Решение неравенств третьей степени с одной переменной. Что такое неравенства с переменными? Неравенства с одной переменной

УРОК: «РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ»

Предмет: Алгебра
Тема: Решение неравенств с одной переменной

Цели урока:

Образовательные:

организовать деятельность учащихся по восприятию, осмыслению и первичному закреплению таких понятий как решение неравенств с одной переменной, равносильное неравенство, решить неравенство; проверить умение учащихся применять полученные знания и навыки на прошлых уроках для решения поставленных задач на данном уроке.

Воспитательные:

развивать интерес к математике путем использования в практике ИКТ; воспитывать познавательные потребности учащихся; формировать такие личные качества как ответственность, настойчивость в достижении цели, самостоятельность.

Ход урока

I. Организационный момент

II. Проверка домашнего задания (Актуализация опорных знаний)

1. Используя координатную прямую, найдите пересечение промежутков: а) (1;8) и (5;10); б) (-4;4) и [-6;6]; в) (5;+∞) и [-∞;4]

Ответ: а) (1;5); б) (-4;4); в) пересечений нет

2. Запишите промежутки, изображенные на рисунке:

2)

3)

Ответ: 1) (2; 6); б) (-1;7]; в) .

Пример3 , решим неравенство 3(х-1)<-4+3х.

Раскроем скобки в левой части неравенства: 3х-3<-4+3х.

Перенесем с противоположными знаками слагаемое 3х из правой части в левую, а слагаемое -3 из левой части в правую и приведем подобные члены: 3х-3х<-4+3,

Как видим, данное числовое неравенство не является верным ни при каких значениях х. Значит, наше неравенство с одной переменной не имеет решения.

Тренажер

Решите неравенство и отметьте его решение:

f) 7x-2,4<0,4;

h) 6b-1<12-7b;

i) 16x-44>x+1;

k) 5(x-1)+7≤1-3(x+2);

l) 6y-(y+8)-3(2-y)>2.

Ответ: a) (-8; +∞); b) [-1,5; +∞); c) (5; +∞); d) (-∞; 3); e) (-∞; -0,25); f) (-∞; 0,4); g) [-5; +∞); h) (-∞; 1); i) (3; +∞); j) ; l) (2; +∞).

IV. Выводы

Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство. Решить неравенство – значит найти все его решения или доказать, что решений нет. Неравенства, имеющие одни и те же решения, называются равносильными. Неравенства, не имеющие решений, также считаются равносильными. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный. В остальных случаях он остается прежний.

V. Итоговое тестирование

1) Решением неравенства с одной переменной называется…

а) значение переменной, которое обращает его в верное неравенство;

б) значение переменной, которое обращает его в верное числовое

неравенство;

в) переменная, которая обращает его в верное числовое неравенство.

2) Какие из чисел являются решением неравенства 8+5у>21+6у:

а) 2 и 5 б) -1 и 8 в) -12 и 1 г) -15 и -30 ?

3) Укажите множество решений неравенства 4(х+1)>20:

а) (- ∞; 4); б) (4; +∞); в) " title="Rendered by QuickLaTeX.com">

можно изобразить так:

1) Неизвестные переносим в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

2) Если число перед иксом не равно нулю (a-c≠0), обе части неравенства делим на a-c.

Если a-c>0, знак неравенства не изменяется:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Если a-c<0, знак неравенства изменяется на противоположный:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Если a-c=0, то это — частный случай. Частные случаи решения линейных неравенств рассмотрим отдельно.

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Это — линейное неравенство. Переносим неизвестные в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. Так как -2<0, знак неравенства изменяется на противоположный:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Так как , 10 на числовой прямой отмечаем выколотой точкой. , на минус бесконечность.

Так как неравенство строгое и точка выколотая, 10 записываем в ответ с круглой скобкой.

Это — линейное неравенство. Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками:

Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. Так как 10>

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Так как неравенство нестрогое, -2,3 на числовой прямой отмечаем закрашенной точкой. Штриховка от -2,3 идёт вправо, на плюс бесконечность.

Так как неравенство строгое и точка закрашенная, -2,3 в ответ записываем с квадратной скобкой.

Это — линейное неравенство. Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком.

Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. Поскольку 3>0, знак неравенства при этом не изменяется:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Так как неравенство строгое, x=2/3 на числовой прямой изображаем выколотой точкой.

Так как неравенство строгое и точка выколотая, в ответ 2/3 записываем с круглой скобкой.

Если в школьном курсе математики и алгебры отдельно выделить тему «неравенства», то основную часть времени постигаются азы работы с неравенствами , которые содержат в своей записи переменную. В данной статье мы разберем, что такое неравенства с переменными, скажем, что называют их решением, а также разберемся, как записываются решения неравенств. Для пояснения будем приводить примеры и необходимые комментарии.

Навигация по странице.

Что такое неравенства с переменными?

Например, если неравенство не имеет решений, то так и пишут «нет решений» или используют знак пустого множества ∅.

Когда общим решением неравенства является одно число, то его и так и записывают, к примеру, 0 , −7,2 или 7/9 , а иногда еще заключают в фигурные скобки.

Если решение неравенства представляется несколькими числами и их количество невелико, то их просто перечисляют через запятую (или через точку с запятой), или записывают через запятую в фигурных скобках. Например, если общее решение неравенства с одной переменной составляют три числа −5 , 1,5 и 47 , то записывают −5 , 1,5 , 47 или {−5, 1,5, 47} .

А для записи решений неравенств, имеющих бесконечное множество решений используют как принятые обозначения множеств натуральных, целых, рациональных, действительных чисел вида N , Z , Q и R , обозначения числовых промежутков и множеств отдельных чисел, простейшие неравенства, так и описание множества через характеристическое свойство, и все не названные способы. Но на практике наиболее часто пользуются простейшими неравенствами и числовыми промежутками. Например, если решением неравенства является число 1 , полуинтервал (3, 7] и луч , ∪ ; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.

Значение переменной х из множества Х , при котором неравенство обращается в истинное числовое неравенство, называется его решением. Решить неравенство - это значит найти множество его решений.

В основе решения неравенств с одной переменной лежит понятие равносильности.

Два неравенства называются равносильными, если их множества решений равны.

Теоремы о равносильности неравенств и следствия из них аналогичны соответствующим теоремам о равносильности уравнений. При их доказательстве используются свойства истинных числовых неравенств.

Теорема 1. Пусть неравенство f (x ) > g (x ) задано на множестве Х и h (x ) - выражение, определенное на том же множестве. Тогда неравенства f (x ) > g (x ) и f (x ) + h (x ) > g (x ) + h (x ) равносильны на множестве Х .

Из этой теоремы вытекают следствия, которые часто используют при решении неравенств:

1) Если к обеим частям неравенства f (x ) > g (x ) прибавить одно и то же число d , то получим неравенство f (x ) + d > g (x ) + d , равносильное исходному.

2) Если какое-либо слагаемое ( или выражение с переменной) перенести из одной части неравенства в другую, поменяв знак слагаемого на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.

Теорема 2. Пусть неравенство f (x ) > g (x ) задано на множестве Х и h (x х из множества Х выражение h (x ) принимает положительные значения. Тогда неравенства f (x ) > g (x ) и f (x ) × h (x ) > g (x ) × h (x ) равносильны на множествеХ .

Из этой теоремы вытекает следствие: если обе части неравенства f (x ) > g (x ) умножить на одно и то же положительное число d , то получим неравенство f (x ) × d > g (x ) × d , равносильное данному.

Теорема 3. Пусть неравенство f (x ) > g (x ) задано на множестве Х и h (x ) - выражение, определенное на том же множестве, и для всех х из множества Х выражение h (x ) принимает отрицательные значения. Тогда неравенства f (x ) > g (x ) и f (x ) × h (x ) < g (x ) × h (x ) равносильны на множестве Х .

Из этой теоремы вытекает следствие: если обе части неравенства f (x ) > g (x ) умножить на одно и то же отрицательное число d и знак неравенства поменять на противоположный, то получим неравенство f (x ) × d < g (x ) × d , равносильное данному.

Задача. Является ли число х = 5 решением неравенства 2х + 7 > 10 - х, х Î R ? Найти множество решений этого неравенства.

Решение. Число х = 5 является решением неравенства
2х + 7 > 10 - х , так как 2×5 + 7 > 10 - 5 - истинное числовое неравенство. А множество его решений - это промежуток (1; ¥), который находят, выполняя преобразование неравенства 2х + 7 > 10 - х Þ 3х > 3 Þ х > 1.

Задача. Решить неравенство 5х - 5 < 2х + 16 и обосновать все преобразования, которые будут выполняться в процессе решения.

Решение.