Евклид (ок. 300 г. до н. э.) - древнегреческий математик, который является автором первого трактата по математике, дошедшего до нашего времени.

Жизненный путь и научные достижения

Биографических сведений об Евклиде не много. Достоверно известно только то, что его научная деятельность протекала в 3 в. до н. э в Александрии.

Евклид был первым математиком Александрийской школы. Главный труд ученого известный под названием «Начала» посвящен стереометрии, планиметрии и вопросам теории чисел. Фактически Евклид создал фундамент для развития математики. Также сохранилось его сочинение «О делении фигур», 4 книги о «Конических сечениях» и «Поризмы». Кроме того, Евклид писал об оптике, астрономии и музыке.

«Начала» Евклида в течение 2-х тысячелетий были базовым учебником по геометрии. Работая над этим учебником, Евклид обработал и свел воедино материал своих предшественников. Данный учебник состоит из 13 книг. Отличительной чертой учебника является наличие списка постулатов и аксиом. Рассмотрим содержание «Начал»:

• 1-я книга – свойства параллелограммов и треугольников (здесь была и теорема Пифагора);
• 3-я и 4-я книги – геометрия окружностей, описанных и вписанных многоугольников;
• 5-я книга – теория пропорций;
• 6-я книга – теория подобных фигур;
• 7-я и 9-я книги – теория чисел, теоремы о геометрических прогрессиях и о пропорциях;
• 10-я книга – классификация иррациональностей;
• 11-я книга – основы стереометрии;
• 12-я книга – теоремы об объёмах пирамид и конусов и об отношениях площадей кругов;
• 13-я книга – особенности построения правильных многогранников.

«Начала» стали общей основой для трактатов Архимеда и других античных авторов. Предложения, доказанные в них, являются общеизвестными. Кроме того, этот учебник сыграл не малую роль в развитии математики Нового времени.

Папп сообщает, что древнегреческий математик был мягок и всегда любезен с теми, кто мог поспособствовать развитию математики.

Стобей рассказывает, что однажды ученик спросил у Евклида: «Какую выгоду я получу от науки?». В ответ Евклид позвал раба и приказал: «Дай этому человеку 3 обола, раз ему хочется извлекать прибыль из учебы».

По философским взглядам первый теоретик математики был платоником.

В жизни Евклида произошел один забавный случай. Однажды царь Птолемей захотел изучать геометрию, и спросил у Евклида, существует ли более быстрый путь, чем тот, что описан в «Началах». На это ученый ответил: «В геометрии нет царских дорог».

К концу 16 в. «Начала» Евклида перевели даже на китайский язык.

Античный математик и философ Евклид жил в 3 веке до нашей эры. И математиком он был действительно выдающимся – не только для своего времени, но и для современности. Ведь та самая геометрия, которую сегодня изучают школьники всего мира, носит название евклидовой. Она базируется на пяти аксиомах, выведенных именно им. Без преувеличения, этот ученый заложил фундамент современной геометрии и во многом – математики как науки.

И наверняка многим будет интересно узнать некоторые занимательные факты из жизни Евклида.

Откуда и когда

Примечательно, что доподлинно не известно, когда именно и в каком месте родился Евклид. По скудным записям из арабских книг 12-го века можно судить, что отца его звали Наукрат, а сам будущий великий математик родился в Греции.

Предполагается, что свое образование он начал получать Академии Платона, при входе в которую, кстати, была надпись: «Никогда не войдет сюда тот, кто не знает геометрии».

Впрочем, и обстоятельства и даже точная дата смерти Евклида также покрыты тайной: предполагается, что это печальное событие произошло не позднее 265 года до нашей эры.

Царские пути

Одна из самых известных легенд о Евклиде дошла до нас со слов самого Архимеда. Тот поведал, что однажды сам царь Птолемей решил начать изучать геометрию по «Началам» Евклида. Однако наука показалась царской особе весьма трудной и никак не давалась. И тогда Птолемей поинтересовался, нет ли способа как-нибудь попроще и побыстрее все освоить… На что Евклид произнес сегодня уже ставшую крылатой фразу: «В геометрии нет царских путей».

Выгодная наука

Также известен случай, когда один ученик поинтересовался у знаменитого математика, чем ему может оказаться выгодной геометрия в жизни. На что Евклид подозвал слугу и велел дать ученику три обола (денежная единица), сказав при этом:

— Дай ему денег, раз ему хочется только прибыли от науки.

Множество Начал

Интересно, что «Начала» Евклида не были единственными «Началами» и до него. Прежде многие ученые писали научные труды, и носили они название именно «Начала». Однако только Евклидовы стали знамениты в веках.

Но великий геометр не строил свои труда на абсолютно пустом месте. Справедливости ради, стоит отметить, что многие из его теорем строились на базе уже имевшихся в то время знаний. Но Евклид собрал их воедино, классифицировал и смог обосновать с научной точки зрения.

По строгой логической цепочке

Именно в своих «Началах» Евклид сделал то, что сегодня кажется само собой разумеющимся: он стал основывать все свои выводы на цепочке строгих логических выводов. При этом он считал важным, что цепочка должна где-то начинаться, а не вырастать из пустого места, поскольку при этом она может никогда и не закончиться. Должно быть, с этим связано и само название его научного труда. Но, поскольку добраться до самого начального суждения было весьма трудно, Евклид сам сформулировал свои знаменитые аксиомы – утверждения, не требующие доказательств. И только на этих аксиомах ему удалось вывести все остальные доказательства и теоремы.

Платон мне друг

Как уже было сказано, Евклид обучался в школе у самого Платона. Не удивительно, что и по философским своим суждениям он относился к так называемым платоником. В частности, он полагал, что в основе всего лежат четыре элемента – вода, воздух, земля и огонь.

Недоказанные труды Евклида

Арабы – да и не только они – часто приписывают Евклиду и прочие труды во многих областях знаний, начиная от музыки и заканчивая медициной. Например, фундаментальный труд по теории музыки «Гармоника», а также «Деление канонов». Однако уже в наше время было доказано, что никакого отношения математик к данным трудам не имеет. Скорее всего, автором их был пифагореец Клеонид. Хотя и это доподлинно не известно.

Добрая математика

Другой древний математик – Папп – сообщает, что Евклид был необычайно мягок и добр по отношению к тем, кто, во-первых, мог бы помочь в распространении математики как науки, а во-вторых, если видел, что человек действительно испытывает тягу к геометрии. Он был способен даже изменить свое мнение о том или ином человеке, если вдруг узнавал, что того интересует или наоборот – не интересует – математика.

И музей, и библиотека

Также известно, что Евклид на рубеже третьего столетия до нашей эры организовывал открытие музея и библиотеки в городе Александрии. Здесь же он совершил впоследствии множество своих открытий. Кроме того, и музей, и библиотека при Евклиде играли роль древних научных центров.

«Вечная» книга

Подчиняясь школе Платона, Евклид полагал, что все, что он излагает в своих «Началах» не только не подвергается сомнению, но и будет существовать вечно. Как бы то ни было, но более 2 тысяч лет именно по трудам Евклида ученики осваивают премудрости геометрии.

Неевклидова геометрия

И только через 2 с лишним тысячи лет российский математик Лобачевский усомнился в безраздельной справедливости геометрии Евклида. Он вывел «свою собственную» геометрию, которая базировалась не на плоскости, а на псевдосфере. Интересно, что все Аксиомы, выведенные Евклидом, сохранялись. Кроме одной – о параллельных прямых.

Кроме Лобачевского, «свою» геометрию вывел и немецкий математик Риман. В настоящее время три геометрии странным образом сосуществуют в мире – Евклидова, Римана и Лобачевского.

Так ли это было, как описывают некоторые истории о Евклиде, а, может, и вовсе ничего подобного не было – не столь уж важно. Автор «Математических начал» навечно вписал свое имя в анналы науки, там он и останется – наряду с такими гениями, как Ньютон, Галилей, Сократ или Пифагор.

Евклид (иначе Эвклид) - древнегреческий математик, автор первого из дошедших до нас теоретических трактатов по математике. Биографические сведения о Евклиде крайне скудны. Известно лишь, что учителями Евклида в Афинах были ученики Платона, а в правление Птолемея I (306-283 до н.э.) он преподавал в Александрийской академии. Евклид - первый математик александрийской школы. Евклид - автор ряда работ по астрономии, оптике, музыке и др. Арабские авторы приписывают Евклиду и различные трактаты по механике, в том числе сочинения о весах и об определении удельного веса. Умер Евклид между 275 и 270 до н. э.

Начала Евклида

Основное сочинение Евклида называется Начала. Книги с таким же названием, в которых последовательно излагались все основные факты геометрии и теоретической арифметики, составлялись ранее Гиппократом Хиосским, Леонтом и Февдием. Однако Начала Евклида вытеснили все эти сочинения из обихода и в течение более чем двух тысячелетий оставались базовым учебником геометрии. Создавая свой учебник, Евклид включил в него многое из того, что было создано его предшественниками, обработав этот материал и сведя его воедино.

Начала состоят из тринадцати книг. Первая и некоторые другие книги предваряются списком определений. Первой книге предпослан также список постулатов и аксиом. Как правило, постулаты задают базовые построения (напр., «требуется, чтобы через любые две точки можно было провести прямую»), а аксиомы -- общие правила вывода при оперировании с величинами (напр., «если две величины равны третьей, они равны между собой»).

В I книге изучаются свойства треугольников и параллелограммов; эту книгу венчает знаменитая теорема Пифагора для прямоугольных треугольников. Книга II, восходящая к пифагорейцам, посвящена так называемой «геометрической алгебре». В III и IV книгах излагается геометрия окружностей, а также вписанных и описанных многоугольников; при работе над этими книгами Евклид мог воспользоваться сочинениями Гиппократа Хиосского. В V книге вводится общая теория пропорций, построенная Евдоксом Книдским, а в VI книге она прилагается к теории подобных фигур. VII-IX книги посвящены теории чисел и восходят к пифагорейцам; автором VIII книги, возможно, был Архит Тарентский. В этих книгах рассматриваются теоремы о пропорциях и геометрических прогрессиях, вводится метод для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел (известный ныне как алгоритм Евклида), строится чётные совершенные числа, доказывается бесконечность множества простых чисел. В X книге, представляющей собой самую объёмную и сложную часть Начал, строится классификация иррациональностей; возможно, что её автором является Теэтет Афинский. XI книга содержит основы стереометрии. В XII книге с помощью метода исчерпывания доказываются теоремы об отношениях площадей кругов, а также объёмов пирамид и конусов; автором этой книги по общему признанию является Евдокс Книдский. Наконец, XIII книга посвящена построению пяти правильных многогранников; считается, что часть построений была разработана Теэтетом Афинским.

В дошедших до нас рукописях к этим тринадцати книгам прибавлены ещё две. XIV книга принадлежит александрийцу Гипсиклу (ок. 200 г. до н.э.), а XV книга создана во время жизни Исидора Милетского, строителя храма св. Софии в Константинополе (начало VI в. н. э.).

Начала предоставляют общую основу для последующих геометрических трактатов Архимеда, Аполлония и других античных авторов; доказанные в них предложения считаются общеизвестными. Комментарии к Началам в античности составляли Герон, Порфирий, Папп, Прокл, Симпликий. Сохранился комментарий Прокла к I книге, а также комментарий Паппа к X книге (в арабском переводе). От античных авторов комментаторская традиция переходит к арабам, а потом и в Средневековую Европу.

В создании и развитии науки Нового времени Начала также сыграли важную идейную роль. Они оставались образцом математического трактата, строго и систематически излагающего основные положения той или иной математической науки.

Вторым после «Начал» сочинением Евклида обычно называют «Данные» -- введение в геометрический анализ. Евклиду принадлежат также «Явления», посвященные элементарной сферической астрономии, «Оптика» и «Катоптрика», небольшой трактат «Сечения канона» (содержит десять задач о музыкальных интервалах), сборник задач по делению площадей фигур «О делениях» (дошел до нас в арабском переводе). Изложение во всех этих сочинениях, как и в «Началах», подчинено строгой логике, причем теоремы выводятся из точно сформулированных физических гипотез и математических постулатов. Много произведений Евклида утеряно, об их существовании в прошлом нам известно только по ссылкам в сочинениях других авторов.

Евклид, сын Наукрата, известный под именем «Геометра», ученый старого времени, по своему происхождению грек, по местожительству сириец, родом из Тира».

Одна из легенд рассказывает, что царь Птолемей решил изучить геометрию. Но оказалось, что сделать это не так-то просто. Тогда он призвал Евклида и попросил указать ему легкий путь к математике. «К геометрии нет царской дороги», -- ответил ему ученый. Так в виде легенды дошло до нас это ставшее крылатым выражение.

Царь Птолемей I, чтобы возвеличить свое государство, привлекал в страну ученых и поэтов, создав для них храм муз -- Мусейон. Здесь были залы для занятий, ботанический и зоологический сады, астрономический кабинет, астрономическая башня, комнаты для уединенной работы и главное -- великолепная библиотека. В числе приглашенных ученых оказался и Евклид, который основал в Александрии -- столице Египта -- математическую школу и написал для ее учеников свой фундаментальный труд.

Именно в Александрии Евклид основывает математическую школу и пишет большой труд по геометрии, объединенный под общим названием «Начала» -- главный труд своей жизни. Полагают, что он был написан около 325 года до нашей эры.

Предшественники Евклида -- Фалес, Пифагор, Аристотель и другие много сделали для развития геометрии. Но все это были отдельные фрагменты, а не единая логическая схема.

Обычно о «Началах» Евклида говорят, что после Библии это самый популярный написанный памятник древности. Книга имеет свою, весьма примечательную историю. В течение двух тысяч лет она являлась настольной книгой школьников, использовалась как начальный курс геометрии. «Начала» пользовались исключительной популярностью, и с них было снято множество копий трудолюбивыми писцами в разных городах и странах. Позднее «Начала» с папируса перешли на пергамент, а затем на бумагу. На протяжении четырех столетий «Начала» публиковались 2500 раз: в среднем выходило ежегодно 6--7 изданий. До XX века книга «Начала» считалась основным учебником по геометрии не только для школ, но и для университетов.

«Начала» Евклида были основательно изучены арабами, а позднее европейскими учеными. Они были переведены на основные мировые языки. Первые подлинники были напечатаны в 1533 году в Базеле Любопытно, что первый перевод на английский язык, относящийся к 1570 году, был сделан Генри Биллингвеем, лондонским купцом

Знание основ евклидовой геометрии является ныне необходимым элементом общего образования во всем мире.

В арифметике Евклид сделал три значительных открытия. Во-первых, он сформулировал (без доказательства) теорему о делении с остатком. Во-вторых, он придумал "алгоритм Евклида" - быстрый способ нахождения наибольшего общего делителя чисел или общей меры отрезков (если они соизмеримы). Наконец, Евклид первый начал изучать свойства простых чисел - и доказал, что их множество бесконечно.

Евклид
Εὐκλείδης
Статуя в честь Евклида в Музее естественной истории Оксфордского университета.
Дата рождения	около 325 года до н. э.
Место рождения	неизвестно
Дата смерти	до 265 года до н. э.
Место смерти	Александрия , Эллинистический Египет
Научная сфера	математика
Известен как	«Отец Геометрии»
Цитаты в Викицитатнике
Евклид на Викискладе

Евкли́д или Эвкли́д (др.-греч. Εὐκλείδης , от «добрая слава» , время расцвета - около 300 года до н. э.) - древнегреческий математик , автор первого из дошедших до нас теоретических трактатов по математике. Биографические сведения об Евклиде крайне скудны. Достоверным можно считать лишь то, что его научная деятельность протекала в Александрии в 3 в. до н. э.

Энциклопедичный YouTube

• 1 / 5

  К наиболее достоверным сведениям о жизни Евклида принято относить то немногое, что приводится в Комментариях Прокла к первой книге Начал Евклида. Отметив, что «писавшие по истории математики» не довели изложение развития этой науки до времени Евклида, Прокл указывает, что Евклид был старше Платоновского кружка, но моложе Архимеда и Эратосфена и «жил во времена Птолемея I Сотера », «потому что и Архимед, живший при Птолемее Первом, упоминает об Евклиде и, в частности, рассказывает, что Птолемей спросил его, есть ли более короткий путь изучения геометрии, нежели Начала ; а тот ответил, что нет царского пути к геометрии» .

  Дополнительные штрихи к портрету Евклида можно почерпнуть у Паппа и Стобея . Папп сообщает, что Евклид был мягок и любезен со всеми, кто мог хотя бы в малейшей степени способствовать развитию математических наук, а Стобей передаёт ещё один анекдот о Евклиде. Приступив к изучению геометрии и разобрав первую теорему, один юноша спросил у Евклида: «А какая мне будет выгода от этой науки?» Евклид подозвал раба и сказал: «Дай ему три обола , раз он хочет извлекать прибыль из учёбы» . Историчность рассказа сомнительна, поскольку аналогичный рассказывают о Платоне.

  Некоторые современные авторы трактуют утверждение Прокла - Евклид жил во времена Птолемея I Сотера - в том смысле, что Евклид жил при дворе Птолемея и был основателем Александрийского Мусейона . Следует, однако, отметить, что это представление утвердилось в Европе в XVII веке, средневековые же авторы отождествляли Евклида с учеником Сократа философом Евклидом из Мегар .

  Арабские авторы считали, что Евклид жил в Дамаске и издал там «Начала » Аполлония . Анонимная арабская рукопись XII века сообщает:

  Евклид, сын Наукрата, известный под именем «Геометра», учёный старого времени, по своему происхождению грек, по местожительству сириец, родом из Тира …

  В целом количество данных о Евклиде настолько скудно, что существует версия (правда, малораспространенная) что речь идет о коллективном псевдониме группы александрийских ученых .

  «Начала » Евклида

  Основное сочинение Евклида называется Начала . Книги с таким же названием, в которых последовательно излагались все основные факты геометрии и теоретической арифметики, составлялись ранее Гиппократом Хиосским , Леонтом и Февдием . Однако Начала Евклида вытеснили все эти сочинения из обихода и в течение более чем двух тысячелетий оставались базовым учебником геометрии. Создавая свой учебник, Евклид включил в него многое из того, что было создано его предшественниками, обработав этот материал и сведя его воедино.

  Начала состоят из тринадцати книг. Первая и некоторые другие книги предваряются списком определений. Первой книге предпослан также список постулатов и аксиом. Как правило, постулаты задают базовые построения (напр., «требуется, чтобы через любые две точки можно было провести прямую»), а аксиомы - общие правила вывода при оперировании с величинами (напр., «если две величины равны третьей, они равны между собой»).

  В I книге изучаются свойства треугольников и параллелограммов; эту книгу венчает знаменитая теорема Пифагора для прямоугольных треугольников. Книга II, восходящая к пифагорейцам, посвящена так называемой «геометрической алгебре». В III и IV книгах излагается геометрия окружностей, а также вписанных и описанных многоугольников; при работе над этими книгами Евклид мог воспользоваться сочинениями Гиппократа Хиосского . В V книге вводится общая теория пропорций, построенная Евдоксом Книдским , а в VI книге она прилагается к теории подобных фигур. VII-IX книги посвящены теории чисел и восходят к пифагорейцам; автором VIII книги, возможно, был Архит Тарентский . В этих книгах рассматриваются теоремы о пропорциях и геометрических прогрессиях, вводится метод для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел (известный ныне как алгоритм Евклида), строится чётные совершенные числа , доказывается бесконечность множества простых чисел . В X книге, представляющей собой самую объёмную и сложную часть Начал , строится классификация иррациональностей; возможно, что её автором является Теэтет Афинский . XI книга содержит основы стереометрии. В XII книге с помощью метода исчерпывания доказываются теоремы об отношениях площадей кругов, а также объёмов пирамид и конусов; автором этой книги по общему признанию является Евдокс Книдский . Наконец, XIII книга посвящена построению пяти правильных многогранников; считается, что часть построений была разработана Теэтетом Афинским .

  В дошедших до нас рукописях к этим тринадцати книгам прибавлены ещё две. XIV книга принадлежит александрийцу Гипсиклу (ок. 200 г. до н. э.), а XV книга создана во время жизни Исидора Милетского , строителя храма св. Софии в Константинополе (начало VI в. н. э.).

  Начала предоставляют общую основу для последующих геометрических трактатов Архимеда , Аполлония и других античных авторов; доказанные в них предложения считаются общеизвестными. Комментарии к Началам в античности составляли Герон , Порфирий , Папп , Прокл , Симпликий . Сохранился комментарий Прокла к I книге, а также комментарий Паппа к X книге (в арабском переводе). От античных авторов комментаторская традиция переходит к арабам, а потом и в Средневековую Европу.

  В создании и развитии науки Нового времени Начала также сыграли важную идейную роль. Они оставались образцом математического трактата, строго и систематически излагающего основные положения той или иной математической науки.

  Другие произведения Евклида

  Из других сочинений Евклида сохранились:

  • Данные (δεδομένα ) - о том, что необходимо, чтобы задать фигуру;
  • О делении (περὶ διαιρέσεων ) - сохранилось частично и только в арабском переводе; дает деление геометрических фигур на части, равные или состоящие между собой в заданном отношении;
  • Явления (φαινόμενα ) - приложения сферической геометрии к астрономии;
  • Оптика (ὀπτικά ) - о прямолинейном распространении света.

  По кратким описаниям известны:

  • Поризмы (πορίσματα ) - об условиях, определяющих кривые;
  • Конические сечения (κωνικά );
  • Поверхностные места (τόποι πρὸς ἐπιφανείᾳ ) - о свойствах конических сечений;
  • Псевдария (ψευδαρία ) - об ошибках в геометрических доказательствах;

  Евклиду приписываются также:

  Евклид и античная философия

  Уже со времён пифагорейцев и Платона арифметика, музыка, геометрия и астрономия (так называемые «математические» науки; позже Боэцием названные квадривием) рассматривались в качестве образца систематического мышления и предварительной ступени для изучения философии. Не случайно возникло предание, согласно которому над входом в платоновскую Академию была помещена надпись «Да не войдёт сюда не знающий геометрии».

  Геометрические чертежи, на которых при проведении вспомогательных линий неявная истина становится очевидной, служат иллюстрацией для учения о припоминании, развитого Платоном в Меноне и других диалогах. Предложения геометрии потому и называются теоремами , что для постижения их истины требуется воспринимать чертёж не простым чувственным зрением, но «очами разума». Всякий же чертёж к теореме представляет собой идею: мы видим перед собой эту фигуру, а ведём рассуждения и делаем заключения сразу для всех фигур одного с ней вида.

  Некоторый «платонизм» Евклида связан также с тем, что в Тимее Платона рассматривается учение о четырёх элементах, которым соответствуют четыре правильных многогранника (тетраэдр - огонь, октаэдр - воздух, икосаэдр - вода, куб - земля), пятый же многогранник, додекаэдр, «достался в удел фигуре вселенной». В связи с этим Начала могут рассматриваться как развёрнутое со всеми необходимыми посылками и связками учение о построении пяти правильных многогранников - так называемых «платоновых тел», завершающееся доказательством того факта, что других правильных тел, кроме этих пяти, не существует.

  Для аристотелевского учения о доказательстве, развитого во Второй аналитике , Начала также предоставляют богатый материал. Геометрия в Началах строится как выводная система знаний, в которой все предложения последовательно выводятся одно за другим по цепочке, опирающейся на небольшой набор начальных утверждений, принятых без доказательства. Согласно Аристотелю , такие начальные утверждения должны иметься, так как цепочка вывода должна где-то начинаться, чтобы не быть бесконечной. Далее, Евклид старается доказывать утверждения общего характера, что тоже соответствует любимому примеру Аристотеля : «если всякому равнобедренному треугольнику присуще иметь углы, в сумме равные двум прямым, то это присуще ему не потому что он равнобедренный, а потому что он треугольник» (An. Post. 85b12).

  Псевдо-Евклид

  Евклиду приписываются два важных трактата об античной теории музыки: «Гармоническое введение» («Гармоника») и «Деление канона» (

  ЕВКЛИД (Eukleides)

  III век до н. э.

  Евклид (иначе Эвклид) – древнегреческий математик, автор первого из дошедших до нас теоретических трактатов по математике. Биографические сведения об Евклиде крайне скудны. Известно лишь, что учителями Евклида в Афинах были ученики Платона , а в правление Птолемея I (306-283 до н.э.) он преподавал в Александрийской академии. Евклид – первый математик александрийской школы.

  Главная работа Архимеда – "Начала" (лат. Elementa ) – содержит изложение планиметрии, стереометрии и ряда вопросов теории чисел (например, алгоритм Евклида ); состоит из 13-ти книг, к которым присоединяют две книги о пяти правильных многогранниках, иногда приписываемых Гипсиклу Александрийскому. В "Началах" он подвёл итог предшествующему развитию греческой математики и создал фундамент дальнейшего развития математики. На протяжении более двух тысячелетий евклидовы "Начала" оставались основным трудом по элементарной математике.

  Из других математических сочинений Евклида надо отметить "О делении фигур", сохранившееся в арабском переводе, четыре книги "Конические сечения", материал которых вошёл в одноимённое произведение Аполлония Пергского, а также "Поризмы", представление о которых можно получить из "Математического собрания" Паппа Александрийского.

  В трудах Евклида дано систематическое изложение т. н. евклидовой геометрии , система аксиом которой опирается на следующие основные понятия: точка, прямая, плоскость, движение и следующие отношения: "точка лежит на прямой на плоскости", "точка лежит между двумя другими". В современном изложении систему аксиом евклидовой геометрии разбивают на следующие пять групп.

  I. Аксиомы сочетания. 1) Через каждые две точки можно провести прямую и притом только одну. 2) На каждой прямой лежат по крайней мере две точки. Существуют хотя бы три точки, не лежащие на одной прямой. 3) Через каждые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость и притом только одну. 4) На каждой плоскости есть по крайней мере три точки и существуют хотя бы четыре точки, не лежащие в одной плоскости. 5) Если две точки данной прямой лежат на данной плоскости, то и сама прямая лежит на этой плоскости. 6) Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют ещё одну общую точку (и, следовательно, общую прямую).

  II. Аксиомы порядка. 1) Если точка В лежит между А и С, то все три лежат на одной прямой. 2) Для каждых точек А, В существует такая точка С, что В лежит между А и С. 3) Из трёх точек прямой только одна лежит между двумя другими. 4) Если прямая пересекает одну сторону треугольника, то она пересекает ещё другую его сторону или проходит через вершину (отрезок AB определяется как множество точек, лежащих между А и В; соответственно определяются стороны треугольника).

  III. Аксиомы движения. 1) Движение ставит в соответствие точкам точки, прямым прямые, плоскостям плоскости, сохраняя принадлежность точек прямым и плоскостям. 2) Два последовательных движения дают опять движение, и для всякого движения есть обратное. 3) Если даны точки А, A" и полуплоскости a , a ", ограниченные продолженными полупрямыми а, а" , которые исходят из точек А, A" , то существует движение, и притом единственное, переводящее А , а , a в A" , a ", a" (полупрямая и полуплоскость легко определяются на основе понятий сочетания и порядка).

  IV. Аксиомы непрерывности. 1) Аксиома Архимеда: всякий отрезок можно перекрыть любым отрезком, откладывая его на первом достаточное число раз (откладывание отрезка осуществляется движением). 2) Аксиома Кантора: если дана последовательность отрезков, вложенных один в другой, то все они имеют хотя бы одну общую точку.

  V. Аксиома параллельности Евклида. Через точку А вне прямой а в плоскости, проходящей через А и а , можно провести лишь одну прямую, не пересекающую а .

  Возникновение евклидовой геометрии тесно связано с наглядными представлениями об окружающем нас мире (прямые линии – натянутые нити, лучи света и т. п.). Длительный процесс углубления наших представлений привёл к более абстрактному пониманию геометрии. Открытие Н. И. Лобачевским геометрии, отличной от евклидовой, показало, что наши представления о пространстве не являются априорными. Иными словами, евклидова геометрия не может претендовать на роль единственной геометрии, описывающей свойства окружающего нас пространства. Развитие естествознания (главным образом физики и астрономии) показало, что евклидова геометрия описывает структуру окружающего нас пространства лишь с определённой степенью точности и не пригодна для описания свойств пространства, связанных с перемещениями тел со скоростями, близкими к световой. Т. о., евклидова геометрия может рассматриваться как первое приближение для описания структуры реального физического пространства.

  
  
  Предыдущая статья: Чему равна скорость света Следующая статья: Гармонические колебания Физика формула частоты колебаний