Как определить четная или нечетная функция примеры. Четность функции
Функция - это одно из важнейших математических понятий. Функция - зависимость переменной у от переменной x , если каждому значению х соответствует единственное значение у . Переменную х называют независимой переменной или аргументом. Переменную у называют зависимой переменной. Все значения независимой переменной (переменной x ) образуют область определения функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная (переменная y ), образуют область значений функции.
Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты - соответствующим значениям функции, тоесть по оси абсцисс откладываются значения переменной x , а по оси ординат откладываются значения переменной y . Для построения графика функции необходимо знать свойства функции. Основные свойства функции будут рассмотрены далее!
Для построения графика функции советуем использовать нашу программу - Построение графиков функций онлайн. Если при изучении материала на данной странице у Вас возникнут вопросы, Вы всегда можете задать их на нашем форуме. Также на форуме Вам помогут решить задачи по математике, химии, геометрии, теории вероятности и многим другим предметам!
Основные свойства функций.
1) Область определения функции и область значений функции .
Область определения функции - это множество всех допустимых действительных значений аргумента x
(переменной x
), при которых функция y = f(x)
определена.
Область значений функции - это множество всех действительных значений y
, которые принимает функция.
В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел.
2) Нули функции .
Значения х , при которых y=0 , называется нулями функции . Это абсциссы точек пересечения графика функции с осью Ох.
3) Промежутки знакопостоянства функции .
Промежутки знакопостоянства функции – такие промежутки значений x , на которых значения функции y либо только положительные, либо только отрицательные, называются промежутками знакопостоянства функции.
4) Монотонность функции .
Возрастающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.
Убывающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.
5) Четность (нечетность) функции .
Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х f(-x) = f(x) . График четной функции симметричен относительно оси ординат.
Нечетная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любогох из области определения справедливо равенство f(-x) = - f(x ). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Четная функция
1) Область определения симметрична относительно точки (0; 0), то есть если точка a
принадлежит области определения, то точка -a
также принадлежит области определения.
2) Для любого значения x
f(-x)=f(x)
3) График четной функции симметричен относительно оси Оу.
Нечетная функция
обладает следующими свойствами:
1) Область определения симметрична относительно точки (0; 0).
2) для любого значения x
, принадлежащего области определения, выполняется равенство f(-x)=-f(x)
3) График нечетной функции симметричен относительно начала координат (0; 0).
Не всякая функция является четной или нечетной. Функции общего вида не являются ни четными, ни нечетными.
6) Ограниченная и неограниченная функции .
Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f(x)| ≤ M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция - неограниченная.
7) Периодическость функции .
Функция f(x) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f(x+T) = f(x). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими. (Тригонометрические формулы).
Функция f называется периодической, если существует такое число, что при любом x из области определения выполняется равенство f(x)=f(x-T)=f(x+T) . T - это период функции.
Всякая периодическая функция имеет бесконечное множество периодов. На практике обычно рассматривают наименьший положительный период.
Значения периодической функции через промежуток, равный периоду, повторяются. Это используют при построении графиков.
Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Цели:
- сформировать понятие чётности и нечётности функции, учить умению определять и использовать эти свойства при исследовании функций, построении графиков;
- развивать творческую активность учащихся, логическое мышление, умение сравнивать, обобщать;
- воспитывать трудолюбие, математическую культуру; развивать коммуникативные качества.
Оборудование: мультимедийная установка, интерактивная доска, раздаточный материал.
Формы работы: фронтальная и групповая с элементами поисково-исследовательской деятельности.
Информационные источники:
1.Алгебра9класс А.Г Мордкович. Учебник.
2.Алгебра 9класс А.Г Мордкович. Задачник.
3.Алгебра 9 класс. Задания для обучения и развития учащихся. Беленкова Е.Ю. Лебединцева Е.А
ХОД УРОКА
1. Организационный момент
Постановка целей и задач урока.
2. Проверка домашнего задания
№10.17 (Задачник 9кл. А.Г. Мордкович).
а) у
= f
(х
), f
(х
) = 
б) f (–2) = –3; f (0) = –1; f (5) = 69;
в) 1. D(f
) = [– 2; + ∞)
2. Е(f
) = [– 3; + ∞)
3. f
(х
) = 0 при х
~ 0,4
4. f
(х
) >0 при х
> 0,4 ; f
(х
)
< 0 при – 2 <
х
<
0,4.
5. Функция возрастает при х
€ [– 2; + ∞)
6. Функция ограничена снизу.
7. у
наим = – 3, у
наиб не
существует
8. Функция непрерывна.
(Вы использовали алгоритм исследования функции?) Слайд.
2. Таблицу, которую вам задавалась, проверим по слайду.
| Заполните таблицу | |||||
Область определения |
Нули функции |
Промежутки знакопостоянства |
Координаты точек пересечения графика с Оу | ||
 |
х = –5, |
х € (–5;3) U |
х € (–∞;–5) U |
||
 |
х ∞ –5, |
х € (–5;3) U |
х € (–∞;–5) U |
||
х ≠ –5, |
х € (–∞; –5) U |
х € (–5; 2) |
|||
3. Актуализация знаний
– Даны функции.
– Указать область определения для каждой
функции.
– Сравнить значение каждой функции для каждой
пары значения аргумента: 1 и – 1; 2 и – 2.
– Для каких из данных функций в области
определения выполняются равенства f
(– х
)
= f
(х
), f
(– х
) = – f
(х
)? (полученные
данные занести в таблицу) Слайд
| f (1) и f (– 1) | f (2) и f (– 2) | графики | f (– х ) = –f (х ) | f (– х ) = f (х ) | ||
| 1. f (х ) = | ||||||
| 2. f (х ) = х 3 | ||||||
| 3. f (х ) = | х | | ||||||
| 4. f (х ) = 2х – 3 | ||||||
| 5. f (х ) = | х ≠ 0 |
|||||
| 6. f (х )= | х > –1 | и не опред. |
4. Новый материал
– Выполняя данную работу, ребята мы выявили ещё
одно свойство функции, незнакомое вам, но не
менее важное, чем остальные – это чётность и
нечетность функции. Запишите тему урока: «Чётные
и нечётные функции», наша задача – научиться
определять чётность и нечётность функции,
выяснить значимость этого свойства в
исследовании функций и построении графиков.
Итак, найдём определения в учебнике и прочитаем
(стр. 110). Слайд
Опр. 1 Функция у = f (х ), заданная на множестве Х называется чётной , если для любого значения х Є Х выполняется равенство f(–х)= f(х). Приведите примеры.
Опр. 2 Функция у = f (х) , заданная на множестве Х называется нечётной , если для любого значения х Є Х выполняется равенство f(–х)= –f(х). Приведите примеры.
Где мы встречались с терминами «четные» и
«нечётные»?
Какие из данных функций будут чётными, как вы
думаете? Почему? Какие нечётными? Почему?
Для любой функции вида у
= х n
, где n
– целое число можно утверждать, что функция
нечётна при n
– нечётном и функция чётна при n
– чётном.
– Функции вида у
= и у
= 2х
– 3 не являются ни
чётным, ни нечётными, т.к. не выполняются
равенства f
(– х
) = – f
(х
), f
(–
х
) = f
(х
)
Изучение вопроса о том, является ли функция чётной или нечётной называют исследованием функции на чётность. Слайд
В определениях 1 и 2 шла речь о значениях функции при х и – х, тем самым предполагается, что функция определена и при значении х , и при – х .
Опр 3. Если числовое множество вместе с каждым своим элементом х содержит и противоположный элемент –х, то множество Х называют симметричным множеством.
Примеры:
(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) – симметричные множества, а , [–5;4] – несимметричные.
– У чётных функций область определения –
симметричное множество? У нечётных?
– Если же D(f
) – несимметричное множество, то
функция какая?
– Таким образом, если функция у
= f
(х
)
– чётная или нечётная, то её область определения
D(f
) – симметричное множество. А верно ли
обратное утверждение, если область определения
функции симметричное множество, то она чётна,
либо нечётна?
– Значит наличие симметричного множества
области определения – это необходимое условие,
но недостаточное.
– Так как же исследовать функцию на четность?
Давайте попробуем составить алгоритм.
Слайд
Алгоритм исследования функции на чётность
1. Установить, симметрична ли область определения функции. Если нет, то функция не является ни чётной, ни нечётной. Если да, то перейти к шагу 2 алгоритма.
2. Составить выражение для f (– х ).
3. Сравнить f (– х ).и f (х ):
- если f (– х ).= f (х ), то функция чётная;
- если f (– х ).= – f (х ), то функция нечётная;
- если f (– х ) ≠ f (х ) и f (– х ) ≠ –f (х ), то функция не является ни чётной, ни нечётной.
Примеры:
Исследовать на чётность функцию а) у = х 5 +; б) у = ; в) у = .
Решение.
а) h(х) = х 5 +,
1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), симметричное множество.
2) h (– х) = (–х) 5 + – х5 –= – (х 5 +),
3) h(– х) = – h (х) => функция h(х) = х 5 + нечётная.
б) у =,
у = f (х ), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), несимметричное множество, значит функция ни чётная, ни нечётная.
в) f (х ) = , у = f (х),
1) D(f ) = (–∞; 3] ≠ ; б) (∞; –2), (–4; 4]?
Вариант 2
1. Является ли симметричным заданное множество: а) [–2;2]; б) (∞; 0], (0; 7) ?
а); б) у = х· (5 – х 2).
а) у = х 2 · (2х – х 3), б) у =
Постройте график функции у = f (х ), если у = f (х ) – чётная функция.
Постройте график функции у = f (х ), если у = f (х ) – нечётная функция.
Взаимопроверка по слайду.
6. Задание на дом: №11.11, 11.21,11.22;
Доказательство геометрического смысла свойства чётности.
***(Задание варианта ЕГЭ).
1. Нечётная функция у = f(х) определена на всей числовой прямой. Для всякого неотрицательного значения переменной х значение этой функции совпадает со значением функции g(х ) = х (х + 1)(х + 3)(х – 7). Найдите значение функции h(х ) = при х = 3.
7. Подведение итогов
Определение
1. Функцияназываетсячетной
(нечетной
),
если вместе с каждым значением переменной
значение –х
также принадлежит
и выполняется равенство
Таким образом, функция может быть четной
или нечетной только тогда, когда ее
область определения симметрична
относительно начала координат на
числовой прямой (числа х
и –х
одновременно принадлежат
).
Например, функция
не является четной и нечетной, так как
ее область определения
не симметрична относительно начала
координат.
Функция
четная, так как
симметрична относительно начала
координат и.
Функция
нечетная, так как
и
.
Функция
не является четной и нечетной, так как
хотя
и симметрична относительно начала
координат, равенства (11.1) не
выполняются. Например,.
График четной функции симметричен
относительно оси Оу
, так как если
точка
тоже принадлежит графику. График нечетной
функции симметричен относительно начала
координат, так как если
принадлежит графику, то и точка
тоже принадлежит графику.
При доказательстве четности или нечетности функции бывают полезны следующие утверждения.
Теорема 1. а) Сумма двух четных (нечетных) функций есть функция четная (нечетная).
б) Произведение двух четных (нечетных) функций есть функция четная.
в) Произведение четной и нечетной функций есть функция нечетная.
г) Если f
– четная
функция на множествеХ
, а функцияg
определена на
множестве
,
то функция
–
четная.
д) Если f
– нечетная
функция на множествеХ
, а функцияg
определена на
множестве
и четная (нечетная), то функция
–
четная (нечетная).
Доказательство . Докажем, например, б) и г).
б) Пусть
и
–
четные функции. Тогда,
поэтому.
Аналогично рассматривается случай
нечетных функций
и
.
г) Пусть f – четная функция. Тогда.
Остальные утверждения теоремы доказываются аналогично. Теорема доказана.
Теорема
2. Любую функцию
,
заданную на множествеХ
, симметричном
относительно начала координат, можно
представить в виде суммы четной и
нечетной функций.
Доказательство
. Функцию
можно записать в виде
.
Функция
– четная, так как
,
а функция
– нечетная, поскольку.
Таким образом,
,
где
–
четная, а
–
нечетная функции. Теорема доказана.
Определение
2. Функция
называетсяпериодической
, если
существует число
,
такое, что при любом
числа
и
также
принадлежат области определения
и выполняются равенства
Такое число T
называетсяпериодом
функции
.
Из определения 1 следует, что если Т
– период функции
,
то и число –Т
тоже
является
периодом функции
(так
как при заменеТ
на –Т
равенство
сохраняется). С помощью метода
математической индукции можно показать,
что еслиТ
– период функцииf
,
то и
,
тоже является периодом. Отсюда следует,
что если функция имеет период, то она
имеет бесконечно много периодов.
Определение 3. Наименьший из положительных периодов функции называется ееосновным периодом.
Теорема 3. ЕслиТ – основной период функцииf , то остальные периоды кратны ему.
Доказательство
. Предположим
противное, то есть что существует период
функцииf
(
>0),
не кратныйТ
. Тогда, разделив
наТ
с остатком, получим
,
где
.
Поэтому
то есть
– период функцииf
,
причем
,
а это противоречит тому, чтоТ
–
основной период функцииf
.
Из полученного противоречия следует
утверждение теоремы. Теорема доказана.
Хорошо известно, что тригонометрические
функции являются периодическими.
Основной период
и
равен
,
и
.
Найдем период функции
.
Пусть
- период этой функции. Тогда
(так как
.
илиилиили
.
Значение T
, определяемое
из первого равенства, не может быть
периодом, так как зависит отх
, т.е.
является функцией отх
, а не постоянным
числом. Период определяется из второго
равенства:
.
Периодов бесконечно много, при
наименьший
положительный период получается при
:
.
Это – основной период функции
.
Примером более сложной периодической функции является функция Дирихле
Заметим, что если T
–
рациональное число, то
и
являются рациональными числами при
рациональномх
и иррациональными
при иррациональномх
. Поэтому
при любом рациональном числе T . Следовательно, любое рациональное числоT является периодом функции Дирихле. Ясно, что основного периода у этой функции нет, так как есть положительные рациональные числа, сколь угодно близкие к нулю (например, рациональное числоможно сделать выборомn сколь угодно близким к нулю).
Теорема
4. Если функцияf
задана на множествеХ
и имеет
периодТ
, а функцияg
задана на множестве
,
то сложная функция
тоже имеет периодТ
.
Доказательство . Имеем, поэтому
то есть утверждение теоремы доказано.
Например, так как cos
x
имеет период
,
то и функции
имеют период
.
Определение 4. Функции, не являющиеся периодическими, называютсянепериодическими .
Четная функция.
Четной называется функция, знак которой не меняется при изменении знака x .
x выполняется равенство f (–x ) = f (x ). Знак x не влияет на знак y .
График четной функции симметричен относительно оси координат (рис.1).
Примеры четной функции:
y = cos x
y = x 2
y = –x 2
y = x 4
y = x 6
y = x 2 + x
Пояснение:
Возьмем функцию y
= x
2 или y
= –x
2 .
При любом значении x
функция положительная. Знак x
не влияет на знак y
. График симметричен относительно оси координат. Это четная функция.
Нечетная функция.
Нечетной называется функция, знак которой меняется при изменении знака x .
Говоря иначе, для любого значения x выполняется равенство f (–x ) = –f (x ).
График нечетной функции симметричен относительно начала координат (рис.2).
Примеры нечетной функции:
y = sin x
y = x 3
y = –x 3
Пояснение:
Возьмем функцию y = –x
3 .
Все значения у
в ней будут со знаком минус. То есть знак x
влияет на знак y
. Если независимая переменная – положительное число, то и функция положительная, если независимая переменная – отрицательное число, то и функция отрицательная: f
(–x
) = –f
(x
).
График функции симметричен относительно начала координат. Это нечетная функция.
Свойства четной и нечетной функций:
ПРИМЕЧАНИЕ:
Не все функции являются четными или нечетными. Есть функции, которые не подчиняются такой градации. К примеру, функция корня у = √х не относится ни к четным, ни к нечетным функциям (рис.3). При перечислении свойств подобных функций следует давать соответствующее описание: ни четна, ни нечетна.
Периодические функции.
Как вы знаете, периодичность – это повторяемость определенных процессов с определенным интервалом. Функции, описывающие эти процессы, называют периодическими функциями . То есть это функции, в чьих графиках есть элементы, повторяющиеся с определенными числовыми интервалами.
Предыдущая статья: Чему равна скорость света Следующая статья: Углерод — характеристика элемента и химические свойства