Главная » 2 Распространение » Равно отношение амплитуды установившихся колебаний. Вынужденные колебания, уравнение вынужденных колебаний

Равно отношение амплитуды установившихся колебаний. Вынужденные колебания, уравнение вынужденных колебаний

Достигает наибольшего зна-чения, когда частота вынуждающей силы равна собственной час-тоте колебательной системы.

Отличительной особенностью вынужденных колебаний явля-ется зависимость их амплитуды от частоты изменения внешней силы . Для изучения этой зависимости можно воспользоваться установкой, изображенной на рисунке:

На кривошипе с ручкой укреплен пружинный маятник. При равномерном вращении руч-ки на груз через пружину передается действие периодически изменяющейся силы. Изменяясь с частотой, равной частоте враще-ния ручки, эта сила заставит груз совершать вынужденные колебания. Если вращать ручку кривошипа очень медленно, то груз вместе с пружиной будет перемещаться вверх и вниз так же, как и точка подвеса О . Амплитуда вынужденных колебаний при этом будет невелика. При более быстром вращении груз начнет колебаться сильнее, и при частоте вращения, равной собственной частоте пружинного маятника (ω = ω соб ), амплитуда его колебаний достигнет максимума. При дальнейшем увеличении частоты вра-щения ручки амплитуда вынужденных колебаний груза опять станет меньше. Очень быстрое вращение ручки оставит груз почти неподвижным: из-за своей инертности пружинный маятник, не успевая следовать изменениям внешней силы, будет просто дро-жать на месте.

Явление резонанса можно продемонстрировать и с нитяными маятниками. Подвесим на рейке массивный шар 1 и несколько ма-ятников, имеющих нити разной длины. Каждый из этих маятников имеет свою собственную частоту колебаний, которую можно определить, зная длину нити и ускорение свободного падения.

Теперь, не трогая легких маятников, выведем шар 1 из положения равновесия и отпустим. Качания массивного шара вызовут периодические колебания рейки, вследствие которых на каждый из легких маятников начнет действовать периодически изменяющаяся сила упругости. Частота ее изменений будет равна частоте колебаний шара. Под действием этой силы маятники начнут совершать вынужденные колебания. При этом маятники 2 и 3 останутся почти неподвижными. Маятники 4 и 5 будут колебаться с немного большей амплитудой. А у маятника б , имеющего такую же длину нити и, следовательно, собственную частоту колебаний, как у шара 1, амп-литуда окажется максимальной. Это и есть резонанс.

Резонанс возникает из-за того, что внешняя сила, действуя в такт со свободными колебаниями тела, все время совершает положительную работу. За счет этой работы энергия колеблющегося тела увеличивается, и амплитуда колебаний возрастает.

Резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при ω = ω соб называется резонансом .

Изменение амплитуды колебаний в зависимости от частоты при одной и той же амплитуде внешней силы, но при различных коэффициентах трения и, изображено на рисунке ниже, где кривой 1 соответствует минималь-ное значение и, кривой 3 — максимальное.

Из рисунка видно, что о резонансе имеет смысл говорить, если зату-хание свободных колебаний в системе мало. Иначе амплитуда вынужден-ных колебаний при ω = ω 0 мало отличается от амплитуды колебаний при других частотах.

Явление резонанса в жизни и в технике.

Явление резонанса может играть как положительную, так и отрицательную роль.

Известно, например, что тяжелый «язык» большого колокола может раскачать даже ребенок, но при условии, что будет тянуть за веревку в такт со свободными колебаниями «языка».

На применении резонанса основано действие язычкового частотомера. Этот прибор представляет собой набор укрепленных па общем основании упругих пластин различной длины. Собствен-ная частота каждой пластины известна. При контакте частотомера с колебательной системой , частоту которой нужно определить, с наибольшей амплитудой начинает колебаться та пластина, частота которой совпадает с измеряемой частотой. Заметив, какая пластина вошла в резонанс, мы определим частоту колебаний системы.

С явлением резонанса можно встретиться и тогда, когда это совершенно нежелательно. Так, на-пример, в 1750 г. близ города Анжера во Франции через цепной мост длиной 102 м шел в ногу отряд солдат. Частота их шагов совпала с частотой свободных колебаний моста. Из-за этого размахи ко-лебаний моста резко увеличились (наступил резонанс), и цепи оборвались. Мост обрушился в реку.

В 1830 г. по той же причине обрушился подвесной мост около Манчестера в Англии, когда по нему маршировал военный отряд.

В 1906 г. из-за резонанса разрушился Египетский мост в Петербурге, по которому проходил кавалерийский эскадрон.

Теперь для предотвращения подобных случаев войсковым частям при переходе через мост приказывают «сбить ногу», идти не строевым, а вольным шагом.

Если же через мост проезжает поезд, то, чтобы избежать резонанса, он проходит его либо на медленном ходу, либо, наоборот, на максимальной скорости (чтобы частота ударов колес о стыки рельсов не оказалась равной собственной частоте моста).

Собственной частотой обладает и сам вагон (колеблющийся на своих рессорах). Когда частота ударов его колес на стыках рельсов оказывается ей равной, вагон начинает сильно раскачиваться.

Явление резонанса встречается не только на суше, но и в море, и даже в воздухе. Так, например, при некоторых частотах гребного вала в резонанс входили целые корабли. А на заре разви-тия авиации некоторые авиационные двигатели вызывали столь сильные резонансные колебания частей самолета, что он разваливался в воздухе.

1(А) Колебательное движение точки описывается уравнением х = 30соs(10πt + π/3) (см). Найдите начальную фазу и координату точки в момент времени (t = 0).

1) 15 см; π/3 3) 30 см; 10π

2) 26 см; π/3 4) 30 см; π/3

2(А) Гармоническое колебание точки описывается уравнением х =3соs(12πt + π/2) (м). Определите частоту колебаний и циклическую частоту.

1) 0,17 Гц; 12π рад/с 3) 6 Гц; 6π рад/с

2) 6 Гц; 12π рад/с 4) 12 Гц; 12π рад/с

3(А) На рисунке показан график колебаний одной из точек струны. Согласно графику, период этих колебаний равен… x,см

3) 3×10 -3 с t∙10 - 3 ,с

4(А) На рисунке и изображена зависимость амплитуды установившихся колебаний маятника от частоты вынуждающей силы (резонансная кривая). Отношение амплитуды установившихся колебаний маятника на резонансной частоте к амплитуде колебаний на

частоте 0,5 Гц равно

5(А) Амплитуда вынужденных колебаний при увеличении частоты изменения вынуждающей силы от резонансной до бесконечности

1) непрерывно возрастает с увеличением частоты;

2) непрерывно убывает с увеличением частоты;

3) сначала возрастает, достигает максимума, затем убывает;

4) сначала убывает, достигает минимума, затем возрастает.

6(А) Как изменится период колебаний пружинного маятника, если жесткость пружины увеличить в 4 раза?

1) увеличится в 4 раза 2) уменьшится в 4 раза

3) увеличится в 2 раза 4) уменьшится в 2 раза

7(А) Период колебаний крыльев шмеля составляет 5 мс. Сколько взмахов крыльями сделает шмель при полете за 1 мин?

1) 12 2) 200 3) 12000 4) 200000

8(А) За какую часть периода математический маятник проходит путь от положения равновесия до высшей точки траектории?

1) 1/8 2) 1/6 3) 1/4 4) 1/2

9(А) Груз, подвешенный на легкой пружине жесткостью 400 Н/м, совершает свободные гармонические колебания. Пружину какой жесткости надо взять, чтобы период колебаний этого груза стал в 2 раза больше?

1) 100 Н/м 3) 800 Н/м

2) 200 Н/м 4) 1600 Н/м

10(А) Скорость распространения продольной волны в первой среде в два раза больше, чем ее скорость во второй среде. Что произойдет с частотой и длиной волны при ее переходе из первой среды во вторую?


1) длина волны и частота уменьшатся в 2 раза

2) длина волны уменьшится в 2 раза, а частота не изменится

3) длина волны увеличится в 2 раза, а частота не изменится

4) длина волны не изменится, а частота уменьшится в 2 раза.

11(А) Расстояние до преграды, отражающей звук, равно 68 м. Через какое время человек услышит эхо? Скорость звука в воздухе 340 м/с.

1) 0,2 с 2) 0,4 с 3) 2,5 с 4) 5 с

12(В) Груз массой 0,2 кг колеблется на пружине жесткостью 500 Н/м с амплитудой 4 см. Найдите кинетическую энергию тела в точке с координатой х = 2 см.

13(В) При увеличении длины маятника на 10 см его период увеличился на 0,1 с. Найти начальный период колебаний.

14(В) В бегущей поперечной волне скорость частицы А

направлена вверх. В

каком направлении

движется волна?

15(В) Что произойдет с характеристиками колебательного движения пружинного маятника, если его массу увеличить в 2 раза, а жесткость оставить прежней? К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию второго и запишите в таблицу.

А Б В

А) полная энергия 1) увеличится

Б) период колебаний 2) уменьшится

В) частота колебаний 3) не изменится

16(С) Математический маятник с длиной нити 80 см находится в самолете, движущемся горизонтально. Период колебаний маятника равен 1,6 с. Каково ускорение самолета?

1. Амплитуда установившихся вынужденных колебаний достигает своего наибольшего значения при условии, что частота вынуждающей силы равна собственной частоте колебательной системы. Назовите явление. 2. Как называется следующее явление: распространение колебаний в пространстве от точки к точке, от частицы к частице. 3. Наибольшее по модулю отклонение колеблющегося тела от положения равновесия называется … 4. Процессы, повторяющиеся через одинаковые промежутки времени, относительно среднего положения. Как называются эти процессы РЕЗОНАНС ВОЛНА АМПЛИТУД А КОЛЕБАНИ Я




Цели: образовательная: сформировать понятие звука с точки зрения физики; изучить механизм передачи и восприятия звука живыми организмами; развивающая: продолжать расширять кругозор учащихся на основе интеграции знаний учащихся; развивать логическое и абстрактное мышление; воспитательная: воспитывать положительную мотивацию к обучению; культуру умственного труда; пропаганда здорового образа жизни.









Что нового мы узнали на сегодняшнем уроке? Мы изучили понятие звука, рассмотрели свойства звука. Что же такое звук? Звук- это волна, распространяющаяся в упругой среде с определенными, слышимыми человеком частотами. Каковы эти частоты? Для различных животных разные. Например для человека от 20 до Гц. Что является переносчиком звука? Любая упругая среда. Но чаще всего рассматривается воздух. Какова скорость звука в воздухе? Где и как используется звук? Звук нашел очень широкое распространение в живой природе и технике. Большое количество информации к человеку поступает благодаря звуку. А для некоторых животных звук является основным источником информации об окружающей среде. Большое значение имеет звук также в искусстве, музыке.

ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ - колебания, происходящие под действием внешней переменной силы (вынуждающей силы ).

Установившиеся вынужденные колебания происходят с частотой , равной частоте вынуждающей силы.

Рассмотрим вынужденные колебания на примере реального (с трением) пружинного маятника. Будем отталкиваться от уравнения движения (второй закон Ньютона), которое мы написали для затухающих колебаний. При наличии дополнительной вынуждающей силы F (t ) необходимо дописать ее в правую часть уравнения. В каноническом виде дифференциальное уравнение вынужденных механических колебаний имеет вид:

Для пружинного маятника:

Для того, чтобы возникли периодические колебания, вынуждающая сила сама должна быть периодической. Пусть (писать здесь начальную фазу смысла нет, поскольку нас будут интересовать только установившиеся вынужденные колебания, то есть "забывшие" свое начало). W - частота вынуждающей силы. Для нахождения уравнения установившихся колебаний необходимо найти решение дифференциального уравнения:

Общее решение этого неоднородного дифференциального уравнения представляет собой, как известно из теории дифференциальных уравнений, сумму общего решения однородного уравнения и любого частного решения неоднородного. Общее решение однородного уравнения нам известно, это - уравнение затухающих колебаний. Оно нас не интересует, так как при оно исчезает. В качестве частного решения неоднородного уравнения выберем очевидное - мы знаем, что вынужденные установившиеся колебания совершаются с частотой вынуждающей силы. Поэтому нашим искомым решением будет являться:

где А - амплитуда вынужденных колебаний, j۪ - сдвиг фаз между смещением и приложенной силой.

Получившиеся колебания подчиняются закону синуса (или косинуса), то есть являются синусоидальными или гармоническими. Но это не свободные колебания в системе без трения; здесь вынуждающая сила постоянно поставляет энергию в систему, в точности компенсирующую потери на преодоление сил трения.

Необходимо теперь найти амплитуду вынужденных колебаний и сдвиг фаз. Для этого необходимо подставить выражение для х в дифференциальное уравнение вынужденных колебаний. Обратите внимание, что необходимо найти два неизвестных из одного уравнения. Это возможно, если в процессе вычислений воспользоваться дополнительным (очевидным в процессе выкладок) условием. Попытайтесь проделать это.

Для амплитуды и сдвига фаз получаются следующие выражения:

здесь w 0 - частота свободных (незатухающих) колебаний маятника; b - коэффициент затухания.

Обратите внимание, что амплитуда вынужденных колебаний зависит от соотношения частоты вынуждающей силы и собственной частоты маятника. Максимальное значение амплитуды получается, если

Частота называется резонансной частотой , а достижение максимума амплитуды колебаний при изменении частоты называется явлением резонанса . График зависимости А (W) носит название резонансной кривой . Обратите внимание, что резонансная частота механических колебаний зависит от коэффициента затухания (а с ним и от коэффициента силы трения). Если силы трения отсутствуют, амплитуда колебаний стремится к бесконечности.

Помимо поведения амплитуды при резонансной частоте рассмотрим ещё два предельных случая: и

В первом мы получим обычное статическое смещение маятника под действием постоянной силы F 0 (статическое растяжение пружины):

Во втором случае амплитуда равна нулю: инерция маятника не может успевать реагировать на бесконечную частоту.

Зависимость сдвига фаз от соотношения частот представлена на рисунке. Сдвиг фаз между смещением и вынуждающей силой обусловлен инерцией маятника.



Предыдущая статья: Следующая статья:

© 2015 .
О сайте | Контакты
| Карта сайта