Сокол-Кутыловский О.Л.

О силах гравитационного взаимодействия

Если спросить любого студента или профессора физического или механико-математического факультетов любого университета о силах гравитационного взаимодействия, казалось бы, самого изученного из всех известных силовых взаимодействий, то все, что они смогут, – это написать формулы для силы Ньютона и для центробежной силы, что-то припомнят о непонятной силе Кориолиса и о существовании неких таинственных гироскопических сил. И все это притом, что все гравитационные силы можно получить из общих принципов классической физики.

1. Что известно о гравитационных силах

1.1. Известно, что сила, возникающая между телами в гравитационном взаимодействии, прямо пропорционально массе этих тел и обратно пропорционально квадрату расстояния между ними (закон всемирного тяготения или закон Ньютона):

где G» 6.6720Ч 10 -11 НЧ м 2Ч кг -2 - гравитационная постоянная, m , M - массы взаимодействующих тел и r - кратчайшее расстояние между центрами масс взаимодействующих тел. Полагая, что тело массой М на расстоянии r создает гравитационное поле ускорений, направленное к его центру масс,

силу (1), действующую на тело массой m , представляют также в виде:

где w – угловая скорость вращения тела вокруг оси, не проходящей через центр масс тела, v – скорость прямолинейного движения тела и r – радиальный вектор, соединяющий ось вращения с частицей или с центром масс вращающегося тела. Первое слагаемое соответствует гравитационной силе тяготения (1), второе слагаемое в формуле (3) называют силой Кориолиса, а третье слагаемое – центробежной силой. Сила Кориолиса и центробежная сила считаются фиктивными, зависящими от системы отсчета , что абсолютно не соответствует опыту и элементарному здравому смыслу. Как можно считать силу фиктивной, если она может совершать реальную работу? Очевидно, что фиктивными являются не эти физические силы, а имеющиеся в настоящее время знания и представления об этих силах.

Происхождение численного коэффициента «2» в силе Кориолиса сомнительно, так как этот коэффициент получен для случая, когда мгновенная скорость точек тела во вращающейся системе отсчета совпадает со скоростью движущегося тела или направлена против нее, то есть при радиальном направлении силы Кориолиса . Второй случай, когда скорость тела ортогональна мгновенной скорости точек вращающейся системы отсчета, в не рассмотрен. По методу, изложенному в , величина силы Кориолиса во втором случае оказывается равной нулю, в то время как при заданных угловой и линейной скоростях она должна быть одинакова.

1.3. Угловая скорость является аксиальным вектором, то есть характеризуется некоторой величиной и направлена вдоль единственной выделенной оси. Знак направления угловой скорости определяется по правилу правого винта. Угловую скорость вращения определяют, как изменение угла поворота в единицу времени, ω(t )=¶ φ/¶ t . В этом определении φ(t ) – периодическая функция времени с периодом 2π радиан. В то же время угловая скорость является обратной функцией времени. Это следует, в частности, из ее размерности. По этим причинам производная угловой скорости по времени: ¶ ω/¶ t=- ω 2 . Производная угловой скорости по времени соответствует аксиальному вектору углового ускорения. Согласно условному определению, данному в физическом энциклопедическом словаре, аксиальный вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения, причем в ту же сторону, что и угловая скорость, если вращение ускоренное, и против угловой скорости, если вращение замедленное.

2. Гравитационные силы, действующие на центр масс тела

Гравитационные и механические силы различаются между собой по характеру взаимодействия: при «контактном» взаимодействии тел возникают механические силы, а при дистанционном гравитационном взаимодействии тел - гравитационные силы.

2.1. Определим все гравитационные силы, действующие на центр масс материального тела. Вращение тела вокруг собственной оси, проходящей через его центр масс, рассматривать пока не будем. Из общих принципов механики известно, что сила возникает при изменении мгновенного импульса тела. Поступим подобным образом как при определении сил, связанных с прямолинейным движением тела, так и при определении сил, связанных с его вращением относительно внешней оси:

или в развернутом виде:

где r =r ·[cos(ωt)· x + sin(ωt)·y ], x и y – единичные векторы в направлении соответствующих осей координат, r – модуль радиального вектора r , r 1 =r /r – единичный вектор в направлении радиального вектора r , t – время, а ось координат z совпадает с осью вращения. Величина производной единичного вектора r 1 по времени, ¶ r 1 /¶ t=ω·r 1^ , где r 1^ – единичный вектор, лежащий в плоскости вращения и ортогональный радиальному вектору r (Рис. 1).

Принимая во внимание возможные изменения радиального вектора, в соответствии с уравнением (7), формула (6) приобретает вид :

Рис. 1. Взаимное расположение радиального вектора r , угловой скоростиω и мгновенной скоростиv m тела массой m , в системе координат (x , y , z ) с осью вращения, направленной по оси z . Единичный вектор r 1 =r /r ортогонален единичному вектору r 1^ .

2.2. Все силы, входящие в уравнение (8), равноправны и складываются по правилу сложения векторов. Сумму сил (8) можно представить в виде четырех слагаемых:

F G =F a + F ω1 + F ω2 +F ω3 .

Сила F а возникает при прямолинейном ускоренном движении тела или при гравитационном статическом взаимодействии тела с другим телом. Сила F ω1 соответствует силе Кориолиса для случая, когда материальное тело движется во вращающейся системе в радиальном направлении (по радиусу вращения). Эта сила направлена в сторону мгновенной скорости тела или против нее. Сила F ω2 – это сила, действующая на любую точку вращающегося тела. Ее называют центробежной силой, но эту же силу называют силой Кориолиса, если тело во вращающейся системе перемещается по направлению мгновенной скорости, не изменяя величину радиуса вращения. Сила F ω2 всегда направлена радиально. Учитывая равенство ¶ r 1 /¶ t=ω·r 1^ , и направление результирующего вектора в векторном произведении, получаем, что при вращении каждой точки тела с угловой скоростью ω на нее действует сила F ω2 =m ·ω 2 ·r , что совпадает с центробежной силой в формуле (3).

Сила F ω3 – это сила инерции вращательного движения . Сила инерции вращательного движения возникает при изменении угловой скорости вращающейся системы и связанных с нею тел и направлена по вектору мгновенной скорости тела при dw /dt <0 и против вектора мгновенной скорости тела при dw /dt >0. Она возникает только при переходных процессах, а при равномерном вращении тела эта сила отсутствует. Направление гравитационной силы инерции вращательного движения

(9)

показано на Рис. 2. Здесь r – радиальный вектор, соединяющий по кратчайшему пути ось вращения с центром масс вращающегося тела, ω – аксиальный вектор угловой скорости.

Рис. 2. Направление гравитационной силы инерции вращательного движения, F ω3 , при перемещении тела из точки 1 к точке 2 при dw / dt <0; r – радиальный вектор, соединяющий ось вращения с центром масс движущегося тела; F T – сила притяжения или сила натяжения каната. Центробежная сила не показана.

Векторная сумма сил F ω1 и F ω2 создает результирующую силу (силу Кориолиса F K ) при движении тела в произвольном направлении во вращающейся системе:

3. Гравитационные и механические силы, возникающие при повороте оси вращения тела

Чтобы определить все гравитационные силы, действующие не только на центр масс, но и на любую другую точку материального тела, в том числе возникающие при повороте оси вращения этого тела вокруг другой оси, необходимо вернуться к формуле (5).

Общая формула для всех гравитационных и механических сил, полученная ранее, остается в силе, но до сих пор все полученные силы считались приложенными к центру масс тела. Влияние поворота собственной оси вращения на отдельные точки тела, не совпадающие с центром масс, не принималось во внимание. Тем не менее, полученная ранее из общих принципов механики формула (5) содержит в себе все силы, действующие на любую точку вращающегося тела, в том числе силы, возникающие при пространственном повороте собственной оси вращения этого тела. Поэтому из формулы (5) можно вывести в явном виде уравнение для силы, действующей на произвольную точку вращающегося материального тела при повороте его собственной оси вращения на некоторый угол в пространстве. Для этого представим уравнение (5) в следующем виде:

где Ѕ rґ w Ѕ – модуль вектора rґ w , а (rґ w ) 1 – единичный вектор, направленный по вектору rґ w . Как было показано, производная по времени от вектора rґ w при изменении величины этого вектора дает гравитационные и механические силы вращения, из которых получаются центробежная сила, сила Кориолиса и сила инерции вращательного движения:

где пятое слагаемое – это и есть сила, а точнее, – это множество сил, возникающих при пространственном повороте оси вращения тела во всех точках этого тела, причем сила, возникающая в каждой точке, зависит от расположения этой точки. В краткой записи полную сумму всех гравитационных сил удобно представить в виде:

,

(15)

где F a – сила Ньютона с гравитационным вектором ускорения a , Fw 1 – Fw 3 – силы вращательного движения с гравитационным вектором угловой скорости w и е Fw W i – множество сил, возникающих при повороте оси вращения тела во всех n точках, на которые равномерно разбито тело.

Представим пятое слагаемое в развернутом виде. По определению радиальный вектор r ортогонален вектору угловой скорости w , поэтому модуль вектора rґ w равен произведению модулей составляющих его векторов:

Производная по времени от единичного вектора (rґ w ) 1 при изменении его по направлению на угол j дает другой единичный вектор, r 1 , расположенный параллельно плоскости поворота S (x, z ) и ортогональный вектору rґ w (Рис. 3). Причем у него в качестве сомножителя появляется коэффициент, численно равный производной по времени от угла поворота, W =¶ j /¶ t :

.

(16)

Поскольку при повороте оси вращения движение точек материального тела является трехмерным, а поворот оси происходит в некоторой плоскости S (x, z ), то модуль единичного вектора относительно плоскости поворота не постоянен, и при вращении изменяется в пределах от нуля до единицы. Поэтому при дифференцировании такого единичного вектора должна учитываться его величина относительно плоскости, в которой происходит поворот этого единичного вектора. Длиной единичного вектора (rґ w ) 1 относительно плоскости поворота S (x, z ) является проекция этого единичного вектора на плоскость поворота. Производная единичного вектора (rґ w ) 1 в плоскости поворота S (x, z ) может быть представлена следующим образом:

,

(17)

где a – угол между векторомrґ w и плоскостью поворота S (x, z ).

Сила, действующая на любую точку вращающегося тела при повороте его оси вращения, приложена не к центру масс этого тела, а непосредственно к каждой данной точке. Поэтому тело необходимо разбить на множество точек, и считать, что каждая такая точка имеет массу m i . Под массой данной точки тела, m i , подразумевается масса, сосредоточенная в малом по отношению ко всему телу объеме V i так, что:

При равномерной плотности тела r масса , а точкой приложения силы является центр масс данного объема V i , занимаемого частью материального тела массой m i . Сила, действующая на i -тую точку вращающегося тела при повороте его оси вращения, приобретает следующий вид:

где m i – масса данной точки тела, r i – кратчайшее расстояние от данной точки (в которой определяется сила) до оси вращения тела, w – угловая скорость вращения тела, W – модуль угловой скорости поворота оси вращения, a – угол между векторомrґ w и плоскостью поворота S (x, z ), а r 1 – единичный вектор, направленный параллельно плоскости поворота и ортогональный вектору мгновенной скорости rґ w .

Рис. 3. Направление силы Fw W , возникающей при повороте оси вращения тела в плоскости S (x, z) с угловой скоростью поворота W . В точке а с радиус-вектором, исходящим из точки с оси вращения, сила Fw W =0; в точке b с радиус-вектором, исходящим из центра тела, сила Fw W имеет максимальную величину.

Сумма всех сил (18), действующих на все n точек, на которые равномерно разбито тело,

(19)

создает момент сил, поворачивающих тело в плоскости Y (y, z ), ортогональной плоскости поворота S (x, z ) (Рис. 4).

Из опытов с вращающимися телами само наличие сил (19) известно, но они не была четко определены. В частности, в теории гироскопа силы, действующие на опоры подшипников гироскопа, названы «гироскопическими» силами, но происхождение этих физических сил не раскрывается. В гироскопе при повороте его оси вращения на каждую его точку тела действует сила (18), полученная здесь из общих принципов классической физики и выраженная количественно в виде конкретного уравнения.

Из свойства симметрии следует, что каждой точке тела соответствует другая точка, расположенная симметрично относительно оси вращения, в которой действует такая же по величине, но имеющая противоположное направление, сила (18). Совместное действие таких симметричных пар сил при повороте оси вращающегося тела создает момент сил, поворачивающий это тело в третьей плоскости Y (y, z ), которая ортогональна плоскости поворота S (x, z ) и плоскостям L (x, y) , в которых происходит вращение точек тела:

Рис. 4. Возникновение момента сил под действием пар сил в точках тела, расположенных симметрично относительно центра масс. 1 и 2 – две симметричные точки вращающегося с угловой скоростью w тела, в которых, при повороте оси вращения тела с угловой скоростью W , возникают равные по величине силы Fw W 1 и Fw W 2 , соответственно.

При этом для единичных векторов угловых скоростей, характеризующих их направление, в любой из точек тела, не совпадающих с центром симметрии (центром масс), выполняется векторное тождество:

где Q 1 – единичный аксиальный вектор угловой скорости, возникающей в момент действия силы (18), w 1 – единичный аксиальный вектор угловой скорости вращения тела и W 1 – единичный аксиальный вектор угловой скорости поворота оси вращения (Рис. 2). Так как ось поворота, совпадающая с вектором угловой скорости поворота W , всегда ортогональна оси вращения, совпадающей с вектором угловой скорости вращения тела, w , то вектор угловой скорости Q всегда ортогонален векторам w и W : .

При помощи поворота системы координат в пространстве задачу нахождения силы (18) всегда можно свести к случаю, аналогичному рассмотренному на Рис. 3. Могут измениться только направление аксиального вектора угловой скорости w и направление аксиального вектора скорости поворота оси вращения, W ,и, как следствие их изменения, может измениться на противоположное направление силы Fw W .

Взаимосвязь абсолютных величин угловых скоростей при свободном вращении тела по трем взаимно ортогональным осям можно найти, применив закон сохранения энергии вращательного движения. В простейшем случае для однородного тела массой m в форме шара с радиусом r имеем:

,

откуда получаем:

.

4. Полная сумма первичных гравитационных и механических сил, действующих на тело

4.1. Принимая во внимание силы (19), возникающие при повороте оси вращения тела, полное уравнение для суммы всех гравитационных сил, действующих на любую точку материального тела, участвующего в прямолинейном и вращательном движении, в том числе с пространственным поворотом собственной оси вращения, имеет следующий вид :

(22)

где a – вектор прямолинейного ускорения тела массой m , r – радиальный вектор, соединяющий ось вращения тела с точкой приложения силы, r – модуль радиального вектораr ,r 1 – единичный вектор, совпадающий по направлению с радиус-вектором r , w – угловая скорость вращения тела, Ѕ rґ w Ѕ – модуль вектора мгновенной скорости rґ w , (rґ w ) 1 – единичный вектор, совпадающий по направлению с вектором rґ w , r 1^ – единичный вектор, расположенный в плоскости вращения и ортогональный вектору r 1 , W – модуль угловой скорости поворота оси вращения, r 1 – единичный вектор, направленный параллельно плоскости поворота и ортогональный вектору мгновенной скорости rґ w , a – угол между вектором rґ w и плоскостью поворота, m i – масса i -той точки тела, сосредоточенная в малом объеме тела V i , центр которого является точкой приложения силы, и n – число точек, на которые разбито тело. В формуле (22) для второй, третьей и четвертой сил знак может быть взят положительным, так как эти силы в общей формуле находятся под знаком абсолютной величины. Знаки сил определяются с учетом направления каждой конкретной силы. С помощью сил, входящих в формулу (22), можно описать механическое движение любой точки материального тела при его движении по произвольной траектории, включая пространственный поворот его оси вращения.

4.2. Итак, в гравитационном взаимодействии имеется всего пять различных физических сил, действующих на центр масс и на каждую из точек материального тела при поступательном и вращательном движении этого тела, и только одна из этих сил (сила Ньютона) может действовать на неподвижное тело со стороны другого тела. Знание всех сил гравитационного взаимодействия позволяет понять причину устойчивости динамических механических систем (например, планетарных), а с учетом электромагнитных сил – объяснить устойчивость атома.

Литература:

1. Ландау Л. Д., Ахиезер А. И., Лифшиц Е. М. Курс общей физики. Механика и молекулярная физика. — М.: Наука, 1969.

2. Савельев И.В. Курс общей физики. Т.1. Механика. Молекулярная физика. 3-е изд., испр. — М.: Наука, 1987.

3. Сокол-Кутыловский О.Л. Гравитационные и электромагнитные силы. Екатеринбург, 2005 г.

Сокол-Кутыловский О.Л., О силах гравитационного взаимодействия // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.13569, 18.07.2006

Гравита́ция (всеми́рное тяготе́ние, тяготе́ние) (от лат. gravitas - «тяжесть») - дальнодействующее фундаментальное взаимодействие в природе, которому подвержены все материальные тела. По современным данным, является универсальным взаимодействием в том смысле, что, в отличие от любых других сил, всем без исключения телам независимо от их массы придаёт одинаковое ускорение . Главным образом гравитация играет определяющую роль в космических масштабах. Термин гравитация используется также как название раздела физики , изучающего гравитационное взаимодействие. Наиболее успешной современной физической теорией в классической физике , описывающей гравитацию, является общая теория относительности , квантовая теория гравитационного взаимодействия пока не построена.

Гравитационное взаимодействие

Гравитационное взаимодействие - одно из четырёх фундаментальных взаимодействий в нашем мире. В рамках классической механики , гравитационное взаимодействие описывается законом всемирного тяготения Ньютона, который гласит, что сила гравитационного притяжения между двумя материальными точками массы m 1 и m 2 , разделёнными расстоянием R , пропорциональна обеим массам и обратно пропорциональна квадрату расстояния - то есть

Здесь G - гравитационная постоянная , равная примерно м³/(кг с²). Знак минус означает, что сила, действующая на тело, всегда равна по направлению радиус-вектору, направленному на тело, то есть гравитационное взаимодействие приводит всегда к притяжению любых тел.

Закон всемирного тяготения - одно из приложений закона обратных квадратов, встречающегося так же и при изучении излучений (см. например, Давление света), и являющимся прямым следствием квадратичного увеличения площади сферы при увеличении радиуса, что приводит к квадратичному же уменьшению вклада любой единичной площади в площадь всей сферы.

Наиболее простой задачей небесной механики является гравитационное взаимодействие двух тел в пустом пространстве. Эта задача решается аналитически до конца; результат её решения часто формулируют в виде трёх законов Кеплера .

При увеличении количества взаимодействующих тел задача резко усложняется. Так, уже знаменитая задача трёх тел (то есть движение трёх тел с ненулевыми массами) не может быть решена аналитически в общем виде. При численном же решении, достаточно быстро наступает неустойчивость решений относительно начальных условий. В применении к Солнечной системе , эта неустойчивость не позволяет предсказать движение планет на масштабах, превышающих сотню миллионов лет.

В некоторых частных случаях удаётся найти приближённое решение. Наиболее важным является случай, когда масса одного тела существенно больше массы других тел (примеры: солнечная система и динамика колец Сатурна). В этом случае в первом приближении можно считать, что лёгкие тела не взаимодействуют друг с другом и движутся по кеплеровым траекториям вокруг массивного тела. Взаимодействия же между ними можно учитывать в рамках теории возмущений , и усреднять по времени. При этом могут возникать нетривиальные явления, такие как резонансы , аттракторы , хаотичность и т. д. Наглядный пример таких явлений - нетривиальная структура колец Сатурна.

Несмотря на попытки описать поведение системы из большого числа притягивающихся тел примерно одинаковой массы, сделать этого не удаётся из-за явления динамического хаоса .

Сильные гравитационные поля

В сильных гравитационных полях, при движении с релятивистскими скоростями, начинают проявляться эффекты общей теории относительности :

• отклонение закона тяготения от ньютоновского;
• запаздывание потенциалов, связанное с конечной скоростью распространения гравитационных возмущений ; появление гравитационных волн;
• эффекты нелинейности: гравитационные волны имеют свойство взаимодействовать друг с другом, поэтому принцип суперпозиции волн в сильных полях уже не выполняется;
• изменение геометрии пространства-времени;
• возникновение черных дыр ;

Гравитационное излучение

Одним из важных предсказаний ОТО является гравитационное излучение , наличие которого до сих пор не подтверждено прямыми наблюдениями. Однако, имеются косвенные наблюдательные свидетельства в пользу его существования, а именно: потери энергии в двойной системе с пульсаром PSR B1913+16 - пульсаром Халса-Тейлора - хорошо согласуются с моделью, в которой эта энергия уносится гравитационным излучением.

Гравитационное излучение могут генерировать только системы с переменным квадрупольным или более высокими мультипольными моментами , этот факт говорит о том, что гравитационное излучение большинства природных источников направленное, что существенно усложняет его обнаружение. Мощность гравитационного l -польного источника пропорциональна (v / c ) 2l + 2 , если мультиполь имеет электрический тип, и (v / c ) 2l + 4 - если мультиполь магнитного типа , где v - характерная скорость движения источников в излучающей системе, а c - скорость света. Таким образом, доминирующим моментом будет квадрупольный момент электрического типа, а мощность соответствующего излучения равна:

где Q i j - тензор квадрупольного момента распределения масс излучающей системы. Константа (1/Вт) позволяет оценить порядок величины мощности излучения.

Начиная с 1969 года (эксперименты Вебера (англ.)) и до настоящего времени (февраль 2007) предпринимаются попытки прямого обнаружения гравитационного излучения. В США, Европе и Японии в настоящий момент существует несколько действующих наземных детекторов (GEO 600), а также проект космического гравитационного детектора республики Татарстан .

Тонкие эффекты гравитации

Помимо классических эффектов гравитационного притяжения и замедления времени, общая теория относительности предсказывает существование других проявлений гравитации, которые в земных условиях весьма слабы и их обнаружение и экспериментальная проверка поэтому весьма затруднительны. До последнего времени преодоление этих трудностей представлялось за пределами возможностей экспериментаторов.

Среди них, в частности, можно назвать увлечение инерциальных систем отсчета (или эффект Лензе-Тирринга) и гравитомагнитное поле . В 2005 году автоматический аппарат НАСА Gravity Probe B провёл беспрецедентный по точности эксперимент по измерению этих эффектов вблизи Земли, но его полные результаты пока не опубликованы.

Квантовая теория гравитации

Несмотря на более чем полувековую историю попыток, гравитация - единственное из фундаментальных взаимодействий, для которого пока ещё не построена непротиворечивая перенормируемая квантовая теория . Впрочем, при низких энергиях, в духе квантовой теории поля , гравитационное взаимодействие можно представить как обмен гравитонами - калибровочными бозонами со спином 2.

Стандартные теории гравитации

В связи с тем, что квантовые эффекты гравитации чрезвычайно малы даже в самых экстремальных экспериментальных и наблюдательных условиях, до сих пор не существует их надёжных наблюдений. Теоретические оценки показывают, что в подавляющем большинстве случаев можно ограничиться классическим описанием гравитационного взаимодействия.

Существует современная каноническая классическая теория гравитации - общая теория относительности , и множество уточняющих её гипотез и теорий различной степени разработанности, конкурирующих между собой (см. статью Альтернативные теории гравитации). Все эти теории дают очень похожие предсказания в рамках того приближения, в котором в настоящее время осуществляются экспериментальные тесты. Далее описаны несколько основных, наиболее хорошо разработанных или известных теорий гравитации.

• Гравитация есть не геометрическое поле, а реальное физическое силовое поле, описываемое тензором.

• Гравитационные явления следует рассматривать в рамках плоского пространства Минковского, в котором однозначно выполняются законы сохранения энергии-импульса и момента количества движения. Тогда движение тел в пространстве Минковского эквивалентно движению этих тел в эффективном римановом пространстве.

• В тензорных уравнениях для определения метрики следует учитывать массу гравитона, а также использовать калибровочные условия, связанные с метрикой пространства Минковского. Это не позволяет уничтожить гравитационное поле даже локально выбором какой-то подходящей системы отсчёта.

Как и в ОТО, в РТГ под веществом понимаются все формы материи (включая и электромагнитное поле), за исключением самого гравитационного поля. Следствия из теории РТГ таковы: чёрных дыр как физических объектов, предсказываемых в ОТО, не существует; Вселенная плоская, однородная, изотропная, неподвижная и евклидовая.

C другой стороны, существуют не менее убедительные аргументы противников РТГ, сводящиеся к следующим положениям:

Подобное имеет место и в РТГ, где второе тензорное уравнение вводится для учёта связи между неевклидовым пространством и пространством Минковского . Благодаря наличию безразмерного подгоночного параметра в теории Йордана - Бранса - Дикке, появляется возможность выбрать его так, чтобы результаты теории совпадали с результатами гравитационных экспериментов.

Источники и примечания

Литература

• Визгин В. П. Релятивистская теория тяготения (истоки и формирование, 1900-1915). М.: Наука, 1981. - 352c.
• Визгин В. П. Единые теории в 1-й трети ХХ в. М.: Наука, 1985. - 304c.
• Иваненко Д. Д. , Сарданашвили Г. А. Гравитация, 3-е изд. М.:УРСС, 2008. - 200с.

См. также

• Гравиметр

Ссылки

• Закон всемирного тяготения или «Почему Луна не падает на Землю?» - Просто о сложном

Сила гравитации

СИЛА

Основу механики составляет второй закон Ньютона. При математической записи закона справа пишут причину, а слева - следствие. Причиной является сила, а следствием сил - ускорение. Поэтому второй закон записывается так:

Ускорение тела пропорционально результирующей силе, действующей на тело, и обратно пропорционально массе тела. Направлено ускорение по направлению результирующей силы. Результирующая сила равна векторной сумме всех сил, действующих на тело: .

Реальные силы характеризуют меру взаимодействия двух тел. В дальнейшем мы будем рассматривать несколько видов взаимодействий - гравитационное, электрическое, молекулярное. Каждому виду взаимодействий соответствует своя сила. Если взаимодействий нет, то нет и сил. Поэтому, прежде всего необходимо выяснить, какие тела взаимодействуют друг с другом.

Сила гравитации

Тело брошено и летит над Землей (рис. 1.1). Имеется только

Рис. 1.1. Силы, действующие на брошенный камень (а ), ускорение камня (б ) и его скорость (в )

взаимодействие тела с Землей, которое характеризуется гравитационной силой притяжения (тяготения). По закону всемирного тяготения гравитационная сила направлена к центру Земли и равна

где М - масса Земли, т - масса тела, r - расстояние от центра Земли до тела, γ - гравитационная постоянная. Других взаимодействий нет, поэтому нет и других сил.

Чтобы найти ускорение камня, гравитационную силу из формулы 1.2 подставляют в формулу 1.1 второго закона Ньютона. Очевидно, ускорение камня всегда направлено вниз (рис. 1,1,б ). В то же время скорость летящего камня меняется и в каждой точке траектории направлена по касательной к этой траектории (рис. 1.1, в ).

Второй закон Ньютона связывает векторные величины - ускорение а и результирующую силу . Любой вектор задается величиной (модулем) и направлением. Можно задать вектор тремя проекциями на координатные оси, то есть тремя числами. При этом выбор осей определяется удобством. На рис. 1.1 ось х можно направить вниз. Тогда проекции ускорения будут равны а х , 0, 0. Если же ось х направить вверх, то проекции ускорения станут равны -а х ,0,0. В дальнейшем мы будем выбирать направление оси х так, чтобы оно совпадало по направлению с ускорением и для простоты будем писать не величину а х , а просто а. Итак, ускорение, создаваемое гравитационной силой, равно

(1.3)

Для тел, находящихся вблизи поверхности Земли, r » R (радиус Земли R = 6400 км), поэтому

м/с 2 (1.4)

Следовательно, в вертикальном направлении брошенное тело движется равноускоренно.

Из формулы 1.3 следует, что ускорение свободного падения не зависит от массы летящего (падающего) тела и определяется только массой планеты М и удаленностью тела от центра планеты r . Чем дальше от центра планеты находится тело, тем меньше ускорение свободного падения.

Гравитационное взаимодействие − самое слабое из четырёх фундаментальных взаимодействий. Согласно закону всемирного тяготения Ньютона сила гравитационного взаимодействия F g двух точечных масс m 1 и m 2 равна

G = 6.67·10 -11 м 3 · кг –1 ·см –2 − гравитационная постоянная, r − расстояние между взаимодействующими массами m 1 и m 2 . Отношение силы гравитационного взаимодействия между двумя протонами к силе кулоновского электростатического взаимодействия между ними равно 10 -36 .
Величина G 1/2 ·m называется гравитационным зарядом. Гравитационный заряд пропорционален массе тела. Поэтому для нерелятивистского случая согласно закону Ньютона ускорение, вызываемое силой гравитационного взаимодействия F g , не зависит от массы ускоряемого тела. Это утверждение составляет принцип эквивалентности .
Фундаментальное свойство гравитационного поля состоит в том, что оно определяет геометрию пространства-времени, в котором движется материя. По современным представлениям взаимодействие между частицами происхо­дит путём обмена между ними частицами – переносчиками взаимодействия. Считается, что переносчиком гравитационного взаимодействия является гравитон − частица со спином J = 2. Экспериментально гравитон не обнаружен. Квантовая теория гравитации пока не создана.

Рассмотрим гравитационное взаимодействие между однородной сферой радиуса R , и массы М и материальной точкой массы m , находящейся на расстоянии r от центра сферы (рис. 116).

В соответствии с вышеизложенной методикой расчета сил, необходимо разбить сферу на малые участки и просуммировать силы, действующие на материальную точку со стороны всех участков сферы. Такое суммирование впервые было проведено И. Ньютоном. Не вдаваясь в математические тонкости проведенного расчета, приведем окончательный результат: результирующая сила направлена к центру шара (что вполне очевидно), а величина этой силы определяется формулой

Иными словами, сила взаимодействия оказалась такой же, как сила взаимодействия двух точечных тел, одно из которых помещено в центр сферы и его масса равна массе сферы. Существенным в этом расчете оказалось то обстоятельство, что сила гравитационного взаимодействия обратно пропорциональна квадрату расстояния между точечными телами, при любой другой зависимости силы от расстояния приведенный результат расчета оказался бы неверным.
 Полученный вывод очевидным образом обобщается на взаимодействие точечного заряда и однородного шара. Для доказательства достаточно разбить шар на тонкие сферические слои.
 Аналогично можно показать, что сила гравитационного взаимодействия между двумя сферически симметричными телами равна силе взаимодействия между материальными точками таких же масс, расположенных в центрах тел. То есть при расчете гравитационного взаимодействия сферически симметричные тела можно считать материальными точками, расположенными в центрах этих тел, независимо от размеров самих тел и расстояния между ними (рис. 117).

Применим полученные результат к силе, действующей на все тела, находящиеся у поверхности Земли. Пусть тело массой m находится на высоте h над поверхностью Земли. С хорошей точностью форму Земли можно считать шарообразной, поэтому сила, действующая на тело со стороны Земли, направлена к ее центру, а модуль этой силы выражается формулой

Где М − масса Земли, R − ее радиус. Известно, что средний радиус Земли равен: R ≈ 6350 км . Если тело находится на небольших высотах по сравнению с радиусом Земли, то высотой подъема тела можно пренебречь и в этом случае сила притяжения оказывается равной:

Где обозначено

Гравитационная сила, действующая на все тела у поверхности Земли, называется силой тяжести. Векторы ускорения свободного падения в различных точках не параллельны, так как направлены к центру Земли. Однако если рассматривать точки, находящиеся на небольшой, по сравнению с радиусом Земли, высоте, то можно пренебречь различием в направлениях ускорения свободного падения и считать, что во всех точках рассматриваемой области вблизи поверхности Земли вектор ускорения постоянен как по величине, так и по направлению (рис. 118).

В рамках такого приближения мы будем называть силу тяжести однородной.

Введение

1. Небольшой экскурс в развитии теории гравитации

2. О природе гравитационных сил

3. Особенности гравитационного взаимодействия

Заключение

Список литературы

Приложение

Введение

Одна из аксиом современной науки гласит: любые материальные объекты во Вселенной связаны между собой силами всемирного тяготения. Благодаря этим силам формируются и существуют небесные тела – планеты, звезды, галактики и Метагалактика в целом. Форма и структура этих тел и материальных систем, а также относительное движение и взаимодействие определяются динамическим равновесием между силами их тяготения и силами инерции масс.

В течение всей своей жизни человек ощущает силу тяжести своего тела и предметов, которые ему приходится поднимать. Однако еще на полтора века раньше до Ньютона и Гука знаменитый польский ученый Николай Коперник писал о тяготении: «Тяжесть есть не что иное, как естественное стремление, которым отец Вселенной одарил все частицы, а именно соединяться в одно общее целое, образуя тела шаровидной формы». Аналогичные мысли высказывали и другие ученые. Найденные Ньютоном и Гуком формулы закона тяготения позволили с большой точностью рассчитать орбиты планет и создать первую математическую модель Вселенной. Вопрос о том, существует ли окружающий нас мир сам по себе или он является продуктом деятельности разума (принадлежащего некому высшему существу или каждому конкретному индивиду) составляет суть основного вопроса философии, классически формулируемом в виде дилеммы о первичности материи или сознания. Окружающие нас объекты природы имеют внутреннюю структуру, т.е. в свою очередь сами состоят из других объектов, (яблоко состоит из клеток растительной ткани, которая сложена из молекул, являющихся объединениями атомов и т.д.). При этом естественным образом возникают различные по сложности уровни организации материи: космический, планетарный, геологический, биологический, химический, физический.

Влияет или нет распределение всей материи во Вселенной на протекание физических процессов? Существует или нет какая-либо связь между гравитационным взаимодействием и принципом неопределённости? Конечно, в современной физике существуют и другие вопросы, на которые пока нет ответа.

Гравитация есть взаимодействие посредством обмена импульсами между разнонаправлено движущимися материальными системами.

Особенности гравитационного взаимодействия можно понять, изучая динамику наиболее удобной гравитирующей системы, – планеты Земля, основываясь на единстве законов, действующих в любой области физической реальности. Но необходимо изучать динамику Земли как двухполюсной активной (живой) системы, а не монолитной, пусть и слоисто-симметричной, абстрактной математической модели. Такая полярность сил тяготения обусловлена следующими факторами.

1. Универсальностью сил тяготения в природе. В физической реальности не существует иных взаимодействий, кроме гравитационных.

2. Еще в 1936–1937 годах возможность такого распределения плотности была получена Булленом, но расценена как неприемлемая.

3. Однозначным несоответствием прогнозируемых максимальных давлений в центре Земли существующему минимуму силы тяжести – единственной причине (согласно классической физике) возникновения высоких давлений.

4. Показателями разуплотнения внутренних оболочек могут служить избыток реального экваториального вздутия планеты (70 м) и несоответствие нормальных градиентов силы тяжести, соотносимых с разностью экваториального и полярного радиусов.

5. До настоящего времени не зафиксированы поперечные сейсмические волны, прошедшие сквозь внутреннее ядро.

6. Достаточно известные геофизикам оценки физического состояния вещества ядра по расчетам момента инерции пустотелой и сплошной моделей планеты, и сравнение его с данными анализа динамики системы «Земля – Луна» выполнены некорректно.

Хорошо известно, что основная масса Солнечной системы (около 99.8%) приходится на ее единственную звезду – Солнце. Суммарная масса планет составляет только 0.13% от общей. На остальные тела системы (кометы, спутники планет, астероиды и метеоритное вещество) приходится только 0.0003% массы. Из приведенных цифр следует, что законы Кеплера для движения планет в нашей системе должны выполняться очень хорошо.Весьма привлекательная теория совместного происхождения солнца и планет из единого газового облака, сжавшегося под действием гравитационных сил, оказывается в противоречии с наблюдаемым неравномерным распределением вращательного момента (момента импульса) между звездой и планетами.Обсуждаются модели происхождения планет в результате гравитационного захвата Солнцем тел, прилетающих из далекого космоса, эффекты, вызванные взрывом сверхновых. В большинстве «сценариев» развития солнечной системы существование пояса астероидов, так или иначе, связывается с его близким соседством с самой массивной планетой системы.
1. Небольшой экскурс в развитии теории гравитации Первоначально считалось, что Земля неподвижна, а движение небесных тел казалось весьма сложным. Галилей одним из первых высказал предположение о том, что наша планета не является исключением и тоже движется вокруг Солнца. Эта концепция была встречена достаточно враждебно. Тихо Браге решил не принимать участия в дискуссиях, а заняться непосредственными измерениями координат тел на небесной сфере. Позднее данные Тихо попали к Кеплеру, который нашел простое объяснение наблюдаемым сложным траекториям, сформулировав три законов движения планет (и Земли) вокруг Солнца:1. Планеты двигаются по эллиптическим орбитам, в одном из фокусов которых находится Солнце.2. Скорость движения планеты изменяется таким образом, что площади, заметаемые ее радиус-вектором за равные промежутки времени, оказываются равными.3. Периоды обращения планет одной Солнечной системы и большие полуоси их орбит связаны соотношением:Сложное движение планет на «небесной сфере», наблюдаемой с Земли, согласно Кеплеру, возникало вследствие сложения этих планет по эллиптическим орбитам с движением наблюдателя, совершающего вместе с Землей орбитальное движение вокруг солнца и суточное вращение вокруг оси планеты.Прямым доказательством суточного вращения Земли был эксперимент, поставленный Фуко, в котором плоскость колебаний маятника поворачивалась относительно поверхности вращающейся Земли.Законы Кеплера прекрасно описывали наблюдаемое движение планет, но не вскрывали причин, приводящих к такому движению (напр. вполне можно было считать, что причиной движения тел по Кеплеровым орбитам являлась воля какого-либо существа или стремление самих небесных тел к гармонии). Теория гравитации Ньютона указала причину, обусловившую движение космических тел по законам Кеплера, правильно предсказала и объяснила особенности их движения в более сложных случаях, позволила в одних терминах описать многие явления космического и земного масштабов (движение звезд в галактическом скоплении и падение яблока на поверхность Земли).Ньютон нашел правильное выражение для гравитационной силы, возникающей при взаимодействии двух точечных тел (тел, размеры которых малы по сравнению с расстоянием между ними), которое совместно со вторым законом в случае, если масса планеты много меньше массы звезды, приводило к дифференциальному уравнению, допускающему аналитическое решение. Не привлекая каких-либо дополнительных физических идей, чисто математическими методами можно показать, что при соответствующих начальных условиях достаточно малые начальные расстояние до звезды и скорость планеты) космическое тело будет совершать вращение по замкнутой, устойчивой эллиптической орбите в полном согласии с законами Кеплера (в частности второй закон Кеплера является прямым следствием закона сохранения момента импульса, выполняющегося при гравитационных взаимодействиях, поскольку момент силы относительно массивного центра всегда равен нулю). При достаточно высокой начальной скорости (ее значение зависит от массы звезды и начального положения) космическое тело движется по гиперболической траектории, в конце концов, уходя от звезды на бесконечно большое расстояние.Важным свойством закона гравитации является сохранение его математической формы в случае гравитационного взаимодействия неточечных тел в случае сферически-симметричного распределения их масс по объему. При этом роль играет расстояние между центрами этих тел.2. О природе гравитационных сил Сформулированный Ньютоном закон всемирного тяготения относится к фундаментальным законам классического естествознания. Методологической слабостью концепции Ньютона был его отказ обсуждать механизмы, приводящие к возникновению гравитационных сил («Я гипотез не измышляю»). После Ньютона неоднократно предпринимались попытки создания теории гравитации.Подавляющее большинство подходов связано с так называемыми гидродинамическими моделями гравитации, пытающимися объяснить возникновение сил тяготения механическими взаимодействиями массивных тел с промежуточной субстанцией, которой приписывается то или иное название: «эфир», «поток гравитонов», «вакуум» и т.д. Притяжение между телами возникает вследствие разряжения Среды, возникающей либо при ее поглощении массивными телами, либо при экранировке ими ее потоков. Все эти теории имеют общий существенный недостаток: правильно предсказывая зависимость силы от расстояния, они неизбежно приводят к еще одному ненаблюдаемому эффекту: торможению тел, движущихся относительно введенной субстанции.Существенно новый шаг в развитии концепции гравитационного взаимодействия был сделан А. Эйнштейном, создавшим общую теорию относительности.

Ньютон: «Тяготение к Солнцу составляется из тяготения к отдельным частицам его и при удалении от Солнца убывает в точности пропорционально квадратам расстояний даже до орбиты Сатурна, что следует из покоя афелиев планет и даже до крайних афелиев комет, если только эти афелии находятся в покое» . Эта особенность гравитационного взаимодействия, приложенная к условиям внутри тела и приводит к убывающей зависимости гравитационной силы с уменьшением расстояния от центра тела.