Лекция: «Методы решения показательных уравнений».
Уравнения, содержащие неизвестные в показателе степени, называются показательными уравнениями. Простейшим из них является уравнение аx = b, где а > 0, а ≠ 1.
1) При b < 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.
2) При b > 0 используя монотонность функции и теорему о корне, уравнение имеет единственный корень. Для того, чтобы его найти, надо b представить в виде b = aс, аx = bс ó x = c или x = logab.
Показательные уравнения путем алгебраических преобразований приводят к стандартным уравнения, которые решаются, используя следующие методы:
1) метод приведения к одному основанию ;
2) метод оценки;
3) графический метод;
4) метод введения новых переменных;
5) метод разложения на множители;
6) показательно – степенные уравнения;
7) показательные с параметром.
2 . Метод приведения к одному основанию.
Способ основан на следующем свойстве степеней: если равны две степени и равны их основания, то равны и их показатели, т. е. уравнение надо попытаться свести к виду
Примеры. Решить уравнение:
1 . 3x = 81;
Представим правую часть уравнения в виде 81 = 34 и запишем уравнение, равносильное исходному 3 x = 34; x = 4. Ответ: 4.
2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49">и перейдем к уравнению для показателей степеней 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; x = 0,5. Ответ: 0,5.
3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">
Заметим, что числа 0,2 , 0,04 , √5 и 25 представляют собой степени числа 5. Воспользуемся этим и преобразуем исходное уравнение следующим образом:
, откуда 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x – 1 = - 2x – 2, из которого находим решение x = -1. Ответ: -1.
5. 3x = 5. По определению логарифма x = log35. Ответ: log35.
6. 62x+4 = 33x. 2x+8.
Перепишем уравнение в виде 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, т. е..png" width="181" height="49 src="> Отсюда x – 4 =0, x = 4. Ответ: 4.
7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Используя свойства степеней, запишем уравнение в виде 6∙3x - 2∙3x – 3x = 9 далее 3∙3x = 9, 3x+1 = 32 , т. е. x+1 = 2, x =1. Ответ: 1.
Банк задач №1.
Решить уравнение:
Тест №1.
1) 0 2) 4 3) -2 4) -4 |
|
А2 32x-8 = √3. | 1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4 |
А3 | 1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) корней нет |
1) 7;1 2) корней нет 3) -7;1 4) -1;-7 |
|
А5 | 1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0 |
А6 | 1) -1 2) 0 3) 2 4) 1 |
Тест №2
А1 | 1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1 |
А2 | 1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11 |
А3 | 1) 2;-1 2) корней нет 3) 0 4) -2;1 |
А4 | 1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2 |
А5 | 1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3 |
3 Метод оценки.
Теорема о корне : если функция f(x) возрастает (убывает) на промежутке I, число а –любое значение принимаемое f на этом промежутке, тогда уравнение f(x) = а имеет единственный корень на промежутке I.
При решении уравнений методом оценки используется эта теорема и свойства монотонности функции.
Примеры. Решить уравнения: 1. 4x = 5 – x.
Решение. Перепишем уравнение в виде 4x +x = 5.
1. если x = 1, то 41+1 = 5 , 5 = 5 верно, значит 1 – корень уравнения.
Функция f(x) = 4x – возрастает на R, и g(x) = x –возрастает на R => h(x)= f(x)+g(x) возрастает на R, как сумма возрастающих функций, значит x = 1 – единственный корень уравнения 4x = 5 – x. Ответ: 1.
2.
Решение. Перепишем уравнение в виде .
1. если x = -1, то , 3 = 3-верно, значит x = -1 – корень уравнения.
2. докажем, что он единственный.
3. Функция f(x) = - убывает на R, и g(x) = - x – убывает на R=> h(x) = f(x)+g(x) – убывает на R, как сумма убывающих функций. Значит по теореме о корне, x = -1 – единственный корень уравнения. Ответ: -1.
Банк задач №2. Решить уравнение
а) 4x + 1 =6 – x;
б)
в) 2x – 2 =1 – x;
4. Метод введения новых переменных.
Метод описан в п. 2.1. Введение новой переменной (подстановка) обычно производится после преобразований (упрощения) членов уравнения. Рассмотрим примеры.
Примеры. Р ешить уравнение: 1. .
Перепишем уравнение иначе: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> т. е..png" width="210" height="45">
Решение. Перепишем уравнение иначе:
Обозначим https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - не подходит.
t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> - иррациональное уравнение. Отмечаем, что
Решением уравнения является x = 2,5 ≤ 4, значит 2,5 – корень уравнения. Ответ: 2,5.
Решение. Перепишем уравнение в виде и разделим его обе части на 56x+6 ≠ 0. Получим уравнение
2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, т..png" width="118" height="56">
Корни квадратного уравнения – t1 = 1 и t2 <0, т. е..png" width="200" height="24">.
Решение. Перепишем уравнение в виде
и заметим, что оно является однородным уравнением второй степени.
Разделим уравнение на 42x, получим
Заменим https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .
Ответ: 0; 0,5.
Банк задач № 3. Решить уравнение
б)
г)
Тест № 3 с выбором ответа. Минимальный уровень.
А1 | 1) -0,2;2 2) log52 3) –log52 4) 2 |
А2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0. | 1) 2;1 2) -1;0 3) корней нет 4) 0 |
1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5 |
|
А4 52x-5x - 600 = 0. | 1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2 |
1) корней нет 2) 2;4 3) 3 4) -1;2 |
Тест № 4 с выбором ответа. Общий уровень.
А1 | 1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0 |
А2 2x – (0,5)2x – (0,5)x + 1 = 0 | 1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1 |
1) 64 2) -14 3) 3 4) 8 |
|
1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0 |
|
А5 | 1) 0 2) 1 3) 0;1 4) корней нет |
5. Метод разложения на множители.
1. Решите уравнение: 5x+1 - 5x-1 = 24.
Решение..png" width="169" height="69"> , откуда
2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.
Решение. Вынесем за скобки в левой части уравнения 6x, а в правой части – 2x. Получим уравнение 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x.
Так как 2x >0 при всех x, можно обе части этого уравнения разделить на 2x, не опасаясь при этом потери решений. Получим 3x = 1ó x = 0.
3.
Решение. Решим уравнение методом разложения на множители.
Выделим квадрат двучлена
4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">
x = -2 – корень уравнения.
Уравнение x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">
А1 5x-1 +5x -5x+1 =-19.
1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1
А2 3x+1 +3x-1 =270.
1) 2 2) -4 3) 0 4) 4
А3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1,5
1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3
1) 1 2) -3 3) -1 4) 0
А5 2x -2x-4 = 15. x=4
1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2
Тест № 6 Общий уровень.
А1 (22x-1)(24x+22x+1)=7. | 1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0,2 |
А2 | 1) 2,5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0 |
А3 2x-1-3x=3x-1-2x+2. | 1) 2 2) -1 3) 3 4) -3 |
А4 | 1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4 |
А5 | 1) 2 2) -2 3) 5 4) 0 |
6. Показательно – степенные уравнения.
К показательным уравнениям примыкают так называемые показательно – степенные уравнения, т. е. уравнения вида (f(x))g(x) = (f(x))h(x).
Если известно, что f(x)>0 и f(x) ≠ 1, то уравнение, как и показательное, решается приравниванием показателей g(x) = f(x).
Если условием не исключается возможность f(x)=0 и f(x)=1, то приходится рассматривать и эти случаи при решении показательно – степенного уравнения.
1..png" width="182" height="116 src=">
2.
Решение. x2 +2x-8 – имеет смысл при любых x, т. к. многочлен, значит уравнение равносильно совокупности
https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">
б)
1. При каких значениях параметра p уравнение 4 (5 – 3)2 +4p2–3p = 0 (1) имеет единственное решение?
Решение. Введем замену 2x = t, t > 0, тогда уравнение (1) примет вид t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)
Дискриминант уравнения (2) D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.
Уравнение (1) имеет единственное решение, если уравнение (2) имеет один положительный корень. Это возможно в следующих случаях.
1. Если D = 0, то есть p = 1, тогда уравнение (2) примет вид t2 – 2t + 1 = 0, отсюда t = 1, следовательно, уравнение (1) имеет единственное решение x = 0.
2. Если p1, то 9(p – 1)2 > 0, тогда уравнение (2) имеет два различных корня t1 = p, t2 = 4p – 3. Условию задачи удовлетворяет совокупность систем
Подставляя t1 и t2 в системы, имеем
https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?
Решение. Пусть тогда уравнение (3) примет вид t2 – 6t – a = 0. (4)
Найдем значения параметра a, при которых хотя бы один корень уравнения (4) удовлетворяет условию t > 0.
Введем функцию f(t) = t2 – 6t – a. Возможны следующие случаи.
https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);
https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">
Случай 2. Уравнение (4) имеет единственное положительное решение, если
D = 0, если a = – 9, тогда уравнение (4) примет вид (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.
Случай 3. Уравнение (4) имеет два корня, но один из них не удовлетворяет неравенству t > 0. Это возможно, если
https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="no35_17" width="267" height="63">
Таким образом, при a 0 уравнение (4) имеет единственный положительный корень . Тогда уравнение (3) имеет единственное решение
При a < – 9 уравнение (3) корней не имеет.
если a < – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
если a = – 9, то x = – 1;
если a 0, то
Сравним способы решения уравнений (1) и (3). Отметим, что при решении уравнение (1) было сведено к квадратному уравнению, дискриминант которого - полный квадрат; тем самым корни уравнения (2) сразу были вычислены по формуле корней квадратного уравнения, а далее относительно этих корней были сделаны выводы. Уравнение (3) было сведено к квадратному уравнению (4), дискриминант которого не является полным квадратом, поэтому при решении уравнения (3) целесообразно использовать теоремы о расположении корней квадратного трехчлена и графическую модель. Заметим, что уравнение (4) можно решить, используя теорему Виета.
Решим более сложные уравнения.
Задача 3. Решите уравнение
Решение. ОДЗ: x1, x2.
Введем замену. Пусть 2x = t, t > 0, тогда в результате преобразований уравнение примет вид t2 + 2t – 13 – a = 0. (*)Найдем значения a, при которых хотя бы один корень уравнения (*) удовлетворяет условию t > 0.
https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).
https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">
https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">
Ответ: если a > – 13, a 11, a 5, то если a – 13,
a = 11, a = 5, то корней нет.
Список используемой литературы.
1. Гузеев основания образовательной технологии.
2. Гузеев технология: от приема до философии.
М. «Директор школы»№4, 1996 г.
3. Гузеев и организационные формы обучения.
4. Гузеев и практика интегральной образовательной технологии.
М. «Народное образование», 2001 г.
5. Гузеев из форм урока – семинара.
Математика в школе №2, 1987 г. с.9 – 11.
6. Селевко образовательные технологии.
М. «Народное образование», 1998 г.
7. Епишева школьников учиться математике.
М. «Просвещение», 1990 г.
8. Иванова подготовить уроки – практикумы.
Математика в школе №6, 1990 г. с. 37 – 40.
9. Смирнова модель обучения математике.
Математика в школе №1, 1997 г. с. 32 – 36.
10. Тарасенко способы организации практической работы .
Математика в школе №1, 1993 г. с. 27 – 28.
11. Об одном из видов индивидуальной работы.
Математика в школе №2, 1994 г. с.63 – 64.
12. Хазанкин творческие способности школьников.
Математика в школе №2, 1989 г. с. 10.
13. Сканави. Издатель, 1997 г.
14. и др. Алгебра и начала анализа. Дидактические материалы для
15. Кривоногов задания по математике.
М. «Первое сентября», 2002 г.
16. Черкасов. Справочник для старшеклассников и
поступающих в вузы. «А С Т - пресс школа», 2002 г.
17. Жевняк для поступающих в вузы.
Минск И РФ «Обозрение», 1996 г.
18. Письменный Д. Готовимся к экзамену по математике. М. Рольф, 1999 г.
19. и др. Учимся решать уравнения и неравенства.
М. «Интеллект – Центр», 2003 г.
20. и др. Учебно – тренировочные материалы для подготовки к Е Г Э.
М. «Интеллект – центр», 2003 г. и 2004 г.
21 и др. Варианты КИМ. Центр тестирования МО РФ, 2002 г., 2003г.
22. Гольдберг уравнения. «Квант» №3, 1971 г.
23. Волович М. Как успешно обучать математике.
Математика, 1997 г. №3.
24 Окунев за урок, дети! М. Просвещение, 1988 г.
25. Якиманская – ориентированное обучение в школе.
26. Лийметс работа на уроке. М. Знание, 1975 г.
Показательная функция
- это обобщение произведения n
чисел, равных a
:
y(n)
= a n = a·a·a···a
,
на множество действительных чисел x
:
y(x)
= a x
.
Здесь a
- фиксированное действительное число, которое называют основанием показательной функции
.
Показательную функцию с основанием a
также называют экспонентой по основанию a
.
Обобщение выполняется следующим образом.
При натуральном x = 1, 2, 3,...
,
показательная функция является произведением x
множителей:
.
При этом она обладает свойствами (1.5-8) (), которые следуют из правил умножения чисел. При нулевом и отрицательных значениях целых чисел ,
показательную функцию определяют по формулам (1.9-10). При дробных значениях x = m/n
рациональных чисел, ,
ее определяют по формуле(1.11). Для действительных ,
показательную функцию определяют как предел последовательности:
,
где - произвольная последовательность рациональных чисел, сходящаяся к x
:
.
При таком определении, показательная функция определена для всех ,
и удовлетворяет свойствам (1.5-8), как и для натуральных x
.
Строгая математическая формулировка определения показательной функции и доказательство ее свойств приводится на странице «Определение и доказательство свойств показательной функции ».
Показательная функция y = a x
,
имеет следующие свойства на множестве действительных чисел ()
:
(1.1)
определена и непрерывна, при ,
для всех ;
(1.2)
при a ≠ 1
имеет множество значений ;
(1.3)
строго возрастает при ,
строго убывает при ,
является постоянной при ;
(1.4)
при ;
при ;
(1.5)
;
(1.6)
;
(1.7)
;
(1.8)
;
(1.9)
;
(1.10)
;
(1.11)
,
.
Другие полезные формулы.
.
Формула преобразования к показательной функции с другим основанием степени:
При b = e
,
получаем выражение показательной функции через экспоненту:
, , , , .
На рисунке представлены графики показательной функции
y(x)
= a x
для четырех значений основания степени
: a = 2
,
a = 8
,
a = 1/2
и a = 1/8
.
Видно, что при a > 1
показательная функция монотонно возрастает. Чем больше основание степени a
,
тем более сильный рост. При 0
< a < 1
показательная функция монотонно убывает. Чем меньше показатель степени a
,
тем более сильное убывание.
Показательная функция, при является строго монотонной, поэтому экстремумов не имеет. Основные ее свойства представлены в таблице.
y = a x , a > 1 | y = a x , 0 < a < 1 | |
Область определения | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
Область значений | 0 < y < + ∞ | 0 < y < + ∞ |
Монотонность | монотонно возрастает | монотонно убывает |
Нули, y = 0 | нет | нет |
Точки пересечения с осью ординат, x = 0 | y = 1 | y = 1 |
+ ∞ | 0 | |
0 | + ∞ |
Обратной для показательной функции с основанием степени a является логарифм по основанию a .
Если ,
то
.
Если ,
то
.
Для дифференцирования показательной функции, ее основание нужно привести к числу e , применить таблицу производных и правило дифференцирования сложной функции.
Для этого нужно использовать свойство логарифмов
и формулу из таблицы производных :
.
Пусть задана показательная функция:
.
Приводим ее к основанию e
:
Применим правило дифференцирования сложной функции . Для этого вводим переменную
Тогда
Из таблице производных имеем (заменим переменную x
на z
):
.
Поскольку - это постоянная, то производная z
по x
равна
.
По правилу дифференцирования сложной функции:
.
.
Производная n-го порядка:
.
Вывод формул > > >
Найти производную функции
y = 3
5
x
Решение
Выразим основание показательной функции через число e
.
3
= e ln 3
Тогда
.
Вводим переменную
.
Тогда
Из таблицы производных находим:
.
Поскольку 5ln 3
- это постоянная, то производная z
по x
равна:
.
По правилу дифференцирования сложной функции имеем:
.
Ответ
Рассмотрим функцию комплексного числа z
:
f(z)
= a z
где z = x + iy
;
i 2 = - 1
.
Выразим комплексную постоянную a
через модуль r
и аргумент φ
:
a = r e i φ
Тогда
.
Аргумент φ
определен не однозначно. В общем виде
φ = φ 0 + 2
πn
,
где n
- целое. Поэтому функция f(z)
также не однозначна. Часто рассматривают ее главное значение
.
.
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.