Если стороны угла, пересекают прямые параллельные линии которые одну из сторон разделяют на несколько отрезков, то и вторую сторону, прямые так же разделят на равнозначны с другой стороной отрезки.
Теорему Фалеса
доказывает следующее: С 1 , С 2 , С 3 - это места где пересекаются прямые параллельные на любой стороне угла. С 2 находится посередине относительно С 1 и С 3 .. Точки D 1 , D 2 , D 3 - это места где пересекаются прямые, которые соответствуют прямым с другой стороной угла. Доказываем, что когда C 1 C 2 = C 2 C з, значит и D 1 D 2 =D 2 D 3 .
Проводим в месте D 2 прямой отрезок КР, параллельный участку C 1 C 3 . В свойствах параллелограмма C 1 C 2 =KD 2 , C 2 C 3 = D 2 P. Если C 1 C 2 =C 2 C 3 , то и KD 2 =D 2 P.
Полученные треугольные фигуры D 2 D 1 K и D 2 D 3 P равняются. И D 2 K=D 2 P по доказательству. Углы с верхней точкой D 2 равняются как вертикальные, а углы D 2 KD 1 и D 2 PD 3 равняются как внутренние накрест лежащие при параллельных C 1 D 1 и C 3 D 3 и разделяющей KP.
Так как D 1 D 2 =D 2 D 3 теорема доказана по равенству сторон треугольника
Заметка:
Если взять не стороны угла, а два прямых отрезка, доказательство будет такое же.
Любые прямые отрезки параллельные друг другу, которые пересекают две рассматриваемые нами прямые и разделяющие одну из них на одинаковые участки, тоже самое делают и со второй.
Рассмотрим несколько примеров
Первый пример
Условием задания требуется разбить прямую СD на п
одинаковых отрезков.
Проводим от точки С полу-прямую с, которая не лежит на прямой СD. Отметим на ней одинаковые по величине части. СС 1 , С 1 С 2 , С 2 С 3 .....С п-1 С п. Соединяем С п с D. Проводим прямые от точек С 1 ,С 2 ,....,С п-1 которые будут параллельны относительно С п D. Прямые будут пересекать СD в местах D 1 D 2 D п-1 и разделять прямую СD на п одинаковых отрезков.
Второй пример
На стороне АВ треугольника АВС отмечена точка СК. Отрезок СК пересекает медиану АМ треугольника в точке Р, при этом АК= АР. Требуется найти отношение ВК к РМ.
Проводим через точку М прямой отрезок, параллельный СК, который пересекает АВ в точке D
По теореме Фалеса
ВD=КD
По теореме пропорциональных отрезков получаем, что
РМ = КD = ВК/2, следовательно, ВК: РМ = 2:1
Ответ: ВК: РМ = 2:1
Третий пример
В треугольнике АВС, сторона ВС = 8 см. Прямая DE пересекает стороны АВ и ВС параллельно АС. И отсекает на стороне ВС отрезок ЕС = 4см. Доказать, что АD = DВ.
Так как ВС = 8 см и ЕС = 4см, то
ВЕ = ВС-ЕС, следовательно, ВЕ = 8-4 = 4(см)
По теореме Фалеса
, так как АС параллельна DE и ЕС = ВЕ то, следовательно, АD = DВ. Что и требовалось доказать.
В женском журнале - онлайн, Вы найдете много интересной информации для себя. Так же есть раздел, посвященный стихам которые написал Сергей Есенин . Заходите не пожалеете!
В теореме нет ограничений на взаимное расположение секущих (она верна как для пересекающихся прямых, так и для параллельных). Также не важно, где находятся отрезки на секущих.
Доказательство в случае параллельных прямых
Проведем прямую BC. Углы ABC и BCD равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD и секущей BC, а углы ACB и CBD равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AC и BD и секущей BC. Тогда по второму признаку равенства треугольников треугольники ABC и DCB равны. Отсюда следует, что AC = BD и AB = CD. ■
Также существует теорема о пропорциональных отрезках :
Параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки :Теорема Фалеса является частным случаем теоремы о пропорциональных отрезках, поскольку равные отрезки можно считать пропорциональными отрезками с коэффициентом пропорциональности, равным 1.
Если в теореме Фалеса равные отрезки начинаются от вершины (часто в школьной литературе используется такая формулировка), то обратная теорема также окажется верной. Для пересекающихся секущих она формулируется так:
Таким образом (см. рис.) из того, что следует, что прямые .
Если секущие параллельны, то необходимо требовать равенство отрезков на обеих секущих между собой, иначе данное утверждение становится неверным (контрпример - трапеция, пересекаемая линией, проходящей через середины оснований).
Следующее утверждение, двойственно к лемме Соллертинского :
Напишите отзыв о статье "Теорема Фалеса"Литература
ПримечанияСм. также
Отрывок, характеризующий Теорема Фалеса– Я ничего не думаю, я только не понимаю этого…– Подожди, Соня, ты всё поймешь. Увидишь, какой он человек. Ты не думай дурное ни про меня, ни про него. – Я ни про кого не думаю дурное: я всех люблю и всех жалею. Но что же мне делать? Соня не сдавалась на нежный тон, с которым к ней обращалась Наташа. Чем размягченнее и искательнее было выражение лица Наташи, тем серьезнее и строже было лицо Сони. – Наташа, – сказала она, – ты просила меня не говорить с тобой, я и не говорила, теперь ты сама начала. Наташа, я не верю ему. Зачем эта тайна? – Опять, опять! – перебила Наташа. – Наташа, я боюсь за тебя. – Чего бояться? – Я боюсь, что ты погубишь себя, – решительно сказала Соня, сама испугавшись того что она сказала. Лицо Наташи опять выразило злобу. – И погублю, погублю, как можно скорее погублю себя. Не ваше дело. Не вам, а мне дурно будет. Оставь, оставь меня. Я ненавижу тебя. – Наташа! – испуганно взывала Соня. – Ненавижу, ненавижу! И ты мой враг навсегда! Наташа выбежала из комнаты. Наташа не говорила больше с Соней и избегала ее. С тем же выражением взволнованного удивления и преступности она ходила по комнатам, принимаясь то за то, то за другое занятие и тотчас же бросая их. Как это ни тяжело было для Сони, но она, не спуская глаз, следила за своей подругой. Накануне того дня, в который должен был вернуться граф, Соня заметила, что Наташа сидела всё утро у окна гостиной, как будто ожидая чего то и что она сделала какой то знак проехавшему военному, которого Соня приняла за Анатоля. Соня стала еще внимательнее наблюдать свою подругу и заметила, что Наташа была всё время обеда и вечер в странном и неестественном состоянии (отвечала невпопад на делаемые ей вопросы, начинала и не доканчивала фразы, всему смеялась). После чая Соня увидала робеющую горничную девушку, выжидавшую ее у двери Наташи. Она пропустила ее и, подслушав у двери, узнала, что опять было передано письмо. И вдруг Соне стало ясно, что у Наташи был какой нибудь страшный план на нынешний вечер. Соня постучалась к ней. Наташа не пустила ее. «Она убежит с ним! думала Соня. Она на всё способна. Нынче в лице ее было что то особенно жалкое и решительное. Она заплакала, прощаясь с дяденькой, вспоминала Соня. Да это верно, она бежит с ним, – но что мне делать?» думала Соня, припоминая теперь те признаки, которые ясно доказывали, почему у Наташи было какое то страшное намерение. «Графа нет. Что мне делать, написать к Курагину, требуя от него объяснения? Но кто велит ему ответить? Писать Пьеру, как просил князь Андрей в случае несчастия?… Но может быть, в самом деле она уже отказала Болконскому (она вчера отослала письмо княжне Марье). Дяденьки нет!» Сказать Марье Дмитриевне, которая так верила в Наташу, Соне казалось ужасно. «Но так или иначе, думала Соня, стоя в темном коридоре: теперь или никогда пришло время доказать, что я помню благодеяния их семейства и люблю Nicolas. Нет, я хоть три ночи не буду спать, а не выйду из этого коридора и силой не пущу ее, и не дам позору обрушиться на их семейство», думала она. Анатоль последнее время переселился к Долохову. План похищения Ростовой уже несколько дней был обдуман и приготовлен Долоховым, и в тот день, когда Соня, подслушав у двери Наташу, решилась оберегать ее, план этот должен был быть приведен в исполнение. Наташа в десять часов вечера обещала выйти к Курагину на заднее крыльцо. Курагин должен был посадить ее в приготовленную тройку и везти за 60 верст от Москвы в село Каменку, где был приготовлен расстриженный поп, который должен был обвенчать их. В Каменке и была готова подстава, которая должна была вывезти их на Варшавскую дорогу и там на почтовых они должны были скакать за границу. |
Теорема планиметрии о параллельных и секущих.
Вне русскоязычной литературы теоремой Фалеса иногда называют другую теорему планиметрии, а именно, утверждение о том , что вписанный угол , опирающийся на диаметр окружности , является прямым. Открытие этой теоремы действительно приписывается Фалесу, о чём есть свидетельство Прокла .
Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные отрезки.
Более общая формулировка, также называемая теорема о пропорциональных отрезках
Параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки :
A 1 A 2 B 1 B 2 = A 2 A 3 B 2 B 3 = A 1 A 3 B 1 B 3 . {\displaystyle {\frac {A_{1}A_{2}}{B_{1}B_{2}}}={\frac {A_{2}A_{3}}{B_{2}B_{3}}}={\frac {A_{1}A_{3}}{B_{1}B_{3}}}.}Доказательство в случае секущих
Рассмотрим вариант с несвязанными парами отрезков: пусть угол пересекают прямые A A 1 | | B B 1 | | C C 1 | | D D 1 {\displaystyle AA_{1}||BB_{1}||CC_{1}||DD_{1}} и при этом A B = C D {\displaystyle AB=CD} .
Доказательство в случае параллельных прямых
Проведем прямую BC . Углы ABC и BCD равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD и секущей BC , а углы ACB и CBD равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AC и BD и секущей BC . Тогда по второму признаку равенства треугольников треугольники ABC и DCB равны. Отсюда следует, что AC = BD и AB = CD . ■
Если в теореме Фалеса равные отрезки начинаются от вершины (часто в школьной литературе используется такая формулировка), то обратная теорема также окажется верной. Для пересекающихся секущих она формулируется так:
В обратной теореме Фалеса важно, что равные отрезки начинаются от вершины
Таким образом (см. рис.) из того, что C B 1 C A 1 = B 1 B 2 A 1 A 2 = … {\displaystyle {\frac {CB_{1}}{CA_{1}}}={\frac {B_{1}B_{2}}{A_{1}A_{2}}}=\ldots } , следует, что A 1 B 1 | | A 2 B 2 | | … {\displaystyle A_{1}B_{1}||A_{2}B_{2}||\ldots } .
Если секущие параллельны, то необходимо требовать равенство отрезков на обеих секущих между собой, иначе данное утверждение становится неверным (контрпример - трапеция, пересекаемая линией, проходящей через середины оснований).
Этой теоремой пользуются в навигации: столкновение судов, двигающихся с постоянной скоростью, неизбежно, если сохраняется направление с одного судна на другое.
Следующее утверждение, двойственно к лемме Соллертинского :
Пусть f {\displaystyle f} - проективное соответствие между точками прямой l {\displaystyle l} и прямой m {\displaystyle m} . Тогда множество прямых будет множеством касательных к некоторому коническому сечению (возможно, вырожденному). |
В случае теоремы Фалеса коникой будет бесконечно удалённая точка, соответствующая направлению параллельных прямых.
Это утверждение, в свою очередь, является предельным случаем следующего утверждения:
Пусть f {\displaystyle f} - проективное преобразование коники. Тогда огибающей множества прямых X f (X) {\displaystyle Xf(X)} будет коника (возможно, вырожденная). | ]
Введение. Все незначительное нужно, Чтобы значительному быть… И. Северянин
Идея самого метода построена на использовании обобщенной теоремы Фалеса. Теорема Фалеса изучается в восьмом классе, ее обобщение и тема «Подобие фигур» в девятом и только в десятом классе, в ознакомительном плане, изучаются две важные теоремы Чевы и Менелая, с помощью которых относительно легко решается ряд задач на нахождение отношения длин отрезков. Поэтому на ступени основного образования мы можем решать довольно узкий круг задач по данному учебному материалу. Хотя на итоговой аттестации за курс основной школы и на ЕГЭ по математике задачи по данной теме (Теорема Фалеса. Подобие треугольников, коэффициент подобия. Признаки подобия треугольников) предлагаются во второй части экзаменационной работы и относятся к высокому уровню сложности. В процессе работы над рефератом стало возможным углубление наших знаний по данной теме. Доказательство теоремы о пропорциональных отрезках в треугольнике (теорема не входит в школьную программу) построено на методе параллельных прямых. В свою очередь, данная теорема позволила предложить еще один способ доказательства теорем Чевы и Менелая. И в итоге мы смогли научиться решать более широкий круг задач на сравнение длин отрезков. В этом и заключается актуальность нашей работы. Обобщенная теорема Фалеса. Формулировка: Параллельные прямые, пересекающие две данные прямые, отсекают на этих прямых пропорциональные отрезки.
Прямая а рассечена параллельными прямыми (А 1 В 1 , А 2 В 2 , А 3 В 3 ,…, А n B n ) на отрезки А 1 А 2 , А 2 А 3 , …, A n -1 A n , а прямая b - на отрезки В 1 В 2 , В 2 В 3 , …, В n -1 В n . Доказать: Доказательство: Докажем, например, что Рассмотрим два случая: 1 случай (рис. б) Прямые a и b параллельны. Тогда четырехугольники А 1 А 2 В 2 В 1 и А 2 А 3 В 3 В 2 – параллелограммы. Поэтому А 1 А 2 = В 1 В 2 и А 2 А 3 =В 2 В 3 , откуда следует, что
Прямые a и b не параллельны. Через точку А 1 проведем прямую с , параллельную прямой b . Она пересечет прямые А 2 В 2 и А 3 В 3 в некоторых точках С 2 и С 3 . Треугольники А 1 А 2 С 2 и А 1 А 3 С 3 подобны по двум углам (угол А 1 – общий, углы А 1 А 2 С 2 и А 1 А 3 С 3 равны как соответственные при параллельных прямых А 2 В 2 и А 3 В 3 секущей А 2 А 3 ), поэтому 1+ Или по свойству пропорций С другой стороны, по доказанному в первом случае имеем А 1 С 2 = В 1 В 2 , С 2 С 3 = В 2 В 3 . Заменяя в пропорции (1) А 1 С 2 на В 1 В 2 и С 2 С 3 на В 2 В 3 , приходим к равенству что и требовалось доказать.
На сторонах АС и ВС треугольника АВС отмечены точки К и М так, что АК:КС= m : n , BM : MC = p : q . Отрезки АМ и ВК пересекаются в точке О (рис. 124б). Доказать: Доказательство:
Пусть АК= mx . Тогда в соответствии с условием задачи КС= nx , а так как KD : DC = p : q , то Снова воспользуемся обобщением теоремы Фалеса: Аналогично доказывается, что . Теорема Чевы.
Формулировка: Если на сторонах АВ, ВС и СА треугольника АВС взяты соответственно точки С 1 , А 1 и В 1 , то отрезки АА 1 , ВВ 1 и СС 1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда
Треугольник АВС и на его сторонах АВ , ВС и АС отмечены точки С 1 , А 1 и В 1 . Доказать: 2.отрезки А А 1 , ВВ 1 и СС 1 пересекаются в одной точке. Доказательство: 1. Пусть отрезки АА 1 , ВВ 1 и СС 1 пересекаются в одной точке О . Докажем, что выполнено равенство (3). По теореме о пропорциональных отрезках в треугольнике 1 имеем: Левые части этих равенств одинаковы, значит, равны и правые части. Приравнивая их, получаем
2. Докажем обратное утверждение. Пусть точки С 1 , А 1 и В 1 взяты на сторонах АВ , ВС и СА так, что выполнено равенство (3). Докажем, что отрезки АА 1 , ВВ 1 и СС 1 пересекаются в одной точке. Обозначим буквой О точку пересечения отрезков А А 1 и ВВ 1 и проведем прямую СО . Она пересекает сторону АВ в некоторой точке, которую обозначим С 2 . Так как отрезки АА 1 , ВВ 1 и СС 1 пересекаются в одной точке, то по доказанному в первом пункте Итак, имеют место равенства (3) и (4). Сопоставляя их, приходим к равенству = , которое показывает, что точки C 1 и C 2 делят сторону AB C 1 и C 2 совпадают, и, значит, отрезки АА 1 , ВВ 1 и СС 1 пересекаются в точке O . Что и требовалось доказать.
Формулировка:
Если на сторонах АВ и ВС и продолжении стороны АС (либо на продолжениях сторон АВ, ВС и АС) взяты соответственно точки С
1
, А
1
, В
1
, то эти точки лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда
Треугольник АВС и на его сторонах АВ , ВС и АС отмечены точки С 1 , А 1 и В 1 . Доказать:
Сопоставляя (5) и (6), приходим к равенству = , которое показывает, что точки В 1 и В 2 делят сторону АС в одном и том же отношении. Следовательно, точки В 1 и В 2 совпадают, и, значит, точки А 1 ,С 1 и В 1 лежат на одной прямой. Аналогично доказывается обратное утверждение в случае, когда все три точки А 1 ,С 1 и В 1 лежат на продолжениях соответствующих сторон. Что и требовалось доказать. Решение задач.Предлагается рассмотреть ряд задач на пропорциональное деление отрезков в треугольнике. Как было отмечено выше, для определения места расположения нужных в задаче точек существует несколько методов. В своей работе мы остановились на методе параллельных прямых. Теоретической основой данного метода является обобщенная теорема Фалеса, которая позволяет с помощью параллельных прямых переносить известные отношения пропорции с одной стороны угла на вторую его сторону, таким образом, нужно только удобным для решения задачи способом провести эти параллельные прямые.Рассмотрим конкретные задачи: Задача №1 В треугольнике АВС на стороне ВС взята точка М так, что ВМ:МС=3:2. Точка Р делит отрезок АМ в отношении 2:1. Прямая ВР пересекает сторону АС в точке В 1 . В каком отношении точка В 1 делит сторону АС? Решение : Нужно найти отношение АВ 1:В 1 С, АС искомый отрезок на котором лежит точка В 1 . Метод параллельных заключается в следующем:
Перейдем к интересующему нас отношению АВ 1:В 1 С= АВ 1:(В 1 N+ NС)= 2n:(3р+2р)=(2*3р):(5р)=6:5. Ответ: АВ 1:В 1 С = 6:5. Замечание
: Данную задачу можно было решить, используя теорему Менелая. Применив ее к треугольнику АМС. Тогда прямая ВВ 1 пересекает две стороны треугольника в точках В 1 и Р, а продолжение третьей в точке В. Значит применимо равенство: , следовательно Решение: Нужно найти отношение АК к КВ. 1) Проведем прямую NN 1 параллельную прямой СК и прямую NN 2 параллельную прямой ВМ. 2) Стороны угла АВС пересекаются прямыми СК и NN 1 и по обобщенной теореме Фалеса заключаем ВN 1:N 1 K=1:1 или ВN 1 = N 1 K = y . 3) Стороны угла ВСM пересекаются прямыми BM и NN 2 и по обобщенной теореме Фалеса заключаем CN 2:N 2 M=1:1 или CN 2 = N 2 M=3:2=1,5. 4) Стороны угла NАС пересекаются прямыми BM и NN 2 и по обобщенной теореме Фалеса заключаем АО: ОN=1:1,5 или АО=m ON=1,5m. 5) Стороны угла ВАN пересекаются прямыми СК и NN 1 и по обобщенной теореме Фалеса заключаем АK: KN 1 =1:1,5 или АK=n KN 1 =1,5 n . 6) KN 1 =y=1,5n. Ответ: АК:КВ=1:3. Замечание : Данную задачу можно было решить, используя теорему Чевы, применив ее к треугольнику АВС. По условию точки N, М, К лежат на сторонах треугольника АВС и отрезки АN, СК и ВМ пересекаются в одной точке, значит справедливо равенство: , подставим известные отношения, имеем , АК:КВ=1:3. Задача№3 На стороне ВС треугольника АВС взята точка D такая, что ВD: DC = 2:5, а на стороне АС точка Е такая, что
. В каком отношении делятся отрезки ВЕ и АD точкой К их пересечения?
1) Проведем прямую DD 1 параллельную прямой BE. 2) Стороны угла ВСЕ пересекаются прямыми ВЕ и DD 1 и по обобщенной теореме Фалеса заключаем CD 1:D 1 E=5:2 или CD 1 = 5z , D 1 E=2z. 3) По условию АЕ:ЕС=1:2, т.е. АЕ=х, ЕС=2х, но ЕС= CD 1 + D 1 E, значит 2у=5 z +2 z =7 z , z = 4) Стороны угла DСA пересекаются прямыми ВЕ и DD 1 и по обобщенной теореме Фалеса заключаем 5) Для определения отношения ВК:КЕ проведем прямую ЕЕ 1 и рассуждая аналогичным образом получим Ответ: АК:КD=7:4; ВК:КЕ=6:5. Замечание: Данную задачу можно было решить, используя теорему Менелая. Применив ее к треугольнику ВЕС. Тогда прямая DA пересекает две стороны треугольника в точках D и K, а продолжение третьей в точке A. Значит применимо равенство: , следовательно ВК:КЕ=6:5. Рассуждая аналогично относительно треугольника ADC, получим , АК:КD=7:4. Задача №4 В ∆ ABC биссектриса AD делит сторону BC в отношении 2: 1. В каком отношении медиана CE делит эту биссектрису? Решение: Пусть О точка пересечения биссектрисы AD и медианы СЕ. Нужно найти отношение АО:ОD. 1) Проведем прямую DD 1 параллельную прямой СE. 2) Стороны угла АВС пересекаются прямыми СЕ и DD 1 и по обобщенной теореме Фалеса заключаем ВD 1:D 1 E=2:1 или ВD 1 = 2p , D 1 E=p. 3) По условию АЕ:ЕB=1:1, т.е. АЕ=y, ЕB=y, но EB= BD 1 + D 1 E, значит у=2
p
+
p
=3
p
,
p
=
Ответ: АО:ОD=3:1. Задача №5 На сторонах AB и АC ∆ABC даны соответственно точки M и N такие, что выполняются следующие равенства АМ:МВ=С N : NA =1:2. В каком соотношении точка S пересечения отрезков BN и CM делит каждый из этих отрезков . Задача №6 На медиане АМ треугольника АВС взята точка К, причем АК:КМ=1:3. Найдите отношение, в котором прямая, проходящая через точку К параллельно стороне АС, делит сторону ВС. Решение: Пусть М 1 точка пересечения прямой, проходящая через точку К параллельно стороне АС и стороны ВС. Нужно найти отношение ВМ 1:М 1 С. 1) Стороны угла АМС пересекаются прямыми КМ 1 и АС и по обобщенной теореме Фалеса заключаем ММ 1:М 1 С=3:1 или ММ 1 = 3z, М 1 С=z 2) По условию ВМ:МС=1:1, т.е.ВМ=y, МС=y, но МС= ММ 1 + М 1 С, значит у=3 z + z =4 z , 3) . Ответ: ВМ 1:М 1 С =7:1. Задача №7 Дан треугольник АВС. На продолжении стороны АС за точку С взята точка N , причем С N =АС; точка К- середина стороны АВ. В каком отношении прямая К N делит сторону ВС. Замечание: Данную задачу можно было решить, используя теорему Менелая. Применив ее к треугольнику АВС. Тогда прямая КN пересекает две стороны треугольника в точках К и K 1 , а продолжение третьей в точке N. Значит применимо равенство: , следовательно ВК 1:К 1 С=2:1. Задача №8
http://www.problems.ru http://interneturok.ru/ ЕГЭ 2011 Математика Задача С4 Р.К.Гордин М.: МЦНМО, 2011, - 148 с Заключение: Решение задач и теорем на нахождение отношения длин отрезков базируется на обобщенной теореме Фалеса. Мы сформулировали метод, который позволяет, не применяя теорему Фалеса, пользоваться параллельными прямыми, переносить известные пропорции с одной стороны угла на другую сторону и, таким образом, находить место расположения нужных нам точек и сравнивать длины. Работа над рефератом помогла нам научиться решать геометрические задачи высокого уровня сложности. Мы осознали правдивость слов известного русского поэта Игоря Северянина: «Все незначительное нужно, Чтобы значительному быть…» и уверены, что на ЕГЭ мы сможем найти решение предложенным задачам, используя метод параллельных прямых. 1 Теорема о пропорциональных отрезках в треугольнике – вышеописанная теорема. План:
ВведениеЭта теорема о параллельных прямых. Об угле, опирающемся на диаметр, см. другую теорему.Теорема Фалеса - одна из теорем планиметрии. В теореме нет ограничений на взаимное расположение секущих (она верна как для пересекающихся прямых, так и для параллельных). Также неважно, где находятся отрезки на секущих. Доказательство в случае секущих Доказательство теоремы Фалеса Рассмотрим вариант с несвязанными парами отрезков: пусть угол пересекают прямые A A 1 | | B B 1 | | C C 1 | | D D 1 и при этом A B = C D . Доказательство в случае параллельных прямых Проведем прямую BC. Углы ABC и BCD равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD и секущей BC, а углы ACB и CBD равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AC и BD и секущей BC. Тогда по первому признаку равенства треугольников треугольники ABC и DCB равны. Отсюда следует, что AC = BD и AB = CD. ■ Также существует обобщённая теорема Фалеса : Параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки:Теорема Фалеса является частным случаем обобщённой теоремы Фалеса, поскольку равные отрезки можно считать пропорциональными отрезками с коэффициентом пропорциональности, равным 1. 1. Обратная теоремаЕсли в теореме Фалеса равные отрезки начинаются от вершины (часто в школьной литературе используется такая формулировка), то обратная теорема также окажется верной. Для пересекающихся секущих она формулируется так: В обратной теореме Фалеса важно, что равные отрезки начинаются от вершины Таким образом (см. рис.) из того, что следует, что прямые . Если секущие параллельны, то необходимо требовать равенство отрезков на обеих секущих между собой, иначе данное утверждение становится неверным (контрпример - трапеция, пересекаемая линией, проходящей через середины оснований). 2. Теорема Фалеса в культуреАргентинская музыкальная группа Les Luthiers (исп. ) представила песню, посвящённую теореме. В видеоклипе для этой песни приводится доказательство для прямой теоремы для пропорциональных отрезков. 3. Интересные факты
Примечания
Данный реферат составлен на основе статьи из русской Википедии . Синхронизация выполнена 16.07.11 23:06:34 Похожие рефераты: Предыдущая статья: Чему равна скорость света Следующая статья: Гармонические колебания Физика формула частоты колебаний О сайте | Контакты |