Золотое сечение — что это такое? Числа Фибоначчи — это? Что общего между спиралью ДНК, ракушкой, галактикой и Египетскими пирамидами? Числа Фибоначчи: практическое применение Число гармонии фибоначчи.

Окружающий мир, начиная с мельчайших невидимых частиц, и заканчивая далекими галактиками бескрайнего космоса, таит в себе много неразгаданных тайн. Однако над некоторыми из них уже приподнята завеса таинственности благодаря пытливым умам ряда ученых.

Одним из таких примеров является «золотое сечение» и числа Фибоначчи , составляющие его основу. Данная закономерность получила отображение в математическом виде и часто встречается в окружающей человека природе, еще раз исключая вероятность того, что она возникла в результате случая.

Числа Фибоначчи и их последовательность

Последовательностью чисел Фибоначчи называется ряд чисел, каждое из которых является суммой двух предыдущих:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 …

Особенностью этой последовательности являются числовые значения, которые получаются вследствие деления чисел этого ряда друг на друга.

Ряд чисел Фибоначчи имеет свои интересные закономерности:

В ряду чисел Фибоначчи, каждое число разделенное на следующее будет показывать значение, стремящееся к 0,618 . Чем дальше числа от начала ряда, тем точнее будет соотношение. К примеру, цифры взятые в начале ряда 5 и 8 будут показывать 0,625 (5/8=0,625 ). Если же взять числа 144 и 233 , то они покажут соотношение 0.618 .
В свою очередь, если в ряду чисел Фибоначчи разделить число на предыдущее, то результат деления будет стремится к 1,618 . Для примера использованы те же цифры, что оговаривались выше: 8/5=1,6 и 233/144=1,618 .
Число поделенное на следующее за ним через одно, будет показывать значение, приближающееся к 0,382 . И чем дальше от начала ряда взяты цифры, тем точнее значение соотношения: 5/13=0,385 и 144/377=0,382 . Деление цифр в обратном порядке будет давать результат 2,618 : 13/5=2,6 и 377/144=2,618 .

Используя вышеописанные методы расчета и увеличивая промежутки между цифрами можно вывести следующий ряд значений: 4.235, 2.618, 1.618, 0.618, 0.382, 0.236, который широко применяется в инструментах Фибоначчи на рынке форекс.

Золотое сечение или Божественная пропорция

Очень наглядно представляет «золотое сечение» и числа Фибоначчи аналогия с отрезком. Если отрезок АВ разделить точкой С в таком соотношении, чтобы соблюдалось условие:

АС/ВС=ВС/АВ, тогда это будет «золотое сечение»

ЧИТАЙТЕ ТАКЖЕ СЛЕДУЮЩИЕ СТАТЬИ:

Удивительно, но именно это соотношение прослеживается в ряду чисел Фибоначчи. Взяв несколько цифр из ряда, можно расчетом проверить, что это так. Например, такая последовательность чисел Фибоначчи …55, 89, 144 … Пусть число 144 является целым отрезком АВ, о котором упоминалось выше. Поскольку 144 является суммой двух предыдущих чисел, то 55+89=АС+ВС=144.

Деление отрезков покажет следующие результаты:

АС/ВС=55/89=0,618

ВС/АВ=89/144=0,618

Если принять отрезок АВ за целое, или за единицу, то АС=55 будет составлять 0,382 от этого целого, а ВС=89 будет равным 0,618.

Где встречаются числа Фибоначчи

Закономерную последовательность чисел Фибоначчи знали греки и египтяне еще задолго до самого Леонардо Фибоначчи. Такое название этот числовой ряд приобрел после того, как знаменитый математик обеспечил широкое распространение этого математического феномена в ученых рядах.

Важно отметить, что золотые числа Фибоначчи являются не просто наукой, а математическим отображением окружающего мира. Множество природных явлений, представителей растительного и животного мира имеет в своих пропорциях «золотое сечение». Это и спиралевидные завитки раковины, и расположение семян подсолнуха, кактусы, ананасы.

Спираль, пропорции ответвлений которой подчинены закономерностям «золотого сечения», лежит в основе образования урагана, плетения паутины пауком, формы многих галактик, переплетения молекул ДНК и множества других явлений.

Длина хвоста ящерицы к ее туловищу имеет соотношение 62 к 38. Отросток цикория, перед тем как выпустить листок, делает выброс. После того, как первый лист выпущен, происходит второй выброс перед выпуском второго листа, по силе равный 0,62 от условно принятой единицы силы первого выброса. Третий выброс равен 0,38, а четвертый - 0,24.

Для трейдера также большое значение имеет тот факт, что движение цены на рынке форекс часто подчинено закономерности золотых чисел Фибоначчи. На основе этой последовательность создан целый ряд инструментов, которые трейдер может использовать в своем арсенале

Часто используемый трейдерами инструмент « » может с высокой точностью показывать цели движения цены, а также уровни ее коррекции.

Давайте выясним, что общего между древнеегипетскими пирамидами, картиной Леонардо да Винчи «Мона Лиза», подсолнухом, улиткой, сосновой шишкой и пальцами человека?

Ответ на этот вопрос сокрыт в удивительных числах, которые были открыты итальянским математиком средневековья Леонардо Пизанским, более известным по именем Фибоначчи (род. ок. 1170 — умер после 1228) , итальянский математик . Путешествуя по Востоку, познакомился с достижениями арабской математики; способствовал передаче их на Запад.

После его открытия числа эти так и стали называться именем известного математика. Удивительная суть последовательности чисел Фибоначчи состоит в том, что каждое число в этой последовательности получается из суммы двух предыдущих чисел.

Итак, числа, образующие последовательность:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, …

называются «числами Фибоначчи», а сама последовательность — последовательностью Фибоначчи .

В числах Фибоначчи существует одна очень интересная особенность. При делении любого числа из последовательности на число, стоящее перед ним в ряду, результатом всегда будет величина, колеблющаяся около иррационального значения 1.61803398875… и через раз то пpевосходящая, то не достигающая его. (Прим. иррациональное число, т.е. число, десятичное представление которого бесконечно и не периодично)

Более того, после 13-ого числа в последовательности этот результат деления становится постоянным до бесконечности ряда… Именно это постоянное число деления в средние века было названо Божественной пропорцией, а ныне в наши дни именуется как золотое сечение, золотое сpеднее или золотая пропорция . В алгебpе это число обозначается гpеческой буквой фи (Ф)

Итак, Золотая пропорция = 1: 1,618

233 / 144 = 1,618

377 / 233 = 1,618

610 / 377 = 1,618

987 / 610 = 1,618

1597 / 987 = 1,618

2584 / 1597 = 1,618

Тело человека и золотое сечение

Художники, ученые, модельеры, дизайнеры делают свои расчеты, чертежи или наброски, исходя из соотношения золотого сечения. Они используют мерки с тела человека, сотворенного также по принципу золотой сечения. Леонардо Да Винчи и Ле Корбюзье перед тем как создавать свои шедевры брали параметры человеческого тела, созданного по закону Золотой пропорции.

Самая главная книга всех современных архитекторов справочник Э.Нойферта «Строительное проектирование» содержит основные расчеты параметров туловища человека, заключающие в себе золотую пропорцию.

Пропорции различных частей нашего тела составляют число, очень близкое к золотому сечению. Если эти пропорции совпадают с формулой золотого сечения, то внешность или тело человека считается идеально сложенными. Принцип расчета золотой меры на теле человека можно изобразить в виде схемы:

M/m=1,618

Первый пример золотого сечения в строении тела человека:
Если принять центром человеческого тела точку пупа, а расстояние между ступней человека и точкой пупа за единицу измерения, то рост человека эквивалентен числу 1.618.

Кроме этого есть и еще несколько основных золотых пропорции нашего тела:

* расстояние от кончиков пальцев до запястья до локтя равно 1:1.618;

* расстояние от уровня плеча до макушки головы и размера головы равно 1:1.618;

* расстояние от точки пупа до макушки головы и от уровня плеча до макушки головы равно 1:1.618;

* расстояние точки пупа до коленей и от коленей до ступней равно 1:1.618;

* расстояние от кончика подбородка до кончика верхней губы и от кончика верхней губы до ноздрей равно 1:1.618;

* расстояние от кончика подбородка до верхней линии бровей и от верхней линии бровей до макушки равно 1:1.618;

* расстояние от кончика подбородка до верхней линии бровей и от верхней линии бровей до макушки равно 1:1.618:

Золотое сечение в чертах лица человека как критерий совершенной красоты.

В строении черт лица человека также есть множество примеров, приближающихся по значению к формуле золотого сечения. Однако не бросайтесь тотчас же за линейкой, чтобы обмерять лица всех людей. Потому что точные соответствия золотому сечению, по мнению ученых и людей искусства, художников и скульпторов, существуют только у людей с совершенной красотой. Собственно точное наличие золотой пропорции в лице человека и есть идеал красоты для человеческого взора.

К примеру, если мы суммируем ширину двух передних верхних зубов и разделим эту сумму на высоту зубов, то, получив при этом число золотого сечения, можно утверждать, что строение этих зубов идеально.

На человеческом лице существуют и иные воплощения правила золотого сечения. Приведем несколько таких соотношений:

* Высота лица / ширина лица;

* Центральная точка соединения губ до основания носа / длина носа;

* Высота лица / расстояние от кончика подбородка до центральной точки соединения губ;

* Ширина рта / ширина носа;

* Ширина носа / расстояние между ноздрями;

* Расстояние между зрачками / расстояние между бровями.

Рука человека

Достаточно лишь приблизить сейчас вашу ладонь к себе и внимательно посмотреть на указательный палец, и вы сразу же найдете в нем формулу золотого сечения. Каждый палец нашей руки состоит из трех фаланг.

* Сумма двух первых фаланг пальца в соотношении со всей длиной пальца и дает число золотого сечения (за исключением большого пальца);

* Кроме того, соотношение между средним пальцем и мизинцем также равно числу золотого сечения;

* У человека 2 руки, пальцы на каждой руке состоят из 3 фаланг (за исключением большого пальца). На каждой руке имеется по 5 пальцев, то есть всего 10, но за исключением двух двухфаланговых больших пальцев только 8 пальцев создано по принципу золотого сечения. Тогда как все эти цифры 2, 3, 5 и 8 есть числа последовательности Фибоначчи:

Золотая пропорция в строении легких человека

Американский физик Б.Д.Уэст и доктор А.Л. Гольдбергер во время физико-анатомических исследований установили, что в строении легких человека также существует золотое сечение.

Особенность бронхов, составляющих легкие человека, заключена в их асимметричности. Бронхи состоят из двух основных дыхательных путей, один из которых (левый) длиннее, а другой (правый) короче.

* Было установлено, что эта асимметричность продолжается и в ответвлениях бронхов, во всех более мелких дыхательных путях. Причем соотношение длины коротких и длинных бронхов также составляет золотое сечение и равно 1:1,618.

Строение золотого ортогонального четырехугольника и спирали

Золотое сечение — это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.

В геометрии прямоугольник с таким отношением сторон стали называть золотым прямоугольником. Его длинные стороны соотносятся с короткими сторонами в соотношении 1,168: 1.

Золотой прямоугольник также обладает многими удивительными свойствами. Золотой прямоугольник обладает многими необычными свойствами. Отрезав от золотого прямоугольника квадрат, сторона которого равна меньшей стороне прямоугольника, мы снова получим золотой прямоугольник меньших размеров. Этот процесс можно продолжать до бесконечности. Продолжая отрезать квадраты, мы будем получать все меньшие и меньшие золотые прямоугольники. Причем располагаться они будут по логарифмической спирали, имеющей важное значение в математических моделях природных объектов (например, раковинах улиток).

Полюс спирали лежит на пересечении диагоналей начального прямоугольника и первого отрезаемого вертикального. Причем, диагонали всех последующих уменьшающихся золотых прямоугольников лежат на этих диагоналях. Разумеется, есть и золотой треугольник.

Английский дизайнер и эстетик Уильям Чарлтон констатировал, что люди считают спиралевидные формы приятными на вид и используют их вот уже тысячелетия, объяснив это так:

«Нам приятен вид спирали, потому что визуально мы с легкостью можем рассматривать ее.»

В природе

* Лежащее в основе строения спирали правило золотого сечения встречается в природе очень часто в бесподобных по красоте творениях. Самые наглядные примеры — спиралевидную форму можно увидеть и в расположении семян подсолнечника, и в шишках сосны, в ананасах, кактусах, строении лепестков роз и т.д.;

* Ботаники установили, что в расположении листьев на ветке, семян подсолнечника или шишек сосны со всей очевидность проявляется ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляется закон золотого сечения;

Всевышний Господь каждому Своему творению установил особую меру и придал соразмерность, что подтверждается на примерах, встречающихся в природе. Можно привести великое множество примеров, когда процесс роста живых организмов происходит в строгом соответствии с формой логарифмической спирали.

Все пружинки в спирали имеют одинаковую форму. Математики установили, что даже при увеличении размеров пружинок форма спирали остается неизменной. В математике нет более иной формы, которая обладала бы такими же уникальными свойствами как спираль.

Строение морских раковин

Ученые, изучавшие внутреннее и внешнее строение раковин мягкотелых моллюсков, обитающих на дне морей, констатировали:

«Внутренняя поверхность раковин безупречно гладкая, а внешняя вся покрыта шероховатостями, неровностями. Моллюск был в раковине и для этого внутренняя поверхность раковины должна была быть безупречно гладкой. Внешние углы-изгибы раковины увеличивают ее крепость, твердость и таким образом повышают ее прочность. Совершенство и поразительная разумность строения ракушки (улитки) восхищает. Спиральная идея раковин является совершенной геометрической формой и удивительна по своей отточенной красоте.»

У большинства улиток, которые обладают раковинами, раковина растет в форме логарифмической спирали. Однако нет сомнения, что эти неразумные существа не имеют представления не только о логарифмической спирали, но не обладают даже простейшими математическими знаниями, чтобы самим создать себе спиралевидную раковину.

Но тогда как же эти неразумные существа смогли определить и избрать для себя идеальную форму роста и существования в виде спиральной раковины? Могли ли эти живые существа, которых ученых мир называет примитивными формами жизни, рассчитать, что идеальной для их существования будет логарифмическая форму ракушки?

Конечно же нет, потому что такой замысел невозможно осуществить без наличия разума и знаний. Но таковым разумом не обладают ни примитивные моллюски, ни бессознательная природа, которую, правда, некоторые ученые называют создательницей жизни на земле(?!)

Пытаться объяснить происхождение подобной даже самой примитивной формы жизни случайным стечением неких природных обстоятельств по меньшей мере абсурдно. Совершенно ясно, что этот проект является осознанным творением.

Биолог Сэр Д`арки Томпсон этот вид роста морских раковин называет «форма роста гномов».

Сэр Томпсон делает такой комментарий:

«Нет более простой системы, чем рост морских ракушек, которые растут и расширяются соразмерно, сохраняя ту же форму. Раковина, что самое удивительное, растет, но никогда не меняет формы.»

Наутилус, размером в несколько сантиметров в диаметре, представляет собой самый выразительный пример гномового вида роста. С.Моррисон так описывает этот процесс роста наутилуса, спланировать который даже человеческим разумом представляется довольно сложным:

«Внутри раковины наутилуса есть множество отделов-комнат с перегородками из перламутра, причем сама раковина внутри представляет собой спираль, расширяющуюся от центра. По мере роста наутилуса в передней части ракушки нарастает еще одна комнатка, но уже больших размеров, чем предыдущая, а перегородки оставшейся позади комнатки покрываются слоем перламутра. Таким образом, спираль все время пропорционально расширяется.»

Приведем лишь некоторые типы спиралевидных раковин имеющих логарифмическую форму роста в соответствии с их научными названиями:
Haliotis Parvus, Dolium Perdix, Murex, Fusus Antiquus, Scalari Pretiosa, Solarium Trochleare.

Все обнаруженные ископаемые останки раковин также имели развитую спиральную форму.

Однако логарифмическая форма роста встречается в животном мире не только у моллюсков. Рога антилоп, диких козлов, баранов и прочих подобных животных также развиваются в виде спирали по законам золотой пропорции.

Золотое сечение в ухе человека

Во внутреннем ухе человека имеется орган Cochlea («Улитка»), который исполняет функцию передачи звуковой вибрации . Эта костевидная структура наполнена жидкостью и также сотворена в форме улитки, содержащую в себе стабильную логарифмическую форму спирали = 73º 43’.

Рога и бивни животных, развивающиеся в форме спирали

Бивни слонов и вымерших мамонтов, когти львов и клювы попугаев являют собой логарифмические формы и напоминают форму оси, склонной обратиться в спираль. Пауки всегда плетут свои паутины в виде логарифмической спирали. Строение таких микроорганизмов, как планктоны (виды globigerinae, planorbis, vortex, terebra, turitellae и trochida) также имеют форму спирали.

Золотое сечение в строении микромиров

Геометрические фигуры не ограничиваются только лишь треугольником, квадратом, пяти- или шестиугольником. Если соединить эти фигуры различным образом между собой, то мы получим новые трехмерные геометрические фигуры. Примерами этому служат такие фигуры как куб или пирамида. Однако кроме них существуют также другие трехмерные фигуры, с которыми нам не приходилось встречаться в повседневной жизни, и названия которых мы слышим, возможно, впервые. Среди таких трехмерных фигур можно назвать тетраэдр (правильная четырехсторонняя фигура), октаэдр, додекаэдр, икосаэдр и т.п. Додекаэдр состоит из 13-ти пятиугольников, икосаэдр из 20-и треугольников. Математики отмечают, что эти фигуры математически очень легко трансформируются, и трансформация их происходит в соответствии с формулой логарифмической спирали золотого сечения.

В микромире трехмерные логарифмические формы, построенные по золотым пропорциям, распространены повсеместно . К примеру, многие вирусы имеют трехмерную геометрическую форму икосаэдра. Пожалуй, самый известный из таких вирусов — вирус Adeno. Белковая оболочка вируса Адено формируется из 252 единиц белковых клеток, расположенных в определенной последовательности. В каждом углу икосаэдра расположены по 12 единиц белковых клеток в форме пятиугольной призмы и из этих углов простираются шипообразные структуры.

Впервые золотое сечение в строении вирусов обнаружили в 1950-хх гг. ученые из Лондонского Биркбекского Колледжа А.Клуг и Д.Каспар. 13 Первым логарифмическую форму явил в себе вирус Polyo. Форма этого вируса оказалась аналогичной с формой вируса Rhino 14.

Возникает вопрос, каким образом вирусы образуют столь сложные трехмерные формы, устройство которых содержит в себе золотое сечение, которые даже нашим человеческим умом сконструировать довольно сложно? Первооткрыватель этих форм вирусов, вирусолог А.Клуг дает такой комментарий:

«Доктор Каспар и я показали, что для сферической оболочки вируса самой оптимальной формой является симметрия типа формы икосаэдра. Такой порядок сводит к минимуму число связующих элементов… Большая часть геодезических полусферических кубов Букминстера Фуллера построены по аналогичному геометрическому принципу. 14 Монтаж таких кубов требует чрезвычайно точной и подробной схемы-разъяснения. Тогда как бессознательные вирусы сами сооружают себе столь сложную оболочку из эластичных, гибких белковых клеточных единиц.»

Вы слышали когда-нибудь, что математику называют «царицей всех наук»? Согласны ли вы с таким утверждением? Пока математика остается для вас набором скучных задачек в учебнике, вряд ли можно прочувствовать красоту, универсальность и даже юмор этой науки.

Но есть в математике такие темы, которые помогают сделать любопытные наблюдения за обычными для нас вещами и явлениями. И даже попытаться проникнуть за завесу тайны создания нашей Вселенной. В мире есть любопытные закономерности, которые могут быть описаны с помощью математики.

Представляем вам числа Фибоначчи

Числами Фибоначчи называют элементы числовой последовательности. В ней каждое следующее число в ряду получается суммированием двух предыдущих чисел.

Пример последовательности: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987…

Записать это можно так:

F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n-1 + F n-2 , n ≥ 2

Можно начинать ряд чисел Фибоначчи и с отрицательных значений n . При этом последовательность в таком случае является двусторонней (т.е. охватывает отрицательные и положительные числа) и стремится к бесконечности в обоих направлениях.

Пример такой последовательности: -55, -34, -21, -13, -8, 5, 3, 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55.

Формула в этом случае выглядит так:

F n = F n+1 - F n+2 или иначе можно так: F -n = (-1) n+1 Fn .

То, что мы сейчас знаем под названием «числа Фибоначчи», было известно древнеиндийским математикам задолго до того, как ими стали пользоваться в Европе. А с этим названием вообще один сплошной исторический анекдот. Начнем с того, что сам Фибоначчи при жизни никогда не называл себя Фибоначчи – это имя стали применять к Леонардо Пизанскому только спустя несколько столетий после его смерти. Но давайте обо всем по порядку.

Леонардо Пизанский, он же Фибоначчи

Сын торговца, который стал математиком, а впоследствии получил признание потомков в качестве первого крупного математика Европы периода Средних веков. Не в последнюю очередь благодаря числам Фибоначчи (которые тогда, напомним, еще так не назывались). Которые он в начале XIII века описал в своем труде «Liber abaci» («Книга абака», 1202 год).

Путешествую вместе с отцом на Восток, Леонардо изучал математику у арабских учителей (а они в те времена были в этом деле, да и во многих других науках, одними из лучших специалистов). Труды математиков Античности и Древней Индии он прочитал в арабских переводах.

Как следует осмыслив все прочитанное и подключив собственный пытливый ум, Фибоначчи написал несколько научных трактатов по математике, включая уже упомянутую выше «Книгу абака». Кроме нее создал:

«Practica geometriae» («Практика геометрии», 1220 год);
«Flos» («Цветок», 1225 год – исследование, посвященное кубическим уравнениям);
«Liber quadratorum» («Книга квадратов», 1225 год – задачи о неопределенных квадратных уравнениях).

Был большим любителем математических турниров, поэтому в своих трактатах много внимания уделял разбору различных математических задач.

О жизни Леонардо осталось крайне мало биографических сведений. Что же касается имени Фибоначчи, под которым он вошел в историю математики, то оно закрепилось за ним только в XIX веке.

Фибоначчи и его задачи

После Фибоначчи осталось большое число задач, которые были очень популярны среди математиков и в последующие столетия. Мы с вами рассмотрим задачу о кроликах, в решении которой и используются числа Фибоначчи.

Кролики – не только ценный мех

Фибоначчи задал такие условия: существует пара новорожденных кроликов (самец и самка) такой интересной породы, что они регулярно (начиная со второго месяца) производят потомство – всегда одну новую пару кроликов. Тоже, как можно догадаться, самца и самку.

Эти условные кролики помещены в замкнутое пространство и с увлечением размножаются. Оговаривается также, что ни один кролик не умирает от какой-нибудь загадочной кроличьей болезни.

Надо вычислить, сколько кроликов мы получим через год.

В начале 1 месяца у нас 1 пара кроликов. В конце месяца они спариваются.
Второй месяц – у нас уже 2 пары кроликов (у пара – родители + 1 пара – их потомство).
Третий месяц: Первая пара рождает новую пару, вторая пара спаривается. Итого – 3 пары кроликов.
Четвертый месяц: Первая пара рождает новую пару, вторая пара времени не теряет и тоже рождает новую пару, третья пара пока только спаривается. Итого – 5 пар кроликов.

Число кроликов в n -ый месяц = число пар кроликов из предыдущего месяца + число новорожденных пар (их столько же, сколько пар кроликов было за 2 месяца до настоящего момента). И все это описывается формулой, которую мы уже привели выше: F n = F n-1 + F n-2 .

Таким образом, получаем рекуррентную (пояснение о рекурсии – ниже) числовую последовательность. В которой каждое следующее число равно сумме двух предыдущих:

1 + 1 = 2
2 + 1 = 3
3 + 2 = 5
5 + 3 = 8
8 + 5 = 13
13 + 8 = 21
21 + 13 = 34
34 + 21 = 55
55 + 34 = 89
89 + 55 = 144
144 + 89 = 233
233+ 144 = 377 <…>

Продолжать последовательность можно долго: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 <…>. Но поскольку мы задали конкретный срок – год, нас интересует результат, полученный на 12-ом «ходу». Т.е. 13-ый член последовательности: 377.

Ответ в задаче: 377 кроликов будет получено при соблюдении всех заявленных условий.

Одно из свойств последовательности чисел Фибоначчи очень любопытно. Если взять две последовательные пары из ряда и разделить большее число на меньшее, результат будет постепенно приближаться к золотому сечению (прочитать о нем подробнее вы сможете дальше в статье).

Говоря языком математики, «предел отношений a n+1 к a n равен золотому сечению» .

Еще задачи по теории чисел

Найдите число, которое можно разделить на 7. Кроме того, если разделить его на 2, 3, 4, 5, 6, в остатке получится единица.
Найдите квадратное число. О нем известно, что если прибавить к нему 5 или отнять 5, снова получится квадратное число.

Ответы на эти задачи мы предлагаем вам поискать самостоятельно. Свои варианты вы можете оставлять нам в комментариях к этой статье. А мы потом подскажем, верными ли были ваши вычисления.

Пояснение о рекурсии

Рекурсия – определение, описание, изображение объекта или процесса, в котором содержится сам этот объект или процесс. Т.е., по сути, объект или процесс является частью самого себя.

Рекурсия находит широкое применение в математике и информатике, и даже в искусстве и массовой культуре.

Числа Фибоначчи определяются с помощью рекуррентного соотношения. Для числа n>2 n- е число равно (n – 1) + (n – 2) .

Пояснение о золотом сечении

Золотое сечение – деление целого (например, отрезка) на такие части, которые соотносятся по следующему принципу: большая часть относится к меньшей так же, как и вся величина (например, сумма двух отрезков) к большей части.

Первое упоминание о золотом сечении можно встретить у Евклида в его трактате «Начала» (примерно 300 лет до н.э.). В контексте построения правильного прямоугольника.

Привычный нам термин в 1835 году ввел в оборот немецкий математик Мартин Ом.

Если описывать золотое сечение приблизительно, оно представляет собой пропорциональное деление на две неравных части: примерно 62% и 38%. В числовом выражении золотое сечение представляет собой число 1,6180339887 .

Золотое сечение находит практическое применение в изобразительном искусстве (картины Леонардо да Винчи и других живописцев Ренессанса), архитектуре, кинематографе («Броненосец «Потемкин» С. Эзенштейна) и других областях. Долгое время считалось, что золотое сечение – наиболее эстетичная пропорция. Такое мнение популярно и сегодня. Хотя по результатам исследований визуально большинство людей не воспринимают такую пропорцию наиболее удачным вариантом и считают слишком вытянутой (непропорциональной).

Длина отрезка с = 1, а = 0,618, b = 0,382.
Отношение с к а = 1, 618.
Отношение с к b = 2,618

А теперь вернемся к числам Фибоначчи. Возьмем два следующих друг за другом члена из его последовательности. Разделим большее число на меньшее и получим приблизительно 1,618. А теперь задействуем то же большее число и следующий за ним член ряда (т.е. еще большее число) – их отношение рано 0,618.

Вот пример: 144, 233, 377.

233/144 = 1,618 и 233/377 = 0,618

Кстати, если вы попробуете проделать тот же эксперимент с числами из начала последовательности (например, 2, 3, 5), ничего не получится. Ну, почти. Правило золотого сечения почти не соблюдается для начала последовательности. Но зато по мере продвижения вдоль ряда и возрастания чисел работает отлично.

И для того, чтобы вычислить весь ряд чисел Фибоначчи, достаточно знать три члена последовательности, идущих друг за другом. Можете убедиться в этом сами!

Золотой прямоугольник и спираль Фибоначчи

Еще одну любопытную параллель между числами Фибоначчи и золотым сечением позволяет провести так называемый «золотой прямоугольник»: его стороны соотносятся в пропорции 1,618 к 1. А ведь мы уже знаем, что за число 1,618, верно?

Например, возьмем два последовательных члена ряда Фибоначчи – 8 и 13 – и построим прямоугольник со следующими параметрами: ширина = 8, длина = 13.

А затем разобьем большой прямоугольник на меньшие. Обязательное условие: длины сторон прямоугольников должны соответствовать числам Фибоначчи. Т.е. длина стороны большего прямоугольника должна быть равной сумме сторон двух меньших прямоугольников.

Так, как это выполнено на этом рисунке (для удобства фигуры подписаны латинскими буквами).

Кстати, строить прямоугольники можно и в обратном порядке. Т.е. начать построение с квадратов со стороной 1. К которым, руководствуясь озвученным выше принципом, достраиваются фигуры со сторонами, равными числам Фибоначчи. Теоретически продолжать так можно бесконечно долго – ведь и ряд Фибоначчи формально бесконечен.

Если соединить плавной линией углы полученных на рисунке прямоугольников, получим логарифмическую спираль. Вернее, ее частный случай – спираль Фибоначчи. Она характеризуется, в частности, тем, что не имеет границ и не изменяет формы.

Подобная спираль часто встречается в природе. Раковины моллюсков – один из самых ярких примеров. Более того, спиральную форму имеют некоторые галактики, которые можно разглядеть с Земли. Если вы обращаете внимание на прогнозы погоды по телевизору, то могли заметить, что подобную спиральную форму имеют циклоны при съемке их со спутников.

Любопытно, что и спираль ДНК подчиняется правилу золотого сечения – соответствующую закономерность можно усмотреть в интервалах ее изгибов.

Такие удивительные «совпадения» не могут не будоражить умы и не порождать разговоры о неком едином алгоритме, которому подчиняются все явления в жизни Вселенной. Теперь вы понимаете, почему эта статья называется именно так? И двери в какие удивительные миры способна открыть для вас математика?

Числа Фибоначчи в живой природе

Связь чисел Фибоначчи и золотого сечения наводит на мысли о любопытных закономерностях. Настолько любопытных, что возникает соблазн попробовать отыскать подобные числам Фибоначчи последовательности в природе и даже в ходе исторических событий. И природа действительно дает повод для подобного рода допущений. Но все ли в нашей жизни можно объяснить и описать с помощью математики?

Примеры живой природы, которые могут быть описаны с помощью последовательности Фибоначчи:

порядок расположения листьев (и веток) у растений – расстояния между ними соотносимы с числами Фибоначчи (филлотаксис);

расположение семян подсолнуха (семечки располагаются двумя рядами спиралей, закрученных в разном направлении: один ряд по часовой стрелке, другой – против);

расположение чешуек сосновых шишек;
лепестки цветов;
ячейки ананаса;
соотношение длин фаланг пальцев на человеческой руке (приблизительно) и т.д.

Задачи по комбинаторике

Числа Фибоначчи находят широкое применение при решении задач по комбинаторике.

Комбинаторика – это раздел математики, который занимается исследованием выборки некого заданного числа элементов из обозначенного множества, перечислением и т.п.

Давайте рассмотрим примеры задач по комбинаторике, рассчитанных на уровень старшей школы (источник - http://www.problems.ru/).

Задача №1:

Леша поднимается по лестнице из 10 ступенек. За один раз он прыгает вверх либо на одну ступеньку, либо на две ступеньки. Сколькими способами Леша может подняться по лестнице?

Число способов, которыми Леша может подняться на лестницу из n ступенек, обозначим а n. Отсюда следует, что a 1 = 1, a 2 = 2 (ведь Леша прыгает либо на одну, либо через две ступеньки).

Оговорено также, что Леша прыгает по лестнице из n > 2 ступенек. Предположим, с первого раза он прыгнул на две ступеньки. Значит, по условию задачи, ему нужно запрыгнуть еще на n – 2 ступеньки. Тогда количество способов закончить подъем описывается как a n–2 . А если считать, что в первый раз Леша прыгнул только на одну ступеньку, тогда количество способов закончить подъем опишем как a n–1 .

Отсюда получаем такое равенство: a n = a n–1 + a n–2 (выглядит знакомо, не правда ли?).

Раз мы знаем a 1 и a 2 и помним, что ступенек по условию задачи 10, вычисли по порядку все а n : a 3 = 3, a 4 = 5, a 5 = 8, a 6 = 13, a 7 = 21, a 8 = 34, a 9 = 55, a 10 = 89.

Ответ: 89 способов.

Задача №2:

Требуется найти количество слов длиной в 10 букв, которые состоят только из букв «а» и «б» и не должны содержать две буквы «б» подряд.

Обозначим за a n количество слов длиной в n букв, которые состоят только из букв «а» и «б» и не содержат двух букв «б» подряд. Значит, a 1 = 2, a 2 = 3.

В последовательности a 1 , a 2 , <…>, a n мы выразим каждый следующий ее член через предыдущие. Следовательно, количество слов длиной в n букв, которые к тому же не содержат удвоенной буквы «б» и начинаются с буквы «а», это a n–1 . А если слово длиной в n букв начинается с буквы «б», логично, что следующая буква в таком слове – «а» (ведь двух «б» быть не может по условию задачи). Следовательно, количество слов длиной в n букв в этом случае обозначим как a n–2 . И в первом, и во втором случае далее может следовать любое слово (длиной в n – 1 и n – 2 букв соответственно) без удвоенных «б».

Мы смогли обосновать, почему a n = a n–1 + a n–2 .

Вычислим теперь a 3 = a 2 + a 1 = 3 + 2 = 5, a 4 = a 3 + a 2 = 5 + 3 = 8, <…>, a 10 = a 9 + a 8 = 144. И получим знакомую нам последовательность Фибоначчи.

Ответ: 144.

Задача №3:

Вообразите, что существует лента, разбитая на клетки. Она уходит вправо и длится бесконечно долго. На первую клетку ленты поместим кузнечика. На какой бы из клеток ленты он ни находился, он может перемещаться только вправо: или на одну клетку, или на две. Сколько существует способов, которыми кузнечик может допрыгать от начала ленты до n -ой клетки?

Обозначим число способов перемещения кузнечика по ленте до n -ой клетки как a n . В таком случае a 1 = a 2 = 1. Также в n + 1 -ую клетку кузнечик может попасть либо из n -ой клетки, либо перепрыгнув ее. Отсюда a n + 1 = a n – 1 + a n . Откуда a n = F n – 1 .

Ответ: F n – 1 .

Вы можете и сами составить подобные задачи и попробовать решить их на уроках математики вместе с одноклассниками.

Числа Фибоначчи в массовой культуре

Разумеется, такое необычное явление, как числа Фибоначчи, не может не привлекать внимание. Есть все же в этой строго выверенной закономерности что-то притягательное и даже таинственное. Неудивительно, что последовательность Фибоначчи так или иначе «засветилась» во многих произведениях современной массовой культуры самых разных жанров.

Мы вам расскажем про некоторые из них. А вы попробуйте поискать сами еще. Если найдете, поделитесь с нами в комментариях – нам ведь тоже любопытно!

Числа Фибоначчи упоминаются в бестселлере Дэна Брауна «Код да Винчи»: последовательность Фибоначчи служит кодом, при помощи которого главные герои книги открывают сейф.
В американском фильме 2009 года «Господин Никто» в одном из эпизодов адрес дома представляет собой часть последовательности Фибоначчи – 12358. Кроме этого, в другом эпизоде главный герой должен позвонить по телефонному номеру, который по сути – та же, но слегка искаженная (лишняя цифра после цифры 5) последовательность: 123-581-1321.
В сериале 2012 года «Связь» главный герой, мальчик, страдающий аутизмом, способен различать закономерности в происходящих в мире событиях. В том числе посредством чисел Фибоначчи. И управлять этими событиями также посредством чисел.
Разработчики java-игры для мобильных телефонов Doom RPG поместили на одном из уровней секретную дверь. Открывающий ее код – последовательность Фибоначчи.
В 2012 году российская рок-группа «Сплин» выпустила концептуальный альбом «Обман зрения». Восьмой трек носит название «Фибоначчи». В стихах лидера группы Александра Васильева обыграна последовательность чисел Фибоначчи. На каждый из девяти последовательных членов приходится соответствующее число строк (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21):

0 Тронулся в путь состав

1 Щёлкнул один сустав

1 Дрогнул один рукав

2 Всё, доставайте стафф

Всё, доставайте стафф

3 Просьбой о кипятке

Поезд идёт к реке

Поезд идёт в тайге <…>.

лимерик (короткое стихотворение определенной формы – обычно это пять строк, с определенной схемой рифмовки, шуточное по содержанию, в котором первая и последняя строка повторяются или частично дублируют друг друга) Джеймса Линдона также использует отсылку к последовательности Фибоначчи в качестве юмористического мотива:

Плотная пища жён Фибоначчи

Только на пользу им шла, не иначе.

Весили жёны, согласно молве,

Каждая - как предыдущие две.

Подводим итоги

Мы надеемся, что смогли рассказать вам сегодня много интересного и полезного. Вы, например, теперь можете поискать спираль Фибоначчи в окружающей вас природе. Вдруг именно вам удастся разгадать «секрет жизни, Вселенной и вообще».

Пользуйтесь формулой для чисел Фибоначчи при решении задач по комбинаторике. Вы можете опираться на примеры, описанные в этой статье.

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Числа Фибоначчи - элементы числовой последовательности.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Название по имени средневекового математика Леонардо Пизанского (или Фибоначчи), который жил и работал торговцем и математиком в итальянском городе Пизе. Он один из самых прославленных европейских ученых своего времени. Среди его величайших достижений - введение арабских цифр, заменивших римские. Fn =Fn-1 +Fn-2

Математический ряд асимптотически (то есть приближаясь все медленнее и медленнее) стремится к постоянному отношению. Однако это отношение иррационально; оно имеет бесконечную, непредсказуемую последовательность десятичных значений, выстраивающихся после него. Оно никогда не может быть выражено точно. Если каждое число, являющееся частью ряда, разделить на предшествующее значение (например, 13-^8 или 21 -ИЗ), результат действия выразится в отношении, которое колеблется вокруг иррационального числа 1,61803398875, чуть больше или чуть меньше соседних отношений ряда. Отношение никогда, до бесконечности, не будет точным до последней цифры (даже при использовании самых мощных компьютеров, созданных в наше время). Ради краткости, будем использовать в качестве отношения Фибоначчи число 1,618 и просим читателей не забывать об этой погрешности.

Числа Фибоначчи имеют важное значение и во время выполнения анализа Алгоритм Евклида для определения наибольшего общего делителя двух чисел. Числа Фибоначчи происходят в формулу о диагонали треугольником Паскаля (биномиальных коэффициентов).

Числа Фибоначчи оказались связанными с « золотым сечением».

О золотом сечении знали еще в древнем Египте и Вавилоне, в Индии и Китае. Что же такое « золотое сечение»? Ответ неизвестен до сих пор. Числа Фибоначчи действительно актуальны для теории практики в наше время. Подъем значимости произошел в 20 веке и продолжается до сих пор. Использование чисел Фибоначчи в экономике и информатике и привлекло массы людей к их изучению.

Методика моего исследования заключалась в изучении специализированной литературы и обобщении полученной информации, а так же проведении собственных исследований и выявлений свойств чисел и сферы их использования.

В ходе научных исследования определила само понятия чисел Фибоначчи, их свойства. Так же я выяснила интересные закономерности в живой природе, непосредственно в строении семян подсолнуха.

На подсолнухе семечки выстраиваются в спирали, причем количества спиралей, идущих в другую сторону, различны - они являются последовательными числами Фибоначчи.

На этом подсолнухе 34 и 55.

То же наблюдается и на плодах ананаса, где спиралей бывает 8 и 14. С уникальным свойством чисел Фибоначчи связаны листьев кукурузы.

Дроби вида a/b, соответствующие винтообразному расположению листьев ног стебелька растения, часто являются отношениями последовательных чисел Фибоначчи. Для орешника это отношение равно 2/3, для дуба-3/5, для тополя 5/8, для ивы 8/13 и т. д.

Рассматривая расположения листьев на стебле растений можно заметить, что между каждыми парами листьев (А и С) третья расположено в месте золотого сечения(В)

Ещё интересное свойство числа Фибоначчи является, что произведение и частное двух любых различных чисел Фибоначчи, отличных от единицы, никогда не является числом Фибоначчи.

В результате исследования я пришла к следующим выводам: числа Фибоначчи - уникальная арифметическая прогрессия, появившаяся в 13 веке нашей эры. Данное прогрессия не теряет своей актуальности, что и подтвердилось в ходе моих исследований. Число Фибоначчи встречаются не то и в программировании и экономических прогнозах, в живописи, архитектуре и музыке. Картины таких известных художников, как Леонардо да Винчи, Микеланджело, Рафаэля и Боттичелли скрывают в себе магию золотого сечения. Даже И. И. Шишкин использовал золотое сечение в своей картине «Сосновая роща».

В это сложно поверить, но золотое сечение встречается и в музыкальных произведениях таких великих композиторов, как Моцарт, Бетховен, Шопен и т. д.

Числа Фибоначчи встречается и в архитектуре. Например, золотое сечение использовалось при строительстве Парфенона и собора Парижской Богоматери

Я обнаружила, что Числа Фибоначчи используются и в наших краях. Например, наличники домов, фронтоны.

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

ВЫСШЕЕ НАЗНАЧЕНИЕ МАТЕМАТИКИ СОСТОИТ В ТОМ, ЧТОБЫ НАХОДИТЬ СКРЫТЫЙ ПОРЯДОК В ХАОСЕ, КОТОРЫЙ НАС ОКРУЖАЕТ.

Винер Н.

Человек всю жизнь стремится к знаниям, пытается изучить окружающий его мир. И в процессе наблюдений у него возникают вопросы, на которые требуется найти ответы. Ответы находятся, но появляются новые вопросы. В археологических находках, в следах цивилизации, отдаленных друг от друга во времени и в пространстве, встречается один и тот же элемент - узор в виде спирали. Некоторые считают его символом солнца и связывают с легендарной Атлантидой, но истинное его значение неизвестно. Что общего между формами галактики и атмосферного циклона, расположением листьев на стебле и семян в подсолнухе? Эти закономерности сводятся к так называемой «золотой» спирали, удивительной последовательности Фибоначчи, открытой великим итальянским математиком XIII века.

История возникновения чисел Фибоначчи

Впервые о том, что такое числа Фибоначчи, я услышал от учителя математики. Но, кроме того, каким образом складывается последовательность этих чисел, я не знал. Вот чем на самом деле знаменита эта последовательность, каким образом она влияет на человека, я и хочу вам рассказать. О Леонардо Фибоначчи известно немного. Нет даже точной даты его рождения. Известно, что он родился в 1170 году в семье купца, в городе Пизе в Италии. Отец Фибоначчи часто бывал в Алжире по торговым делам, и Леонардо изучал там математику у арабских учителей. Впоследствии он написал несколько математических трудов, наиболее известным из которых является «Книга об абаке», которая содержит почти все арифметические и алгебраические сведения того времени. 2

Числа Фибоначчи - это последовательность чисел, обладающая рядом свойств. Эту числовую последовательность Фибоначчи открыл случайно, когда пытался в 1202 году решить практическую задачу о кроликах. «Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится в течение года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рождают кролики со второго месяца после своего рождения». При решении задачи он учел, что каждая пара кроликов порождает на протяжении жизни еще две пары, а затем погибает. Так появилась последовательность чисел: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … В этой последовательности каждое следующее число равно сумме двух предыдущих. Её назвали последовательностью Фибоначчи. Математические свойства последовательности

Мне захотелось исследовать эту последовательность, и я выявил некоторые её свойства. Эта закономерность имеет большое значение. Последовательность все медленнее приближается к некоему постоянному отношению, равному примерно 1, 618, а отношение любого числа к последующему примерно равно 0, 618.

Можно заметить ряд любопытных свойств чисел Фибоначчи: два соседних числа взаимно просты; каждое третье число четно; каждое пятнадцатое оканчивается нулем; каждое четвертое кратно трем. Если выбрать любые 10 соседних чисел из последовательности Фибоначчи и сложить их вместе, всегда получится число, кратное 11. Но это еще не все. Каждая сумма равна числу 11, умноженному на седьмой член взятой последовательности. А вот еще одна любопытная особенность. Для любого n сумма первыхn членов последовательности всегда будет равна разности (n+ 2) - го и первого члена последовательности. Этот факт можно выразить формулой: 1+1+2+3+5+…+an=a n+2 - 1. Теперь в нашем распоряжении имеется следующий трюк: чтобы найти сумму всех членов

последовательности между двумя данными членами, достаточно найти разность соответствующих (n+2)-x членов. Например, a 26 +…+a 40 =a 42 - a 27 . Теперь поищем связь между Фибоначчи, Пифагором и «золотым сечением». Самым известным свидетельством математического гения человечества является теорема Пифагора: в любом прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов его катетов: c 2 =b 2 +a 2 . С геометрической точки зрения мы можем рассматривать все стороны прямоугольного треугольника, как стороны трех построенных на них квадратов. Теорема Пифагора говорит о том, что общая площадь квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе. Если длины сторон прямоугольного треугольника являются целыми числами, то они образуют группу из трех чисел, называемых пифагоровыми тройками. С помощью последовательности Фибоначчи можно отыскать такие тройки. Возьмем любые четыре последовательные числа из последовательности, например, 2, 3, 5 и 8, и построим еще три числа следующим образом:1) произведение двух крайних чисел: 2*8=16;2) удвоенное произведение двух чисел в середине: 2*(3*5)=30;3) сумма квадратов двух средних чисел: 3 2 +5 2 =34; 34 2 =30 2 +16 2 . Этот метод работает для любых четырех последовательных чисел Фибоначчи. Предсказуемым образом ведут себя любые три последовательных числа ряда Фибоначчи. Если перемножить из них два крайних и результат сравнить с квадратом среднего числа, то результат всегда будет отличаться на единицу. Например, для чисел 5, 8 и 13 получим: 5*13=8 2 +1. Если рассмотреть это свойство с точки зрения геометрии, можно заметить нечто странное. Разделим квадрат

размером 8х8 (всего 64 маленьких квадратика) на четыре части, длины сторон которых равны числам Фибоначчи. Теперь из этих частей построим прямоугольник размером 5х13. Его площадь составляют 65 маленьких квадратиков. Откуда же берется дополнительный квадрат? Все дело в том, что идеальный прямоугольник не образуется, а остаются крошечные зазоры, которые в сумме и дают эту дополнительную единицу площади. Треугольник Паскаля также имеет связь с последовательностью Фибоначчи. Надо только написать строки треугольника Паскаля одну под другой, а затем складывать элементы по диагонали. Получится последовательность Фибоначчи.

Теперь рассмотрим «золотой» прямоугольник, одна сторона которого в 1,618 раз длиннее другой. На первый взгляд он может показаться нам обычным прямоугольником. Тем не менее, давайте проделаем простой эксперимент с двумя обыкновенными банковскими картами. Положим одну из них горизонтально, а другую вертикально так, чтобы их нижние стороны находились на одной линии. Если в горизонтальной карте провести диагональную линию и продлить ее, то увидим, что она пройдет в точности через правый верхний угол вертикальной карты - приятная неожиданность. Может быть, это случайность, а может, такие прямоугольники и другие геометрические формы, использующие «золотое сечение», особенно приятны глазу. Думал ли Леонардо да Винчи о золотом сечении, работая над своим шедевром? Это кажется маловероятным. Однако можно утверждать, что он придавал большое значение связи между эстетикой и математикой.

Числа Фибоначчи в природе

Связь золотого сечения с красотой - вопрос не только человеческого восприятия. Похоже, сама природа выделила Ф особую роль. Если в «золотой» прямоугольник последовательно вписать квадраты, затем в каждом квадрате провести дугу, то получится элегантная кривая, которая называется логарифмической спиралью. Она вовсе не является математическим курьезом. 5

Наоборот, эта замечательная линия часто встречается в физическом мире: от раковины наутилуса до рукавов галактик, и в элегантной спирали лепестков распустившейся розы. Связи между золотым сечением и числами Фибоначчи многочисленны и неожиданны. Рассмотрим цветок, внешне сильно отличающийся от розы, - подсолнечник с семенами. Первое, что мы видим, - семена расположены по спиралям двух видов: по часовой стрелке и против часовой стрелки. Если посчитаем спирали почасовой стрелки, то получим два, казалось бы, обычных числа: 21 и 34. Это не единственный пример, когда можно встретить числа Фибоначчи в структуре растений.

Природа даёт нам многочисленные примеры расположения однородных предметов, описываемых числами Фибоначчи. В разнообразных спиралевидных расположениях мелких частей растений обычно можно усмотреть два семейства спиралей. В одном из этих семейств спирали завиваются по часовой стрелке, а в другом - против. Числа спиралей одного и другого типов часто оказываются соседними числами Фибоначчи. Так, взяв молодую сосновую веточку, легко заметить, что хвоинки образуют две спирали, идущие слева снизу вправо вверх. На многих шишках семена расположены в трёх спиралях, полого навивающихся на стержень шишки. Они же расположены в пяти спиралях, круто навивающихся в противоположном направлении. В крупных шишках удаётся наблюдать 5 и 8, и даже 8 и 13 спиралей. Хорошо заметны спирали Фибоначчи и на ананасе: обычно их бывает 8 и 13.

Отросток цикория делает сильный выброс в пространство, останавливается, выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок ещё меньшего размера и снова выброс. Импульсы его роста постепенно уменьшаются в пропорции «золотого» сечения. Чтобы оценить огромную роль чисел Фибоначчи, достаточно лишь взглянуть на красоту окружающей нас природы. Числа Фибоначчи можно найти в количестве

ответвлений на стебле каждого растущего растения и в числе лепестков.

Пересчитаем лепестки некоторых цветов —ириса с его 3 лепестками, примулы с 5 лепестками, амброзии с 13 лепестками, нивяника с 34 лепестками, астры с 55 лепестками и т.д. Случайно ли это, или это закон природы? Посмотрите на стебли и цветы тысячелистника. Таким образом, суммарной последовательностью Фибоначчи можно легко трактовать закономерность проявлений «Золотых» чисел, встречаемых в природе. Эти законы действуют независимо от нашего сознания и желания принимать их или нет. Закономерности «золотой» симметрии проявляются в энергетических переходах элементарных частиц, в строении некоторых химических соединений, в планетарных и космических системах, в генных структурах живых организмов, в строении отдельных органов человека и тела в целом, а также проявляются в биоритмах и функционировании головного мозга и зрительного восприятия.

Числа Фибоначчи в архитектуре

«Золотое сечение» проявляется и во многих замечательных архитектурных творениях на протяжении всей истории человечества. Оказывается, еще древнегреческие и древнеегипетские математики знали эти коэффициенты задолго до Фибоначчи и называли их «золотым сечением». Принцип «золотого сечения» греки использовали при строительстве Парфенона, египтяне - Великой пирамиды в Гизе. Достижения в области строительной техники и разработки новых материалов открыли новые возможности для архитекторов ХХ века. Американец Фрэнк Ллойд Райт был одним из главных сторонников органической архитектуры. Незадолго до смерти он спроектировал музей Соломона Гуггенхайма в Нью-Йорке, представляющий собой опрокинутую спираль, а интерьер музея напоминает раковину наутилуса. Польско-израильский архитектор Цви Хекер также использовал спиральные конструкции в проекте школы имени Хайнца Галински в Берлине, построенной в 1995 году. Хекер начал с идеи подсолнечника с центральным кругом, откуда

расходятся все архитектурные элементы. Здание представляет собой сочетание

ортогональных и концентрических спиралей, символизируя взаимодействие ограниченных человеческих знаний и управляемого хаоса природы. Его архитектура имитирует растение, которое следует за движением Солнца, поэтому классные комнаты освещены в течение всего дня.

В Куинси-парке, расположенном в Кембридже, штат Массачусетс (США), «золотую» спираль можно встретить часто. Парк был спроектирован в 1997 году художником Дэвидом Филлипсом и находится недалеко от Математического института Клэя. Это заведение является известным центром математических исследований. В Куинси-парке можно прогуливаться среди «золотых» спиралей и металлических кривых, рельефов из двух раковин и скалы с символом квадратного корня. На табличке написана информация о «золотой» пропорции. Даже парковка для велосипедов использует символ Ф.

Числа Фибоначчи в психологии

В психологии отмечены переломные моменты, кризисы, перевороты, знаменующие на жизненном пути человека преобразования структуры и функций души. Если человек успешно преодолел эти кризисы, то становится способным решать задачи нового класса, о которых раньше даже не задумывался.

Наличие коренных изменений дает основание рассматривать время жизни в качестве решающего фактора развития духовных качеств. Ведь природа отмеряет нам время не щедро, «ни сколько будет, столько и будет», а ровно столько, чтобы процесс развития материализовался:

в структурах тела;

в чувствах, мышлении и психомоторике — пока они не приобретут гармонию , необходимую для возникновения и запуска механизма

творчества;

в структуре энергопотенциала человека.

Развитие тела нельзя остановить: ребенок становится взрослым человеком. С механизмом же творчества не так все просто. Его развитие можно остановить и изменить его направление.

Существует ли шанс догнать время? Безусловно. Но для этого нужно выполнить огромную работу над собой. То, что развивается свободно, естественным путем, не требует специальных усилий: ребенок свободно развивается и не замечает этой огромной работы, потому что процесс свободного развития создается без насилия над собой.

Как понимается смысл жизненного пути в обыденном сознании? Обыватель видит его так: у подножия — рождение, на вершине — расцвет сил, а потом — все идет под горку.

Мудрец же скажет: все намного сложнее. Восхождение он разделяет на этапы: детство, отрочество, юность… Почему так? Мало, кто способен ответить, хотя каждый уверен, что это замкнутые, целостные этапы жизни.

Чтобы выяснить, как развивается механизм творчества, В.В. Клименко воспользовался математикой, а именно законами чисел Фибоначчи и пропорцией «золотого сечения» — законами природы и жизни человека.

Числа Фибоначчи делят нашу жизнь на этапы по количеству прожитых лет: 0 — начало отсчета — ребенок родился. У него еще отсутствуют не только психомоторика, мышление, чувства, воображение, но и оперативный энергопотенциал. Он — начало новой жизни, новой гармонии;

1 — ребенок овладел ходьбой и осваивает ближайшее окружение;

2 — понимает речь и действует, пользуясь словесными указаниями;

3 — действует посредством слова, задает вопросы;

5 — «возраст грации» — гармония психомоторики, памяти, воображения и чувств, которые уже позволяют ребенку охватить мир во всей его целостности;

8 — на передний план выходят чувства. Им служит воображение, а мышление силами своей критичности направлено на поддержку внутренней и внешней гармонии жизни;

13 — начинает работать механизм таланта, направленный на превращение приобретенного в процессе наследования материала, развивая свой собственный талант;

21 — механизм творчества приблизился к состоянию гармонии и делаются попытки выполнять талантливую работу;

34— гармония мышления, чувств, воображения и психомоторики: рождается способность к гениальной работе;

55 — в этом возрасте, при условии сохраненной гармонии души и тела, человек готов стать творцом. И так далее…

Что же такое засечки «Чисел Фибоначчи»? Они могут быть сравнимы с плотинами на жизненном пути. Эти плотины ожидают каждого из нас. Прежде всего необходимо преодолеть каждую их них, а потом терпеливо поднимать свой уровень развития, пока в один прекрасный день она не развалится, открывая свободному течению путь к следующей.

Теперь, когда нам понятен смысл этих узловых точек возрастного развития, попробуем расшифровать, как все это происходит.

В1 год ребенок овладевает ходьбой. До этого он познавал мир передней частью головы. Теперь же он познает мир руками — исключительная привилегия человека. Животное передвигается в пространстве, а он, познавая, овладевает пространством и осваивает территорию, на которой живет.

2 года — понимает слово и действует в соответствии с ним. Это значит, что:

ребенок усваивает минимальное количество слов — смыслов и образов действий;

пока что не отделяет себя от окружающей среды и слит в целостность с окружающим,

поэтому действует по чужому указанию. В этом возрасте он самый послушный и приятный для родителей. Из человека чувственного ребенок превращается в человека познающего.

3 года — действие при помощи собственного слова. Уже произошло отделение этого человека от окружающей среды — и он учится быть самостоятельно действующей личностью. Отсюда он:

сознательно противостоит среде и родителям, воспитателям в детском саду и т.д.;

осознает свой суверенитет и борется за самостоятельность;

старается подчинить своей воле близких и хорошо знакомых людей.

Теперь для ребенка слово — это действие. С этого начинается действующий человек.

5 лет — «возраст грации». Он — олицетворение гармонии. Игры, танцы, ловкие движения — все насыщено гармонией, которой человек старается овладеть собственными силами. Гармоничная психомоторика содействует приведению к новому состоянию. Поэтому ребенок направлен на психомоторную активность и стремится к максимально активным действиям.

Материализация продуктов работы чувствительности осуществляется посредством:

способности к отображению окружающей среды и себя как части этого мира (мы слышим, видим, прикасаемся, нюхаем и т.д. — все органы чувств работают на этот процесс);

способности к проектированию внешнего мира, в том числе и себя

(создание второй природы, гипотез — сделать завтра то и другое, построить новую машину, решить проблему), силами критичности мышления, чувств и воображения;

способности к созиданию второй, рукотворной природы, продуктов деятельности (реализация задуманного, конкретные умственные или психомоторные действия с конкретными предметами и процессами).

После 5 лет механизм воображения выходит вперед и начинает доминировать над остальными. Ребенок выполняет гигантскую работу, создавая фантастические образы, и живет в мире сказок и мифов. Гипертрофированность воображения ребенка вызывает у взрослых удивление, потому что воображение никак не соответствует действительности.

8 лет — на передний план выходят чувства и возникают собственные мерки чувств (познавательных, нравственных, эстетических), когда ребенок безошибочно:

оценивает известное и неизвестное;

отличает моральное от аморального, нравственное от безнравственного;

прекрасное от того, что угрожает жизни, гармонию от хаоса.

13 лет — начинает работать механизм творчества. Но это не значит, что он работает на полную мощность. На первый план выходит один из элементов механизма, а все остальные содействуют его работе. Если и в этом возрастном периоде развития сохраняется гармония, которая почти все время перестраивает свою структуру, то отрок безболезненно доберется до следующей плотины, незаметно для себя преодолеет ее и будет жить в возрасте революционера. В возрасте революционера отрок должен сделать новый шаг вперед: отделиться от ближайшего социума и жить в нем гармоничной жизнью и деятельностью. Не каждый может решить эту задачу, возникающую перед каждым из нас.

21 год. Если революционер успешно преодолел первую гармоничную вершину жизни, то его механизм таланта способен выполнять талантливую

работу. Чувства (познавательные, моральные или эстетические) иногда затмевают мышление, но в общем все элементы работают слаженно: чувства открыты миру, а логическое мышление способно с этой вершины называть и находить меры вещей.

Механизм творчества, развиваясь нормально, достигает состояния, позволяющего получать определенные плоды. Он начинает работать. В этом возрасте вперед выходит механизм чувств. По мере того, как воображение и его продукты оцениваются чувствами и мышлением, между ними возникает антагонизм. Побеждают чувства. Эта способность постепенно набирает мощность, и отрок начинает ею пользоваться.

34 года — уравновешенность и гармоничность, продуктивная действенность таланта. Гармония мышления, чувств и воображения, психомоторики, которая пополняется оптимальным энергопотенциалом, и механизм в целом — рождается возможность исполнять гениальную работу.

55 лет — человек может стать творцом. Третья гармоничная вершина жизни: мышление подчиняет себе силу чувств.

Числа Фибоначчи называют этапы развития человека. Пройдет ли человек этот путь без остановок, зависит от родителей и учителей, образовательной системы, а дальше — от него самого и от того, как человек будет познавать и преодолевать самого себя.

На жизненном пути человек открывает 7 предметов отношений:

От дня рождения до 2-х лет — открытие физического и предметного мира ближайшего окружения.

От 2-х до 3-х лет — открытие себя: «Я — Сам».

От 3-х до 5-ти лет — речь, действенный мир слов, гармонии и системы «Я — Ты».

От 5-ти до 8-ми лет — открытие мира чужих мыслей, чувств и образов — системы «Я — Мы».

От 8 до 13 лет — открытие мира задач и проблем, решенных гениями и талантами человечества — системы «Я — Духовность».

От 13 до 21 года — открытие способностей самостоятельно решать всем известные задачи, когда мысли, чувства и воображение начинают активно работать, возникает система «Я — Ноосфера».

От 21 до 34 лет — открытие способности создавать новый мир или его фрагменты — осознание самоконцепции «Я — Творец».

Жизненный путь имеет пространственно-временную структуру. Он состоит из возрастных и индивидуальных фаз, определяемых по многим параметрам жизни. Человек овладевает в определенной мере обстоятельствами своей жизни, становится творцом своей истории и творцом истории общества. Подлинно творческое отношение к жизни, однако, появляется далеко не сразу и даже не у всякого человека. Между фазами жизненного пути существуют генетические связи, и это обусловливает закономерный его характер. Отсюда следует, что в принципе можно предсказывать будущее развитие на основе знания о ранних его фазах.

Числа Фибоначчи в астрономии

Из истории астрономии известно, что И.Тициус, немецкий астроном XVIII в., с помощью ряда Фибоначчи нашёл закономерность и порядок в расстояниях между планетами солнечной системы. Но один случай, казалось бы, противоречил закону: между Марсом и Юпитером не было планеты. Но после смерти Тициуса в начале XIX в. сосредоточенное наблюдение за этим участком неба привело к открытию пояса астероидов.

Заключение

В процессе исследования я выяснил, что числа Фибоначчи нашли широкое применение в техническом анализе цен на бирже. Один из простейших способов применения чисел Фибоначчи на практике - определение отрезков времени, через которое произойдёт то или иное событие, например, изменение цены. Аналитик отсчитывает определённое количество фибоначчиевских дней или недель (13,21,34,55 и т.д.) от предыдущего сходного события и делает прогноз. Но в этом мне ещё слишком сложно разобраться. Хотя Фибоначчи и был величайшим математиком средних веков, единственные памятники Фибоначчи - это статуя напротив Пизанской башни и две улицы, которые носят его имя: одна - в Пизе, а другая - во Флоренции. И всё-таки, в связи со всем увиденным и прочитанным мною возникают вполне закономерные вопросы. Откуда взялись эти числа? Кто этот архитектор вселенной, попытавшийся сделать её идеальной? Что же будет дальше? Найдя ответ на один вопрос, получишь следующий. Разгадаешь его, получишь два новых. Разберёшься с ними, появятся ещё три. Решив и их, обзаведёшься пятью нерешёнными. Потом восьмью, тринадцатью и т.д. Не забывайте, что на двух руках по пять пальцев, два из которых состоят из двух фаланг, а восемь - из трёх.

Литература:

Волошинов А.В. «Математика и искусство», М., Просвещение, 1992г.

Воробьёв Н.Н. «Числа Фибоначчи», М., Наука, 1984г.

Стахов А.П. «Код да Винчи и ряд Фибоначчи», Питер формат, 2006 г.

Ф. Корвалан «Золотое сечение. Математический язык красоты», М., Де Агостини, 2014 г.

Максименко С.Д. «Сенситивные периоды жизни и их коды».

«Числа Фибоначчи». Википедия

Предыдущая статья: Чему равна скорость света Следующая статья: Углерод — характеристика элемента и химические свойства