В данной статье мы с Вами разберемся, что такое десятичная дробь, какие у нее есть особенности и свойства. Поехали! 🙂

Десятичная дробь является частным случаем обыкновенных дробей (у которой знаменатель кратен 10).

Определение

Десятичными называют дроби, знаменатели которых представляют собой числа, состоящие из единицы и некоторого количества следующих за нею нулей. То есть это дроби со знаменателем 10, 100, 1000 и т.д. Иначе десятичную дробь можно охарактеризовать как дробь со знаменателем 10 или одной из степеней десятки.

Примеры дробей:

, ,

Десятичная дробь записывается иначе, чем обыкновенная. Операции с этими дробями также отличны от операций с обыкновенными. Правила действий над ними в значительной мере приближены к правилами действий над целыми числами. Этим, в частности, обусловлена их востребованность при решении практических задач.

Представление дроби в десятичной записи

В записи десятичной дроби нет знаменателя, в ней отображено число числителя. В общем виде запись десятичной дроби осуществляется по такой схеме:

где Х – целая часть дроби, Y – ее дробная часть, «,» – десятичная запятая.

Для правильного представления обыкновенной дроби в виде десятичной требуется, чтобы она была правильной, то есть с выделенной целой частью (если это возможно) и числителем, который меньше знаменателя. Тогда в десятичной записи целая часть записывается до десятичной запятой (Х), а числитель обыкновенной дроби – после десятичной запятой (Y).

Если в числителе представлено число с количеством знаков, меньшим, чем количество нулей в знаменателе, то в части Y недостающее количество знаков в десятичной записи заполняется нулями впереди цифр числителя.

Пример:

Если обыкновенная дробь меньше 1, т.е. не имеет целой части, то для Х в десятичном виде записывают 0.

В дробной части (Y), после последнего значимого (отличного от нуля) разряда, может быть вписано произвольное количество нулей. На значение дроби это не влияет. И наоборот: все нули в конце дробной части десятичной дроби можно опустить.

Прочтение десятичных дробей

Часть Х читается в общем случае так: «Х целых».

Часть Y прочитывается в соответствии с числом в знаменателе. Для знаменателя 10 следует читать: «Y десятых», для знаменателя 100: «Y сотых», для знаменателя 1000: «Y тысячных» и так далее… 😉

Более корректным считается другой подход к прочтению, основанный на подсчете количества разрядов дробной части. Для этого нужно понимать, что дробные разряды расположены в зеркальном отражении по отношению к разрядам целой части дроби.

Наименования для правильного прочтения приведены в таблице:

Исходя из этого, прочтение должно опираться на соответствие наименованию разряда последней цифры дробной части.

• 3,5 читается как «три целых пять десятых»
• 0,016 читается как «ноль целых шестнадцать тысячных»

Перевод произвольной обыкновенной дроби в десятичную

Если в знаменателе обыкновенной дроби стоит 10 или какая-нибудь степень десятки, то перевод дроби выполняется как описано выше. В остальных ситуациях необходимы дополнительные преобразования.

Существует 2 способа перевода.

Первый способ перевода

Числитель и знаменатель необходимо домножить на такое целое число, чтобы в знаменателе было получено число 10 или одна из степеней десятки. А далее дробь представляется в десятичной записи.

Этот способ применим для дробей, знаменатель которых раскладывается только на 2 и 5. Так, в предыдущем примере . Если же в разложении присутствуют другие простые множители (например, ), то придется прибегнуть ко 2-му способу.

Второй способ перевода

2-й способ заключается в делении числителя на знаменатель в столбик или на калькуляторе. Целая часть, если таковая имеется, в преобразовании не участвует.

Правило деления в столбик, приводящее в результате к десятичной дроби, описано ниже (см. Деление десятичных дробей).

Перевод десятичной дроби в обыкновенную

Для этого следует ее дробную часть (справа от запятой) записать в виде числителя, а результат прочтения дробной части – в виде соответствующего числа в знаменателе. Далее, если это возможно, нужно сократить полученную дробь.

Конечная и бесконечная десятичная дробь

Конечной называют десятичная дробь, дробная часть которой состоит из конечного количества цифр.

Выше все приведенные примеры содержат именно конечные десятичные дроби. Однако не всякую обыкновенную дробь возможно представить в виде конечной десятичной. Если 1-й способ перевода для данной дроби не применим, а 2-й способ демонстрирует, что деление невозможно завершить, значит, получена может быть только бесконечная десятичная дробь.

В полном виде бесконечную дробь записать невозможно. В неполном же виде такие дроби можно представить:

1. как результат сокращения до желательного количества разрядов после запятой;
2. в виде периодической дроби.

Периодической называется дробь, у которой после запятой можно выделить повторяющуюся бесконечно последовательность цифр.

Остальные дроби называются непериодическими. Для непериодических дробей допустим только 1-й способ представления (округление).

Пример периодической дроби: 0,8888888… Здесь налицо повторяющаяся цифра 8, которая, очевидно, будет повторяться до бесконечности, поскольку нет оснований предполагать иное. Эта цифра называется периодом дроби .

Периодические дроби бывают чистыми и смешанными. Чистой является десятичная дробь, у которой период начинается непосредственно после запятой. У смешанной дроби до периода после запятой имеется 1 или больше цифр.

54,33333… – периодическая чистая десят.дробь

2,5621212121… – периодическая смешанная дробь

Примеры записи бесконечных десятичных дробей:

Во 2-м примере показано, как правильно оформлять период в записи периодической дроби.

Перевод периодических десятичных дробей в обыкновенные

Для перевода чистой периодической дроби в обыкновенную ее период записывают в числитель, а в знаменатель пишут число, состоящее из девяток в количестве, равном количеству цифр в периоде.

Смешанная периодическая десятичная дробь переводится следующим образом:

1. нужно сформировать число, состоящее из числа, стоящего после запятой до периода, и первого периода;
2. из полученного числа вычесть число, стоящее после запятой до периода. Итог составит числитель обыкновенной дроби;
3. в знаменателе требуется вписать число, состоящее из кол-ва девяток, равных кол-ву цифр периода, а за ними нулей, кол-во которых равно количеству цифр числа, стоящего после запятой до 1-го периода.

Сравнение десятичных дробей

Десятичные дроби сравнивают первоначально по их целым частям. Больше та дробь, у которой больше ее целая часть.

Если целые части одинаковы, то сравнивают цифры соответствующих разрядов дробной части, начиная с первого (с десятых). Здесь действует тот же принцип: больше та из дробей, у которой больше разряд десятых; при равенстве цифр разряда десятых сравнивают разряды сотых и так далее.

Поскольку

, поскольку при равных целых частях и равных десятых в дробной части у 2-й дроби больше цифра сотых.

Сложение и вычитание десятичных дробей

Десятичные дроби складывают и вычитают так же, как и целые числа, записав соответствующие цифры друг под другом. Для этого нужно, чтобы друг под другом находились десятичные запятые. Тогда единицы (десятки и т.д.) целой части, а также десятые (сотые и т.д.) дробной окажутся в соответствии. Недостающие разряды дробной части заполняют нулями. Непосредственно процесс сложения и вычитания осуществляется так же, как и для целых чисел.

Умножение десятичных дробей

Для умножения десятичных дробей нужно записать их друг под другом, выровняв по последней цифре и не обращая внимания на местоположение десятичных запятых. Затем нужно перемножить числа так же, как и при умножении целых чисел. После получения результата следует пересчитать количество цифр после запятой в обоих дробях и отделить запятой в результирующем числе суммарное количество дробных разрядов. Если разрядов не хватает, то они заменяются нулями.

Умножение и деление десятичных дробей на 10 n

Эти действия просты и сводятся к переносу десятичной запятой. При умножении запятая переносится вправо (дробь увеличивается) на количество знаков, равных количеству нулей в 10 n , где n – произвольная целая степень. То есть некоторое количество цифр переносится из дробной части в целую. При делении, соответственно, запятая переносится влево (число уменьшается), и некоторая часть цифр переносится из целой части в дробную. Если цифр для переноса оказывается недостаточно, то недостающие разряды заполняются нулями.

Деление десятичной дроби и целого числа на целое число и на десятичную дробь

Деление в столбик десятичной дроби на целое число выполняется аналогично делению двух целых чисел. Дополнительно требуется только учет положения десятичной запятой: при сносе цифры разряда, за которым следует запятая, необходимо поставить запятую после текущей цифры формируемого ответа. Далее нужно продолжать делить до получения нуля. Если знаков в делимом для полного деления недостает, в их качестве следует использовать нули.

Аналогично делятся в столбик 2 целых числа, если снесены все цифры делимого, а полное деление еще не завершено. В этом случае после сноса последней цифры делимого ставится десят.запятая в формирующемся ответе, а в качестве сносимых цифр используют нули. Т.е. делимое здесь, по сути, представляют как десятичную дробь с нулевой дробной частью.

Для деления десят.дроби (или целого числа) на десят.число необходимо домножить делимое и делитель на число 10 n , в котором количество нулей равно количеству цифр после десят.запятой в делителе. Таким способом избавляются от десят.запятой в дроби, на которую требуется делить. Далее процесс деления совпадает с описанным выше.

Графическое представление десятичных дробей

Графически десятичные дроби изображаются посредством координатной прямой. Для этого единичные отрезки делят дополнительно на 10 равных долей подобно тому, как на линейке откладываются одновременно сантиметры и миллиметры. Это обеспечивает точное отображение десятичных дробей и возможность объективного их сравнения.

Чтобы дольные деления на единичных отрезках были одинаковыми, следует тщательно продумывать длину самого единичного отрезка. Она должна быть такой, чтобы можно было обеспечить удобство дополнительного деления.

Дроби

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")

Дроби в старших классах не сильно досаждают. До поры до времени. Пока не столкнётесь со степенями с рациональными показателями да логарифмами. А вот там…. Давишь, давишь калькулятор, а он все полное табло каких-то циферок кажет. Приходится головой думать, как в третьем классе.

Давайте уже разберёмся с дробями, наконец! Ну сколько можно в них путаться!? Тем более, это всё просто и логично. Итак, какие бывают дроби?

Виды дробей. Преобразования.

Дроби бывают трёх видов.

1. Обыкновенные дроби , например:

Иногда вместо горизонтальной чёрточки ставят наклонную черту: 1/2, 3/4, 19/5, ну, и так далее. Здесь мы часто будем таким написанием пользоваться. Верхнее число называется числителем , нижнее - знаменателем. Если вы постоянно путаете эти названия (бывает...), скажите себе с выражением фразу: "Ззззз апомни! Ззззз наменатель - вниззззз у!" Глядишь, всё и ззззапомнится.)

Чёрточка, что горизонтальная, что наклонная, означает деление верхнего числа (числителя) на нижнее (знаменатель). И всё! Вместо чёрточки вполне можно поставить знак деления - две точки.

Когда деление возможно нацело, это надо делать. Так, вместо дроби "32/8" гораздо приятнее написать число "4". Т.е. 32 просто поделить на 8.

32/8 = 32: 8 = 4

Я уж и не говорю про дробь "4/1". Которая тоже просто "4". А если уж не делится нацело, так и оставляем, в виде дроби. Иногда приходится обратную операцию проделывать. Делать из целого числа дробь. Но об этом далее.

2. Десятичные дроби , например:

Именно в таком виде нужно будет записывать ответы на задания "В".

3. Смешанные числа , например:

Смешанные числа практически не используются в старших классах. Для того, чтобы с ними работать, их всяко надо переводить в обыкновенные дроби. Но это точно надо уметь делать! А то попадётся такое число в задачке и зависните... На пустом месте. Но мы-то вспомним эту процедуру! Чуть ниже.

Наиболее универсальны обыкновенные дроби . С них и начнём. Кстати, если в дроби стоят всякие логарифмы, синусы и прочие буковки, это ничего не меняет. В том смысле что все действия с дробными выражениями ничем не отличаются от действий с обыкновенными дробями !

Основное свойство дроби.

Итак, поехали! Для начала я вас удивлю. Всё многообразие преобразований дробей обеспечивается одним-единственным свойством! Оно так и называется, основное свойство дроби . Запоминайте: если числитель и знаменатель дроби умножить (разделить) на одно и то же число, дробь не изменится. Т.е:

Понятно, что писать можно дальше, до посинения. Синусы и логарифмы пусть вас не смущают, с ними дальше разберёмся. Главное понять, что все эти разнообразные выражения есть одна и та же дробь . 2/3.

А оно нам надо, все эти превращения? Ещё как! Сейчас сами увидите. Для начала употребим основное свойство дроби для сокращения дробей . Казалось бы, вещь элементарная. Делим числитель и знаменатель на одно и то же число и все дела! Ошибиться невозможно! Но... человек - существо творческое. Ошибиться везде может! Особенно, если приходится сокращать не дробь типа 5/10, а дробное выражение со всякими буковками.

Как правильно и быстро сокращать дроби, не делая лишней работы, можно прочитать в особом Разделе 555 .

Нормальный ученик не заморачивается делением числителя и знаменателя на одно и то же число (или выражение)! Он просто зачеркивает всё одинаковое сверху и снизу! Здесь-то и таится типичная ошибка, ляп, если хотите.

Например, надо упростить выражение:

Тут и думать нечего, зачеркиваем букву "а" сверху и двойку снизу! Получаем:

Все правильно. Но реально вы поделили весь числитель и весь знаменатель на "а". Если вы привыкли просто зачеркивать, то, впопыхах, можете зачеркнуть "а" в выражении

и получить снова

Что будет категорически неверно. Потому что здесь весь числитель на "а" уже не делится ! Эту дробь сократить нельзя. Кстати, такое сокращение – это, гм… серьезный вызов преподавателю. Такого не прощают! Запомнили? При сокращении делить надо весь числитель и весь знаменатель!

Сокращение дробей сильно облегчает жизнь. Получится где-нибудь у вас дробь, к примеру 375/1000. И как теперь с ней дальше работать? Без калькулятора? Умножать, скажем, складывать, в квадрат возводить!? А если не полениться, да аккуратненько сократить на пять, да ещё на пять, да ещё... пока сокращается, короче. Получим 3/8! Куда приятнее, правда?

Основное свойство дроби позволяет переводить обыкновенные дроби в десятичные и наоборот без калькулятора ! Это важно на ЕГЭ, верно?

Как переводить дроби из одного вида в другой.

С десятичными дробями всё просто. Как слышится, так и пишется! Скажем, 0,25. Это ноль целых, двадцать пять сотых. Так и пишем: 25/100. Сокращаем (делим числитель и знаменатель на 25), получаем обычную дробь: 1/4. Всё. Бывает, и не сокращается ничего. Типа 0,3. Это три десятых, т.е. 3/10.

А если целых - не ноль? Ничего страшного. Записываем всю дробь без всяких запятых в числитель, а в знаменатель - то, что слышится. Например: 3,17. Это три целых, семнадцать сотых. Пишем в числитель 317, а в знаменатель 100. Получаем 317/100. Ничего не сокращается, значит всё. Это ответ. Элементарно, Ватсон! Из всего сказанного полезный вывод: любую десятичную дробь можно превратить в обыкновенную .

А вот обратное преобразование, обыкновенной в десятичную, некоторые без калькулятора не могут сделать. А надо! Как вы ответ записывать будете на ЕГЭ!? Внимательно читаем и осваиваем этот процесс.

Десятичная дробь чем характерна? У неё в знаменателе всегда стоит 10, или 100, или 1000, или 10000 и так далее. Если ваша обычная дробь имеет такой знаменатель, проблем нет. Например, 4/10 = 0,4. Или 7/100 = 0,07. Или 12/10 = 1,2. А если в ответе на задание раздела "В" получилось 1/2? Что в ответ писать будем? Там десятичные требуются...

Вспоминаем основное свойство дроби ! Математика благосклонно позволяет умножать числитель и знаменатель на одно и то же число. На любое, между прочим! Кроме нуля, разумеется. Вот и применим это свойство себе на пользу! На что можно умножить знаменатель, т.е. 2 чтобы он стал 10, или 100, или 1000 (поменьше лучше, конечно...)? На 5, очевидно. Смело умножаем знаменатель (это нам надо) на 5. Но, тогда и числитель надо умножить тоже на 5. Это уже математика требует! Получим 1/2 = 1х5/2х5 = 5/10 = 0,5. Вот и всё.

Однако, знаменатели всякие попадаются. Попадётся, например дробь 3/16. Попробуй, сообрази тут, на что 16 умножить, чтоб 100 получилось, или 1000... Не получается? Тогда можно просто разделить 3 на 16. За отсутствием калькулятора делить придётся уголком, на бумажке, как в младших классах учили. Получим 0,1875.

А бывают и совсем скверные знаменатели. Например, дробь 1/3 ну никак не превратишь в хорошую десятичную. И на калькуляторе, и на бумажке, мы получим 0,3333333... Это значит, что 1/3 в точную десятичную дробь не переводится . Так же, как и 1/7, 5/6 и так далее. Много их, непереводимых. Отсюда ещё один полезный вывод. Не каждая обыкновенная дробь переводится в десятичную !

Кстати, это полезная информация для самопроверки. В разделе "В" в ответ надо десятичную дробь записывать. А у вас получилось, например, 4/3. Эта дробь не переводится в десятичную. Это означает, что где-то вы ошиблись по дороге! Вернитесь, проверьте решение.

Итак, с обыкновенными и десятичными дробями разобрались. Осталось разобраться со смешанными числами. Для работы с ними их всяко нужно перевести в обыкновенные дроби. Как это сделать? Можно поймать шестиклассника и спросить у него. Но не всегда шестиклассник окажется под руками... Придётся самим. Это несложно. Надо знаменатель дробной части умножить на целую часть и прибавить числитель дробной части. Это будет числитель обычной дроби. А знаменатель? Знаменатель останется тем же самым. Звучит сложно, но на деле всё элементарно. Смотрим пример.

Пусть в задачке вы с ужасом увидели число:

Спокойно, без паники соображаем. Целая часть - это 1. Единица. Дробная часть - 3/7. Стало быть, знаменатель дробной части - 7. Этот знаменатель и будет знаменателем обыкновенной дроби. Считаем числитель. 7 умножаем на 1 (целая часть) и прибавляем 3 (числитель дробной части). Получим 10. Это будет числитель обыкновенной дроби. Вот и всё. Еще проще это выглядит в математической записи:

Ясненько? Тогда закрепите успех! Переведите в обыкновенные дроби. У вас должно получится 10/7, 7/2, 23/10 и 21/4.

Обратная операция - перевод неправильной дроби в смешанное число - в старших классах редко требуется. Ну если уж... И если Вы - не в старших классах - можете заглянуть в особый Раздел 555 . Там же, кстати, и про неправильные дроби узнаете.

Ну вот, практически и всё. Вы вспомнили виды дробей и поняли, как переводить их из одного вида в другой. Остаётся вопрос: зачем это делать? Где и когда применять эти глубокие познания?

Отвечаю. Любой пример сам подсказывает необходимые действия. Если в примере смешались в кучу обыкновенные дроби, десятичные, да ещё и смешанные числа, переводим всё в обыкновенные дроби. Это всегда можно сделать . Ну а если написано, что-нибудь типа 0,8 + 0,3, то так и считаем, безо всякого перевода. Зачем нам лишняя работа? Мы выбираем тот путь решения, который удобен нам !

Если в задании сплошь десятичные дроби, но гм... злые какие-то, перейдите к обыкновенным, попробуйте! Глядишь, всё и наладится. Например, придется в квадрат возводить число 0,125. Не так-то просто, если от калькулятора не отвыкли! Мало того, что числа перемножать столбиком надо, так ещё думай, куда запятую вставить! В уме точно не получится! А если перейти к обыкновенной дроби?

0,125 = 125/1000. Сокращаем на 5 (это для начала). Получаем 25/200. Ещё раз на 5. Получаем 5/40. О, ещё сокращается! Снова на 5! Получаем 1/8. Легко возводим в квадрат (в уме!) и получаем 1/64. Всё!

Подведём итоги этого урока.

1. Дроби бывают трёх видов. Обыкновенные, десятичные и смешанные числа.

2. Десятичные дроби и смешанные числа всегда можно перевести в обыкновенные дроби. Обратный перевод не всегда возможен.

3. Выбор вида дробей для работы с заданием зависит от этого самого задания. При наличии разных видов дробей в одном задании, самое надёжное - перейти к обыкновенным дробям.

Теперь можно потренироваться. Для начала переведите эти десятичные дроби в обыкновенные:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Должны получиться вот такие ответы (в беспорядке!):

На этом и завершим. В этом уроке мы освежили в памяти ключевые моменты по дробям. Бывает, правда, что освежать особо нечего...) Если уж кто совсем крепко забыл, или ещё не освоил... Тем можно пройти в особый Раздел 555 . Там все основы подробненько расписаны. Многие вдруг всё понимать начинают. И решают дроби с лёту).

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Десятичная дробь используется, когда нужно выполнять действия с нецелыми числами. Это может показаться нерациональным. Но такой вид чисел существенно облегчает математические операции, которые с ними необходимо выполнять. Это понимание приходит со временем, когда их запись становится привычной, а прочтение не вызывает трудностей, и освоены правила десятичных дробей. Тем более что все действия повторяют уже известные, которые усвоены с натуральными числами. Только нужно запомнить некоторые особенности.

Определение десятичной дроби

Десятичная дробь — это особое представление нецелого числа со знаменателем, который делится на 10, а ответ получается в виде единицы и, возможно, нулей. Другими словами, если в знаменателе 10, 100, 1000 и так далее, то удобнее переписать число с использованием запятой. Тогда до нее будет расположена целая часть, а потом - дробная. Причем запись второй половины числа будет зависеть от знаменателя. Количество цифр, которые находятся в дробной части, должно быть равно разряду знаменателя.

Проиллюстрировать вышесказанное можно этими числами:

9/10=0,9; 178/10000=0,0178; 3,05; 56 003,7006.

Причины, по которым понадобилось применение десятичных дробей

Математикам потребовались десятичные дроби по нескольким основаниям:

Упрощение записи. Такая дробь расположена вдоль одной линии без черточки между знаменателем и числителем, при этом наглядность не страдает.

Простота в сравнении. Достаточно просто соотнести цифры, находящиеся в одинаковых позициях, в то время как с обыкновенными дробями пришлось бы приводить их к общему знаменателю.

Упрощение вычислений.

Калькуляторы не рассчитаны на введение обыкновенных дробей, они для всех операций используют десятичную запись чисел.

Как правильно прочитать такие числа?

Ответ прост: так же, как обыкновенное смешанное число со знаменателем, кратным 10. Исключение составляют только дроби без целого значения, тогда при чтении нужно произносить «ноль целых».

Например, 45/1000 нужно произнести как сорок пять тысячных , в то же время 0,045 будет звучать как ноль целых сорок пять тысячных .

Смешанное число с целой частью равной 7 и дробью 17/100, что запишется как 7,17, в обоих случаях будет прочитано как семь целых семнадцать сотых .

Роль разрядов в записи дробей

Верно отметить разряд - это то, что требует математика. Десятичные дроби и их значение могут существенно измениться, если записать цифру не в том месте. Впрочем, это было справедливо и раньше.

Для прочтения разрядов целой части десятичной дроби нужно просто воспользоваться правилами, известными для натуральных чисел. А в правой части они зеркально отражаются и по-другому читаются. Если в целой части звучало "десятки", то после запятой это будут уже "десятые".

Наглядно это можно увидеть в этой таблице.

Таблица разрядов десятичной дроби

класс	тысячи			единицы			,	дробная часть
разряд	сот.	дес.	ед.	сот.	дес.	ед.		десятая	сотая	тысячная	десятитысячная

Как правильно записать смешанное число десятичной дробью?

Если в знаменателе стоит число, равное 10 или 100, и прочие, то вопрос о том, как дробь перевести в десятичную, несложен. Для этого достаточно по-другому переписать все ее составные части. В этом помогут такие пункты:

немного в стороне написать числитель дроби, в этот момент десятичная запятая располагается справа, после последней цифры;

переместить запятую влево, здесь самое главное - правильно сосчитать цифры — передвинуть ее нужно на столько позиций, сколько нолей в знаменателе;

если их не хватает, то на пустых позициях должны оказаться нули;

нули, которые были в конце числителя, теперь не нужны, и их можно зачеркнуть;

перед запятой приписать целую часть, если ее не было, то здесь тоже окажется нуль.

Внимание. Нельзя зачеркивать нули, которые оказались окружены другими цифрами.

О том, как быть в ситуации, когда в знаменателе число не только из единицы и нулей, как дробь переводить в десятичную, можно прочитать чуть ниже. Это важная информация, с которой обязательно стоит ознакомиться.

Как дробь перевести в десятичную, если знаменатель - произвольное число?

Здесь возможны два варианта:

Когда знаменатель можно представить в виде числа, которое равно десяти в любой степени.

Если такую операцию проделать нельзя.

Как это проверить? Нужно разложить знаменатель на множители. Если в произведении присутствуют только 2 и 5, то все хорошо, и дробь легко преобразуется в конечную десятичную. В противном случае, если появляются 3, 7 и другие простые числа, то результат будет бесконечным. Такую десятичную дробь для удобства использования в математических операциях принято округлять. Об этом будет речь немного ниже.

Изучает, как получаются такие десятичные дроби, 5 класс. Примеры здесь будут очень кстати.

Пусть в знаменателях находятся числа: 40, 24 и 75. Разложение на простые множители для них будет такое:

• 40=2·2·2·5;
• 24=2·2·2·3;
• 75=5·5·3.

В этих примерах только первая дробь может быть представлена в виде конечной.

Алгоритм перевода обыкновенной дроби в конечную десятичную

Проверить разложение знаменателя на простые множители и убедиться в том, что оно будет состоять из 2 и 5.

Добавить к этим числам столько 2 и 5, чтобы их стало равное количество. Они дадут значение дополнительного множителя.

Произвести умножение знаменателя и числителя на это число. В результате получится обыкновенная дробь, под чертой у которой стоит 10 в некоторой степени.

Если в задаче эти действия выполняются со смешанным числом, то его сначала нужно представить в виде неправильной дроби. А уже потом действовать по описанному сценарию.

Представление обыкновенной дроби в виде округленной десятичной

Этот способ того, как дробь переводить в десятичную, кому-то покажется даже проще. Потому что в нем нет большого количества действий. Нужно только разделить значение числителя на знаменатель.

К любому числу с десятичной частью справа от запятой можно приписать бесконечное количество нулей. Этим свойством и нужно воспользоваться.

Сначала записать целую часть и поставить после нее запятую. Если дробь правильная, то написать ноль.

Потом полагается выполнить деление числителя на знаменатель. Так, чтобы количество цифр у них было одинаковым. То есть приписать справа у числителя нужное количество нолей.

Выполнять деление в столбик до тех пор, пока не будет набрано нужное количество цифр. Например, если округлить нужно будет до сотых, то в ответе их должно быть 3. В общем, цифр должно быть на одну больше, чем нужно получить в итоге.

Записать промежуточный ответ после запятой и округлить по правилам. Если последняя цифра - от 0 до 4, то ее нужно просто отбросить. А когда она равна 5-9, то стоящую перед ней нужно увеличить на единицу, отбросив последнюю.

Возврат от десятичной дроби к обыкновенной

В математике встречаются задачи, когда десятичные дроби удобнее представить в виде обыкновенных, в которых есть числитель со знаменателем. Можно вздохнуть с облегчением: эта операция возможна всегда.

Для этой процедуры нужно сделать следующее:

записать целую часть, если она равна нулю, то ничего писать не надо;

провести дробную черту;

над ней записать цифры из правой части, если первыми идут нули, то их нужно зачеркнуть;

под чертой написать единицу с таким количеством нолей, сколько цифр стоит после запятой в первоначальной дроби.

Это все, что нужно сделать, чтобы перевести десятичную дробь в обыкновенную.

Что можно делать с десятичными дробями?

В математике это будут определенные действия с десятичными дробями, которые ранее выполнялись для других чисел.

Ими являются:

сравнение;

сложение и вычитание;

умножение и деление.

Первое действие, сравнение, похоже на то, как это делалось для натуральных чисел. Чтобы определить, какое больше, нужно сравнивать разряды целой части. Если они окажутся равными, то переходят к дробной и так же по разрядам сравнивают их. То число, где окажется большая цифра в старшем разряде, и будет ответом.

Сложение и вычитание десятичных дробей

Это, пожалуй, самые простые действия. Потому что выполняются по правилам для натуральных чисел.



Так, чтобы выполнить сложение десятичных дробей, их нужно записать друг под другом, разместив запятые в столбик. При такой записи слева от запятых оказываются целые части, а справа — дробные. И теперь нужно сложить цифры поразрядно, как это делается с натуральными числами, снеся вниз запятую. Начинать сложение нужно с самого маленького разряда дробной части числа. Если в правой половине не хватает цифр, то дописывают нули.

При вычитании действуют так же. И здесь действует правило, которое описывает возможность занять единицу у старшего разряда. Если в уменьшаемой дроби после запятой меньше цифр, чем у вычитаемого, то в ней просто приписывают нули.

Немного сложнее обстоит дело с заданиями, где нужно выполнить умножение и деление десятичных дробей.

Как умножить десятичную дробь в разных примерах?

Правило, по которому производится умножение десятичных дробей на натуральное число, такое:

записать их в столбик, не обращая внимания на запятую;

перемножить, как если бы они были натуральными;

отделить запятой столько цифр, сколько их было в дробной части исходного числа.

Частным случаем является пример, в котором натуральное число равно 10 в любой степени. Тогда для получения ответа нужно просто передвинуть запятую вправо на столько позиций, сколько нулей в другом множителе. Иными словами, при умножении на 10 запятая сдвигается на одну цифру, на 100 - их будет уже две, и так далее. Если цифр в дробной части не хватает, то нужно записать на пустых позициях нули.

Правило, которым пользуются, когда в задании нужно произвести умножение десятичных дробей на другое такое же число:

записать их друг под другом, не обращая внимания на запятые;

умножить, как если бы они были натуральными;

отделить запятой столько цифр, сколько их было в дробных частях обеих исходных дробях вместе.

Частным случаем выделяются примеры, в которых один из множителей равен 0,1 или 0,01 и далее. В них нужно выполнить перемещение запятой влево на количество цифр в представленных множителях. То есть если умножается на 0,1, то запятая сдвигается на одну позицию.

Как разделить десятичную дробь в разных заданиях?

Деление десятичных дробей на натуральное число выполняется по такому правилу:

записать их для деления в столбик, как если бы они были натуральными;

делить по привычному правилу до тех пор, пока не закончится целая часть;

поставить в ответ запятую;

продолжить деление дробной составляющей до получения в остатке нуля;

если нужно, то можно приписать нужное количество нулей.

Если целая часть равна нулю, то и в ответе ее тоже не будет.

Отдельно стоит деление на числа, равные десятке, сотне и так далее. В таких задачах нужно передвинуть запятую влево на количество нулей в делителе. Бывает, что цифр в целой части не хватает, тогда вместо них используют нули. Можно заметить, что эта операция подобна умножению на 0,1 и подобным ей числам.

Чтобы выполнить деление десятичных дробей, нужно воспользоваться этим правилом:

превратить делитель в натуральное число, а для этого перенести в нем запятую вправо до конца;

выполнить перемещение запятой и в делимом на такое же число цифр;

действовать по предыдущему сценарию.

Выделяется деление на 0,1; 0,01 и прочие подобные числа. В таких примерах запятая сдвигается вправо на число цифр в дробной части. Если они закончились, то нужно приписать недостающее количество нулей. Стоит отметить, что это действие повторяет деление на 10 и подобные ему числа.



Заключение: все дело в практике

Ничто в учебе не дается легко и без усилий. Для надежного освоения нового материала требуются время и тренировка. Математика не исключение.

Чтобы тема про десятичные дроби не вызывала затруднений, нужно решать с ними примеров как можно больше. Ведь было время, когда и сложение натуральных чисел ставило в тупик. А теперь все нормально.

Поэтому, перефразируя известную фразу: решать, решать и еще раз решать. Тогда и задания с такими числами будут выполняться легко и непринужденно, как очередная головоломка.

Кстати, и головоломки поначалу решаются сложно, а потом нужно делать привычные движения. Так же и в математических примерах: пройдя по одному пути несколько раз, потом уже не будешь задумываться над тем, куда повернуть.

Эта статья про десятичные дроби . Здесь мы разберемся с десятичной записью дробных чисел, введем понятие десятичной дроби и приведем примеры десятичных дробей. Дальше поговорим о разрядах десятичных дробей, дадим названия разрядов. После этого остановимся на бесконечных десятичных дробях, скажем о периодических и непериодических дробях. Дальше перечислим основные действия с десятичными дробями. В заключение установим положение десятичных дробей на координатном луче.

Навигация по странице.

Десятичная запись дробного числа

Чтение десятичных дробей

Скажем пару слов о правилах чтения десятичных дробей.

Десятичные дроби, которым соответствуют правильные обыкновенные дроби, читаются также как и эти обыкновенные дроби, только еще предварительно добавляется «ноль целых». Например, десятичной дроби 0,12 отвечает обыкновенная дробь 12/100 (читается «двенадцать сотых»), поэтому, 0,12 читается как «нуль целых двенадцать сотых».

Десятичные дроби, которым соответствуют смешанные числа, читаются абсолютно также как эти смешанные числа. Например, десятичной дроби 56,002 соответствует смешанное число , поэтому, десятичная дробь 56,002 читается как «пятьдесят шесть целых две тысячных».

Разряды в десятичных дробях

В записи десятичных дробей, также как и в записи натуральных чисел, значение каждой цифры зависит от ее позиции. Действительно, цифра 3 в десятичной дроби 0,3 означает три десятых, в десятичной дроби 0,0003 – три десяти тысячных, а в десятичной дроби 30 000,152 – три десятка тысяч. Таким образом, мы можем говорить о разрядах в десятичных дробях , так же как и о разрядах в натуральных числах .

Названия разрядов в десятичной дроби до десятичной запятой полностью совпадают с названиями разрядов в натуральных числах. А названия разрядов в десятичной дроби после запятой видны из следующей таблицы.

Например, в десятичной дроби 37,051 цифра 3 находится в разряде десятков, 7 – в разряде единиц, 0 стоит в разряде десятых, 5 – в разряде сотых, 1 – в разряде тысячных.

Разряды в десятичной дроби также различаются по старшинству. Если в записи десятичной дроби двигаться от цифры к цифре слева на право, то мы будем перемещаться от старших к младшим разрядам . Например, разряд сотен старше разряда десятых, а разряд миллионных младше разряда сотых. В данной конечной десятичной дроби можно говорить о старшем и младшем разряде. К примеру, в десятичной дроби 604,9387 старшим (высшим) разрядом является разряд сотен, а младшим (низшим) - разряд десятитысячных.

Для десятичных дробей имеет место разложение по разрядам. Оно аналогично разложению по разрядам натуральных чисел . Например, разложение по разрядам десятичной дроби 45,6072 таково: 45,6072=40+5+0,6+0,007+0,0002 . А свойства сложения от разложения десятичной дроби по разрядам позволяют перейти к другим представлениям этой десятичной дроби, например, 45,6072=45+0,6072 , или 45,6072=40,6+5,007+0,0002 , или 45,6072=45,0072+0,6 .

Конечные десятичные дроби

До этого момента мы говорили лишь о десятичных дробях, в записи которых после десятичной запятой находится конечное число цифр. Такие дроби называют конечными десятичными дробями.

Определение.

Конечные десятичные дроби – это десятичные дроби, в записях которых содержится конечное число знаков (цифр).

Приведем несколько примеров конечных десятичных дробей: 0,317 , 3,5 , 51,1020304958 , 230 032,45 .

Однако не всякая обыкновенная дробь может быть представлена в виде конечной десятичной дроби. К примеру, дробь 5/13 не может быть заменена равной ей дробью с одним из знаменателей 10, 100, … , следовательно, не может быть переведена в конечную десятичную дробь. Подробнее об этом мы поговорим в разделе теории перевод обыкновенных дробей в десятичные дроби .

Бесконечные десятичные дроби: периодические дроби и непериодические дроби

В записи десятичной дроби после запятой можно допустить возможность наличия бесконечного количества цифр. В этом случае мы придем к рассмотрению так называемых бесконечных десятичных дробей.

Определение.

Бесконечные десятичные дроби – это десятичные дроби, в записи которых находится бесконечное множество цифр.

Понятно, что бесконечные десятичные дроби мы не можем записать в полном виде, поэтому в их записи ограничиваются лишь некоторым конечным числом цифр после запятой и ставят многоточие, указывающее на бесконечно продолжающуюся последовательность цифр. Приведем несколько примеров бесконечных десятичных дробей: 0,143940932… , 3,1415935432… , 153,02003004005… , 2,111111111… , 69,74152152152… .

Если внимательно посмотреть на две последние бесконечные десятичные дроби, то в дроби 2,111111111… хорошо видна бесконечно повторяющаяся цифра 1 , а в дроби 69,74152152152… , начиная с третьего знака после запятой, отчетливо видна повторяющаяся группа цифр 1 , 5 и 2 . Такие бесконечные десятичные дроби называют периодическими.

Определение.

Периодические десятичные дроби (или просто периодические дроби ) – это бесконечные десятичные дроби, в записи которых, начиная с некоторого знака после запятой, бесконечно повторяется какая-нибудь цифра или группа цифр, которую называют периодом дроби .

Например, периодом периодической дроби 2,111111111… является цифра 1 , а периодом дроби 69,74152152152… является группа цифр вида 152 .

Для бесконечных периодических десятичных дробей принята особая форма записи. Для краткости условились период записывать один раз, заключая его в круглые скобки. Например, периодическая дробь 2,111111111… записывается как 2,(1) , а периодическая дробь 69,74152152152… записывается как 69,74(152) .

Стоит отметить, что для одной и той же периодической десятичной дроби можно указать различные периоды. Например, периодическую десятичную дробь 0,73333… можно рассматривать как дробь 0,7(3) с периодом 3 , а также как дробь 0,7(33) с периодом 33 , и так далее 0,7(333), 0,7(3333), … Также на периодическую дробь 0,73333… можно посмотреть и так: 0,733(3) , или так 0,73(333) и т.п. Здесь, чтобы избежать многозначности и разночтений, условимся рассматривать в качестве периода десятичной дроби самую короткую из всех возможных последовательностей повторяющихся цифр, и начинающуюся с самой близкой позиции к десятичной запятой. То есть, периодом десятичной дроби 0,73333… будем считать последовательность из одной цифры 3 , и периодичность начинается со второй позиции после запятой, то есть, 0,73333…=0,7(3) . Еще пример: периодическая дробь 4,7412121212… имеет период 12 , периодичность начинается с третьей цифры после запятой, то есть, 4,7412121212…=4,74(12) .

Бесконечные десятичные периодические дроби получаются при переводе в десятичные дроби обыкновенных дробей, знаменатели которых содержат простые множители, отличные от 2 и 5 .

Здесь же стоит сказать о периодических дробях с периодом 9 . Приведем примеры таких дробей: 6,43(9) , 27,(9) . Эти дроби являются другой записью периодических дробей с периодом 0 , и их принято заменять периодическими дробями с периодом 0 . Для этого период 9 заменяют периодом 0 , а значение следующего по старшинству разряда увеличивают на единицу. Например, дробь с периодом 9 вида 7,24(9) заменяется периодической дробью с периодом 0 вида 7,25(0) или равной ей конечной десятичной дробью 7,25 . Еще пример: 4,(9)=5,(0)=5 . Равенство дроби с периодом 9 и соответствующей ей дроби с периодом 0 легко устанавливается, после замены этих десятичных дробей равными им обыкновенными дробями.

Наконец, повнимательнее рассмотрим бесконечные десятичные дроби, в записи которых отсутствует бесконечно повторяющаяся последовательность цифр. Их называют непериодическими.

Определение.

Непериодические десятичные дроби (или просто непериодические дроби ) – это бесконечные десятичные дроби, не имеющие периода.

Иногда непериодические дроби имеют вид, схожий с видом периодических дробей, например, 8,02002000200002… - непериодическая дробь. В этих случаях следует быть особо внимательными, чтобы заметить разницу.

Отметим, что непериодические дроби не переводятся в обыкновенные дроби, бесконечные непериодические десятичные дроби представляют иррациональные числа .

Действия с десятичными дробями

Одним из действий с десятичными дробями является сравнение, также определены четыре основных арифметических действия с десятичными дробями : сложение, вычитание, умножение и деление. Рассмотрим отдельно каждое из действий с десятичными дробями.

Сравнение десятичных дробей по сути базируется на сравнении обыкновенных дробей , отвечающих сравниваемым десятичным дробям. Однако перевод десятичных дробей в обыкновенные является достаточно трудоемким действием, да и бесконечные непериодические дроби не могут быть представлены в виде обыкновенной дроби, поэтому удобно использовать поразрядное сравнение десятичных дробей. Поразрядное сравнение десятичных дробей аналогично сравнению натуральных чисел . Для получения более детальной информации рекомендуем изучить материал статьи сравнение десятичных дробей, правила, примеры, решения .

Переходим к следующему действию - умножению десятичных дробей . Умножение конечных десятичных дробей проводится аналогично вычитание десятичных дробей, правила, примеры, решения умножению столбиком натуральных чисел. В случае периодических дробей умножение можно свести к умножению обыкновенных дробей . В свою очередь умножение бесконечных непериодических десятичных дробей после их округления сводится к умножению конечных десятичных дробей. Рекомендуем к дальнейшему изучению материал статьи умножение десятичных дробей, правила, примеры, решения .

Десятичные дроби на координатном луче

Между точками и десятичными дробями существует взаимно однозначное соответствие.

Разберемся, как строятся точки на координатном луче, соответствующие данной десятичной дроби.

Конечные десятичные дроби и бесконечные периодические десятичные дроби мы можем заменить равными им обыкновенными дробями, после чего построить соответствующие обыкновенные дроби на координатном луче . Например, десятичной дроби 1,4 отвечает обыкновенная дробь 14/10 , поэтому точка с координатой 1,4 удалена от начала отсчета в положительном направлении на 14 отрезков, равных десятой доле единичного отрезка.

Десятичные дроби можно отмечать на координатном луче, отталкиваясь от разложения данной десятичной дроби по разрядам. Например, пусть нам нужно построить точку с координатой 16,3007 , так как 16,3007=16+0,3+0,0007 , то в данную точку можно попасть, последовательно откладывая от начала координат 16 единичных отрезков, 3 отрезка, длина которых равна десятой доле единичного, и 7 отрезков, длина которого равна десятитысячной доле единичного отрезка.

Такой способ построения десятичных чисел на координатном луче позволяет сколь угодно близко приблизиться к точке, отвечающей бесконечной десятичной дроби.

Иногда возможно точно построить точку, соответствующую бесконечной десятичной дроби. Например, , тогда этой бесконечной десятичной дроби 1,41421… соответствует точка координатного луча, удаленная от начала координат на длину диагонали квадрата со стороной 1 единичный отрезок.

Обратный процесс получения десятичной дроби, соответствующей данной точке на координатном луче, представляет собой так называемое десятичное измерение отрезка . Разберемся, как оно проводится.

Пусть наша задача заключается в том, чтобы попасть из начала отсчета в данную точку координатной прямой (или бесконечно приблизиться к ней, если попасть в нее не получается). При десятичном измерении отрезка мы можем последовательно откладывать от начала отсчета любое количество единичных отрезков, далее отрезков, длина которых равна десятой доле единичного, затем отрезков, длина которых равна сотой доле единичного, и т.д. Записывая количество отложенных отрезков каждой длины, мы получим десятичную дробь, соответствующую данной точке на координатном луче.

К примеру, чтобы попасть в точку М на приведенном выше рисунке, нужно отложить 1 единичный отрезок и 4 отрезка, длина которых равна десятой доле единичного. Таким образом, точке М соответствует десятичная дробь 1,4 .

Понятно, что точкам координатного луча, в которые невозможно попасть в процессе десятичного измерения, соответствуют бесконечные десятичные дроби.

Список литературы.

• Математика : учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. - 21-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2007. - 280 с.: ил. ISBN 5-346-00699-0.
• Математика. 6 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Н. Я. Виленкин и др.]. - 22-е изд., испр. - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.

Чтобы рациональное число m/n записать в виде десятичной дроби, нужно числитель разделить на знаменатель. При этом частное записывается конечной или бесконечной десятичной дробью.

Записать данное число в виде десятичной дроби.

Решение. Разделим в столбик числитель каждой дроби на ее знаменатель: а) делим 6 на 25; б) делим 2 на 3; в) делим 1 на 2, а затем получившуюся дробь припишем к единице — целой части данного смешанного числа.

Несократимые обыкновенные дроби, знаменатели которых не содержат других простых делителей, кроме 2 и 5 , записываются конечной десятичной дробью.

В примере 1 в случае а) знаменатель 25=5·5; в случае в) знаменатель равен 2, поэтому, мы получили конечные десятичные дроби 0,24 и 1,5 . В случае б) знаменатель равен 3, поэтому результат нельзя записать в виде конечной десятичной дроби.

А можно ли без деления в столбик обратить в десятичную дробь такую обыкновенную дробь, знаменатель которой не содержит других делителей, кроме 2 и 5? Разберемся! Какую дробь называют десятичной и записывают без дробной черты? Ответ: дробь со знаменателем 10; 100; 1000 и т.д. А каждое из этих чисел — это произведение равного количества «двоек» и «пятерок». На самом деле: 10=2 ·5 ; 100=2 ·5 ·2 ·5 ; 1000=2 ·5 ·2 ·5 ·2 ·5 и т.д.

Следовательно, знаменатель несократимой обыкновенной дроби нужно будет представить в виде произведения «двоек» и «пятерок», а затем домножить на 2 и (или) на 5 так, чтобы «двоек» и «пятерок» стало поровну. Тогда знаменатель дроби будет равен 10 или 100 или 1000 и т.д. Чтобы значение дроби не изменилось — числитель дроби умножим на то же число, на которое умножили знаменатель.

Представить в виде десятичной дроби следующие обыкновенные дроби:

Решение. Каждая из данных дробей является несократимой. Разложим знаменатель каждой дроби на простые множители.

20=2·2·5. Вывод: не хватает одной «пятерки».

8=2·2·2. Вывод: не хватает трех «пятерок».

25=5·5. Вывод: не хватает двух «двоек».

Замечание. На практике чаще не используют разложение знаменателя на множители, а просто задаются вопросом: на сколько нужно умножить знаменатель, чтобы в результате получилась единица с нулями (10 или 100 или 1000 и т.д.). А затем на это же число умножают и числитель.

Так, в случае а) (пример 2 ) из числа 20 можно получить 100 умножением на 5, поэтому, на 5 нужно умножить числитель и знаменатель.

В случае б) (пример 2 ) из числа 8 число 100 не получится, но получится число 1000 умножением на 125. На 125 умножается и числитель (3) и знаменатель (8) дроби.

В случае в) (пример 2 ) из 25 получится 100, если умножить на 4. Значит, и числитель 8 нужно умножить на 4.

Бесконечная десятичная дробь, у которой одна или несколько цифр неизменно повторяются в одной и той же последовательности, называется периодической десятичной дробью. Совокупность повторяющихся цифр называется периодом этой дроби. Для краткости период дроби записывают один раз, заключая его в круглые скобки.

В случае б) (пример 1 ) повторяющаяся цифра одна и равна 6. Поэтому, наш результат 0,66... запишется так: 0,(6) . Читают: нуль целых, шесть в периоде.

Если между запятой и первым периодом есть одна или несколько не повторяющихся цифр, то такая периодическая дробь называется смешанной периодической дробью.

Несократимая обыкновенная дробь, знаменатель которой вместе с другими множителями содержит множитель 2 или 5 , обращается в смешанную периодическую дробь.

Предыдущая статья: Чему равна скорость света Следующая статья: Углерод — характеристика элемента и химические свойства