Числовые и алгебраические выражения — Гипермаркет знаний. Числовые и алгебраические выражения

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели урока:

Повторить и углубить умение учащихся находить значения числовых выражений, составленных из рациональных чисел с помощью знаков сложения, вычитания, умножения и деления;
Учащиеся должны знать, что выражение, содержащее действие деление на нуль, не имеет смысла.
Развить познавательный интерес учащихся к изучению нового предмета.
Развить мышление, память, речь, совершенствовать вычислительные навыки учащихся, умение работать в оптимальном темпе.

Оборудование: ПК, мультимедийная установка; карточки с домашнем заданием (Приложение 1)

Тип урока: урок повторения и обобщения знаний полученных в курсе математики 5-6 классов.

Формы работы: фронтальная, коллективная, самостоятельная работа.

Ход урока

1. Организационный момент (2-4 минуты)

Поздравить учащихся с началом нового учебного года.

***
И снова в позолоте тополя,
А школа – как корабль у причала,
Где ждут учеников учителя,
Чтоб новой жизни положить начало.

***
Пусть счастье в дверь твою стучит,
Открой ее скорей пошире.
Путь жизни тайною покрыт,
Но так прекрасно в этом мире!
И пусть всегда – в окошке свет,
Улыбка мамина – с порога.
Пусть будет много добрых лет
И в жизни легкая дорога!

***
Осенние мотивы
Эта шикарная женщина ОСЕНЬ
Себя подарила беспутному ветру,
И что он ни скажет, и что ни попросит,
Ему отдавала, не чувствуя меры.
Листвы разноцветной большие охапки
Бросала к ногам его брачным букетом,
И буйные краски, и солнца остатки,
И слезы дождей, и туман пред рассветом.
А ветер беспутный шаталец по свету,
Любя самого лишь себя, свою прихоть,
И даже шикарную женщину эту
Старался как можно больнее обидеть,
Сорвать с нее платье нахальным порывом,
Чтоб голая так до зимы простояла…
А ОСЕНЬ прощала, лишь с тихим надрывом
Уже обреченные слезы роняла.
В зимовьих объятьях она умирает,
И проседь теперь в волосах, а не просинь.
Под снежной накидкой никто не узнает
Эту шикарную женщину – ОСЕНЬ.
<Слайд 1 >

2. Что изучает алгебра?

У. : Какой предмет мы изучали в прошлом году?

Ученики: Математику.

Есть о математике молва,
Что она в порядок ум приводит.
Поэтому хорошие слова
Часто говорят о ней в народе.

У.: Чем мы занимались на уроках математики?

Ученики: Проводили вычисления с целыми и дробными числами, решали уравнения, задачи, строили фигуры в координатной плоскости.

<Слайд 2 >

У.: Все это составляло содержание предмета «Математика». Этот предмет подразделяется на огромное число самостоятельных дисциплин: алгебра, геометрию, теорию вероятностей, математический анализ, теорию игр и т. д. Мы приступаем к изучению алгебры. Вы уже дома познакомились с учебником. Чем он отличается, например, от учебника литературы?

<Слайд 3 >

Ученики: В нем много цифр и букв, причем букв латинских.

У.: Мы с вами помним, что буквы нам помогают записывать свойства действий над числами в удобной для запоминания форме. Говорят: «Высказанное утверждение записано на математическом языке». Например, переместительное свойство умножения: от перестановки множителей произведение не меняется (a · b = b · a ). Вспомните, как найти расстояние, зная время и скорость.

<Слайд 4 >

Ученики: Чтобы найти расстояние, надо время умножить на скорость.

У.: Записываем это короче: s = v · t . То есть буквы помогают записывать в виде формул правила для нахождения значений интересующих нас величин. Чем еще алгебра отличается, например, от арифметики? В арифметических задачах по известным правилам находят неизвестное число. В алгебре неизвестную величину обозначают буквой. Эта неизвестная величина и данные в условии задачи связываются между собой уравнением, из решения которого и находится неизвестная величина. Отдельные алгебраические понятия и приемы решения задач возникли несколько тысяч лет назад в древних государствах – Вавилоне и Египте. О состоянии математических знаний в те века можно судить по древним рукописям (папирусам), найденным на местах древних городов. <Слайд 5 >

Около 4000 лет назад в Вавилоне и в Египте ученые уже умели составлять линейные уравнения, с помощью которых они решали самые разнообразные задачи землемерия, строительного искусства и военного дела. Например, в Британском музее хранится задача из папируса Ринда (его называли также папирусом Ахмеса), относящегося к периоду 2000 – 1700 гг. до н. э.: «Найти число, если известно, что от прибавления к нему 2/3 его и вычитания от полученной суммы ее трети получается число 10». Решение этой задачи сводится к решению линейного уравнения:

<Слайд 6, 7 >

В VII в. до н. э. греки усвоили достижения египтян в математике. В начале IX в. (830 год) хорезмийский ученый Мухаммед-бен-Муса ал-Хорезми написал книгу «Хисаб аль джабр вал-Мукабала» («Метод восстановления и противопоставления») – это была первая книга по алгебре. Она имеет особое значение в истории математики как руководство, по которому долгое время обучалась вся Европа. В ней он впервые рассмотрел методы и приемы алгебры.

Ал-джебр
(перенос слагаемых)

При решении уравненья,
Если в части одной,
Безразлично какой,
Встретится член отрицательный,
Мы к обеим частям,
С этим членом сличив.
Равный член придадим,
Только с знаком другим,-
И найдем результат, нам желательный!

Вал-мукабала
(приведение подобных)

<Слайд 8 >

С момента написания этой книги алгебра становится самостоятельной наукой. Само слово «алгебра» произошло, вероятно, от слова «ал джебр», что означает «восстановление». Словом «алгебра» в арабском языке называлось искусство врача восстанавливать сломанную руку или ногу. Хирурга у арабов называли алгебраистом. Таким образом, математика позаимствовала это слово из медицины.

<Слайд 8 >

Дальнейшее развитие алгебры происходило в основном в Индии (до XII в.) и в Средней Азии (до XV в.). Алгебру до XVII в. условно называли риторической (словесной). Дело в том, что тогда не существовало единых условных знаков «+», «-», «а 2 » и многих других которые используем мы. Условие задачи, все действия и ответ записывали полностью словами. Для удобства запоминания иногда эта запись делалась в стихах. Математические символы вводились постепенно. Так знак равенства «=» введен английским ученым Р. Рикордом в 1557 г., знаки «:» и «*» - немецким математиком Лейбницем в конце XVII в. , скобки – XVI в. Математические символы дали возможность ученым разных стран понять друг друга. В формировании алгебры как науки большие заслуги принадлежат французским ученым Франсуа Виету и Рене Декарту. В течение XVIII-XX в. из алгебры выросли новые математические науки: алгебра многочленов, векторная алгебра. Науки эти изучаются в высшей школе.

В школьной алгебре задачи решают путем составления уравнений, изучают сами уравнения, связи между величинами (некоторые из этих связей называются функциями). При этом используются буквы, выражения с буквами подвергаются различным преобразованиям (тождественным преобразованиям). Но за всеми этими буквами чаще всего скрываются числа.

<Слайд 9 >

Иногда говорят: «Алгебра держится на четырех китах: на уравнении, числе, тождестве, функции».Алгебра, к изучению которой мы приступаем, дает человеку возможность не только выполнять различные вычисления, но и учит его делать это как можно быстрее, рациональнее.

<Слайд 10 >

3. Устные упражнения.

1. Найдите сумму чисел -3,7 и 6,7 (отв. 3); найдите произведение чисел найдите разность чисел Повторить правила выполнения арифметических действий с обыкновенными дробями и рациональными числами.

2. Я задумал три числа. Найдите первое, если известно, что число, противоположное ему, равно 6. Найдите второе, если число обратное ему равно 3. Найдите третье, если известно, что, умножив его на

3. Вычислите:

<Слайд 11, 12 >

4. Изучение новой темы.

При решении многих задач приходится над заданными числами производить арифметические действия: сложение, вычитание, умножение и деление. Но часто, прежде чем доводить до конца каждое из этих действий, удобно заранее указать порядок (план), следуя которому надо производить эти действия. Этот план сводится к тому, что по данным задачи с помощью чисел, знаков действий и скобок составляется числовое выражение.

Примеры:

Если в числовом выражении выполнить все указанные в нем действия, то в результате получим число, про которое говорят, что оно равно данному числовому выражению.

Так первое числовое выражение равно 2, второе равно тоже 2, третье же равно 0.

Определение 1: Запись, составленная из чисел с помощью арифметических действий (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень) называет числовым (арифметическим) выражением.

Числовое выражение может состоять из одного числа.

Определение 2: Значением числового выражения называется число, полученное в результате выполнения указанных в числовом выражении действий.

<Слайд 13 >

Примеры : Поезд двигался сначала 50 минут со скоростью шестьдесят километров в час, затем остановился на станции на десять минут, потом двигался еще один час со скоростью 40 км/ч. Найдите среднюю скорость движения поезда.

Решение : По определению средней скорости движения она равна отношению пройденного пути к затраченному на этот путь времени. Вычислим путь и время движения. Прежде всего учтем, что (перешли к одинаковым единицам измерения времени). В начале движения был пройден путь в конце – путь 40·1(км).

Общий пройденный путь описывается числовым выражением:

Время, затраченное на этот путь (включая время, затраченное на остановку), описывается числовым выражением: Тогда средняя скорость движения описывается выражением: Если вычислить это выражение, то получим: .

Определение 3: Два числовых выражения, соединенные знаком «=», образуют числовое равенство. Если значения левой и правой частей числового равенства совпадают, то равенство называют верным, в противном случае – неверным.

Примеры: - верное числовое равенство;

6 + 12 · 3 = (6 + 12) · 3 - неверное числовое равенство, так как 42 ≠54.

<Слайд 14 >

Скобки помогают установить порядок действий. При этом предполагается, что все действия возможно осуществить. Всегда возможно произвести сложение, вычитание и умножение любых чисел. А вот делить одно число на другое можно, только если делитель не равен нулю: на нуль делить нельзя. Если в данном выражении на некотором этапе вычислений требуется делить на нуль, то это выражение не имеет смысла.

Примеры: Эти выражения не имеют смысла.

<Слайд 15 >

Повторить порядок выполнения действий в числовом выражении. Повторить правила выполнения действий с дробями.

5. Закрепление изученного материала.

Пр. №1 Установите, какие из следующих выражений имеют смысл и какие не имеют. Для имеющих смысл найдите числа, которым они равны.

<Слайд 16 >

Пр. №2 Записать в виде равенства и проверить, верно ли оно:

а) 20% от числа 240 равны 62 (240 · 0,2 = 62 не верно);

б) число 18 составляет 3% от числа 600 (18 = 0,03 · 600 не верно);

в) произведение чисел и 5 составляет 11% от числа 700 верно;

г) четвертая часть числа 18 равна 5% от числа 90 верно;

д) число 111:3 равно 10% от числа 370 (111: 3 = 0,1 · 370, верно);

е) 650% от числа 12 равны 77 (6,5 · 12 = 77 78 ≠ 77, не верно).

<Слайд 17 >

Пр. №3 Вычислить:

<Слайд 18, 19 >

6. Домашнее задание: конспект, 10 (А)

<Слайд 20 >

7. Подведение итогов урока

<Слайд 21, 22 >

Литература:

Математика № 12, 2004 год
Алгебра: 7 класс. Контрольные, самостоятельные, рейтинговые работы/ В. А. Гольдич. – М.: Эксмо, 2008. – 144 с. – (Мастер-класс для учителя).
Интернет ресурсы.

Числовое выражение – это любая запись из чисел, знаков арифметических действий и скобок. Числовое выражение может состоять и просто из одного числа. Напомним, что основными арифметическими действиями являются «сложение», «вычитание», «умножение» и «деление». Этим действиям соответствуют знаки «+», «-», «∙», «:».

Конечно же, чтобы у нас получилось числовое выражение, запись из чисел и арифметических знаков должна быть осмысленной. Так, например, такую запись 5: + ∙ нельзя назвать числовым выражением, так как это случайный набор символов, не имеющий смысла. Напротив, 5 + 8 ∙ 9 - уже настоящее числовое выражение.

Значение числового выражения.

Сразу скажем, что если мы выполним действия указанные в числовом выражении, то в результате мы получим число. Это число называется значением числового выражения .

Попробуем вычислить, что у нас получится в результате выполнения действий нашего примера. Согласно порядку выполнения арифметических действий , сначала выполним операцию умножения. Умножим 8 на 9. Получим 72. Теперь сложим 72 и 5. Получим 77.
Итак, 77 – значение числового выражения 5 + 8 ∙ 9.

Числовое равенство.

Можно это записать таким образом: 5 + 8 ∙ 9 = 77. Здесь мы впервые использовали знак «=» («Равно»). Такая запись, при которой два числовых выражения разделены знаком «=», называется числовым равенством . При этом, если значения левой и правой части равенства совпадают, то равенство называют верным . 5 + 8 ∙ 9 = 77 – верное равенство.
Если же мы напишем 5 + 8 ∙ 9 = 100, то это уже будет неверное равенство , так как значения левой и правой части данного равенства уже не совпадают.

Следует отметить, что в числовом выражении мы также можем использовать скобки. Скобки влияют на порядок выполнения действий. Так, например, видоизменим наш пример, добавив скобки: (5 + 8) ∙ 9. Теперь сначала нужно сложить 5 и 8. Получим 13. А затем умножить 13 на 9. Получим 117. Таким образом, (5 + 8) ∙ 9 = 117.
117 – значение числового выражения (5 + 8) ∙ 9.

Чтобы правильно прочитать выражение, нужно определить какое именно действие выполняется последним для вычисления значения данного числового выражения. Так, если последнее действие вычитание, то выражение называют «разностью». Соответственно, если последнее действие сумма - «суммой», деление – «частным», умножение – «произведением», возведение в степень – «степенью».

Например, числовое выражение (1+5)(10-3) читается так: «произведение суммы чисел 1 и 5 на разность чисел 10 и 3».

Примеры числовых выражений.

Приведем пример более сложного числового выражения:

\[\left(\frac{1}{4}+3,75 \right):\frac{1,25+3,47+4,75-1,47}{4\centerdot 0,5}\]

В данном числовом выражении используются простые числа, обыкновенные и десятичные дроби. Также используются знаки сложения, вычитания, умножения и деления. Черта дроби также заменяет знак деления. При кажущейся сложности, найти значение данного числового выражения довольно просто. Главное уметь выполнять операции с дробями, а также внимательно и аккуратно делать вычисления, соблюдая порядок выполнения действий.

В скобках у нас выражение $\frac{1}{4}+3,75$ . Преобразуем десятичную дробь 3,75 в обыкновенную.

$3,75=3\frac{75}{100}=3\frac{3}{4}$

Итак, $\frac{1}{4}+3,75=\frac{1}{4}+3\frac{3}{4}=4$

Далее, в числителе дроби \[\frac{1,25+3,47+4,75-1,47}{4\centerdot 0,5}\] у нас выражение 1,25+3,47+4,75-1,47. Для упрощения данного выражения применим переместительный закон сложения, который гласит: «От перемены мест слагаемых сумма не изменяется». То есть, 1,25+3,47+4,75-1,47=1,25+4,75+3,47-1,47=6+2=8.

В знаменателе дроби выражение $4\centerdot 0,5=4\centerdot \frac{1}{2}=4:2=2$

Получаем $\left(\frac{1}{4}+3,75 \right):\frac{1,25+3,47+4,75-1,47}{4\centerdot 0,5}=4:\frac{8}{2}=4:4=1$

Когда числовые выражения не имеют смысла?

Рассмотрим еще один пример. В знаменателе дроби $\frac{5+5}{3\centerdot 3-9}$ значением выражения $3\centerdot 3-9$ является 0. А, как мы знаем, деление на нуль невозможно. Следовательно, у дроби $\frac{5+5}{3\centerdot 3-9}$ нет значения. Про числовые выражения, у которых нет значения, говорят, что они «не имеют смысла».

Если мы в числовом выражении помимо чисел будем использовать буквы, то у нас получится уже

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

И снова в позолоте тополя, А школа - как корабль у причала, Где ждут учеников учителя, Чтоб новой жизни положить начало. Пусть счастье в дверь твою стучит, Открой ее скорей пошире. Путь жизни тайною покрыт, Но так прекрасно в этом мире! И пусть всегда – в окошке свет, Улыбка мамина – с порога. Пусть будет много добрых лет И в жизни легкая дорога!

Есть о математике молва, Что она в порядок ум приводит. Поэтому хорошие слова Часто говорят о ней в народе.

S = v· t a · b = b · a

Вавилон Египет

В Британском музее хранится задача из папируса Ринда (его называли также папирусом Ахмеса) Найти число, если известно, что от прибавления к нему 2/3 его и вычитая от полученной суммы ее трети получается число 10.

« Хисаб Ал-джебр Вал-мукабала » («Метод восстановления и противопоставления») – это была первая книга по алгебре. Ал-джебр При решении уравненья, Если в части одной, Безразлично какой, Встретится член отрицательный, Мы к обеим частям, С этим членом сличив. Равный член придадим, Только с знаком другим,- И найдем результат, нам желательный! Вал-мукабала Дальше смотрим в уравненье, Можно ль сделать приведенье, Если члены есть подобны, Сопоставить их удобно. Вычитая равный член из них, К одному приводим их.

Алгебра уравнение число тождество функция Алгебра, к изучению которой мы приступаем, дает человеку возможность не только выполнять различные вычисления, но и учит его делать это как можно быстрее, рациональнее.

Тема урока: «Числовые выражения» Повторить и углубить умение учащихся находить значения числовых выражений; Запомнить, что выражение, содержащее действие деление на нуль, не имеет смысла; Развить познавательный интерес учащихся к изучению нового предмета. Цели урока:

устно Вычислите: 6 7 10 80 289 72 8 5 8100 170

Запись, составленная из чисел с помощью арифметических действий (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень) называет числовым (арифметическим) выражением. 2 2 0 Значением числового выражения называется число, полученное в результате выполнения указанных в числовом выражении действий. Изучение темы

Два числовых выражения, соединенные знаком «=», образуют числовое равенство. Если значения левой и правой частей числового равенства совпадают, то равенство называют верным, в противном случае – неверным. верное неверное Изучение темы

Если в данном выражении на некотором этапе вычислений требуется делить на нуль, то это выражение не имеет смысла. Изучение темы

Киоск задач №1 Установите, какие из следующих выражений имеют смысл и какие не имеют. Для имеющих смысл найдите числа, которым они равны. а) б) в) не имеет смысла -3/7 54/95

Киоск задач №1 (первая, вторая строчки), №3, №4 (д – з), №5, №6 (первая, третья строчки), №7 (а, б), №13

Домашнее задание П.1 (изучить, определения выучить), №2, №4 (а – г), №6 (б, д, з)

Итоги урока О каких выражения мы сегодня говорили? Какое выражение называется числовым? Что называют значением числового выражения? Что такое числовое равенство? Какие виды равенств вы знаете? Когда числовое выражение не имеет смысла?

Спасибо за урок, Дети Творческих успехов Вам В новом учебном году!

>>Математика: Числовые и алгебраические выражения

Числовые и алгебраические выражения

В младших классах вы учились проводить вычисления с целыми и дробными числами , решали уравнения, знакомились с геометрическими фигурами, с координатной плоскостью. Все это составляло содержание одного школьного предмета «Математика» . В действительности такая важная область науки, как математика, подразделяется на огромное число самостоятельных дисциплин: алгебру, геометрию, теорию вероятностей, математический анализ, математическую логику, математическую статистику, теорию игр и т.д. У каждой дисциплины - свои объекты изучения, свои методы познания реальной действительности.

Алгебра, к изучению которой мы приступаем, дает человеку возможность не только выполнять различные вычисления , но и учит его делать это как можно быстрее, рациональнее. Человек, владеющий алгебраическими методами, имеет преимущество перед теми, кто не владеет этими методами: он быстрее считает, успешнее ориентируется в жизненных ситуациях, четче принимает решения, лучше мыслит. Наша задача - помочь вам овладеть алгебраическими методами, ваша задача - не противиться обучению, с готовностью следовать за нами, преодолевая трудности.

На самом деле в младших классах вам уже приоткрыли окно в волшебный мир алгебры, ведь алгебра в первую очередь изучает числовые и алгебраические выражения.

Напомним, что числовым выражением называют всякую запись, составленную из чисел и знаков арифметических действий (составленную, разумеется, со смыслом: например, 3 + 57 - числовое выражение, тогда как 3 + : - не числовое выражение, а бессмысленный набор символов). По некоторым причинам (о них мы будем говорить в дальнейшем) часто вместо конкретных чисел употребляются буквы (преимущественно из латинского алфавита); тогда получается алгебраическое выражение. Эти выражения могут быть очень громоздкими. Алгебра учит упрощать их, используя разные правила, законы, свойства, алгоритмы, формулы, теоремы.

Пример 1 . Упростить числовое выражение:

Решение . Сейчас мы вместе с вами кое-что вспомним, и вы увидите, как много алгебраических фактов вы уже знаете. Прежде всего нужно выработать план осуществления вычислений. Для этого придется использовать принятые в математике соглашения о порядке действий. Порядок действий в данном примере будет таким:

1) найдем значение А выражения в первых скобках:
А = 2,73 + 4,81 + 3,27 - 2,81;

2) найдем значение В выражения во вторых скобках:

3) разделим А на Б - тогда будем знать, какое число С содержится в числителе (т. е. над горизонтальной чертой);

4) найдем значение D знаменателя (т. е. выражения, содержащегося под горизонтальной чертой):
D = 25 - 37- 0,4;

5) разделим С на D - это и будет искомый результат. Итак, план вычислений есть (а наличие плана - половина
успеха!), приступим к его реализации.

1) Найдем А = 2,73 + 4,81 + 3,27 - 2,81. Конечно, можно считать подряд или, как говорится, «в к лоб»: 2,73 + 4,81, затем к этому числу прибавить
3,27, затем вычесть 2,81. Но культурный человек так вычислять не будет. Он вспомнит переместительный и сочетательный законы сложения (впрочем, ему их и не надо вспоминать, они у него всегда в голове) и будет вычислять так:

(2,73 + 3,27) + 4,81 - 2,81) = 6 + 2 = 8.

А теперь еще раз вместе проанализируем, какие математические факты нам пришлось вспомнить в процессе решения примера (причем не просто вспомнить, но и использовать).

1. Порядок арифметических действий.

2. Переместительный закон сложения: а + b = b + а.

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки

Предыдущая статья: Чему равна скорость света Следующая статья: Углерод — характеристика элемента и химические свойства