Применение производной к исследованию функций. Урок-лекция «Применение производной к исследованию и построению графиков функций» - презентация

Осипцова Галина Петровна

Место работы, должность:

МБОУ "Средняя общеобразовательная школа №12" города Выборга, учитель математики.

Ленинградская область

Характеристики урока (занятия)

Уровень образования:

Среднее (полное) общее образование

Целевая аудитория:

Учитель (преподаватель)

Класс(ы):

Предмет(ы):

Алгебра

Предмет(ы):

Математика

Цель урока:

Сформировать умение применять производную к исследованию функций и построению графиков.

Развивать логическое мышление, умение анализировать, умение ставить проблему, решать ее.

Воспитывать желание высказывать свое мнение.

Тип урока:

Урок изучения и первичного закрепления новых знаний

Учеников в классе:

Используемые учебники и учебные пособия:

УМК: С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин

Используемая методическая литература:

М.К. Потапов, А.В.Шевкин "Алгебра и начала математического анализа, 10". Книга для учителя. М: "Просвещение" 2010.

Используемое оборудование:

Компьютер, документ камера, таблица с алгоритмом исследования функции, карточки с заданиями.

Краткое описание:

1. Системно-деятельностный подход при построении урока алгебры и начал анализа в 11 классе.

Урок алгебры и начал анализа в 11 классе

(УМК: С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин)

Тема урока : «Применение производной к построению графиков функций»

Основные цели урока:

сформировать умение применять производную к исследованию функций и построению графиков;

развивать умение ставить проблему, решать ее, логическое мышление, умение анализировать;

воспитывать желание высказывать свое мнение.

Оборудование и раздаточный материал: компьютер, документ камера, таблица с алгоритмом исследования функции, карточки с заданиями.

Ход урока

Мотивация учебной деятельности.

Здравствуйте, ребята.

Что нового вы узнали на предыдущих уроках? (как с помощью производной найти критические точки, промежутки возрастания, убывания функции, ее экстремумы, наибольшее (наименьшее) значение).

На этом уроке мы продолжим исследовать функции с помощью производной.

Актуализация знаний.

На экране вы видите график функции y = f (x):

Какие свойства функции можно определить по графику? Назовите их.

Ответ: 1) D(f) = R;

2) функция непрерывна

3) Функция возрастает на отрезке [-2; 0,5] и на промежутке и на , а, значит, f "(x) < 0 на (-∞; -2) и на (0,5; 3).

точки максимума функции:x точки минимума: x = -2 x = 3;

4)наибольшее значение функции не существует, наименьшее равно-2 при = 3;

E(f) = [-2; +∞).

Как найти точки экстремумов функции? (Если производная при переходе через критическую точку меняет знак с «+» на «-», то данная точка является точкой максимума, если же производная при переходе через критическую точку меняет знак с

«-»на «+», то данная точка является точкой минимума, если производная при переходе через критическую точку знак не меняет, то данная критическая точка не является точкой экстремума.

− Сформулируйте алгоритм нахождения промежутков возрастания, убывания и экстремумов функции у = f (x ), заданной аналитически.

Учащиеся формулируют, на экране последовательно открываются шаги алгоритма.

Алгоритм.

1. Найти область определения функции.

2. Найти производную функции.

3. Найти критические точки.

4. Отметить на числовой прямой область определения и критические точки. Пользуясь обобщенным методом интервалов, определить знаки производной на полученных промежутках.

5. Пользуясь достаточными признаками, найти промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции.

А теперь исследуйте функцию f(x) =⅓x³ + 2x² + 3x.

Учитель записывает на доске под диктовку учащихся. Учащиеся работают в тетрадях.

1. D(f) = R, f(x) непрерывна на D(f).

   Функция ни четная, ни нечетная, непериодическая.

Точки пересечения

с осью х: (0; 0) и (-3; 0), т. к.

f(x) = 0, т. е. ⅓x³ + 2x² + 3x = 0

⅓x (x² + 6 x + 9) = 0

⅓x (х + 3)² = 0

с осью у: (0; 0).

Производная функции: f "(x) = x² + 4х + 3, D(f "(x)) =R

критические точки: f "(x) = 0 при х = -3, х = -1.

Отмечаем на числовой прямой критические точки и определяем знаки производной на полученных промежутках:

f "(x) > 0 на (-∞; -3) и на (-1; +∞); f "(x) < 0 на (-3; -1), значит, f(x) возрастает на (-∞; -3] и на [-1; +∞), убывает на [-3; -1].

fmax = 0 при х = -3, fmin = -4 при х = -1

4) Наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.

Что вы повторили?

Как вы думаете, какое следующее задание я вам предложу?

Итак, вы провели исследование функции. А теперь вам надо, используя результаты исследования, построить график функции f(x) =⅓x³ + 2x² + 3x.

Возникнут ли у вас затруднения?

3. Выявление затруднений, проблемы

Учитель предлагает нескольким учащимся озвучить затруднения.

Какое задание вы должны были выполнить? (Используя данные исследования, построить график функции).

Почему у вас возникли затруднения? (Не знаем способа построения графиков по данным исследования функции).

Что вы используете для исследования функции? (Производную).

4. Построение проекта выхода из затруднения .

Сформулируйте цель вашей деятельности. (Узнать способ построения графика, используя исследование функций с помощью производной).

Сформулируйте тему урока. (Применение производной для построения графиков функций).

Тема урока открывается на доске.

Итак, у вас возникло затруднение при построении графика функции. Что вы раньше использовали для построения графиков функций? (таблицы с некоторыми точками, принадлежащими графику).

Но часто точки не дают объективной картинки графика. И теперь, зная алгоритм исследования функции, какие данные будете вносить в таблицу? (нужно внести в таблицу результаты исследования функции, затем по таблице построить график).

5. Реализация построенного проекта

На доске открывается пустая таблица:

Вы исследовали функцию f(x) =⅓x³ + 2x² + 3x.

Перечислите шаги, которые вы выполняли при исследовании функции.(По ходу заполняется таблица)

Результаты, полученные в таблице, переносим на координатную плоскость.

Что еще можно сделать, чтобы более точно построить график? (Можно найти несколько дополнительных точек, принадлежащих графику функции).

На доске появляется график функции f(x) =⅓x³ + 2x² + 3x.

Вы построили график функции.

Как вы это сделали? (Мы создали алгоритм построения графика). (Еще раз проговариваем этапы исследования функции и построения ее графика).

Алгоритм построения графика с помощью производной..

1. D (f), непрерывность f(x);
2. f "(x);
3. f "(x) =0, f "(x) не существует;

дополнительные точки;

6. Первичное закрепление приобретенных знаний.

Что теперь необходимо сделать? (надо научиться использовать алгоритм для построения графиков).

Постройте теперь график функции. f (x ) = х + .

Один ученик работает у доски, комментируя свои действия, остальные работают в тетрадях.

1. D (f) = (-∞; 0) U (0; + ∞), f(x) непрерывна на D (f).
2. Производная функции:f "(x) = 1 - 4/ x².

   D(f ") = (-∞; 0) U (0; + ∞).

Критические точки: = 0 при х = 2 и х = -2, точек, в которых f"() не существует - нет.

5. Дополнительные точки:

6. График функции:

Попытайтесь изобразить график самостоятельно.

На экране появляется график для проверки.

7. Самостоятельная работа с самопроверкой по образцу

А теперь давайте проверим, как каждый из вас понял, как применять построенный алгоритм.

	Вариант 1. Исследовать функцию и построить ее график Вариант 2. По частично проведенному исследованию построить график функции

Учащиеся выполняют задание самостоятельно, после выполнения работы учащиеся сопоставляют свои работы с подробным образцом:

Вариант 1 .

1) D (f) = R , функция непрерывна.

2) y | = 3x 2 - 6x

3) 3x 2 - 6x = 0; D (f | ) = R

х 1 = 0; х 2 = 2

¦ / (х )

Вариант 2.

1) D (f) = R , функция непрерывна.

2) y ¢ = 6x 2 - 6

3) 6x 2 - 6 = 0; D (f | ) = R

х 1 = − 1; х 2 = 1

− У кого задание вызвало затруднение?

− На каком шаге алгоритма?

− В чем причина возникшего затруднения?

− У кого задание выполнено правильно?

8. Включение в систему знаний и повторение.

Давайте теперь посмотрим, в каких заданиях ЕГЭ можно применить полученные знания.

Решите задачи:

1. Найдите множество значений функции .

2. При каких значениях параметра р уравнение = p имеет 2 корня, 1 корень, не имеет корней?

1) Ответ: (− ¥; − 4] U υ. Пример 1. Найти промежутки монотонности функции y=2x³-3x²-36x





1. Область определения: R. Функция непрерывна. 2. Вычисляем производную: y=3x²-6x. 3. Находим критические точки: y=0. x²-2x=0 x(x-2)=0 x1=0 и x2=2 4. Делим область определения на интервалы: 5. Функция возрастает при xϵ(-;0]υ. Пример 2. Найти промежутки монотонности функции y=x³-3x²





Точку x=x 0 называют точкой минимума функции y=f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x)f(x 0). Точку x=x 0 называют точкой максимума функции y=f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x)f(x 0).











Если производная f(x) при переходе через точку x 0 меняет знак, то точка x 0 является точкой экстремума функции f(x). Если производная меняет знак с + на –, то точка будет являться точкой максимума, если с – на +, то точка будет точкой минимума Теорема 4.





1. Область определения: R. Функция непрерывна. 2. Вычисляем производную: y=-6x²-6x Находим критические точки: y=0. -x²-x+2=0 Д=1-4*(-1)*2=1+8=9 x 1 =1; x 2 =-2 4. Делим область определения на интервалы: 5.x=-2 – точка минимума. Найдём минимум функции y min =-24. x=1 – точка максимума. Найдём максимум функции: y max =3. Пример 3. Найти экстремумы функции y=-2x³-3x²+12x





Работа на уроке: Исследовать на экстремум функцию y=x Решение: 1. Находим область определения функции: D(y)=R. 2. Находим производную: y=(x 2 +2)=2x. 3. Приравниваем её к нулю: 2x=0, откуда x=0 – критическая точка. 4. Делим область определения на интервалы и определяем знаки производной на каждом интервале: 5.x=0 – точка минимума. Найдём минимум функции y min =





Исследовать на экстремум функцию y=1/3x 3 -2x 2 +3x+1. Решение: 1. Находим область определения функции: D(y)=R. 2. Находим производную: y=(1/3x 3 -2x 2 +3x+1)=x 2 -4x Приравниваем её к нулю: x 2 -4x+3=0, откуда x 1 =1, x 2 =3 – критические точки. 4. Делим область определения на интервалы и определяем знаки производной на каждом интервале: 5.x=1 – точка максимума. Найдём максимум функции y max =7/3. x=3 – точка минимума. Найдём минимум функции: y min =





Исследовать на экстремум функцию y=x 3 +3x 2 +9x-6. Решение: 1. Находим область определения функции: D(y)=R. 2. Находим производную: y=(x 3 +3x 2 +9x-6)=3x 2 +6x Приравниваем её к нулю: 3x 2 +6x+9=0, откуда D 0:





Исследовать на экстремум функцию y=x 2 -x-6. Решение: 1. Находим область определения функции: D(y)=R. 2. Находим производную: y=(x 2 -x-6)=2x Приравниваем её к нулю: 2x-1=0, откуда x=1/2 – критическая точка. 4. Делим область определения на интервалы и определяем знаки производной на каждом интервале: 5.x=1/2 – точка минимума. Найдём минимум функции: y min =-6, /2


государственное образовательное учреждение среднего профессионального образования Тульской области

«Липковский политехнический техникум»

Конспект урока

на тему « Применение производной к построению

Графиков функции»

Рассмотрено Утверждаю:

на заседании ЦК Зам. директора по УР

Председатель_________И.В. Кувшинова _____________В.В. Аржакова

от «___»__________2013г. «___» _______________2013г

Подготовил преподаватель

Аржакова В.В.

«Предмет математики настолько серьезен, что полезно не упускать случая, делать его немного занимательным» Паскаль

Увеличение умственной нагрузки на уроках математики заставляет задуматься над тем, как поддержать у студентов интерес к изучаемой дисциплине. Ведь не секрет, что многие обучающиеся пасуют перед трудностями, а иногда и не хотят приложить определённых усилий для приобретения знаний. Студенты, поступающие в техникум, как правило, имеют слабую подготовку и полное отсутствие интереса к предмету. Поэтому добиться прочных знаний по математике крайне проблематично.

Тема урока: Применение производной к построению графиков функций

Цели урока:

1) образовательная : знакомство студентов с общей схемой исследования функции методом построения графика четной и нечетной функции, обучение проведению исследования и построению графика;

2) воспитательная : воспитание требовательного отношения к себе при самостоятельном изучении нового материала;

3) развивающая : развитие наблюдательности, умения рассуждать и аргументировать свои действия.

Оборудование: записи на доске, карточки, сигнальные карточки (зеленая-красная), компьютер, мультимедиапроектор.

Тип урока: урок - теоретическое и практическое исследование.

Ход урока

I. Организационный момент Сообщение темы и целей урока . Озвучивая тему урока преподаватель отмечает, что необходимо использовать знания, полученные ранее: таблицу производных, правила дифференцирования, а также темы «Возрастание и убывание функции», «Экстремумы функции», для того, чтобы показать связь изучаемой темы с другими темами программы, различными сферами практической деятельности.

П. Проверка домашнего задания

(Выполняется устно.)

Назовите промежутки убывания, возрастания, экстремумы функции.

При оценивании ответов обучающихся учитываются их индивидуальные особенности и потенциал каждого обучающегося. Задания дифференцированы, для того чтобы обучающиеся почувствовали свой успех.

III. Актуализация опорных знаний

На начальном этапе создаются условия для дальнейшей эффективной работы на уроке: организация рабочего пространства, привлечение внимания обучающихся к предстоящей учебной деятельности, учебному предмету.

Цели и задачи опроса носят обучающий характер, они соответствуют предметному материалу, излагаемому преподавателем.

Задание 1.

Тест.

(Задания выполняются по вариантам с последующей взаимопроверкой на компьютере.)

По изображенному графику установите соответствие между каждым интервалом (А-Е) и характером поведения функции на этом интервале.

Вариант I

Интервалы: А = (-3;0); В = (-2;0); С = (-2;2); D = (0;3); Е = (1;3).

Поведение: 1) убывает; 2)возрастает 3) имеет минимум; 4) имеет максимум.

Ответы : А2, В2, С4, D1, Е1.

Вариант II

Интервалы: А = (-3;-1); B=(l; 3); C=(-l; l); Д=(0;2); Е = (-2;0).

Поведение: 1) убывает; 2) возрастает; 3) имеет минимум; 4) имеет максимум.

Ответы: А2, В3, С4, D1, Е2.

Обменяйтесь тетрадями, проверьте работу соседа по компьютеру. Поднимите зеленую карточку, у кого нет ошибок. Поднимите красную карточку, у кого ошибка.

IV. Работа с учебником

Самостоятельное изучение нового материала по плану, записанному на доске.

План:

1. Прочитать текст параграфа «Применение производной к построению графиков функций». Дать возможность обучающимся самостоятельно ставить и решать задачи в рамках изучаемой темы.
2. Записать в тетрадь схему исследования функции.
3. Записать с преподавателем образец решения заданий 2 и 3. Преподаватель строит работу таким образом, чтобы получить информацию об уровне усвоения учебного материала различными обучающимися.
4. Рассмотреть метод построения графика четной (нечетной)
   функции на примере одной из задач учебника.

Образцы решений.

Задание 2. Постройте график функции у= (х) = х 3 - 2х 2 + х.

Решение.

1. Область определения D(f) = R.

(Зх-1) (х-1) = 0

Х 1 = 1, X 2 = 1/3

4. Найдем промежутки возрастания и убывания, используя метод интервалов и правило чередования знаков.

Функция возрастает на промежутках: (-∞, 1/3) и (1,+ ∞), так как f"(x )

Так как f"(x )

5. При переходе через точку х = - знак производной меняется с «+» на «-», значит, это точка максимума. При переходе через точку х = 1 знак производной меняется с «-» на «+», значит, это точка минимума. Значения в экстремумах равны:

f (1/3)= (1/3) 3 -2 (1/3) 2 + 1/3= 4/27;

f (1)= 1-2 +1=0

Составим таблицу по результатам исследования

	(-∞, 1/3)		(1/3, 1),		(1,+ ∞),
f"(x)
f(х)		4/27			↓

7. Найдем абсциссы точек пересечения графика с осью Ох:
х 3 -2х 2 + х = 0,

Х (х 2 -2х + 1) =0,

Х (х -1) 2 =0,

х = 0 или х = 1.

8. Построим график функции.

Задание 3 . Постройте график функции f(х) = 1- 5/2 х 2 -х 5 .

Решение.

1. Область определения D(f) =R.
2. Найдем производную f"(x = -5х - 5х 4 = -5 х (1 +х 3 ).
3. Найдем критические точки, решив уравнение f"(x) = 0. -5х(1 + х 3 ) = 0, следовательно,

Х 1 =0, х 2 = -1.

4.Найдем промежутки возрастания и убывания, используя метод интервалов и правило чередования знаков:

Для производной
f"(x =-5х (1+х 3 ) имеем 3 интервала знак постоянства:

(- ∞ ;-1); (-1;0); (0;+ ∞ ).

f"(x)>0 на промежутке (-1; 0), значит, функция возрастает на этом промежутке.

Аналогично f"(x) 0 на промежутках (- ∞ ;-1) и (0; + ∞ ), значит, функция на них убывает.

5. При переходе через точку х = -1 производная меняет знак с «-» на «+», значит, это точка минимума. При переходе через точку х = 0 производная меняет знак с «+» на «-», значит, это точка максимума. Значения в экстремумах равны:

f(-1)=-0,5 f(0)=1

5.Творческое задание

Задачи, выделенные преподавателем, конкретизируют цель, представляя собой промежуточный результат, способствующий достижению основной цели урока.

Материал представлен в доступной обучающимся форме в соответствии с дидактическими принципами.

Задание 4.

Завершите эскиз графика функции, зная, что у = f(x) - четная функция,

Ответ:

Ответ:

Задание 6.

Закончите фразу.

1) График четной функции симметричен относительно... (оси Оу).

2) График нечетной функции симметричен относительно... (нача-
ла координат (0; 0)).

VI. Закрепление изученного материала

Задачи способствуют развитию познавательных способностей обучающихся.

Задание 7. Постройте график функции.

(Работа над заданиям под пунктами а) и б) ведется на доске по очереди;

В) - самостоятельно с самопроверкой по компьютеру (См. Приложение.)

а) у = 6х 4 -4х 6 ;

б) у= 1/10х 5 -5/6х 3 + 2х

в) у = -х 3 + 4х 2 - 4х;

Задание 8. Постройте график функции.

Работа в группах по 4 человека. Один из учащихся каждой группы решает на обратной стороне доски. Группы решают примеры по очереди, консультируясь друг с другом в группе.(См. приложение.)

а) у = 2 + 5х 3 -Зх 5 ;

б) у = 4х 5 -5х 4 ;

в) у = Зх 5 -5х 3 .

VII. Подведение итогов урока

По какой схеме проводится исследование свойств функции?

Ответ:

Надо найти:

1. Область определения функции (D(f) = R a ).
2. Производную (f"(x)).
3. Стационарные точки ( f"(x = 0)
4. Промежутки возрастания и убывания (методом интервалов).
5. Точки экстремума и значение функции в этих точках.
1. а) Точки пересечения с осью Ох (если возможно);

Б) несколько дополнительных точек графика (для более точного построения).

А сейчас проведем аукцион понимания графиков.

Задание 9. Назовите как можно больше свойств функции, график которой изображен.

(На экран по очереди проецируются графики функций на компьютере. Студенты дают ответы. Каждый правильный ответ оценивается 1 баллом, а самый последний - 3 баллами. Студенты, набравшие наибольшее количество баллов, получают оценку «5».)

Свойства:

1. убывает;
2. возрастает;
3. точки минимума;
4. точки максимума;
5. точки перегиба;
6. четность (нечетность);
7. область определения;
1. область значений;
2. точки пересечения с Ох;
1. точки пересечения с Оу;
2. симметричность графика функции;
3. функция принимает положительные значения;
4. функция принимает отрицательные значения;
5. наибольшее значение функции;
6. наименьшее значение функции.

Домашнее задание

Задание 10.

Построить график функции:

A)у= = 3х +1/3х

б) у = хе х ;

в) у = 2 + Зх - х 3 .

Приложение

Решения Задание 7.

а) Решение.

1. D(f) = R.

2. Функция у(-х) = 6(-х) 4 -4(-х) 6 = 6х 4 -4х 6 = у(х) четная, гра-
фик симметричен относительно Оу.

Исследуем на (0; +∞),

3. Находим производную у" =24х 3 -24х 5 .

4.Находим критические точки: у" = 0, 24х 3 (1 –х 2 ) = 0, х 1 = 0,
х 2,3 =±1.

5. Промежутки возрастания и убывания.

		(0; 1)		(l;+ ∞ )
f"(x
f(x)
Экстремум

График

б) Решение.

1. D(ƒ)= R.
2. Функция у(-х) = 1/10(-х) 5 – 5/6(-х") + 2(-х) = -1/10х 5 + 5/6х 3 -

2х = -у(х) нечетная, график симметричен относительно начала координат. Исследуем на (0; + ∞ ).

1. Находим производную f"(x) = ½ х 4 -5/2х 2 +2.
2. Находим критические точки: f"(x = 0, х 4 -5х 2 + 4 = = (х 2 - 4)(х 2 - I) = (х - 2)(х + 2)(х - 1)(х +1) = 0,

Х 1= +2, х 2=-2, х 3 =+1, х 4 =-1

		(0; 1)		(1;2)		(2; ∞ +)
f"(x)
f(x)			19/ 15
Экстремум

График

В)Решение

1. Находим производную у" = -Зх 2 +8х-4.
2. Находим критические точки: у" = 0, -Зх 2 + 8х - 4 =

= -(Зх-2)(х-2) = 0, х 1 =2, х 2 =2/3.

5. Знаки производной.

6. Промежутки возрастания и убывания .

	(- ∞,2/3)	2/ 3	(2/3, 2)		(2; + ∞ )
f"(x)
f(x)		32 27
Экстремум

Задание 8.

а) Решение.

5.Промежутки возрастания и убывания.

	(- ∞ -1)		(1;0)		(0;1)		(1; + ∞ )

Тип задания: 7


Условие

На рисунке изображён график y=f"(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-4; 10). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Показать решение

Решение

Как известно, функция f(x) убывает на тех промежутках, в каждой точке которых производная f"(x) меньше нуля. Учитывая, что надо находить длину наибольшего из них естественно по рисунку выделяются три таких промежутка: (-4; -2); (0; 3); (5; 9).

Длина наибольшего из них — (5; 9) равна 4.

Ответ

Тип задания: 7
Тема: Применение производной к исследованию функций и построению графиков

Условие

На рисунке изображён график y=f"(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-8; 7). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих промежутку [-6; -2].



Показать решение

Решение

Из графика видно, что производная f"(x) функции f(x) меняет знак с плюса на минус (именно в таких точках будет максимум) ровно в одной точке (между -5 и -4 ) из промежутка [-6; -2]. Поэтому на промежутке [-6; -2] ровно одна точка максимума.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 7
Тема: Применение производной к исследованию функций и построению графиков

Условие

На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (-2; 8). Определите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0 .



Показать решение

Решение

Равенство нулю производной в точке означает, что касательная к графику функции, проведённая в этой точке, параллельна оси Ox. Поэтому находим такие точки, в которых касательная к графику функции параллельна оси Ox. На данном графике такими точками являются точки экстремума (точки максимума или минимума). Как видим, точек экстремума 5 .

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 7
Тема: Применение производной к исследованию функций и построению графиков

Условие

На рисунке изображён график функции y=f(x) и отмечены точки -6, -1, 1, 4 на оси абсцисс. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.



Показать решение

Решение

Проводим касательные к графику функции в точках с указанными абсциссами. Определяем, под каким углом они наклонены к положительному направлению оси Ox . Как известно, значение тангенса указанного угла это и есть значение производной в указанных точках.

В точках -1 и 4 касательные наклонены под острым углом, поэтому в этих точках значение производной отрицательно. Учитывая, что в точке x=-6 касательная наклонена под меньшим тупым углом (ближе к вертикальной прямой), значение производной в этой точке наименьшее.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 7
Тема: Применение производной к исследованию функций и построению графиков

Условие

На рисунке изображён график y=f"(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-9; 4). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.



Показать решение

Решение

Как известно, функция f(x) возрастает на тех промежутках, в каждой точке которых производная f"(x) больше нуля. Учитывая, что надо находить длину наибольшего из них естественно по рисунку выделяются три таких промежутка: (-9; -8); (-5; -1); (1; 4).

Длина наибольшего из них (-5; -1), равна 4.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 7
Тема: Применение производной к исследованию функций и построению графиков

Условие

На рисунке изображён график y=f"(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-8; 7). Найдите количество точек минимума функции f(x), принадлежащих промежутку [-4; 3].





Предыдущая статья: Чему равна скорость света Следующая статья: Углерод — характеристика элемента и химические свойства