Уравнение плоскости хоу. Уравнение плоскости в отрезках на осях
Уравнение поверхности в пространстве
Определение. Любое уравнение, связывающее координаты x, y, z любой точки поверхности является уравнением этой поверхности.
Общее уравнение плоскости
Определение. Плоскостью называется поверхность, все точки которой удовлетворяют общему уравнению:
Ax + By + Cz + D = 0,
где А, В, С - координаты вектора
вектор нормали к плоскости. Возможны следующие частные случаи:
А = 0 - плоскость параллельна оси Ох
В = 0 - плоскость параллельна оси Оу
С = 0 - плоскость параллельна оси Оz
D = 0 - плоскость проходит через начало координат
А = В = 0 - плоскость параллельна плоскости хОу
А = С = 0 - плоскость параллельна плоскости хОz
В = С = 0 - плоскость параллельна плоскости yOz
А = D = 0 - плоскость проходит через ось Ох
В = D = 0 - плоскость проходит через ось Оу
С = D = 0 - плоскость проходит через ось Oz
А = В = D = 0 - плоскость совпадает с плоскостью хОу
А = С = D = 0 - плоскость совпадает с плоскостью xOz
В = С = D = 0 - плоскость совпадает с плоскостью yOz
Уравнение плоскости, проходящей через три точки
Для того, чтобы через три какие- либо точки пространства можно было провести единственную плоскость, необходимо, чтобы эти точки не лежали на одной прямой. Рассмотрим точки М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3) в общей декартовой системе координат. Для того, чтобы произвольная точка М(x, y, z) лежала в одной плоскости с точками М1, М2, М3 необходимо, чтобы векторы были компланарны.
Таким образом,
Уравнение плоскости, проходящей через три точки:
Уравнение плоскости по двум точкам и вектору, коллинеарному плоскости
Пусть заданы точки М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2) и вектор.
Составим уравнение плоскости, проходящей через данные точки М1 и М2 и произвольную точку М(х, у, z) параллельно вектору.
Векторы и вектор должны быть компланарны, т.е.
Уравнение плоскости:
Уравнение плоскости по одной точке и двум векторам, коллинеарным плоскости
Пусть заданы два вектора и, коллинеарные плоскости. Тогда для произвольной точки М(х, у, z), принадлежащей плоскости, векторы должны быть компланарны. Уравнение плоскости:
Уравнение плоскости по точке и вектору нормали
Теорема. Если в пространстве задана точка М0(х0, у0, z0), то уравнение плоскости, проходящей через точку М0 перпендикулярно вектору нормали (A, B, C) имеет вид:
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0.
Доказательство. Для произвольной точки М(х, у, z), принадлежащей плоскости, составим вектор. Т.к. вектор - вектор нормали, то он перпендикулярен плоскости, а, следовательно, перпендикулярен и вектору. Тогда скалярное произведение
Таким образом, получаем уравнение плоскости
Теорема доказана.
Общее уравнение прямой называется полным , если все его коэффициенты не равны 0. в противном случае уравнение называется неполным .
D=0 Ax+Ву+Сz=0 – плоскость, проходящая через начало координат.
Остальные случаи определяются положением нормального вектора n={ А;В;С}.
А=0 Ву+Сz+D=0 – уравнениеплоскости, параллельной оси Ох. (Т.к. нормальный вектор n={ 0;В;С} перпендикулярен оси Ох).
В=0 Ах+ Сz+D=0 - уравнениеплоскости, параллельной оси Оу. (Т.к. нормальный вектор n={ А;0;С} перпендикулярен оси Оy).
С=0 Ах+Ву +D=0 - уравнениеплоскости, параллельной оси О z . (Т.к. нормальный вектор n={ А;B;0} перпендикулярен оси Оz).
А=В=0 Сz+D=0 – z=-D/C – уравнение плоскости, параллельной плоскости Оху (т.к. эта плоскость параллельна осям Ох и Оу).
А=С=0 Ву+D=0 - у=-D/В- уравнение плоскости, параллельной плоскости Охz (т.к. эта плоскость параллельна осям Ох и Оz).
В=С=0 Ах+D=0 – x=-D/A- уравнение плоскости, параллельной плоскости Оуz (т.к. эта плоскость параллельна осям Оу и Оz).
A=D=0 By+Cz=0 - уравнение плоскости, проходящей через ось Ох.
B=D=0 Ax+Cz=0 - уравнение плоскости, проходящей через ось Оy.
A=B=D=0 Cz=0 (z=0) – координатная плоскость Оху. (т.к. эта плоскость параллельна Оху и проходит через начало координат).
А=С=D=0 By=0 (y=0) – координатная плоскость Охz. (т.к. эта плоскость параллельна Охz и проходит через начало координат).
B=C=D=0 Ax=0 (x=0) – координатная плоскость Оуz. (т.к. эта плоскость параллельна Оуz и проходит через начало координат).
Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.
Выведем уравнение плоскости, проходящей через 3 различные точки М 1 (х 1 ;у 1 ;z 1), М 2 (х 2 ;у 2 ;z 2), М 3 (х 3 ;у 3 ;z 3), не лежащие на одной прямой. Тогда векторы М 1 М 2 =(х 2 -х 1 ;у 2 -у 1 ;z 2 -z 1) и М 1 М 3 =(х 3 -х 1 ;у 3 -у 1 ;z 3 -z 1) не коллинеарны. Поэтому точка М(х,у,z) лежит в одной плоскости с точками М 1 , М 2 и М 3 тогда и только тогда, когда векторы М 1 М 2 , М 1 М 3 и М 1 М =(х-х 1 ;у-у 1 ;z-z 1) - компланарны, т.е. , когда их смешанное произведение равно 0
(М 1 М· М 1 М 2 · М 1 М 3 =0) , т.е.
(4) Уравнение плоскости, проходящей через 3 заданные точки.
(Разложив определитель по 1-й строке и упростив получим общее уравнение плоскости: Ах+Ву+Сz+D=0).
Т.о. три точки однозначно определяют плоскость.
Уравнение плоскости в отрезках на осях.
Плоскость Π пересекает оси координат в точках М 1 (а;0;0), М 2 (0;b;0), M 3 (0;0;c).
М(х;у;z)- переменная точка плоскости.
М 1 М =(х-а;у;z)
М 1 М 2 =(0-а;b;0) определяют данную плоскость
М 1 М 3 =(-a;0;c)
Т.е. М 1 М· М 1 М 2 · М 1 М 3 =0
Разложим по 1-й строке: (х-а)bc-y(-ac)+zab=xbc-abc+yac+zab=0
Разделим равенство на abc≠0. Получим:
(5) уравнение плоскости в отрезках на осях.
Уравнение (5) можно получить из общего уравнения плоскости, предполагая, что D≠0, разделим на D
Обозначив –D/A=a, -D/B=b, -C/D=c – получим уравнение 4.
Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.
Угол
φ между двумя плоскостями α 1
и α 2
измеряется плоским углом между 2 лучами,
перпендикулярными
прямой, по
которой эти плоскости пересекаются.
Любые две пересекающиеся
плоскости образуют два угла, в сумме
равных .
Достаточно определить один из этих
углов.
Пусть плоскости заданы общими уравнениями:
1 : A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 =0
2 : A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 =0
В декартовых координатах каждая плоскость определяется уравнением первой степени относительно неизвестных х, у и z и каждое уравнение первой степени с тремя неизвестными определяет плоскость.
Возьмем произвольный вектор с началом в точке 
. Выведем уравнение геометрического места точек М(x,y,z), для каждой из которых вектор 
перпендикулярен вектору . Запишем условие перпендикулярности векторов:
Полученное уравнение линейное относительно x, y, z, следовательно, оно определяет плоскость, проходящую через точку перпендикулярно вектору . Вектор 
называют нормальным вектором плоскости. Раскрывая скобки в полученном уравнении плоскости и обозначая число 
буквой D, представим его в виде:
Ax + By + Cz + D = 0. (13.2)
Это уравнение называют общим уравнением плоскости . А, В, С и D – коэффициенты уравнения, А 2 + В 2 + С 2 0.
1. Неполные уравнения плоскости.
Если в общем уравнении плоскости один, два или три коэффициента равны нулю, то уравнение плоскости называют неполным. Могут представиться следующие случаи:
1) D = 0 – плоскость проходит через начало координат;
2) А = 0 – плоскость параллельна оси Ох;
3) В = 0 – плоскость параллельна оси Оу;
4) С = 0 – плоскость параллельна оси Оz;
5) А = В = 0 – плоскость параллельна плоскости ХОY;
6) А = С = 0 – плоскость параллельна плоскости ХОZ;
7) В = С = 0 – плоскость параллельна плоскости YOZ;
8) А = D = 0 – плоскость проходит через ось Ох;
9) В = D = 0 – плоскость проходит через ось Оу;
10) С = D = 0 – плоскость проходит через ось Оz;
11) А = В = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью XOY;
12) А = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью XOZ;
13) С = В = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью YOZ.
2. Уравнение плоскости в отрезках.
Если в общем уравнении плоскости D 0, то его можно преобразовать к виду
, (13.3)
которое называют уравнением плоскости в отрезках. 
- определяют длины отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях.
3. Нормальное уравнение плоскости.
Уравнение
где 
- направляющие косинусы нормального вектора плоскости 
, называют нормальным уравнением плоскости. Для приведения общего уравнение плоскости к нормальному виду его надо умножить на нормирующий множитель : 
,
при этом знак перед корнем выбирают из условия 
.
Расстояние d от точки 
до плоскости определяют по формуле: .
4. Уравнение плоскости, проходящей через три точки
Возьмем произвольную точку плоскости М(x,y,z) и соединим точку М 1 с каждой из трех оставшихся. Получим три вектора . Для того, чтобы три вектора принадлежали одной плоскости, необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны. Условием компланарности трех векторов служит равенство нулю их смешанного произведения, то есть .
Записывая это равенство через координаты точек, получим искомое уравнение:
. (13.5)
5. Угол между плоскостями.
Плоскости могут быть параллельны, совпадать или пересекаться, образуя двугранный угол . Пусть две плоскости заданы общими уравнениями и . Чтобы плоскости совпадали, нужно, чтобы координаты любой точки, удовлетворяющей первому уравнению, удовлетворяли бы и второму уравнению.
Это будет иметь место, если 
.
Если 
, то плоскости параллельны.
Угол , образованный двумя пересекающимися плоскостями, равен углу, образованному их нормальными векторами. Косинус угла между векторами определяется по формуле: 
Если , то плоскости перпендикулярны.
Пример 21
. Составить уравнение плоскости, которая проходит через две точки 
и 
перпендикулярно к плоскости .
Запишем искомое уравнение в общем виде: . Так как плоскость должна проходить через точки и , то координаты точек должны удовлетворять уравнению плоскости. Подставляя координаты точек и , получаем: и .
Из условия перпендикулярности плоскостей имеем: 
. Вектор 
расположен в искомой плоскости и, следовательно, перпендикулярен нормальному вектору: .
Глава V*. Уравнения прямых и плокостей в пространстве.
§64. Общее уравнение плоскости
Рассмотрим в пространстве произвольную плоскость. Пусть M 0 (х 0 ; у 0 , z 0) - некоторая точка этой плоскости, а п = (А; В; С) - какой-либо ее нормальный вектор. В предыдущем параграфе доказано, что уравнение этой плоскости имеет вид
А(х - х 0) + В (у - у 0) + С (z - z 0) = 0.
Запишем его так:
Ах + By + Cz - Aх 0 - By 0 - Cz 0 = 0.
Обозначив число - Aх 0 - By 0 - Cz 0 через D, получим уравнение
Ах + By + Cz + D = 0. (1)
Таким образом, каждая плоскость в пространстве может быть задана уравнением (1), т. е. линейным уравнением с тремя переменными.
Справедливо и обратное утверждение: всякое линейное уравнение с тремя переменными, т. е. всякое уравнение вида (1), определяет плоскость.
В самом деле, в уравнении (1) по крайней мере один из коэффициентов А, В, С не равен нулю, иначе уравнение (1) не является линейным. Пусть, например, С =/= 0, тогда уравнение можно переписать следующим образом:
А (х - 0) + В(у -0) + С (z + D / C) = 0.
Согласно предыдущему параграфу полученное уравнение, а следовательно, и уравнение (1) определяют плоскость, проходящую через точку M 0 (0; 0; - D / C) перпендикулярно вектору п(А; В; С).
Уравнение (1) называется общим уравнением плоскости .
Подчеркнем, что в этом уравнении коэффициенты А, В, С являются координатами нормального вектора плоскости.
Например, если плоскость задана уравнением 3х + 4y - 5z + 17 = 0, то сразу можно сказать, что она перпендикулярна вектору (3; 4; -5).
Задача. Найти единичный нормальный вектор плоскости
7х + 4у - 4z + 1 = 0.
В качестве нормального вектора данной плоскости можно взять вектор п = (7; 4; -4). Найдем его длину: | п | = √49 + 16 + 16 = 9. Следовательно, единичным нормальным вектором является вектор (7 / 9 ; 4 / 9 ;- 4 / 9). Вектор, ему противоположный (- 7 / 9 ;- 4 / 9 ;- 4 / 9), также, очевидно, будет нормальным единичным вектором данной плоскости.
Рассмотрим, как располагается плоскость относительно системы координат в зависимости от значений А, В, С, D в общем уравнении плоскости.
а) Если в уравнении (1) А = 0, т. е. если это уравнение имеет вид By + Cz + D = 0, то нормальный вектор имеет координаты (0; В; С). Вектор с такими координатами перпендикулярен оси Ох , следовательно, плоскость параллельна этой оси. Если не только А = 0, но и D = 0, т. е. если уравнение имеет вид By + Cz = 0, то плоскость проходит через начало координат. Поэтому в случае А = D = 0 плоскость проходит через ось Ох , Аналогично рассматриваются случаи, когда В = 0 (плоскость параллельна оси ординат) или С = 0 (плоскость параллельна оси апликат).
б) Если в уравнении (1) А = 0 и В = 0, т. е. если уравнение имеет вид Cz + D = 0, то нормальный вектор имеет координаты (0; 0; С). Вектор с такими координатами перпендикулярен плоскости хОу , следовательно, в этом случае плоскость (1) параллельна координатной плоскости хОу . Если не только А = В = 0, но и D = 0, т. е. если уравнение имеет вид Cz = 0, то плоскость не только параллельна координатной плоскости хОу , но и проходит через начало координат. Поэтому в случае А = В = D = 0 уравнением (1) задается координатная плоскость хОу .
Аналогично рассматриваются случаи, когда какая-нибудь другая пара коэффициентов при переменных х, у, z в уравнении (1) равна нулю.
в) Если в уравнении (1) D = 0, т. е. если уравнение имеет вид Ах + By + Cz = 0, то плоскость проходит через начало координат перпендикулярно вектору (А; В; С).
г) Если в уравнении (1) все коэффициенты при переменных и свободный член отличны от нуля, то оно может быть преобразовано в уравнение плоскости в отрезках:
В этом случае плоскость пересекает координатные оси в точках:
(- D / A ; 0; 0), (0;- D / B ; 0), (0; 0; - D / C). По этим трем точкам плоскость легко построить.
В данной статье мы рассмотрим общее уравнение плоскости в пространстве. Определим понятия полного и неполного уравнения плоскости. Для построения общего уравнения плоскости пользуйтесь калькулятором уравнение плоскости онлайн .
Пусть задана произвольная декартова прямоугольная система координат Oxyz . Общим уравнением плоскости называется линейное уравнение вида:
| Ax+By+Cz+D =0, | (1) |
где A, B, C, D − некоторые постоянные, причем хотя бы один из элементов A , B и C отлично от нуля.
Мы покажем, что линейное уравнение (1) в пространстве определяет плоскость и любой плоскость в пространстве можно представить линейным уравнением (1). Докажем следующую теорему.
Теорема 1. В произвольной декартовой прямоугольной системе координат в пространстве каждая плоскость α может быть задана линейным уравнением (1). Обратно, каждое линейное уравнение (1) в произвольной декартовой прямоугольной системе координат в пространстве определяет плоскость.
Доказательство. Достаточно доказать, что плоскость α определяется линейным уравнением при какой нибудь одной декартовой прямоугольной системе координат, поскольку тогда она будет определяться линейным уравнением и при любом выборе декартовой прямоугольной системы координат.
Пусть в пространстве задана плоскость α . Выберем оси Ox и Oy так, чтобы они располагались на плоскости α , а ось Oz направим перпендикулярно к этой плоскости. Тогда линейное уравнение z= 0 будет уравнением плоскости, т.к. координаты любой точки, принадлежащей этой плоскости удовлетворяют уравнению z= 0, а координаты любой точки, не лежащей на этой плоскости − нет. Первая часть теоремы доказана.
Пусть фиксирована произвольная декартова прямоугольная система координат Oxyz . Рассмотрим линейное уравнение (1), где хотя бы один из элементов A , B и C отлично от нуля. Тогда уравнение (1) имеет хотя бы одно решение x 0 , y 0 , z 0 . Действительно. Пусть из коэффициентов A ≠0. Возьмем произвольные числа y 0 , z 0 . Тогда
Вычитая из уравнения (1) тождество (2), получим
Покажем, что (3) определяет некоторую плоскость, проходящую через точку M 0 (x 0 , y 0 , z 0) и перпендикулярную вектору n ={A ,B ,C } (n ≠0, так как хотя бы один из чисел A ,B ,C отлично от нуля).
Если точка M 0 (x 0 , y 0 , z 0) принадлежит плоскости α , то ее координаты удовлетворяют уравнению (3), т.к. векторы n ={A ,B ,C } и перпендикулярны (Рис.1) и их скалярное произведение равно нулю:
| . |
Если же точка M (x , y , z ) не лежит на плоскости α , то векторы n ={A ,B ,C } и не ортогональны. Тогда их скалярное произведение не равно нулю, т.е. координаты точки M (x , y , z ) не удовлетворяют условию (3). Теорема доказана.
Одновременно с доказательством теоремы 1 мы получили следующее утверждение.
Утверждение 1. В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (A,B,C ) перпендикулярен плоскости Ax +By +Cz +D =0.
Вектор n =(A,B,C ) называется нормальным вектором плоскости , определяемой линейным уравнением (1).
Утверждение 2. Если два общих уравнения плоскости
Доказательство. Так как уравнения (4) и (5) определяют одну и ту же плоскость, то нормальные векторы n 1 ={A 1 ,B 1 ,С 1 } и n 2 ={A 2 ,B 2 , С 2 } коллинеарны. Так как векторы n 1 ≠0, n 2 ≠0, то существует такое число λ , что n 2 =n 1 λ . Отсюда имеем: A 2 =A 1 λ , B 2 =B 1 λ , С 2 =С 1 λ . Докажем, что D 2 =D 1 λ . Очевидно, что совпадающие плоскости имеют общую точку M 0 (x 0 , y 0 , z 0), так что
Так как выполнены первые три равенства из выражений (6), то D 1 λ −D 2 =0. Т.е. D 2 =D 1 λ . Утверждение доказано.
Неполные уравнения плоскости
Определение 1. Общее уравнение плоскости (1) называется полным , если все коэффициенты A, B, C, D отличны от нуля. Если же хотя бы один из коэффициентов A, B, C, D равен нулю, то общее уравнение плоскости называется неполным .
Рассмотрим все возможные варианты неполных уравнений плоскости:
При D A x +B y +C z =0, проходящей через начало координат (Рис.2). Действительно, точка O (0,0,0) удовлетворяет этой системы линейных уравнений.
При A =0, имеем уравнение плоскости B y +C z +D =0, которая параллельна оси Ox (Рис.3). В этом случае нормальный вектор плоскости n ={0,B ,C } лежит на координатной плоскости Oyz .
При B =0, имеем уравнение плоскости A x +C z +D =0, которая параллельна оси Oy (Рис.4).
При C =0, имеем уравнение плоскости A x +B y +D =0, которая параллельна оси Oz (Рис.5).
При A =0,B =0 имеем уравнение плоскости C z +D Oxy (Рис.6).
При B =0,C =0 имеем уравнение плоскости A x +D =0, которая параллельна координатной плоскости Oyz (Рис.7).
При A =0,C =0 имеем уравнение плоскости B y +D =0, которая параллельна координатной плоскости Oxz (Рис.8).
При A =0,B =0,D =0 имеем уравнение плоскости C z Oxy (Рис.9).
При B =0,C =0,D =0 имеем уравнение плоскости A x =0, которая совпадает с координатной плоскостью Oyz (Рис.10).
При A =0,C =0,D =0 имеем уравнение плоскости B y =0, которая совпадает с координатной плоскостью Oxz (Рис.11).
Рассмотрим примеры построения общего уравнения плоскости.
Пример 1. Построить общее уравнение плоскости, проходящей через точку M (4,−1,2) параллельной координатной плоскости Oxy .
Решение. Общее уравнение плоскости, проходящей через некоторую точку M (x 0 ,y 0 ,z 0) имеет вид (3). Подставляя координаты точки M в (3), получим:
| z −2=0 |
Ответ: +3y +z =0.
Ответ:
| 2x +3y +z =0. |
Онлайн калькулятор для построения общего уравнения плоскости находится . Там же вы найдете примеры построения общего уравнения плоскости, если известны три точки этой плоскости или если известна одна точка и нормальный вектор этой плоскости.
Предыдущая статья: Чему равна скорость света Следующая статья: Гармонические колебания Физика формула частоты колебаний