Симметрия вики. Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре

Районная научно-практическая конференция

школьников « К вершинам знаний»

Секция « Естественно-математические дисциплины»

Тема « Симметрия – символ красоты, гармонии и совершенства»

Выполнила: Нуралинова Евгения Сергеевна

МОУ Рождественская СОШ, 8 класс.

Руководитель: Митина Светлана Петровна,

учитель математики

Контактный телефон: 26-539.

§1. Введение

§2. Что такое симметрия? Ее виды в геометрии

§3. Проявление симметрии в живой и неживой природе

§4. Применение законов симметрии человеком

§5. Заключение

§6. Литература

§7. Приложения

§1. Введение

Когда мы проходили по геометрии тему «Симметрия», то на нее было отведено очень мало времени, а мне показалось эта тема интересной, и я решила взять ее для исследования. Мне захотелось побольше узнать по данному вопросу, ведь я уже ни раз слышала данный термин на других предметах и в быту. Приступив к исследованию, я заметила, что симметрия не только математическое понятие, она проявляется как нечто прекрасное в живой и неживой природе, а также в творениях человека. Поэтому я поставила перед собой такие проблемные вопросы:

Как проявляется гармоничность симметрии в природе;

Какие виды симметрий, встречаются в природе;

Как применяет красоту симметрии в своих творениях человек?

Поэтому тему своего исследования я назвала «Симметрия - символ красоты, гармонии и совершенства».

§2. Что такое симметрия? Ее виды в геометрии.

О, симметрия! Гимн тебе пою!

Тебя повсюду в мире узнаю.

Ты в Эйфелевой башне, в малой мошке,

Ты в елочке, что у лесной дорожки.

С тобою в дружбе и тюльпан, и роза,

И снежный рой – творение мороза!

А что же такое симметрия? В толковом словаре С.И. Ожегова симметрия истолковывается, как «соразмерность, одинаковость в расположении частей чего-нибудь по противоположным сторонам от точки, прямой или плоскости». Из этого же словаря я узнала, что слово гармония означает «согласованность, стройность в сочетании чего-нибудь». Мы видим, что симметрия и гармония связаны между собой.

В начале я рассмотрю какие виды симметрии встречаются в школьном курсе геометрии, а это:

Центральная (относительно точки)

Осевая (относительно прямой)

Зеркальная (относительно плоскости).

Центральная симметрия.

Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре. Точка О называется центром симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает центральной симметрией (см.рис. 1).

Осевая симметрия.

Фигура называется симметричной относительно прямой а , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а , также принадлежит этой фигуре. Прямая а называется осью симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает осевой симметрией (см. рис. 2).

Зеркальная симметрия.

Зеркальной симметрией (симметрией относительно плоскости) называется такое отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в симметричную ей относительно этой плоскости точку М1(см. Рис 3).

Теперь я хочу, понаблюдав и изучив специальную литературу, посмотреть, где найдет свое отображение симметрия. Почему мы находим одни вещи красивыми, а другие нет? Почему смотреть на симметричные изображения приятнее, нежели на асимметричные?

§3. Проявление симметрии в живой и неживой природе

Красота в природе не создаётся, а лишь фиксируется, выражается. Рассмотрим проявление симметрии с «глобального», а именно с нашей планеты Земля.

То, что Земля - шар, стало известно образованным людям еще в древности. Земля в представлении большинства начитанных людей до эпохи Коперника была центром мироздания. Поэтому прямые, проходящие через центр Земли, они считали центром симметрии Вселенной. Поэтому даже макет Земли – глобус имеет ось симметрии (см. рис. 4).

Среди цветов, например, наблюдается поворотная симметрия. Многие цветы можно повернуть так, что каждый лепесток займет положение соседнего, цветок совместится с самим собой. Минимальный угол такого поворота для различных цветов неодинаков. Для ириса он равен 120° (см. рис. 5), для колокольчика – 72° (см. рис. 6), для нарцисса – 60° (см. рис. 7). В расположении листьев на стеблях растений наблюдается винтовая симметрия. Располагаясь винтом по стеблю, листья как бы раскидываются в разные стороны и не заслоняют друг друга от света (см. рис. 8), хотя сами листья тоже имеют ось симметрии (см. рис. 9). Рассматривая общий план строения какого-либо животного, мы замечаем обычно известную правильность в расположении частей тела или органов, которые повторяются вокруг некоторой оси или занимают одно и то же положение по отношению к некоторой плоскости. Эту правильность называют симметрией тела. Явления симметрии столь широко распространены в животном мире, что весьма трудно указать группу, в которой никакой симметрии тела подметить нельзя. Симметрией обладают и маленькие насекомые, и крупные животные (см.рис. 10,11, 12).

· Среди бесконечного разнообразия форм неживой природы в изобилии встречаются такие совершенные образы, чей вид неизменно привлекает наше внимание. Наблюдая за красотой природы, можно заметить, что при отражении предметов в лужах, озерах проявляется зеркальная симметрия.

Видите? Это же голая зеркальность!

Глупая, глупая природа, ни о чем она не заботится так рьяно,

как о равновесии (см. рис. 13).

(Венедикт Ерофеев)

В мир неживой природы очарование симметрии вносят кристаллы (см.рис.14). Каждая снежинка- это маленький кристалл замерзшей воды. Форма снежинок может быть очень разнообразной, но все они обладают поворотной симметрией и, кроме того, зеркальной симметрией (см. рис. 15).

А что такое кристалл? Твердое тело, имеющее естественную форму многогранника. Соль, лед, песок и т.д. состоят из кристаллов. Прежде всего Ромэ-Делиль подчёркивал правильную геометрическую форму кристаллов исходя из закона постоянства углов между их гранями. Он писал: «К разряду кристаллов стали относить все тела минерального царства, для которых находили фигуру геометрического многогранника…» Правильная форма кристаллов возникает по двум причинам. Во-первых, кристаллы состоят из элементарных частичек - молекул, которые сами имеют правильную форму. Во-вторых, «такие молекулы имеют замечательное свойство соединяться между собой в симметричном порядке».

Почему же так красивы и привлекательны кристаллы? Их физические и химические свойства определяются их геометрическим строением. В кристаллографии (науке о кристаллах) существует даже раздел, который называется «Геометрическая кристаллография». В 1867 году генерал от артиллерии, профессор Михайловской академии в Петербурге А.В. Гадолин строго математически вывел все сочетания элементов симметрии, характеризующие кристаллические многогранники. Например, гранат попадает в первую, так называемую кубическую систему, все кристаллы которой имеют те же элементы симметрии, что и куб

(форму куба имеют, например, кристаллы поваренной соли). Всего существует 32 вида симметрий идеальных форм кристалла.

Легко вообразить, какая бы царила на Земле неразбериха, если бы симметрия в природе была нарушена!

§4. Применение законов симметрии человеком

Увидев проявление симметрии в природе, мне захотелось узнать, применяет ли человек эти закономерности в своих творениях.

Симметрию можно обнаружить почти везде, если знать, как ее искать. Многие народы с древнейших времен владели представлением о симметрии в широком смысле - как об уравновешенности и гармонии. Творчество людей во всех своих проявлениях тяготеет к симметрии. Посредством симметрии человек всегда пытался, по словам немецкого математика Германа Вейля, «постичь и создать порядок, красоту и совершенство». Г. Вейль под симметрией понимал «неизменность какого-либо объекта, при определенного, рода преобразованиях; предмет является симметричным, в том случае, когда его можно подвергнуть какой-нибудь операции, после которой он будет выглядеть так же, как и до преобразования». Определенную главу Г. Вейль посвятил орнаментной симметрии. Упорядоченность и подчиненность определенному набору правил мы обнаруживаем в узорах и орнаментах (см. рис. 16).

Нельзя не увидеть симметрию и в ограненных драгоценных камнях. Многие гранильщики стараются придать бриллиантам форму тетраэдра, куба, октаэдра или икосаэдра. Так как гранат имеет те же элементы что и куб, он высоко ценится знатоками драгоценных камней. Художественные изделия из гранатов были обнаружены в могилах Древнего Египта, относящихся еще к додинастическому периоду (свыше двух тысячелетий до н.э.).

В коллекциях Эрмитажа особым вниманием пользуются золотые украшения древних скифов. Необычайно тонка художественная работа золотых венков, диадем, дерева и украшенных драгоценными красно-фиолетовыми гранатами (см.рис. 17, 18).

Одним из самых наглядных использований законов симметрии в жизни служат строения архитектуры. Это то, что чаще всего мы можем увидеть. В архитектуре оси симметрии используются как средства выражения архитектурного замысла. Примеров использования симметрии в архитектуре множество, одним из них является прекрасный Новосибирский театр оперы и балета (см. рис. 19). И даже у нас, в г. Купино есть здание, имеющее симметрию – здание Администрации Купинского района (см. рис. 20).

Симметрия (от греческого -συμμετρία- означает соразмерность) - это пропорциональность или гармония в расположении одинаковых предметов какой-либо группы или частей в одном предмете, причем гармоничное расположение определяется одной или несколькими воображаемыми зеркальными плоскостями.

Отдельные предметы или части симметричного предмета являются как бы отражениями или изображениями друг друга в этих зеркальных плоскостях, называются плоскостями симметрии. Простейшим случаем симметрии является такое расположение частей целого, при котором целое делится на две. Через человеческое тело можно мысленно провести зеркальную плоскость; правая и левая части его явятся как бы изображениями друг друга в этом зеркале и будут совместимо равны, как например правая и левая рука.

Если группа или предмет состоит лишь из совместимых частей, то в них можно провести так называемые оси симметрии и совместить равные части, повернув их вокруг этих осей. Кроме зеркальных плоскостей и осей симметрии есть еще зеркальная точка, или центр симметрии. В нем делятся пополам все прямые, соединяющие попарно одинаковые точки предметов группы или частей одного предмета. Зеркальная плоскость, ось симметрии и центр симметрии называют элементами симметрии и могут быть сведены к зеркальным плоскостям и их сочетаниям.

Симметрия очень широко распространена в природе и в творениях человека. Всё учение о кристаллах (Кристаллография) основано на теории симметрии.
В растительном мире также очень распространена симметрия и обнаруживается в расположении органов цветка, частей его листа и даже ветвей. В животном мире симметрия наблюдается не так строго, но также очень распространена. С наружной симметрией стоит в согласии и внутреннее строение животных, растений и кристаллов.

С помощью теории групп описываются симметрийные свойства в математике.

В творениях человека симметрия больше всего проявляете в архитектуре.

Какое-либо нарушение симметрии или её отсутствие вообще называется асимметрией.

Симметрия ассоциируется с гармонией и порядком. И не зря. Потому что на вопрос, что такое симметрия, есть ответ в виде дословного перевода с древнегреческого. И получается, что она означает соразмерность и неизменность. А что может быть упорядоченней, чем строгое определение местоположения? И что можно назвать более гармоничным, чем то, что строго соответствует размерам?

Что означает симметрия в разных науках?

Биология. В ней важной составляющей симметрии является то, что животные и растения имеют закономерно расположенные части. Причем в этой науке не существует строгой симметрии. Всегда наблюдается некоторая асимметрия. Она допускает то, что части целого не совпадают с абсолютной точностью.

Химия. Молекулы вещества имеют определенную закономерность в расположении. Именно их симметрией объясняются многие свойства материалов в кристаллографии и других разделах химии.

Физика. Система тел и изменения в ней описываются с помощью уравнений. В них оказываются симметричные составляющие, что позволяет упростить все решение. Это выполняется благодаря поиску сохраняющихся величин.

Математика. Именно в ней в основном и дается разъяснение, что такое симметрия. Причем большее значение ей уделяется в геометрии. Здесь симметрия — это способность к отображению у фигур и тел. В узком смысле она сводится просто к зеркальному отображению.

Как определяют симметрию разные словари?

В какой бы из них мы ни заглянули, везде встретится слово «соразмерность». У Даля можно увидеть еще и такое толкование, как равномерие и равнообразие. Другими словами, симметричное - значит одинаковое. Здесь же говорится о том, что она скучна, интереснее смотрится то, в чем ее нет.

На вопрос, что такое симметрия, словарь Ожегова уже говорит об одинаковости в положении частей относительно точки, прямой или плоскости.

В словаре Ушакова упоминается еще и пропорциональность, а также полное соответствие двух частей целого друг другу.

Когда говорят об асимметрии?

Приставка «а» отрицает смысл основного существительного. Поэтому асимметрия означает то, что расположение элементов не поддается определенной закономерности. В ней отсутствует всякая неизменность.

Этот термин используется в ситуациях, когда две половины предмета не являются полностью совпадающими. Чаще всего они совсем не похожи.

В живой природе асимметрия играет важную роль. Причем она может быть как полезной, так и вредной. К примеру, сердце помещается в левую половину груди. За счет этого левое легкое существенно меньшего размера. Но это необходимо.

О центральной и осевой симметрии

В математике выделяют такие ее виды:

• центральная, то есть выполненная относительно одной точки;
• осевая, которая наблюдается около прямой;
• зеркальная, она основывается на отражениях;
• симметрия переноса.

Что такое ось и центр симметрии? Это точка или прямая, относительно которой любой точке тела найдется другая. Причем такая, чтобы расстояние от исходной до получившейся делилось пополам осью или центром симметрии. Во время движения этих точек они описывают одинаковые траектории.

Понять, что такое симметрия относительно оси, проще всего на примере. Тетрадный лист нужно сложить пополам. Линия сгиба и будет осью симметрии. Если провести к ней перпендикулярную прямую, то все точки на ней будут иметь лежащие на таком же расстоянии по другую сторону оси точки.

В ситуациях, когда необходимо найти центр симметрии, нужно поступать следующим образом. Если фигур две, то найти у них одинаковые точки и соединить их отрезком. Потом разделить пополам. Когда фигура одна, то помочь может знание ее свойств. Часто этот центр совпадает с точкой пересечения диагоналей или высот.

Какие фигуры являются симметричными?

Геометрические фигуры могут обладать осевой или центральной симметрией. Но это не обязательное условие, существует множество объектов, которые не обладают ею вовсе. К примеру, параллелограмм обладает центральной, но у него нет осевой. А неравнобедренные трапеции и треугольники не имеют симметрии совсем.

Если рассматривается центральная симметрия, фигур, обладающих ею, оказывается довольно много. Это отрезок и круг, параллелограмм и все правильные многоугольники с числом сторон, которое делится на два.

Центром симметрии отрезка (также круга) является его центр, а у параллелограмма он совпадает с пересечением диагоналей. В то время как у правильных многоугольников эта точка тоже совпадает с центром фигуры.

Если в фигуре можно провести прямую, вдоль которой ее можно сложить, и две половинки совпадут, то она (прямая) будет являться осью симметрии. Интересно то, сколько осей симметрии имеют разные фигуры.

К примеру, острый или тупой угол имеет только одну ось, которой является его биссектриса.

Если нужно найти ось в равнобедренном треугольнике, то нужно провести высоту к его основанию. Линия и будет осью симметрии. И всего одной. А в равностороннем их будет сразу три. К тому же, треугольник обладает еще и центральной симметрией относительно точки пересечения высот.

У круга может быть бесконечное число осей симметрии. Любая прямая, которая проходит через его центр, может исполнить эту роль.

Прямоугольник и ромб обладают двумя осями симметрии. У первого они проходят через середины сторон, а у второго совпадают с диагоналями.

Квадрат же объединяет предыдущие две фигуры и имеет сразу 4 оси симметрии. Они у него такие же, как у ромба и прямоугольника.

Симметрии могут быть точными или приближёнными.

Симметрия в геометрии

Геометрическая симметрия - это наиболее известный тип симметрии для многих людей. Геометрический объект называется симметричным, если после того как он был преобразован геометрически, он сохраняет некоторые исходные свойства. Например, круг повёрнутый вокруг своего центра будет иметь ту же форму и размер, что и исходный круг. Поэтому круг называется симметричным относительно вращения (имеет осевую симметрию). Виды симметрий, возможных для геометрического объекта, зависят от множества доступных геометрических преобразований и того, какие свойства объекта должны оставаться неизменными после преобразования.

Виды геометрических симметрий:

Зеркальная симметрия

В физике инвариантность относительно группы вращений называется изотропностью пространства (все направления в пространстве равноправны) и выражается в инвариантности физических законов, в частности, уравнений движения, относительно вращений. Теорема Нётер связывает эту инвариантность с наличием сохраняющейся величины (интеграла движения) - углового момента .

Симметрия относительно точки

Скользящая симметрия

Симметрии в физике

Симметрия в физике
Преобразование	Соответствующая инвариантность	Соответствующий закон сохранения
↕ Трансляции времени	Однородность времени	…энергии
⊠ , , и -симметрии	Изотропность времени	…чётности
↔ Трансляции пространства	Однородность пространства	…импульса
↺ Вращения пространства	Изотропность пространства	…момента импульса
⇆ Группа Лоренца (бусты)	Относительность Лоренц-ковариантность	…движения центра масс
~ Калибровочное преобразование	Калибровочная инвариантность	…заряда

В теоретической физике поведение физической системы описывается некоторыми уравнениями. Если эти уравнения обладают какими-либо симметриями, то часто удаётся упростить их решение путём нахождения сохраняющихся величин (интегралов движения ). Так, уже в классической механике формулируется теорема Нётер , которая каждому типу непрерывной симметрии сопоставляет сохраняющуюся величину. Из неё, например, следует, что инвариантность уравнений движения тела с течением времени приводит к закону сохранения энергии ; инвариантность относительно сдвигов в пространстве - к закону сохранения импульса ; инвариантность относительно вращений - к закону сохранения момента импульса .

Суперсимметрия

Перенос в плоском четырёхмерном пространстве-времени не меняет физических законов. В теории поля трансляционная симметрии, согласно теореме Нётер , соответствует сохранению тензора энергии-импульса . В частности, чисто временные трансляции соответствуют закону сохранения энергии , а чисто пространственные сдвиги - закону сохранения импульса .

Симметрии в биологии

Симметрия в биологии - это закономерное расположение подобных (одинаковых, равных по размеру) частей тела или форм живого организма, совокупности живых организмов относительно центра или оси симметрии . Тип симметрии определяет не только общее строение тела, но и возможность развития систем органов животного. Строение тела многих многоклеточных организмов отражает определённые формы симметрии. Если тело животного можно мысленно разделить на две половины, правую и левую, то такую форму симметрии называют билатеральной . Этот тип симметрии свойственен подавляющему большинству видов, а также человеку. Если тело животного можно мысленно разделить не одной, а несколькими плоскостями симметрии на равные части, то такое животное называют радиально-симметричным . Этот тип симметрии встречается значительно реже.

Асимметрия - отсутствие симметрии. Иногда этот термин используется для описания организмов, лишённых симметрии первично, в противоположность диссимметрии - вторичной утрате симметрии или отдельных её элементов.

Понятия симметрии и асимметрии обратны. Чем более симметричен организм, тем менее он асимметричен и наоборот. Небольшое количество организмов полностью асимметричны. При этом следует различать изменчивость формы (например у амёбы) от отсутствия симметрии. В природе и, в частности, в живой природе симметрия не абсолютна и всегда содержит некоторую степень асимметрии. Например, симметричные листья растений при сложении пополам в точности не совпадают.

У биологических объектов встречаются следующие типы симметрии:

• сферическая симметрия вращений в трёхмерном пространстве на произвольные углы.
• аксиальная симметрия (радиальная симметрия , симметрия вращения неопределённого порядка) - симметричность относительно поворотов на произвольный угол вокруг какой-либо оси.
  • симметрия вращения n-го порядка - симметричность относительно поворотов на угол 360°/n вокруг какой-либо оси.
• двусторонняя (билатеральная) симметрия - симметричность относительно плоскости симметрии (симметрия зеркального отражения).
• трансляционная симметрия - симметричность относительно сдвигов пространства в каком-либо направлении на некоторое расстояние (её частный случай у животных - метамерия (биология)).
• триаксиальная асимметрия - отсутствие симметрии по всем трём пространственным осям.

Радиальная симметрия

Обычно через ось симметрии проходят две или более плоскости симметрии. Эти плоскости пересекаются по прямой - оси симметрии. Если животное будет вращаться вокруг этой оси на определённый градус, то оно будет отображаться само на себе (совпадать само с собой). Таких осей симметрии может быть несколько (полиаксонная симметрия) или одна (монаксонная симметрия). Полиаксонная симметрия распространена среди протистов (например, радиолярий).

Как правило, у многоклеточных животных два конца (полюса) единственной оси симметрии неравноценны (например, у медуз на одном полюсе (оральном) находится рот, а на противоположном (аборальном) - верхушка колокола. Такая симметрия (вариант радиальной симметрии) в сравнительной анатомии называется одноосно-гетеропольной. В двухмерной проекции радиальная симметрия может сохраняться, если ось симметрии направлена перпендикулярно к проекционной плоскости. Иными словами, сохранение радиальной симметрии зависит от угла наблюдения.

Радиальная симметрия характерна для многих стрекающих , а также для большинства иглокожих . Среди них встречается так называемая пентасимметрия, базирующаяся на пяти плоскостях симметрии. У иглокожих радиальная симметрия вторична: их личинки двустороннесимметричны, а у взрослых животных наружная радиальная симметрия нарушается наличием мадрепоровой пластинки.

Кроме типичной радиальной симметрии существует двулучевая радиальная симметрия (две плоскости симметрии, к примеру, у гребневиков). Если плоскость симметрии только одна, то симметрия билатеральная (такую симметрию имеют животные из группы Bilateria ).

Кристаллографическая точечная группа симметрии - это точечная группа симметрии , которая описывает макросимметрию кристалла . Поскольку в кристаллах допустимы оси (поворотные и несобственного вращения) только 1, 2, 3, 4 и 6 порядков, из всего бесконечного числа точечных групп симметрии только 32 относятся к кристаллографическим.

Анизотропия (от др.-греч. ἄνισος - неравный и τρόπος - направление) - различие свойств среды (например, физических : упругости , электропроводности , теплопроводности , показателя преломления , скорости звука или света и др.) в различных направлениях внутри этой среды; в противоположность

Предыдущая статья: Чему равна скорость света Следующая статья: Гармонические колебания Физика формула частоты колебаний