Форма длины окружности c. Составление системы уравнений

Часто звучит, как часть плоскости, которая ограничена окружностью. Окружность круга является плоской замкнутой кривой. Все точки, расположенные на кривой, удалены от центра круга на одинаковое расстояние. В круге его длина и периметр одинаковы. Соотношение длины любой окружности и ее диаметра постоянное и обозначается числом π = 3,1415 .

Определение периметра круга

Периметр круга радиуса r равен удвоенному произведению радиуса r на число π(~3.1415)

Формула периметра круга

Периметр круга радиуса \(r\) :

\[ \LARGE{P} = 2 \cdot \pi \cdot r \]

\[ \LARGE{P} = \pi \cdot d \]

\(P \) – периметр (длина окружности).

\(r \) – радиус.

\(d \) – диаметр.

Окружностью будем называть такую геометрическую фигуру, которая будет состоять из всех таких точек, которые находятся на одинаковом расстоянии от какой-либо заданной точки.

Центром окружности будем называть точку, которая задается в рамках определения 1.

Радиусом окружности будем называть расстояние от центра этой окружности до любой ее точки.

В декартовой системе координат \(xOy \) мы также можем ввести уравнение любой окружности. Обозначим центр окружности точкой \(X \) , которая будет иметь координаты \((x_0,y_0) \) . Пусть радиус этой окружности равняется \(τ \) . Возьмем произвольную точку \(Y \) , координаты которой обозначим через \((x,y) \) (рис. 2).

По формуле расстояния между двумя точками в заданной нами системе координат, получим:

\(|XY|=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2} \)

С другой стороны, \(|XY| \) - это расстояние от любой точки окружности до выбранного нами центра. То есть, по определению 3, получим, что \(|XY|=τ \) , следовательно

\(\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}=τ \)

\((x-x_0)^2+(y-y_0)^2=τ^2 \) (1)

Таким образом, мы и получаем, что уравнение (1) является уравнением окружности в декартовой системе координат.

Длина окружности (периметр круга)

Будем выводить длину произвольной окружности \(C \) с помощью её радиуса, равного \(τ \) .

Будем рассматривать две произвольные окружности. Обозначим их длины через \(C \) и \(C" \) , у которых радиусы равняются \(τ \) и \(τ" \) . Будем вписывать в эти окружности правильные \(n \) -угольники, периметры которых равняются \(ρ \) и \(ρ" \) , длины сторон которых равняются \(α \) и \(α" \) , соответственно. Как мы знаем, сторона вписанного в окружность правильного \(n \) – угольника равняется

\(α=2τsin\frac{180^0}{n} \)

Тогда, будем получать, что

\(ρ=nα=2nτ\frac{sin180^0}{n} \)

\(ρ"=nα"=2nτ"\frac{sin180^0}{n} \)

\(\frac{ρ}{ρ"}=\frac{2nτsin\frac{180^0}{n}}{2nτ"\frac{sin180^0}{n}}=\frac{2τ}{2τ"} \)

Получаем, что отношение \(\frac{ρ}{ρ"}=\frac{2τ}{2τ"} \) будет верным независимо от значения числа сторон вписанных правильных многоугольников. То есть

\(\lim_{n\to\infty}(\frac{ρ}{ρ"})=\frac{2τ}{2τ"} \)

С другой стороны, если бесконечно увеличивать число сторон вписанных правильных многоугольников (то есть \(n→∞ \) ), будем получать равенство:

\(lim_{n\to\infty}(\frac{ρ}{ρ"})=\frac{C}{C"} \)

Из последних двух равенств получим, что

\(\frac{C}{C"}=\frac{2τ}{2τ"} \)

\(\frac{C}{2τ}=\frac{C"}{2τ"} \)

Видим, что отношение длины окружности к его удвоенному радиусу всегда одно и тоже число, независимо от выбора окружности и ее параметров, то есть

\(\frac{C}{2τ}=const \)

Эту постоянную принять называть числом «пи» и обозначать \(π \) . Приближенно, это число будет равняться \(3,14 \) (точного значения этого числа нет, так как оно является иррациональным числом). Таким образом

\(\frac{C}{2τ}=π \)

Окончательно, получим, что длина окружности (периметр круга) определяется формулой

\(C=2πτ \)

Окружностью называется ряд равноудалённых точек от одной точки, которая, в свою очередь, является центром этой окружности. Окружность имеет также свой радиус, равный расстоянию этих точек от центра.

Отношение длины, какой либо окружности к её диаметру, для всех окружностей одинаково. Это отношение есть число, являющееся математической константой, которое обозначается греческой буквой π .

Определение длины окружности

Произвести расчёт окружности можно по следующей формуле:

L = π D = 2 π r

r - радиус окружности

D - диаметр окружности

L - длина окружности

π - 3.14

Задача:

Вычислить длину окружности , имеющей радиус 10 сантиметров.

Формула для вычисления дины окружности имеет вид:

L = π D = 2 π r

где L – длина окружности, π – 3,14 , r – радиус окружности, D – диаметр окружности.

Таким образом, длина окружности, имеющей радиус 10 сантиметров равна:

L = 2 × 3,14 × 10 = 62,8 сантиметра

Окружность представляет собой геометрическую фигуру, являющуюся совокупностью всех точек на плоскости, удаленных от заданной точки, которая называется ее центром, на некоторое расстояние, не равное нулю и именуемое радиусом. Определять ее длину с различной степенью точности ученые умели уже в глубокой древности: историки науки считают, что первая формула для вычисления длины окружности была составлена примерно в 1900 году до нашей эры в древнем Вавилоне.

С такими геометрическими фигурами, как окружности, мы сталкиваемся ежедневно и повсеместно. Именно ее форму имеет внешняя поверхность колес, которыми оснащаются различные транспортные средства. Эта деталь, несмотря на свою внешнюю простоту и незатейливость, считаются одним из величайших изобретений человечества, причем интересно, что аборигены Австралии и американские индейцы вплоть до прихода европейцев совершенно не имели понятия о том, что это такое.

По всей вероятности, самые первые колеса представляли собой отрезки бревен, которые насаживались на ось. Постепенно конструкция колеса совершенствовалась, их конструкция становилась все более и более сложной, а для их изготовления требовалось использовать массу различных инструментов. Сначала появились колеса, состоящие из деревянного обода и спиц, а затем, для того, чтобы уменьшить износ их внешней поверхности, ее стали обивать металлическими полосами. Для того чтобы определить длины этих элементов, и требуется использовать формулу расчета длины окружности (хотя на практике, вероятнее всего, мастера это делали «на глаз» или просто опоясывая колесо полосой и отрезая требуемый ее участок).

Следует заметить, что колесо используется отнюдь не только в транспортных средствах. Например, его форму имеет гончарный круг, а также элементы шестеренок зубчатых передач, широко применяемых в технике. Издавна колеса использовались в конструкциях водяных мельниц (самые древние из известных ученым сооружений такого рода строились в Месопотамии), а также прялок, применявшихся для изготовления нитей из шерсти животных и растительных волокон.

Окружности нередко можно встретить и в строительстве. Их форму имеют достаточно широко распространенные круглые окна, очень характерные для романского архитектурного стиля. Изготовление этих конструкций – дело весьма непростое и требует высокого мастерства, а также наличия специального инструмента. Одной из разновидностей круглых окон являются иллюминаторы, устанавливаемые в морских и воздушных судах.

Таким образом, решать задачу определения длины окружности часто приходится инженерам-конструкторам, разрабатывающим различные машины, механизмы и агрегаты, а также архитекторам и проектировщикам. Поскольку число π , необходимое для этого, является бесконечным, то с абсолютной точностью определить этот параметр не представляется возможным, и поэтому при вычислениях учитывается та ее степень, которая в том или ином конкретном случае является необходимой и достаточной.

• 16.11.2014

  На рисунке показана схема простого усилителя мощности класса А на транзисторах. Усилитель имеет выходную мощность порядка 20Вт на 8 Ом нагрузке. Напряжение питания может быть в пределах от 22В до 28В (4А). Источник — http://www.eleccircuit.com/class-a-amplifier-by-transistor/

• 29.09.2014

  Данный усилитель предназначен для усиления мощности передатчика карманной радиостанции в диапазоне 144 МГц. При подачи на его вход сигнала мощностью 0,05Вт и питании 24В усилитель выдает мощность 5-6Вт, а при питании его напряжением 12В он выдает 3-4Вт. Входное и выходное сопротивления равны 50 Ом. Описание: первый каскад работает в классе …

• 04.10.2014

  В промышленных аппаратах используют разные способы регулировки тока: шунтирование с помощью дросселей всевозможных типов, изменение магнитного потока за счет подвижности обмоток или магнитного шунтирования, применение магазинов активных балластных сопротивлений и реостатов. К недостаткам такой регулировки надо отнести сложность конструкции, громоздкость сопротивлений, их сильный нагрев при работе, неудобство при переключении. Наиболее …

• 03.10.2014

  На рисунке показана схема простого преобразователя напряжения на TL496. Преобразователь преобразует постоянное напряжение 3В в постоянное напряжение 9В. Преобразователь напряжения весьма прост, он состоит из микросхемы TL496 и конденсатора и дросселя на 50мкГн. Выходной ток преобразователя может достигать 400мА (не гарантировано выходное напряжение 9В). Ток потребления преобразователя без нагрузки 125мкА.

Множество предметов в окружающем мире имеют круглую форму. Это колеса, круглые оконные проемы, трубы, различная посуда и многое другое. Подсчитать, чему равна длина окружности, можно, зная ее диаметр или радиус.

Существует несколько определений этой геометрической фигуры.

• Это замкнутая кривая, состоящая из точек, которые располагаются на одинаковом расстоянии от заданной точки.
• Это кривая, состоящая из точек А и В, являющихся концами отрезка, и всех точек, из которых А и В видны под прямым углом. При этом отрезок АВ – диаметр.
• Для того же отрезка АВ эта кривая включает все точки С, такие, что отношение АС/ВС неизменно и не равняется 1.
• Это кривая, состоящая из точек, для которых справедливо следующее: если сложить квадраты расстояний от одной точки до двух данных других точек А и В, получится постоянное число, большее 1/2 соединяющего А и В отрезка. Это определение выводится из теоремы Пифагора.

Обратите внимание! Есть и другие определения. Круг – это область внутри окружности. Периметр круга и есть ее длина. По разным определениям круг может включать или не включать саму кривую, являющуюся его границей.

Определение окружности

Формулы

Как вычислить длину окружности через радиус? Это делается по простой формуле:

где L – искомая величина,

π – число пи, примерно равное 3,1413926.

Обычно для нахождения нужной величины достаточно использовать π до второго знака, то есть 3,14, это обеспечит нужную точность. На калькуляторах, в частности инженерных, может быть кнопка, которая автоматически вводит значение числа π.

Обозначения

Для нахождения через диаметр существует следующая формула:

Если L уже известно, можно легко узнать радиус или диаметр. Для этого L нужно поделить на 2π или на π соответственно.

Если уже дана круга, нужно понимать, как найти длину окружности по этим данным. Площадь круга равняется S = πR2. Отсюда находим радиус: R = √(S/π). Тогда

L = 2πR = 2π√(S/π) = 2√(Sπ).

Вычислить площадь через L также несложно: S = πR2 = π(L/(2π))2 = L2/(4π)

Резюмируя, можно сказать, что существует три основных формулы:

• через радиус – L = 2πR;
• через диаметр – L = πD;
• через площадь круга – L = 2√(Sπ).

Число пи

Без числа π решить рассматриваемую задачу не получится. Число π впервые и было найдено как отношение длины окружности к ее диаметру. Это сделали еще древние вавилоняне, египтяне и индийцы. Нашли они его довольно точно – их результаты отличались от известного сейчас значения π не больше, чем на 1%. Постоянную приближали такими дробями как 25/8, 256/81, 339/108.

Далее значение этой постоянной считали не только с позиции геометрии, но и с точки зрения математического анализа через суммы рядов. Обозначение этой константы греческой буквой π впервые использовал Уильям Джонс в 1706 году, а популярно оно стало после работ Эйлера.

Сейчас известно, что эта постоянная представляет собой бесконечную непериодическую десятичную дробь, она иррациональна, то есть ее нельзя представить в виде отношения двух целых чисел. С помощью вычислений на суперкомпьютерах в 2011 году узнали 10-триллионный знак константы.

Это интересно! Для запоминания нескольких первых знаков числа π были придуманы различные мнемонические правила. Некоторые позволяют хранить в памяти большое число цифр, например, одно французское стихотворение поможет запомнить пи до 126 знака.

Если вам необходима длина окружности, онлайн-калькулятор поможет в этом. Таких калькуляторов существует множество, в них нужно только ввести радиус или диаметр. У некоторых из них есть обе эти опции, другие вычисляют результат только через R. Некоторые калькуляторы могут рассчитать искомую величину с разной точностью, нужно указать число знаков после запятой. Также с помощью онлайн-калькуляторов можно посчитать площадь круга.

Такие калькуляторы легко найти любым поисковиком. Также существуют мобильные приложения, которые помогут решить задачу, как найти длину окружности.

Полезное видео: длина окружности

Практическое применение

Решать такую задачу чаще всего необходимо инженерам и архитекторам, но и в быту знание нужных формул тоже может пригодиться. Например, требуется обернуть бумажной полоской торт, испеченный в форме с поперечником 20 см. Тогда не составит труда найти длину этой полоски:

L = πD = 3,14 * 20 = 62,8 см.

Другой пример: нужно построить забор вокруг круглого бассейна на определенном расстоянии. Если радиус бассейна 10 м, а забор нужно поставить на расстоянии 3 м, то R для полученной окружности будет 13 м. Тогда ее длина равна:

L = 2πR = 2 * 3,14 * 13 = 81,68 м.

Полезное видео: круг — радиус, диаметр, длина окружности

Итог

Периметр круга легко рассчитать по простым формулам, включающим диаметр или радиус. Также можно найти искомую величину через площадь круга. Решить эту задачу помогут онлайн-калькуляторы или мобильные приложения, в которые нужно ввести единственное число – диаметр или радиус.

Сначала разберемся в отличии между кругом и окружностью. Чтобы увидеть эту разницу, достаточно рассмотреть, чем являются обе фигуры. Это бесчисленное количество точек плоскости, располагающиеся на равном расстоянии от единственной центральной точки. Но, если круг состоит и из внутреннего пространства, то окружности оно не принадлежит. Получается, что круг это и окружность, ограничивающая его (о-кру(г)жность), и бесчисленное число точек, что внутри окружности.

Для любой точки L , лежащей на окружности, действует равенство OL=R . (Длина отрезка OL равняется радиусу окружности).

Отрезок, который соединяет две точки окружности, является ее хордой .

Хорда, проходящая прямо через центр окружности, является диаметром этой окружности (D) . Диаметр можно вычислить по формуле: D=2R

Длина окружности вычисляется по формуле: C=2\pi R

Площадь круга : S=\pi R^{2}

Дугой окружности называется та ее часть, которая располагается между двух ее точек. Эти две точки и определяют две дуги окружности. Хорда CD стягивает две дуги: CMD и CLD . Одинаковые хорды стягивают одинаковые дуги.

Центральным углом называется такой угол, который находится между двух радиусов.

Длину дуги можно найти по формуле:

1. Используя градусную меру: CD = \frac{\pi R \alpha ^{\circ}}{180^{\circ}}
2. Используя радианную меру: CD = \alpha R

Диаметр, что перпендикулярен хорде, делит хорду и стянутые ею дуги пополам.

В случае, если хорды AB и CD окружности имеют пересечение в точке N , то произведения отрезков хорд, разделенные точкой N , равны между собой.

AN\cdot NB = CN \cdot ND

Касательная к окружности

Касательной к окружности принято называть прямую, у которой имеется одна общая точка с окружностью.

Если же у прямой есть две общие точки, ее называют секущей .

Если провести радиус в точку касания, он будет перпендикулярен касательной к окружности.

Проведем две касательные из этой точки к нашей окружности. Получится, что отрезки касательных сравняются один с другим, а центр окружности расположится на биссектрисе угла с вершиной в этой точке.

AC = CB

Теперь к окружности из нашей точки проведем касательную и секущую. Получим, что квадрат длины отрезка касательной будет равен произведению всего отрезка секущей на его внешнюю часть.

AC^{2} = CD \cdot BC

Можно сделать вывод: произведение целого отрезка первой секущей на его внешнюю часть равняется произведению целого отрезка второй секущей на его внешнюю часть.

AC \cdot BC = EC \cdot DC

Углы в окружности

Градусные меры центрального угла и дуги, на которую тот опирается, равны.

\angle COD = \cup CD = \alpha ^{\circ}

Вписанный угол — это угол, вершина которого находится на окружности, а стороны содержат хорды.

Вычислить его можно, узнав величину дуги, так как он равен половине этой дуги.

\angle AOB = 2 \angle ADB

Опирающийся на диаметр, вписанный угол, прямой.

\angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^ {\circ}

Вписанные углы, которые опираются на одну дугу, тождественны.

Опирающиеся на одну хорду вписанные углы тождественны или их сумма равняется 180^ {\circ} .

\angle ADB + \angle AKB = 180^ {\circ}

\angle ADB = \angle AEB = \angle AFB

На одной окружности находятся вершины треугольников с тождественными углами и заданным основанием.

Угол с вершиной внутри окружности и расположенный между двумя хордами тождественен половине суммы угловых величин дуг окружности, которые заключаются внутри данного и вертикального углов.

\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac{1}{2} \left (\cup DmC + \cup AlB \right)

Угол с вершиной вне окружности и расположенный между двумя секущими тождественен половине разности угловых величин дуг окружности, которые заключаются внутри угла.

\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac{1}{2} \left (\cup DmC - \cup AlB \right)

Вписанная окружность

Вписанная окружность — это окружность, касающаяся сторон многоугольника.

В точке, где пересекаются биссектрисы углов многоугольника, располагается ее центр.

Окружность может быть вписанной не в каждый многоугольник.

Площадь многоугольника с вписанной окружностью находится по формуле:

S = pr ,

p — полупериметр многоугольника,

r — радиус вписанной окружности.

Отсюда следует, что радиус вписанной окружности равен:

r = \frac{S}{p}

Суммы длин противоположных сторон будут тождественны, если окружность вписана в выпуклый четырехугольник. И наоборот: в выпуклый четырехугольник вписывается окружность, если в нем суммы длин противоположных сторон тождественны.

AB + DC = AD + BC

В любой из треугольников возможно вписать окружность. Только одну единственную. В точке, где пересекаются биссектрисы внутренних углов фигуры, будет лежать центр этой вписанной окружности.

Радиус вписанной окружности вычисляется по формуле:

r = \frac{S}{p} ,

где p = \frac{a + b + c}{2}

Описанная окружность

Если окружность проходит через каждую вершину многоугольника, то такую окружность принято называть описанной около многоугольника .

В точке пересечения серединных перпендикуляров сторон этой фигуры будет находиться центр описанной окружности.

Радиус можно найти, вычислив его как радиус окружности, которая описана около треугольника, определенного любыми 3 -мя вершинами многоугольника.

Есть следующее условие: окружность возможно описать около четырехугольника только, если сумма его противоположных углов равна 180^{ \circ} .

\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180^ {\circ}

Около любого треугольника можно описать окружность, причем одну-единственную. Центр такой окружности будет расположен в точке, где пересекаются серединные перпендикуляры сторон треугольника.

Радиус описанной окружности можно вычислить по формулам:

R = \frac{a}{2 \sin A} = \frac{b}{2 \sin B} = \frac{c}{2 \sin C}

R = \frac{abc}{4 S}

a , b , c — длины сторон треугольника,

S — площадь треугольника.

Теорема Птолемея

Под конец, рассмотрим теорему Птолемея.

Теорема Птолемея гласит, что произведение диагоналей тождественно сумме произведений противоположных сторон вписанного четырехугольника.

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD