Пирамиды бывают: треугольные, четырехугольные и т. д., смотря по тому, что является основанием - треугольник, четырехугольник и т. д.
Пирамида называется правильной (фиг.286,б), если, во - первых, ее основанием является правильный многоугольник, и, во - вторых, высота проходит через центр этого многоугольника.
В противном случае пирамида называется неправильной (фиг.286,в). В правильной пирамиде все боковые ребра равны между собой (как наклонные с равными проекциями). Поэтому все боковые грани правильной пирамиды есть равные равнобедренные треугольники.
Анализ элементов правильной шестиугольной пирамиды и их изображение на комплексном чертеже (фиг.287) .

а) Комплексный чертеж правильной шестиугольной пирамиды. Основание пирамиды расположено на плоскости П 1 ; две стороны основания пирамиды параллельны плоскости проекций П 2 .
б) Основание ABCDEF - шестиугольник, расположенный в плоскости проекций П 1 .
в) Боковая грань ASF - треугольник, расположенный в плоскости общего положения.
г) Боковая грань FSE - треугольник, расположенный в профильно - проектирующей плоскости.
д) Ребро SE - отрезок общего положения.
е) Ребро SA - фронтальный отрезок.
ж) Вершина S пирамиды - точка в пространстве.
На (фиг.288 и фиг.289) приведены примеры последовательных графических операций при выполнении комплексного чертежа и наглядных изображений (аксонометрии) пирамид.

Дано:
1. Основание расположено на плоскости П 1 .
2. Одна из сторон основания параллельна оси х 12 .
I. Комплексный чертеж.
I, а. Проектируем основание пирамиды - многоугольник, по данному условию лежащий в плоскости П 1 .
Проектируем вершину - точку, расположенную в пространстве. Высота точки S равна высоте пирамиды. Горизонтальная проекция S 1 точки S будет в центре проекции основания пирамиды (по условию).
I, б. Проектируем ребра пирамиды - отрезки; для этого соединяем прямыми проекции вершин основания ABCDE с соответствующими проекциями вершины пирамиды S . Фронтальные проекции S 2 С 2 и S 2 D 2 ребер пирамиды изображаем штриховыми линиями, как невидимые, закрытые гранями пирамиды (SBА и SAE ).
I, в. Дана горизонтальная проекция К 1 точки К на боковой грани SBА , требуется найти ее фронтальную проекцию. Для этого проводим через точки S 1 и K 1 вспомогательную прямую S 1 F 1 , находим ее фронтальную проекцию и на ней при помощи вертикальной линии связи определяем место искомой фронтальной проекции K 2 точки К .
II. Развертка поверхности пирамиды - плоская фигура, состоящая из боковых граней - одинаковых равнобедренных треугольников одна сторона которых равна стороне основания, а две другие - боковым ребрам, и из правильного многоугольника - основания.
Натуральные размеры сторон основания выявлены на его горизонтальной проекции. Натуральные размеры ребер на проекциях не выявлены.
Гипотенуза S 2 ¯A 2 (фиг.288, 1 , б) прямоугольного треугольника S 2 O 2 ¯A 2 , у которого большой катет равен высоте S 2 O 2 пирамиды, а малый - горизонтальной проекции ребра S 1 A 1 является натуральной величиной ребра пирамиды. Построение развертки следует выполнять в следующем порядке:
а) из произвольной точки S (вершины) проводим дугу радиусом R , равным ребру пирамиды;
б) на проведенной дуге отложим пять хорд размером R 1 равным стороне основания;
в) соединим прямыми точки D, С, В, А, Е, D последовательно между собой и с точкой S , получим пять равнобедренных равных треугольников, составляющих развертку боковой поверхности данной пирамиды, разрезанной по ребру SD ;
г) пристраиваем к любой грани основание пирамиды - пятиугольник, пользуясь способом триангуляции, например к грани DSE .
Перенос на развертку точки К осуществляется вспомогательной прямой с помощью размера В 1 F 1 , взятого на горизонтальной проекции, и размера А 2 К 2 , взятого на натуральной величине ребра.
III. Наглядное изображение пирамиды в изометрии.
III, а. Изображаем основание пирамиды, пользуясь координатами согласно (фиг.288, 1 , а).
Изображаем вершину пирамиды, пользуясь координатами по (фиг.288, 1 , а).
III, б. Изображаем боковые ребра пирамиды, соединяя вершину с вершинами основания. Ребро S"D" и стороны основания C"D" и D"E" изображаем штриховыми линиями, как невидимые, закрытые гранями пирамиды C"S"B" , B"S"A" и A"S"E" .
III, e. Определяем на поверхности пирамиды точку К , пользуясь размерами у F и х K . Для ди-метрического изображения пирамиды следует придерживаться той же последовательности.
Изображение неправильной треугольной пирамиды.

Дано:
1. Основание расположено на плоскости П 1 .
2. Сторона ВС основания перпендикулярна оси X .
I. Комплексный чертеж
I, а. Проектируем основание пирамиды - равнобедренный треугольник, лежащий в плоскости П 1 , и вершину S - точку, расположенную в пространстве, высота которой равна высоте пирамиды.
I, б. Проектируем ребра пирамиды - отрезки, для чего соединяем прямыми одноименные проекции вершин основания с одноименными проекциями вершины пирамиды. Горизонтальную проекцию стороны основания ВС изображаем штриховой линией, как невидимую, закрытую двумя гранями пирамиды ABS , ACS .
I, в. На фронтальной проекции A 2 С 2 S 2 боковой грани дана проекция D 2 точки D . Требуется найти ее горизонтальную проекцию. Для этого через точку D 2 проводим вспомогательную прямую параллельно оси х 12 - фронтальную проекцию горизонтали, затем находим ее горизонтальную проекцию и на ней, при помощи вертикальной линии связи, определяем место искомой горизонтальной проекции D 1 точки D .
II. Построение развертки пирамиды.
Натуральные размеры сторон основания выявлены на горизонтальной проекции. Натуральная величина ребра AS выявлена на фронтальной проекции; натуральной величины ребер BS и CS в проекциях нет, величину этих ребер выявляем путем вращения их вокруг оси i , перпендикулярной к плоскости П 1 проходящей через вершину пирамиды S . Новая фронтальная проекция ¯C 2 S 2 является натуральной величиной ребра CS .
Последовательность построения развертки поверхности пирамиды:
а) вычерчиваем равнобедренный треугольник - грань CSB , основание которого равно стороне основания пирамиды СВ , а боковые стороны - натуральной величине ребра SC ;
б) к сторонам SC и SB построенного треугольника пристраиваем два треугольника - грани пирамиды CSA и BSA , а к основанию СВ построенного треугольника - основание СВА пирамиды, в результате получаем полную развертку поверхности данной пирамиды.
Перенос на развертку точки D выполняется в следующем порядке: сначала на развертке боковой грани ASC проводим линию горизонтали при помощи размера R 1 а затем определяем на линии горизонтали место точки D при помощи размера R 2 .
III. Наглядное изображение пирамиды е фронтальной диметрической проекции
III, а. Изображаем основание А"В"С и вершину S" пирамиды, пользуясь координатами согласно (

Развертка боковой поверхности пирамиды (рис. 16.3) состоит из трех треугольников, представляющих в истинном виде боковые грани пирамиды.

Для построения развертки необходимо предварительно определить истинные длины боковых ребер пирамиды. Повернув эти ребра вокруг высоты пирамиды до положения параллельного плоскости p 2 , на фронтальной плоскости проекций получим их истинные длины в виде отрезков и .

Построив по трем сторонам и грань пирамиды ASB (рис. 16.4) пристраиваем к ней смежную грань – треугольник BSC, а к последнему грань CSA. Полученная фигура представит собою развертку боковой поверхности данной пирамиды.

Для получения полной развертки к одной из сторон основания пристраиваем основание пирамиды – треугольник АВС.

Для построения на развертке линии, по которой поверхность пирамиды пересечется плоскостью a (рис. 16.3), надлежит нанести на ребра SA, SB и SC, соответственно, точки 1, 2 и 3, в которых эта плоскость пересекает ребра, определив истинные длины отрезков S1, S2 и S3.

Рис. 16.3	Рис. 16.4

Контрольные вопросы по теме лекции:

1. Что называется разверткой поверхности?

2. Какие поверхности называются развертываемыми или неразвертываемыми. Приведите примеры.

3. Общие правила построения разверток поверхности призмы, пирамиды.

Построим развертку прямой трехгранной пирамиды. Для простоты считаем, что треугольник основания равносторонний. Полная поверхность данной пирамиды состоит из боковой (три равных треугольника) поверхности и основания (треугольник). Сначала строят развертку боковой поверхности (рис. 9.4):

о определяют длины сторон треугольников, из которых она состоит. Действительная длина бокового ребра AS (на плоскости проекций) получается при проецировании тогда, когда ребро параллельно фронтальной плоскости проекций. Пусть длина бокового ребра равна С;

о на плоскости проводят дугу окружности радиусом L из центра в точке.V;

о на окружности откладывают последовательно три отрезка длиной, равной длине стороны треугольника-основания, и получают точки А, В, С;

о последовательно соединяют т. А, В , С между собой и с т. S отрезками прямой и получают развертку боковой поверхности пирамиды;

о на одной из сторон строят равносторонний треугольник, равный треугольнику - основанию пирамиды, и получают развертку полной поверхности прямой трехгранной пирамиды.

Аналогично строится развертка пирамиды с основанием - произвольным треугольником (но на дуге последовательно откладывают отрезки, равные по длине сторонам треугольника-основания) и с основанием - произвольным многоугольником. Построение боковой поверхности произвольной пирамиды возможно и следующим образом: о определяют длины ее ребер и сторон основания; о по полученным данным в плоскости чертежа последовательно строят треугольники, равные граням пирамиды.

Развертка конуса.

Построим развертку прямого кругового конуса (рис. 9.5). Развертка его боковой поверхности - круговой сектор, радиус которого равен длине образующей конуса L, а угол при вершине вычисляется по формуле 180 D/L (в градусах) или л О/L (в радианах), где D - диаметр окружности основания конуса. Совместив с разверткой боковой поверхности окружность, равную окружности основания, получаем развертку полной поверхности конуса.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

• 1. Что называется разверткой?
• 2. Постройте развертку прямой четырехугольной призмы.
• 3. Как можно построить развертку произвольной призматической поверхности?
• 4. Постройте развертку цилиндра.
• 5. Можно ли построение развертки цилиндрической поверхности свести к построению развертки призматической поверхности?
• 6. Какой вид имеет развертка усеченного цилиндра? Как ее построить?
• 7. Постройте развертку боковой поверхности пятиугольной пирамиды.
• 8. Из чего состоит развертка полной поверхности произвольной пирамиды?
• 9. Какой вид имеет развертка боковой поверхности конуса?
• 10. Постройте развертку полной поверхности прямого конуса.

Чертеж — первый и очень важный шаг в решении геометрической задачи. Каким должен быть рисунок правильной пирамиды?

Сначала вспомним свойства параллельного проектирования :

— параллельные отрезки фигуры изображаются параллельными отрезками;

— сохраняется отношение длин отрезков параллельных прямых и отрезков одной прямой.

Рисунок правильной треугольной пирамиды

Сначала изображаем основание. Поскольку при параллельном проектировании углы и отношения длин не параллельных отрезков не сохраняются, правильный треугольник в основании пирамиды изображается произвольным треугольником.

Центр правильного треугольника — точка пересечения медиан треугольника. Поскольку медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, мысленно соединяем вершину основания с серединой противолежащей стороны, приблизительно делим ее на три части, и на расстоянии 2 частей от вершины ставим точку. Из этой точки вверх проводим перпендикуляр. Это — высота пирамиды. Перпендикуляр рисуем такой длины, чтобы боковое ребро не закрывало изображение высоты.

Рисунок правильной четырехугольной пирамиды

Рисунок правильной четырехугольной пирамиды также начинаем с основания. Поскольку параллельность отрезков сохраняется, а величины углов — нет, то квадрат в основании изображается параллелограммом. Желательно острый угол этого параллелограмма делать поменьше, тогда боковые грани получаются больше. Центр квадрата — точка пересечения его диагоналей. Проводим диагонали, из точки пересечения восстанавливаем перпендикуляр. Этот перпендикуляр — высота пирамиды. Выбираем длину перпендикуляра таким образом, чтобы боковые ребра не сливались между собой.

Рисунок правильной шестиугольной пирамиды

Поскольку при параллельном проектировании параллельность отрезков сохраняется, основание правильной шестиугольной пирамиды — правильный шестиугольник — изображаем шестиугольником, у которого противолежащие стороны параллельны и равны. Центр правильного шестиугольника — точка пересечения его диагоналей. Чтобы не загромождать рисунок, диагонали не проводим, а находим эту точку приблизительно. Из нее восстанавливаем перпендикуляр — высоту пирамиды — так, чтобы боковые ребра не сливались между собой.

Прямоугольник, квадрат, треугольник, трапеция и другие - геометрические фигуры из раздела точной науки. Пирамида - это многогранник. Основанием этой фигуры является многоугольник, а боковыми гранями треугольники, имеющие общую вершину, или трапеции. Для полного представления и изучения любого геометрического объекта изготавливают макеты. Используют самый разнообразный материал, из которого выполняется пирамида. Поверхность многогранной фигуры, развернутая на плоскости, называется ее разверткой. Создать макет поможет метод преобразования плоских предметов в объемные многогранники и определенные знания из геометрии. Развертки из бумаги или картона изготовить непросто. Потребуется умение выполнять чертежи по заданным размерам.

Материалы и приспособления

Моделирование и выполнение многогранных объемных геометрических фигур - интересный и захватывающий процесс. Из бумаги можно выполнить большое количество всевозможных макетов. Для работы будут необходимы:

• бумага или картон;
• ножницы;
• карандаш;
• линейка;
• циркуль;
• ластик;
• клей.

Определение параметров

Прежде всего определим, какой будет пирамида. Развертка данной фигуры является основой для изготовления объемной фигуры. Выполнение работы потребует предельной точности. При неправильном чертеже геометрическую фигуру собрать будет невозможно. Допустим, необходимо изготовить макет правильной

Любое геометрическое тело обладает определенными свойствами. Данная фигура имеет основанием а ее вершина спроецирована в его центр. В качестве основания выбран Данное условие определяет название. Боковые ребра у пирамиды - это треугольники, количество которых зависит от выбранного для основания многогранника. В данном случае их будет три. Также важно знать размеры всех составных частей, из которых будет составлена пирамида. Развертки из бумаги выполняются в соответствии с учетом всех данных геометрической фигуры. Параметры будущей модели оговариваются заранее. От этих данных зависит выбор используемого материала.

Как выполняется развертка правильной пирамиды?

Основой модели является лист бумаги или картона. Работу начинают с чертежа пирамиды. Фигура представляется в развернутом виде. Плоское изображение на бумаге соответствует заранее выбранным размерам и параметрам. имеет основанием правильный многоугольник, а высота проходит через его центр. Изготавливаем для начала простую модель. В данном случае - это треугольная пирамида. Определяем размеры выбранной фигуры.

Чтобы построить развертку пирамиды, основанием которой является правильный треугольник, в центре листа, используя линейку и карандаш, нарисуем основание заданных размеров. Далее к каждой его стороне вычерчиваем боковые грани пирамиды - треугольники. Теперь переходим к их построению. Размеры сторон треугольников боковой поверхности измеряем циркулем. Ножку циркуля ставим в вершину нарисованного основания и делаем засечку. Действие повторяем, перемещаясь в следующую точку треугольника. Пересечение, полученное в результате таких действий, определит вершины боковых граней пирамиды. Их соединяем с основанием. Получаем чертеж пирамиды. Для склеивания объемной фигуры на сторонах боковых граней предусматривают клапаны. Дорисовываем небольшие трапеции.

Сборка макета

Вырезаем ножницами выполненный рисунок по контуру. Аккуратно сгибаем развертку по всем линиям. Клапаны-трапеции заправляем внутрь фигуры таким образом, чтобы ее грани сомкнулись. Их смазываем клеем. Через тридцать минут клей высохнет. Объемная фигура готова.

Сначала представим, как выглядит геометрическая фигура, макет которой будем изготавливать. Основанием выбранной пирамиды является четырехугольник. Боковые ребра - треугольники. Для работы используем те же материалы и приспособления, что и в предыдущем варианте. Чертеж выполняем на бумаге карандашом. В центре листа чертим четырехугольник с выбранными параметрами.

Каждую сторону основания делим пополам. Проводим перпендикуляр, который будет являться высотой треугольной грани. Раствором циркуля, равным длине боковой грани пирамиды, делаем на перпендикулярах засечки, установив его ножку в вершину основания. Оба угла одной стороны основания соединяем с полученной точкой на перпендикуляре. В результате получаем в центре чертежа квадрат, на гранях которого нарисованы треугольники. Чтобы зафиксировать модель на боковых гранях, дорисовывают вспомогательные клапаны. Для надежного крепления достаточно полоски сантиметровой ширины. Пирамида готова к сборке.

Завершающий этап выполнения макета

Полученную выкройку фигуры вырезаем по контуру. По начерченным линиям сгибаем бумагу. Сбор объемной фигуры производят путем склеивания. Предусмотренные клапаны смазываем клеем и фиксируем полученную модель.

Объемные макеты сложных фигур

После выполнения простой модели многогранника можно перейти к более сложным геометрическим фигурам. Развертка пирамиды усеченной намного сложнее в выполнении. Ее основаниями являются подобные многогранники. Боковые грани - это трапеции. Последовательность выполнения работы будет такой же, как та, в которой изготавливалась простая пирамида. Развертка будет более громоздкой. Для выполнения чертежа используют карандаш, циркуль и линейку.

Построение чертежа

Развертка пирамиды усеченной выполняется в несколько этапов. Боковой гранью усеченной пирамиды является трапеция, а основаниями - подобные многогранники. Допустим, что это квадраты. На листе бумаги выполняем чертеж трапеции с заданными размерами. Боковые стороны полученной фигуры продлеваем до пересечения. В результате получаем равнобедренный треугольник. Его сторону измеряем циркулем. На отдельном листе бумаги строим которой будет измеренное расстояние.

Следующий этап - это построение боковых ребер, которые имеет усеченная пирамида. Развертка выполняется внутри нарисованной окружности. Циркулем измеряют нижнее основание трапеции. На окружности отмечаем пять точек, которые соединяют линии с ее центром. Получаем четыре равнобедренных треугольника. Циркулем измеряем сторону трапеции, нарисованной на отдельном листе. Данное расстояние откладываем на каждой стороне нарисованных треугольников. Полученные точки соединяем. Боковые грани трапеции готовы. Остается только нарисовать верхнее и нижнее основания пирамиды. В данном случае это подобные многогранники - квадраты. К верхнему и нижнему основаниям первой трапеции дорисовываем квадраты. На чертеже изображены все части, которые имеет пирамида. Развертка практически готова. Остается только дорисовать соединительные клапаны на сторонах меньшего квадрата и одной из граней трапеций.

Завершение моделирования

Перед склеиванием объемной фигуры чертеж по контуру вырезают ножницами. Далее развертку аккуратно сгибают по начерченным линиям. Крепежные клапаны заправляем внутрь модели. Их смазываем клеем и прижимаем к граням пирамиды. Модели даем высохнуть.

Изготовление разных моделей многогранников

Выполнение объемных моделей геометрических фигур - увлекательное занятие. Чтобы его досконально освоить, следует начинать с выполнения самых простых разверток. Постепенно переходя от простых поделок к более сложным моделям, можно приступать к созданию самых замысловатых конструкций.