей фигур» - Разрезание. Формула Пика. Площадь трапеции. Теорема Пика. Козьма Прутков. Методы вычисления площадей фигур. Площадь четырехугольника. Найдите площадь четырехугольника. Площадь прямоугольника. Площадь треугольника. Площадь параллелограмма. Площадь ромба. Число целочисленных точек. Дополнительное построение.

«Площадь многоугольника» - Площадь фигуры (многоугольника). Применив первое свойство получаем, что SABCD = SHBCH1, а значит SABCD = AD х ВН ч.т.д. Sромба =d1d2. Перед Вами поставлена задача, раскрасить дом! Какова площадь окрашиваемой поверхности? Свойство № 2. Вычислить площадь ромба диагонали которого равны 6 и 8 см. Разминка з а д а н и е 1.

«Вычисление площадей фигур» - Площади фигур. Ал - Караджи. Мы знаем формулу площади квадрата. Треугольник. Мы знаем формулу площади треугольника через сторону и высоту. Можно вывести формулу для одного из оснований. Математические работы. Трапеция. Проверь себя. Мы знаем формулу площади трапеции. Понятие площади. Равнобедренный и равносторонний треугольники.

Всего в теме 41 презентация

Предыдущая статья: Чему равна скорость света Следующая статья: Углерод — характеристика элемента и химические свойства