Что является множеством. Объединение или сумма множеств

Математическим анализом называется раздел математики, занимающийся исследованием функций на основе идеи бесконечно малой функции.

Основными понятиями математического анализа являются величина, множество, функция, бесконечно малая функция, предел, производная, интеграл.

Величиной называется все что может быть измерено и выражено числом.

Множеством называется совокупность некоторых элементов, объединенных каким-либо общим признаком. Элементами множества могут быть числа, фигуры, предметы, понятия и т.п.

Множества обозначаются прописными буквами, а элементы множество строчными буквами. Элементы множеств заключаются в фигурные скобки.

Если элемент x принадлежит множеству X , то записывают x ∈ Х (∈ — принадлежит).
Если множество А является частью множества В, то записывают А ⊂ В (⊂ — содержится).

Множество может быть задано одним из двух способов: перечислением и с помощью определяющего свойства.

Например, перечислением заданы следующие множества:

А={1,2,3,5,7} — множество чисел
Х={x 1 ,x 2 ,...,x n } — множество некоторых элементов x 1 ,x 2 ,...,x n
N={1,2,...,n} — множество натуральных чисел
Z={0,±1,±2,...,±n} — множество целых чисел

Множество (-∞;+∞) называется числовой прямой , а любое число — точкой этой прямой. Пусть a — произвольная точка числовой прямой иδ — положительное число. Интервал (a-δ; a+δ) называется δ-окрестностью точки а .

Множество Х ограничено сверху (снизу), если существует такое число c, что для любого x ∈ X выполняется неравенство x≤с (x≥c). Число с в этом случае называется верхней(нижней) гранью множества Х. Множество, ограниченное и сверху и снизу, называется ограниченным . Наименьшая (наибольшая) из верхних (нижних) граней множества называется точной верхней (нижней) гранью этого множества.

Основные числовые множества

N	{1,2,3,...,n} Множество всех
Z	{0, ±1, ±2, ±3,...} Множество целых чисел. Множество целых чисел включает в себя множество натуральных.
Q	Множество рациональных чисел . Кроме целых чисел имеются ещё и дроби. Дробь — это выражение вида , где p — целое число, q — натуральное. Десятичные дроби также можно записать в виде . Например: 0,25 = 25/100 = 1/4. Целые числа также можно записать в виде . Например, в виде дроби со знаменателем "один": 2 = 2/1. Таким образом любое рациональное число можно записать десятичной дробью — конечно или бесконечной периодической.
R	Множество всех вещественных чисел . Иррациональные числа — это бесконечные непериодические дроби. К ним относятся: Вместе два множества (рациональных и иррациональных чисел) — образуют множество действительных (или вещественных) чисел.

Если множество не содержит ни одного элемента, то оно называется пустым множеством и записывается Ø .

Элементы логической символики

Запись ∀x: |x|<2 → x 2 < 4 означает: для каждого x такого, что |x|<2, выполняется неравенство x 2 < 4.

Квантор

При записи математических выражений часто используются кванторы.

Квантором называется логический символ, который характеризует следующие за ним элементы в количественном отношении.

∀- квантор общности , используется вместо слов "для всех", "для любого".
∃- квантор существования , используется вместо слов "существует", "имеется". Используется также сочетание символов ∃!, которое читается как существует единственный.

Операции над множествами

Два множества А и В равны (А=В), если они состоят из одних и тех же элементов.
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,1,4,2} то А=В.

Объединением (суммой) множеств А и В называется множество А ∪ В, элементы которого принадлежат хотя бы одному из этих множеств.
Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,6}, то А ∪ B = {1,2,3,4,5,6}

Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество А ∩ В, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В.
Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,2}, то А ∩ В = {2,4}

Разностью множеств А и В называется множество АВ, элементы которого принадлежат множесву А, но не принадлежат множеству В.
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5}, то АВ = {1,2}

Симметричной разностью множеств А и В называется множество А Δ В, являющееся объединением разностей множеств АВ и ВА, то есть А Δ В = (АВ) ∪ (ВА).
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}, то А Δ В = {1,2} ∪ {5,6} = {1,2,5,6}

Свойства операций над множествами

Свойства перестановочности

A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A

Сочетательное свойство

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Счетные и несчетные множества

Для того, чтобы сравнить два каких-либо множества А и В, между их элементами устанавливают соответствие.

Если это соответствие взаимооднозначное, то множества называются эквивалентными или равномощными, А В или В А.

Пример 1

Множество точек катета ВС и гипотенузы АС треугольника АВС являются равномощными.

Основные понятия теории множеств

Понятие множества является фундаментальным понятием современной математики. Мы будем считать его первоначальным и теорию множеств строить интуитивно. Дадим описание этого первоначального понятия.

Множество – это совокупность объектов (предметов или понятий), которая мыслится как единое целое. Объекты, входящие в эту совокупность, называются элементами множества.

Можно говорить о множестве студентов первого курса математического факультета, о множестве рыб в океане и т.д. Математика обычно интересуется множеством математических объектов: множество рациональных чисел, множество прямоугольников и т.д.

Множества будем обозначать большими буквами латинского алфавита, а его элементы малыми.

Если – элемент множества M , то говорят « принадлежит M » и пишут: . Если некоторый объект не является элементом множества, то говорят « не принадлежит M » и пишут (иногда ).

Существует два основных способа задания множеств: перечисление его элементов и указание характеристического свойства его элементов. Первый из этих способов применяется, в основном, для конечных множеств. При перечислении элементов рассматриваемого множества его элементы обрамляются фигурными скобками. Например, обозначает множество, элементами которого являются числа 2, 4 , 7 и только они. Этот способ применим не всегда, так как, например, множество всех действительных чисел таким образом задать невозможно.

Характеристическое свойство элементов множества M – это такое свойство, что всякий элемент, обладающий этим свойством, принадлежит M , а всякий элемент, не обладающий этим свойством, не принадлежит M . Множество элементов, обладающих свойством , обозначается так:

или .

Наиболее часто встречающиеся множества имеют свои особые обозначения. В дальнейшем будем придерживаться следующих обозначений:

N = – множество всех натуральных чисел;

Z = – множество всех целых чисел;

– множество всех рациональных чисел;

R – множество всех действительных (вещественных) чисел, т.е. рациональных чисел (бесконечных десятичных периодических дробей) и иррациональных чисел (бесконечных десятичных непериодических дробей);

– множество всех комплексных чисел.

Приведем более специальные примеры задания множеств с помощью указания характеристического свойства.

Пример 1. Множество всех натуральных делителей числа 48 можно записать так: (запись используется только для целых чисел , и означает, что делится на ).

Пример 2. Множество всех положительных рациональных чисел, меньших 7, записывается следующим образом: .

Пример 3. – интервал действительных чисел с концами 1 и 5; – отрезок действительных чисел с концами 2 и 7.

Слово «множество» наводит на мысль, что оно содержит много элементов. Но это не всегда так. В математике могут рассматриваться множества, содержащие только один элемент. Например, множество целых корней уравнения . Более того, удобно говорить о множестве, не содержащем ни одного элемента. Такое множество называется пустым и обозначается через Ø. Например, пустым является множество действительных корней уравнения .

Определение 1. Множества и называются равными (обозначается А=В ), если эти множества состоят из одних и тех же элементов.

Определение 2. Если каждый элемент множества принадлежит множеству , то называют подмножеством множества .

Обозначения: (« включается в »); (« включает »).

Ясно, что Ø и само множество являются подмножествами множества . Всякое другое подмножество множества называется его правильной частью . Если и , то говорят, что « А – собственное подмножество »или что «А строго включается в » и пишут .

Очевидно следующее утверждение: множества и равны тогда и только тогда, когда и .

На этом утверждении основан универсальный метод доказательства равенства двух множеств : чтобы доказать, что множества и равны, достаточно показать, что , а является подмножеством множества .

Это наиболее употребительный способ, хотя и не единственный. Позже, познакомившись с операциями над множествами и их свойствами, мы укажем другой способ доказательства равенства двух множеств – с помощью преобразований .

В заключение заметим, что часто в той или иной математической теории имеют дело с подмножествами одного и того же множества U , которое называют универсальным в этой теории. Например, в школьной алгебре и математическом анализе универсальным является множество R действительных чисел, в геометрии – множество точек пространства.

Операции над множествами и их свойства

Над множествами можно выполнять действия (операции), напоминающие сложение, умножение и вычитание.

Определение 1. Объединением множеств и называется множество, обозначаемое через , каждый элемент которого принадлежит хотя бы одному из множеств или .

Сама операция , в результате которой получается такое множество, называется объединением.

Краткая запись определения 1:

Определение 2. Пересечением множеств и называется множество, обозначаемое через , содержащее все те и только те элементы, каждый из которых принадлежит и , и .

Сама операция , в результате которой получается множество , называется пересечением.

Краткая запись определения 2:

Например, если , , то , .

Множества можно изображать в виде геометрических фигур, что позволяет наглядно иллюстрировать операции над множествами. Такой метод был предложен Леонардом Эйлером (1707–1783) для анализа логических рассуждений, широко применялся и получил дальнейшее развитие в трудах английского математика Джона Венна (1834–1923). Поэтому такие рисунки называют диаграммами Эйлера-Венна .

Операции объединения и пересечения множеств можно проиллюстрировать диаграммами Эйлера–Венна следующим образом:

– заштрихованная часть; – заштрихованная часть.

Можно определить объединение и пересечение любой совокупности множеств , где – некоторое множество индексов.

Определение . Объединением совокупности множеств называется множество , состоящее из всех тех и только тех элементов, каждый из которых принадлежит по крайней мере одному из множеств .

Определение . Пересечением совокупности множеств называется множество , состоящее из всех тех и только тех элементов, каждый из которых принадлежит любому из множеств .

В случае, когда множество индексов конечно, например, , то для обозначения объединения и пересечения совокупности множеств в этом случае обычно пользуются обозначениями:

и .

Например, если , , , то , .

С понятиями объединения и пересечения множеств неоднократно встречаются в школьном курсе математики.

Пример 1. Множество М решений системы неравенств

является пересечением множеств решений каждого из неравенств этой системы: .

Пример 2. Множество М решений системы

является пересечением множеств решений каждого из неравенств этой системы. Множество решений первого уравнения – множество точек прямой , т.е. . Множество . Множество состоит из одного элемента – точки пересечения прямых.

Пример 3. Множество решений уравнения

где , является объединением множеств решений каждого из уравнений , , т.е.

Определение 3. Разностью множеств и называется множество, обозначаемое через , и состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат , но не принадлежат .– заштрихованная часть; . с операциями объединения, пересечения и дополнения. Полученную математическую структуру называют алгеброй множеств илиалгеброй Булямножеств (вчесть ирландского математика и логика Джорджа Буля (1816–1864)). Через будем обозначать множество всех подмножеств произвольного множества и называть его булеаном множества .

Перечисленные ниже равенства справедливы для любых подмножеств A, B, C универсального множества U. Поэтому их и называют законами алгебры множеств.

Теория множеств.

Множества. Пустое множество. Универсальное множество. Подмножества. Собственное подмножество. Способы задания множеств. Мощность множества. Равномощные множества. Конечные и счётные множества. Операции над множествами (объединение, пересечение, дополнение, разность, симметрическая разность). Законы алгебры множеств. Характеристические функции. Декартово произведение множеств. Отношения и свойства отношений. Функции на множествах.

Определение множества.

Множество - это совокупность определённых различаемых объектов, причём таких, что для каждого можно установить, принадлежит этот объект данному множеству или нет.

Множества обычно обозначаются заглавными латинскими буквами, а элементы множества - строчными. Элементами множеств могут быть любые объекты, например, числа, символы, слова, объекты реального мира. В частности, элементами множества могут быть другие множества.

Например:

A = { a, b, c } - множество A состоящее из 3 элементов

N = { 1, 2, 3, … } - множество N целых чисел

Элементы множества являются уникальными, то есть, один и тот же элемент не может включаться в множество несколько раз (в отличие от векторов и мультимножеств). Считается, что при добавлении в множество элемента, который в нем уже присутствует, множество не меняется.

Порядок записи элементов множества не является существенным (в отличие от записи элементов векторов, где порядок важен).

Таким образом, множества считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Если некоторый объект является элементом множества , то этот факт записывается следующим образом: и читается «x принадлежит А». Аналогично, если элемент не является элементом множества , используется запись («y не принадлежит А»).

Пустое множество – это множество, не содержащее элементов. Пустое множество может быть обозначено с использованием фигурных скобок: = { }. Однако, множество B = { } не является пустым: это множество, содержащее один элемент, который является пустым множеством.

Универсальное множество Е – множество всех объектов, рассматриваемых в данной задаче.

Конечные и бесконечные множества. Если количество элементов множества конечно (то есть существует натуральное число, равное количеству элементов множества), то такое множество называется конечным. В противном случае множество называется бесконечным.

Мощность множества или кардинальное число |A| (иногда card (A)). Мощность множества является обобщением понятия количества элементов на бесконечные множества. Для конечных множеств мощность равна количеству элементов множества.

Мощность пустого множества по определению равна нулю: .

Равномощные множества – это множества, между элементами которых можно установить взаимно однозначное соответствие.

Счётное множество – множество, равномощное множеству натуральных чисел.

Множество А называют подмножеством множества B (обозначается либо ) если все элементы, которые принадлежат множеству A, так же принадлежат и множеству B.

В этом случае B называют надмножеством A

Пустое множество является подмножеством любого множества.

Любое множество является подмножеством самого себя:

Что такое множество в математике? Математическое множество - это несколько отдельных элементов, рассматриваемых, как единое целое. Если обозначить такой элемент буквой a, а само множество - буквой А, то запись будет выглядеть следующим образом:

проговаривается эта запись так: a принадлежит А, или А содержит а, или а - элемент А.

Для перечисления элементов множества используются фигурные скобки - {}. То есть, например, множество, в котором а ∈ А, b ∈ A и c ∈ A, будет записываться в таком виде:

Виды множеств.

Пустые множества.

Пустое множество – это то множество, которое вообще не содержит никаких элементов. Обозначается оно цифрой 0 или специальным значком ∅.

Примером пустого множества может служить любое нелогичное понятие , противоречащее самому себе - «множество птиц, живущих на дне океана», или «множество деревьев на Луне». Поскольку оба множества лишены смысла и не отвечают реальности, то, следовательно, они являются пустыми. Скажем, количество деревьев на Луне – 0, поэтому «множество деревьев на Луне» будет пустым (не будет содержать ни одного элемента).

Равные множества.

Равные множества – это два или более множеств, состоящих из равных наборов элементов. Приведём пример. Скажем, все члены Вашей семьи находятся на кухне. Таким образом, Множество «Члены семьи на кухне» будет равно множеству «Члены семьи в квартире».

Если два множества - А и B - состоят из одинакового набора элементов, то они будут равны, то есть А = B. Элементы множеств могут перечисляться в любой последовательности, на результат это никак не влияет. Множество {a, b, c} можно с тем же успехом записать, как {a, c, b}, или {с, b, a}, или {b, c, a}.

Подмножества и надмножества.

Если множества А и B состоят из одинаковых элементов {a, b, c}, то А будет считаться подмножеством B, а B - надмножеством А. Записывается это следующим образом:

A ⊆ B, B ⊇ A.

Бывает так, что множество В содержит в себе каждый из элементов множества А, но в то же время в нем присутствуют и другие элементы, множеству А не принадлежащие. В этом случае множество В становится собственным надмножеством А, в то время как множество А становится собственным подмножеством В.

Иначе говоря, если А ⊆ В, но при этом А ≠ В, то А ⊂ В, В ⊃ А.

Людям постоянно приходится иметь дело с различными совокупностями предметов, что повлекло за собой возникновение понятия числа, а затем и понятия множества, которое является одним из основных простейших математических понятий и не поддается точному определению. Нижеследующие замечания имеют своей целью пояснить, что такое множество , но не претендуют на то, чтобы служить его определением.

Множеством называется собрание, совокупность, коллекция вещей, объединенных по какому-либо признаку или по какому-либо правилу. Понятие множества возникает путем абстракции. Рассматривая какую-либо совокупность предметов как множество, отвлекаются от всех связей и соотношений между различными предметами, составляющими множества, но сохраняют за предметами их индивидуальные черты. Таким образом, множество, состоящее из пяти монет, и множество, состоящее из пяти яблок, - это разные множества. С другой стороны, множество из пяти монет, расположенных по кругу, и множество из тех же монет, положенных одна на другую, - это одно и то же множество.

Приведем несколько примеров множеств. Можно говорить о множестве песчинок, составляющих кучу песка, о множестве всех планет нашей солнечной системы, о множестве всех людей, находящихся в данный момент в каком-либо доме, о множестве всех страниц этой книги. В математике тоже постоянно встречаются различные множества, например множество всех корней заданного уравнения, множество всех натуральных чисел, множество всех точек на прямой и т. д.

Математическая дисциплина, изучающая общие свойства множеств, т. е. свойства множеств, не зависящие от природы составляющих их предметов, называется теорией множеств. Эта дисциплина начала бурно развиваться в конце XIX и начале XX в. Основатель научной теории множеств - немецкий математик Г. Кантор.

Работы Кантора по теории множеств выросли из рассмотрения вопросов сходимости тригонометрических рядов. Это весьма обычное явление: очень часто рассмотрение конкретных математических задач ведет к построению весьма абстрактных и общих теорий. Значение таких абстрактных построений определяется тем, что они оказываются связанными не только с той конкретной задачей, из которой они выросли, но имеют приложения и в ряде других вопросов. В частности, именно так обстоит дело и с теорией множеств. Идеи и понятия теории множеств проникли буквально во все разделы математики и существенно изменили ее лицо. Поэтому нельзя получить правильного представления о современной математике, не познакомившись с элементами теории множеств. Особенно большое значение имеет теория множеств для теории функций действительного переменного.

Множество считается заданным, если относительно любого предмета можно сказать, принадлежит он множеству или не принадлежит. Иными словами, множество вполне определяется заданием всех принадлежащих ему предметов. Если множество \(M\) состоит из предметов \(a,\,b,\,c,\,\ldots\) и только из этих предметов, то пишут

\(M=\{a,\,b,\,c,\,\ldots\}\)

Предметы, составляющие какое-либо множество, принято называть его элементами. Тот факт, что предмет т является элементом множества \(M\) , записывается в виде

\(\Large{m\in M}\)

и читается: " \(m\) принадлежит \(M\) ", или " \(m\) есть элемент \(M\) ". Если же предмет \(m\) не принадлежит множеству \(M\) , то пишут: \(m\notin M\) . Каждый предмет может служить лишь одним элементом заданного множества; иными словами, все элементы (одного и того же множества отличны
друг от друга.

Элементы множества \(M\) могут сами быть множествами, однако, во избежание противоречий, приходится требовать, чтобы само множество \(M\) не было одним из своих собственных элементов: \(M\notin M\) .

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством . Например, множество всех действительных корней уравнения

\(x^2+1=0\)

есть пустое множество. Пустое множество в дальнейшем будем обозначать через \(\varnothing\) .

Если для двух множеств \(M\) и \(N\) каждый элемент \(x\) множества \(M\) является также элементом множества \(N\) , то говорят, что \(M\) входит в \(\) , что \(M\) есть часть \(N\) , что \(M\) есть подмножество \(M\) или что \(M\) содержится в \(N\) ; это записывается в виде

\(M\subseteq N\) или \(N\supseteq M\)

Например, множество \(M=\{1,2\}\) есть часть множества \(N=\{1,2,3\}\) .

Ясно, что всегда \(M\subseteq M\) . Удобно считать, что пустое множество есть часть любого множества.

Два множества равны , если они состоят из одних и тех же элементов. Например, множество корней уравнения \(x^2-3x+2=0\) и множество \(M=\{1,2\}\) между собою равны.

Определим правила действий над множествами .

Объединение или сумма множеств

Пусть имеются множества \(M,N,P,\ldots\) . Объединением или суммой этих множеств называется множество \(X\) , состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из "слагаемых"

\(X=M+N+P+\ldots\) или \(X=M\cup N\cup P\cup\ldots\)

При этом, даже если элемент \(x\) принадлежит нескольким слагаемым, то он входит в сумму \(M\) лишь один раз. Ясно, что

\(M+M=M\cup M=M\)

и если \(M\subseteq N\) , то

\(M+N=M\cup N=N\)

Пересечение множеств

Пересечением или общей частью множеств \(M,N,P,\ldots\) . называется множество \(Y\) , состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат одновременно всем множествам \(M,N,P,\ldots\) .

Ясно, что \(M\cdot M=M\) , и если \(M\subseteq N\) , то \(M\cdot N=M\) .

Если пересечение множеств \(M\) и \(N\) пусто: \(M\cdot N=\varnothing\) , то говорят, что эти множества не пересекаются .

Для обозначения операции суммы и пересечения множеств употребляют также знаки \(\textstyle{\sum}\) и \(\textstyle{\prod}\) . Таким образом,

\(E=\sum E_i\) есть сумма множеств \(E_i\) , a \(F=\prod E_i\) - их пересечение.

\(M(N+P)=MN+MP,\)

а также законом

\(M+NP=(M+N)(M+P).\)

Разность множеств

Разностью двух множеств \(M\) и \(N\) называется множество \(Z\) всех тех элементов из \(Z\) , которые не принадлежат \(N\) :

\(Z=M-N\) или \(Z=M\setminus N\) .

Если \(N\subseteq M\) , то разность \(Z=M\setminus N=M-N\) называют также дополнением к множеству \(N\) относительно \(M\) .

Нетрудно показать, что всегда

\(M(N-P)=MN-MP\) и \((M-N)+MN=M.\)

Таким образом, правила действий над множествами значительно отличаются от обычных правил арифметики.

Конечные и бесконечные множества

Множества, состоящие из конечного числа элементов, называются конечными множествами. Если же число элементов множества неограниченно, то такое множество называется бесконечным. Например, множество всех натуральных чисел бесконечно.

Рассмотрим два каких-либо множества \(M\) и \(N\) и поставим вопрос о том, одинаково или нет количество элементов в этих множествах.

Если множество \(M\) конечно, то количество его элементов характеризуется некоторым натуральным числом - числом его элементов. В этом случае для сравнения количества элементов множеств \(M\) и \(N\) достаточно сосчитать число элементов в \(M\) , число элементов в \(N\) и сравнить полученные числа. Естественно также считать, что если одно из множеств \(M\) и \(N\) конечно, а другое бесконечно, то бесконечное множество содержит больше элементов, чем конечное.

Однако, если оба множества \(M\) и \(N\) бесконечны, то путь простого счета элементов ничего не дает. Поэтому сразу возникают такие вопросы: все ли бесконечные множества имеют одинаковое количество элементов, или же существуют бесконечные множества с большим и меньшим количеством элементов? Если верно второе, то каким способом можно сравнивать между собой количество элементов в бесконечных множествах? Этими вопросами мы теперь и займемся.

Взаимно однозначное соответствие множеств

Пусть снова \(M\) и \(N\) - два конечных множества. Как узнать, какое из этих множеств содержит больше элементов, не считая числа элементов в каждом множестве? Для этого будем составлять пары, объединяя в пару один элемент из \(M\) и один элемент из \(N\) . Тогда, если какому-нибудь элементу из \(M\) не найдется парного к нему элемента из \(N\) , то в \(M\) больше элементов, чем в \(N\) . Поясним это рассуждение примером.

Пусть в зале находится некоторое число людей и некоторое число стульев. Чтобы узнать, чего больше, достаточно попросить людей занять места. Если кто-нибудь остался без места, значит, людей больше, а если, скажем, все сидят и заняты все места, то людей столько же, сколько стульев. Описанный способ сравнения количества элементов во множествах имеет то преимущество перед непосредственным счетом элементов, что он без особых изменений применяется не только к конечным, но и к бесконечным множествам.

Рассмотрим множество всех натуральных чисел

\(M=\{1,\,2,\,3,\,4,\,\ldots\}\)

и множество всех четных чисел

\(N=\{2,\,4,\,6,\,8,\,\ldots\}\)

Какое множество содержит больше элементов? На первый взгляд кажется, что первое. Однако мы можем образовать из элементов этих множеств пары, как указано ниже.

Таблица 1

\({\color{blue}\begin{array}{c|c|c|c|c|c} {\color{black}M} &{\color{black}1} &{\color{black}2} &{\color{black}3} &{\color{black}4} &{\color{black}\cdots}\\\hline {\color{black}N} &{\color{black}2} &{\color{black}4} &{\color{black}6} &{\color{black}8} &{\color{black}\cdots} \end{array}}\)

Ни один элемент \(M\) и ни один элемент \(N\) не остается без пары. Правда, мы могли бы также образовать пары и так:

Таблица 2

\({\color{blue}\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} {\color{black}M}&{\color{black}1}&{\color{black}2}&{\color{black}3}&{\color{black}4}&{\color{black}5}&{\color{black}\cdots}\\\hline {\color{black}N}&{\color{black}-}&{\color{black}2}&{\color{black}-}&{\color{black}4}&{\color{black}-}&{\color{black}\cdots} \end{array}}\)

Тогда многие элементы из \(M\) остаются без пар. С другой стороны, мы могли бы составить пары и так:

Таблица 3

\({\color{blue}\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c} {\color{black}M}&{\color{black}-}&{\color{black}1}&{\color{black}-}&{\color{black}2}&{\color{black}-}&{\color{black}3}&{\color{black}-}&{\color{black}\cdots}\\\hline {\color{black}N}&{\color{black}2}&{\color{black}4}&{\color{black}6}&{\color{black}8}&{\color{black}10}&{\color{black}12}&{\color{black}14}&{\color{black}\cdots} \end{array}}\)

Теперь многие элементы из \(M\) остаются без пар.

Таким образом, если множества \(A\) и \(B\) бесконечны, то различным способам образования пар соответствуют разные результаты. Если существует такой способ образования пар, при котором у каждого элемента \(A\) и каждого элемента \(B\) имеется парный к нему элемент, то говорят, что между множествами \(A\) и \(B\) можно установить взаимно однозначное соответствие . Например, между рассмотренными выше множествами \(M\) и \(N\) можно установить взаимно однозначное соответствие, как
это видно из табл. 1.

Если между множествами \(A\) и \(B\) можно установить взаимно однозначное соответствие, то говорят, что они имеют одинаковое количество элементов или равномощны . Если же при любом способе образования пар некоторые элементы из \(A\) всегда остаются без пар, то говорят, что множество \(A\) содержит больше элементов, чем \(B\) , или что множество \(A\) имеет большую мощность, чем \(B\) .

Таким образом, мы получили ответ на один из поставленных выше вопросов: как сравнивать между собой количество элементов в бесконечных множествах. Однако это нисколько не приблизило нас к ответу на другой вопрос: существуют ли вообще бесконечные множества. имеющие различные мощности? Чтобы получить ответ на этот вопрос, исследуем некоторые простейшие типы бесконечных множеств.

Счетные множества. Если можно установить взаимно однозначное соответствие между элементами множества \(A\) и элементами множества всех натуральных чисел

\(Z=\{1,\,2,\,3,\,\ldots\},\)

то говорят, что множество \(A\) счетно . Иными словами, множество \(A\) счетно, если все его элементы можно занумеровать посредством натуральных чисел, т. е. записать в виде последовательности

\(a_1,~a_2,~\ldots,~a_n,~\ldots\)

Таблица 1 показывает, что множество всех четных чисел счетно (верхнее число рассматривается теперь как номер соответствующего нижнего числа).

Счетные множества это, так сказать, самые маленькие из бесконечных множеств: во всяком бесконечном множестве содержится счетное подмножество.

Если два непустых конечных множества не пересекаются, то их сумма содержит больше элементов, чем каждое из слагаемых. Для бесконечных множеств это правило может и не выполняться. В самом деле, пусть \(G\) есть множество всех четных чисел, \(H\) - множество всех нечетных чисел и \(Z\) - множество всех натуральных чисел. Как показывает таблица 4, множества \(G\) и \(H\) счетны. Однако множество \(Z=G+H\) вновь счетно.

Таблица 4

\({\color{blue}\begin{array}{c|c|c|c|c|c} {\color{black}G}&{\color{black}2}&{\color{black}4}&{\color{black}6}&{\color{black}8}&{\color{black}\cdots}\\\hline {\color{black}H}&{\color{black}1}&{\color{black}3}&{\color{black}5}&{\color{black}7}&{\color{black}\cdots}\\\hline {\color{black}Z}&{\color{black}1}&{\color{black}2}&{\color{black}3}&{\color{black}4}&{\color{black}\cdots} \end{array}}\)

Нарушение правила "целое больше части" для бесконечных множеств показывает, что свойства бесконечных множеств качественно отличны от свойств конечных множеств. Переход от конечного к бесконечному сопровождается в полном согласии с известным положением диалектики - качественным изменением свойств.

Докажем, что множество всех рациональных чисел счетно . Для этого расположим все рациональные числа в такую таблицу:

Таблица 5

\(\)

Здесь в первой строке помещены все натуральные числа в порядке их возрастания, во второй строке 0 и целые отрицательные числа в порядке их убывания, в третьей строке - положительные несократимые дроби со знаменателем 2 в порядке их возрастания, в четвертой строке - отрицательные несократимые дроби со знаменателем 2 в порядке их убывания и т. д. Ясно, что каждое рациональное число один и только один раз находится в этой таблице. Перенумеруем теперь
все числа этой таблицы в том порядке, как это указано стрелками. Тогда все рациональные числа разместятся в порядке одной последовательности:

Номер места, занимаемого
рациональным числом 1 2 3 4 5 6 7 8 9 . . .
Рациональное число 1. 2, О, 3, - 1, 4 -2 _

Этим установлено взаимно однозначное соответствие между всеми рациональными числами и всеми натуральными числами. Поэтому множество всех рациональных чисел счетно.

Множества мощности континуума

Если можно установить взаимно однозначное соответствие между элементами множества \(M\) и точками отрезка \(0\leqslant x\leqslant1\) , то говорят, что множество \(M\) имеет мощность континуума . В частности, согласно этому определению, само множество точек отрезка \(0\leqslant x\leqslant1\) имеет мощность континуума.

Из рис. 1 видно, что множество точек любого отрезка \(AB\) имеет мощность континуума. Здесь взаимно однозначное соответствие устанавливается геометрически, посредством проектирования.

Нетрудно показать, что множества точек любого интервала \(x\in\) и всей числовой прямой \(x\in[-\infty,+\infty]\) - имеют мощность континуума.

Значительно более интересен такой факт: множество точек квадрата \(0\leqslant x\leqslant1,\) \(0\leqslant y\leqslant1\) имеет мощность континуума. Таким образом, грубо говоря, в квадрате «столько же» точек, сколько и в отрезке.

В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!

Предыдущая статья: Чему равна скорость света Следующая статья: Углерод — характеристика элемента и химические свойства