Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Значение математики в нашей жизни. История возникновения счета. Развитие методов вычислительной математики в настоящее время. Использование математики в других науках, роль математического моделирования. Состояние математического образования в России.
статья , добавлен 05.01.2010
Основные понятия математического моделирования, характеристика этапов создания моделей задач планирования производства и транспортных задач; аналитический и программный подходы к их решению. Симплекс-метод решения задач линейного программирования.
курсовая работа , добавлен 11.12.2011
Процесс выбора или построения модели для исследования определенных свойств оригинала в определенных условиях. Стадии процесса моделирования. Математические модели и их виды. Адекватность математических моделей. Рассогласование между оригиналом и моделью.
контрольная работа , добавлен 09.10.2016
Сущность математического моделирования. Аналитические и имитационные математические модели. Геометрический, кинематический и силовой анализы механизмов подъемно-навесных устройств. Расчет на устойчивость мобильного сельскохозяйственного агрегата.
курсовая работа , добавлен 18.12.2015
Математическое моделирование задач коммерческой деятельности на примере моделирования процесса выбора товара. Методы и модели линейного программирования (определение ежедневного плана производства продукции, обеспечивающей максимальный доход от продажи).
контрольная работа , добавлен 16.02.2011
Математика как чрезвычайно мощный и гибкий инструмент при изучении окружающего мира. Роль математики в промышленной сфере, строительстве, медицине и жизни человека. Место математического моделирования в создании разнообразных архитектурных моделей.
презентация , добавлен 31.03.2015
Основные этапы математического моделирования - приближенного описания класса явлений или объектов реального мира на языке математики. Методы кодирования информации. Построение устройства, которое позволяет переводить код азбуки Морзе в машинный код.
курсовая работа , добавлен 28.06.2011
Применение системы MathCAD при решении прикладных задач технического характера. Основные средства математического моделирования. Решение дифференциальных уравнений. Использование системы MathCad для реализации математических моделей электрических схем.
курсовая работа , добавлен 17.11.2016
В предложенной вашему вниманию статье мы предлагаем примеры математических моделей. Кроме этого, мы обратим внимание на этапы создания моделей и разберем некоторые задачи, связанные с математическим моделированием.
Еще один наш вопрос - это математические модели в экономике, примеры, определение которых мы рассмотрим немного позже. Начать наш разговор мы предлагаем с самого понятия «модель», кратко рассмотрим их классификацию и перейдем к основным нашим вопросам.
Мы часто слышим слово «модель». Что же это такое? Данный термин имеет множество определений, вот только три из них:
Исходя из всего, что было сказано ранее, можно сделать небольшой вывод: модель позволяет подробно изучить сложную систему или объект.
Все модели можно классифицировать по ряду признаков:
Информационные модели, в свою очередь, делятся на знаковые и вербальные. А знаковые - на компьютерные и некомпьютерные. Теперь перейдем к подробному рассмотрению примеров математической модели.
Как не трудно догадаться, математическая модель отражает какие-либо черты объекта или явления при помощи специальных математических символов. Математика и нужна для того, чтобы моделировать закономерности окружающего мира на своем специфическом языке.
Метод математического моделирования зародился достаточно давно, тысячи лет назад, вместе с появлением данной науки. Однако толчок для развития данного способа моделирования дало появление ЭВМ (электронно-вычислительных машин).
Теперь перейдем к классификации. Ее так же можно провести по некоторым признакам. Они представлены в таблице ниже.
Мы предлагаем остановиться и подробнее рассмотреть последнюю классификацию, так как она отражает общие закономерности моделирования и цели создаваемых моделей.
В данной главе мы предлагаем остановиться подробнее на дескриптивных математических моделях. Для того чтобы было все предельно понятно, будет приведен пример.
Начнем с того, что этот вид можно назвать описательным. Это связано с тем, что мы просто делаем расчеты и прогнозы, но никак не можем повлиять на исход события.
Ярким примером описательной математической модели является вычисление траектории полета, скорости, расстояния от Земли кометы, которая вторглась в просторы нашей Солнечной системы. Эта модель является описательной, так как все полученные результаты могут только предупредить нас о какой-либо опасности. Повлиять на исход события, увы, мы не можем. Однако, основываясь на полученных расчетах, можно предпринять какие-либо меры для сохранения жизни на Земле.
Сейчас мы немного поговорим об экономико-математических моделях, примерами которых могут служить разные сложившиеся ситуации. В данном случае речь идет о моделях, которые помогают найти верный ответ в определенных условиях. Они обязательно имеют некие параметры. Чтобы стало предельно понятно, рассмотрим пример из аграрной части.
У нас есть зернохранилище, но зерно очень быстро портится. В этом случае нам необходимо правильно подобрать температурный режим и оптимизировать процесс хранения.
Таким образом, мы можем дать определение понятию «оптимизационная модель». В математическом смысле это система уравнений (как линейных, так и нет), решение которой помогает найти оптимальное решение в конкретной экономической ситуации. Пример математической модели (оптимизационной) мы рассмотрели, но хочется еще добавить: данный вид относится к классу экстремальных задач, они помогают описать функционирование экономической системы.
Отметим еще один нюанс: модели могут носить разный характер (см. таблицу ниже).
Сейчас предлагаем вам поговорить немного о математической модели многокритериальной оптимизации. До этого мы привели пример математической модели оптимизации процесса по какому-либо одному критерию, но что делать, если их много?
Ярким примером многокритериальной задачи служит организация правильного, полезного и одновременно экономного питания больших групп людей. С такими задачами часто встречаются в армии, школьных столовых, летних лагерях, больницах и так далее.
Какие критерии нам даны в данной задаче?
Как видите, эти цели совсем не совпадают. Значит, при решении задачи необходимо искать оптимальное решение, баланс между двумя критериями.
Говоря об игровых моделях, необходимо понимать понятие «теория игр». Если говорить просто, то данные модели отражают математические модели настоящих конфликтов. Только стоит понимать, что, в отличие от реального конфликта, игровая математическая модель имеет свои определенные правила.
Сейчас будет приведен минимум информации из теории игр, которая поможет вам понять, что такое игровая модель. И так, в модели обязательно присутствуют стороны (две или более), которых принято называть игроками.
Все модели имеют некие характеристики.
Игровая модель может быть парной или множественной. Если у нас есть два субъекта, то конфликт парный, если больше - множественный. Также можно выделить антагонистическую игру, ее еще называют игрой с нулевой суммой. Это модель, в которой выигрыш одного из участников равняется проигрышу другого.
В данном разделе мы обратим внимание на имитационные математические модели. Примерами задач могут служить:
В данном случае мы говорим о моделях, которые максимально приближены к реальным процессам. По большому счету, они имитируют какое-либо проявление в природе. В первом случае, например, мы можем моделировать динамику численности муравьев в одной колонии. При этом можно наблюдать за судьбой каждой отдельной особи. В данном случае математическое описание используют редко, чаще присутствуют письменные условия:
Таким образом, используются для описания большой системы. Математическое заключение - это обработка полученных статистических данных.
Очень важно знать, что к данному виду модели предъявляют некоторые требования, среди которых - приведенные в таблице ниже.
Универсальность | Это свойство позволяет использовать одну и ту же модель при описании однотипных групп объектов. Важно отметить, что универсальные математические модели совершенно не зависят от физической природы исследуемого объекта |
Адекватность | Здесь важно понимать, что данное свойство позволяет максимально правильно воспроизводить реальные процессы. В задачах эксплуатации очень важно данное свойство математического моделирования. Примером модели может служить процесс оптимизации использования газовой системы. В данном случае сопоставляются расчетные и фактические показатели, в результате проверяется правильность составленной модели |
Точность | Данное требование подразумевает совпадение значений, которые мы получаем при расчете математической модели и входных параметров нашего реального объекта |
Экономичность | Требование экономичности, предъявляемое к любой математической модели, характеризуется затратами на реализацию. Если работа с моделью осуществляется ручным способом, то необходимо рассчитать, сколько времени уйдет на решение одной задачи при помощи данной математической модели. Если речь идет об автоматизированном проектировании, то рассчитываются показатели затрат времени и памяти компьютера |
Всего в математическом моделировании принято выделять четыре этапа.
В этом разделе кратко осветим вопрос Примерами задач могут служить:
Экономико-математическая модель отображает экономическую абстракцию, которая выражена при помощи математических терминов и знаков.
Примерами компьютерной математической модели являются:
Компьютерная модель - это образ объекта или системы, представленный в виде:
При этом данная модель отражает структуру и взаимосвязи системы.
Мы уже ранее сказали о том, что такое экономико-математическая модель. Пример решения задачи будет рассмотрен прямо сейчас. Нам необходимо произвести анализ производственной программы для выявления резерва повышения прибыли при сдвиге в ассортименте.
Полностью рассматривать задачу мы не будем, а только построим экономико-математическую модель. Критерий нашей задачи - максимизация прибыли. Тогда функция имеет вид: Л=р1*х1+р2*х2…, стремящееся к максимуму. В данной модели р - это прибыль за единицу, х - это количество производимых единиц. Далее, основываясь на построенной модели, необходимо произвести расчеты и подвести итог.
Задача. Рыбак вернулся со следующим уловом:
Сколько рыб он купил в магазине?
Итак, пример построения математической модели данной задачи выглядит следующим образом. Обозначаем общее количество рыб за х. Следуя условию, 0,2х - это количество рыб, обитающих в южных широтах. Теперь объединяем всю имеющуюся информацию и получаем математическую модель задачи: х=0,2х+8. Решаем уравнение и получаем ответ на главный вопрос: 10 рыб он купил в магазине.
В программе по математике важное место отводится развитию у школьников правильных представлений о роли математического моделирования в научном познании и в практике. Цель данной статьи – показать пример математического моделирования прикладной задачи по математике. Напомним, что с термином «модель» учащиеся часто встречаются в быту, на уроках физики, химии, географии. Основное свойство каждой из моделей заключается в том, что она отражает самые существенные свойства своего оригинала. Математическая модель - это описание какого-либо реального процесса на языке математических понятий, формул и отношений. С примерами математического моделирования прикладных задач по математике можно ознакомиться в статьях серии
Как правило, школьники встречаются с идеей математического моделирования при решении сюжетных или прикладных задач, решаемых с помощью уравнений. С примерами прикладных задач по математике можно ознакомиться .
П ример математического моделирования прикладной задачи по математике поможет понять суть математической модели и выяснить этапы математического моделирования.
Задача 1.
Какое количество касс в супермаркете необходимо и достаточно, чтобы посетители обслуживались без очереди?
Первый этап математического моделирования.
Это этап формализации. Его суть в том, чтобы условие задачи перевести на математический язык. При этом нужно выделить все необходимые для решения данные и с помощью посредством математических соотношений описать связи между ними.
Для решения задачи введем следующие характеристики:
В течение рабочего дня через одну кассу может пройти Т/b покупателей.
Значит, число касс надо взять таким, чтобы (T/b) * k = N. Это соотношение и есть математическая модель решаемой задачи.
Второй этап математического моделирования.
Этот этап представляют как внутримодельное решение. Найдем из полученного равенства (T/b) * k = N искомое количество касс: k = (N/T) * b.
Третий этап математического моделирования.
Пришло время интерпретации, т. е. перевода полученного решения на тот язык, на котором была сформулирована исходная задача.
Чтобы в супермаркете возле касс не создавались очереди, число кассовых блоков должно быть равным или большим полученного значения k .
Число k обычно выбирают таким, чтобы оно было ближайшим по величине целым, удовлетворяющим неравенству k ≥ (N/T) * b .
Обратим внимание на упрощающие допущения, сделанные при построении модели:
То есть, для более точных, достоверных расчетов в полученной формуле надо вместо среднего значения N/Т взять максимальное значение этой величины a=max (N/T) .
Подчеркнем, что любая математическая модель основана на упрощении, она не совпадает с конкретной реальной ситуацией, а является лишь ее приближенным описанием. Отсюда очевидна и некоторая погрешность результатов. Однако именно благодаря замене реального процесса соответствующей ему математической моделью появляется возможность воспользоваться математическими методами при его изучении.
Рассмотренный пример математического моделирования прикладной задачи по математике показывает, что ценность этого метода при решении прикладных задач заключается еще и в том, что одна и та же модель может описывать разные ситуации, разные процессы реальной человеческой практики. Исследовав одну модель, результаты можно применить в другой ситуации. Так, результат, полученный в задаче 1, можно использовать и в .