Температур. Энергия Ферми - одно из центральных понятий физики твёрдого тела.

Физический смысл уровня Ферми: вероятность обнаружения частицы на уровне Ферми составляет 0,5 при любых температурах, кроме T = 0.

Название дано в честь итальянского физика Энрико Ферми .

Фермионы - частицы с полуцелым спином , обычно 1/2, такие как электроны - подчиняются принципу запрета Паули , согласно которому две одинаковые частицы не могут занимать одно и то же квантовое состояние. Следовательно, фермионы подчиняются статистике Ферми - Дирака . Основное состояние невзаимодействующих фермионов строится начиная с пустой системы и постепенного добавления частиц по одной, последовательно заполняя состояния в порядке возрастания энергии . Когда необходимое число частиц достигнуто, энергия Ферми равна энергии самого высокого заполненного состояния (или самого низкого незанятого состояния; различие не важно, когда система является макроскопической). Поэтому энергию Ферми называют также уровнем Фе́рми . Частицы с энергией равной энергии Ферми двигаются со скоростью называемой скоростью Фе́рми .

В свободном электронном газе (квантовомеханическая версия идеального газа фермионов) квантовые состояния могут быть помечены согласно их импульсу . Кое-что подобное можно сделать для периодических систем типа электронов, движущихся в атомной решётке металла , используя так называемый квазиимпульс (Частица в периодическом потенциале ). В любом случае, состояния с энергией Ферми расположены на поверхности в пространстве импульсов, известной как поверхность Ферми . Для свободного электронного газа, поверхность Ферми - поверхность сферы; для периодических систем, она вообще имеет искаженную форму. Объем заключённый под поверхностью Ферми определяет число электронов в системе, и её топология непосредственно связана с транспортными свойствами металлов, например, электрической проводимостью . Поверхности Ферми большинства металлов хорошо изучены экспериментально и теоретически.

Уровень Ферми при ненулевых температурах

При ненулевой температуре ферми-газ не будет являться вырожденным , и населённость уровней будет плавно уменьшаться от нижних уровней к верхним. В качестве уровня Ферми можно выбрать уровень, заполненный ровно наполовину (то есть вероятность находящегося на искомом уровне состояния быть заполненным частицей должна быть равна 1/2).

Энергия Ферми свободного ферми-газа связана с химическим потенциалом уравнением

где - энергия Ферми, - постоянная Больцмана , и - температура . Следовательно, химический потенциал приблизительно равен энергии Ферми при температурах намного меньше характерной температуры Ферми . Характерная температура имеет порядок 10 5 для металла, следовательно при комнатной температуре (300 ), энергия Ферми и химический потенциал фактически эквивалентны. Это существенно, потому что химический потенциал не является энергией Ферми, которая входит в распределение Ферми - Дирака .

См. также

Литература

Гусев В. Г., Гусев Ю. М. Электроника. - М.: Высшая школа, 1991. - С. 53. - ISBN 5-06-000681-6 .

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Энергия Ферми" в других словарях:

Энергия Ферми - Fermi Energy Энергия Ферми Значение энергии, ниже которого все состояния системы частиц, подчиняющихся статистике Ферми Дирака (фермионов), при абсолютном нуле температуры заняты. Для идеального вырожденного газа фермионов энергия Ферми… … Толковый англо-русский словарь по нанотехнологии. - М.

энергия Ферми - Fermio lygmens energija statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Didžiausioji galima fermionų sistemos užpildytosios būsenos energijos vertė absoliučiojo nulio temperatūroje. atitikmenys: angl. Fermi energy; Fermi level energy… … Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas

энергия Ферми - Fermio energija statusas T sritis radioelektronika atitikmenys: angl. Fermi energy vok. Fermi Energie, f rus. фермиевская энергия, f; энергия Ферми, f pranc. énergie de Fermi, f … Radioelektronikos terminų žodynas

энергия Ферми - Ферми уровень значение энергии, ниже которой все энергетические состояния частиц вырожденного газа при Т = 0 К заняты, а выше свободны; определяет верхнюю границу скорости частиц при 0 К. Названа в честь итальянского физика Э.… … Энциклопедический словарь по металлургии

- (газ Ферми), газ из ч ц с полуцелым (в ед. ћ) спином, подчиняющийся Ферми Дирака статистике. Ф. г. из невзаимодействующих ч ц наз. идеальным Ф. г. К Ф. г. относятся эл ны в металлах и полупроводниках, эл ны в атомах с большими ат. номерами,… … Физическая энциклопедия

Ферми: Энрико Ферми (1901 1954) выдающийся итальянский физик. Ферми единица длины, используемая в ядерной физике. Ферми древний город на острове Лесбос эпохи энеолита и ранней бронзы. Телескоп Ферми космический телескоп… … Википедия

Изоэнергетич. поверхность в пространстве квазиимпульсов?(р)=?F, отделяющая область занятых электронных состояний металла от области, в к рой при T=0К электронов нет. Электроны, имеющие энергию?F, расположены на Ф. п. Большинство свойств… … Физическая энциклопедия

Энергия, ниже которой при Т = 0 К все энергетические состояния системы частиц или квазичастиц, подчиняющихся Ферми Дирака статистике, заняты, а выше свободны. * * * ФЕРМИ ЭНЕРГИЯ ФЕРМИ ЭНЕРГИЯ, значение энергии, ниже которой при температуре… … Энциклопедический словарь

В физике, энергия Ферми (EF) системы невзаимодействующих фермионов это увеличение энергии основного состояния системы при добавлении одной частицы. Это эквивалентно химическому потенциалу системы в ее основном состоянии при абсолютном нуле… … Википедия

В качестве первого приближения рассмотрим решение уравнения Шредингера для частиц в бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме. В этом случае решение у. Ш. удобно искать в виде произведения трех волновых функций:

Решение у. Ш. внутри ямы имеет простой вид:

. (x) = a sin k x x + b cos k x x, (x) = 0 b = 0, (L) = 0 k x L = n x .

(6.3)

Здесь n - целое число. Последние условия являются следствием “сшивания” волновой функции внутри и извне ямы. Полная энергия частицы в яме:

Максимальная энергия частицы в яме называется энергией Ферми (см. рис.6.1) :

Число состояний частицы с энергиями E < E F равно интегралу от (6.6), причем лишь по положительным значениям волновых векторов (рис.6.2). Ограничение положительными значениями импульса уменьшит (6.6) в 8 раз. Чтобы получить число возможных состояний нуклона в потенциальной яме, нужно учесть две возможные проекции спина нуклона на ось и две проекции изоспина (т.е. протоны и нейтроны). Тогда число состояний должно равняться числу нуклонов А :

.

(6.7)

Объем ямы V равен объему ядра: V = (4/3)R 3 = (4/3)r 0 3 A.
Оценим нуклонную плотность ядра . Используя равенство (6.7), одновременно найдем связь импульса Ферми с экспериментально измеряемым параметром r 0:

.	(6.8)
; .	(6.9)

Получаем, что нуклонная плотность ядра (6.8) приблизительно постоянна.
Нуклонная плотность ядер экспериментально определена в опытах по рассеянию электронов промежуточных энергий (Е > 100 МэВ) на ядрах. Дополнили эти эксперименты опыты по рассеянию протонов тех же энергий. Результатом этих опытов было представление о распределении плотности ядерной материи в виде распределения Ферми:

Нуклонная плотность ядер, согласно этим измерениям, близка к константе, для средних и тяжелых ядер почти на зависит от А и приближенно составляет 0 0.17 Фм -3 .
Из (6.9) получим значение импульса Ферми:

Отсюда значение максимальной кинетической энергии частиц Ферми-газа (энергии Ферми) составляет E F (35 - 38) МэВ. Следует подчеркнуть, что эта величина в ФГМ не зависит от числа нуклонов в ядре. Отсюда можно получить и приближенную величину глубины ядерной потенциальной ямы. Поскольку средняя энергия отделения нуклона от ядра составляет около 8 МэВ, глубина потенциальной ямы V 0 = E F + (42 - 46) МэВ (cм. рис.6.1).
Оценку этой же величины можно получить из других соображений, например из решения задачи о потенциале дейтрона. Таким образом, простая модель Ферми-газа приводит к разумным оценкам глубины потенциальной ядерной ямы.

Тот факт, что нуклоны ядра находятся в движении, особенно наглядным образом проявляется в реакциях квазиупругого рассеяния электронов. Сечение этого процесса представляет собой широкий максимум, расположенный выше по энергии, чем область возбуждения мультипольных гигантских резонансов в ядрах (см. рис.6.3). Если бы рассеяние электрона происходило на неподвижном нуклоне, максимум находился бы при переданной ядру энергии, связанной с переданным ядру импульсом q простым нерелятивистским соотношением = q 2 /M*, где = 1 - 2 - переданный импульс, M* - “эффективная” масса нуклона в ядре. Но вместо узкого пика при этой энергии на кривой сечения наблюдается широкий максимум. Его ширина обусловлена именно фермиевским движением нуклонов ядра. Рассеяние электрона происходит – в предельных случаях – как на нуклоне, движущемся навстречу электрону, так и параллельно импульсу электрона. Поэтому измерение ширин пиков квазиупругого рассеяния является способом независимого определения величины импульса Ферми. В табл.1 для нескольких ядер приведены значения импульсов Ферми, рассчитанные из данных по квазиупругому рассеянию электронов.

Вырожденный электронный газ в металле.

Распределение электронов по различным квантовым состояниям подчиняется принципу Паули, согласно которому в одном состоянии не может быть двух одинаковых (с одинаковым набором четырех квантовых чисел) электронов, они должны отличаться какой-то характеристикой, например направлением спина. Следовательно, по квантовой теории, электроны в металле не могут располагаться на самом низшем энергетическом уровне даже при 0 К. Принцип Паули вынуждает электроны взбираться вверх «по энергетической лестнице».

Электроны проводимости в металле можно рассматривать как идеальный газ, подчиняющийся распределению Ферми-Дирака. Если μ 0 – химический потенциал электронного газа при T = 0 К, то, среднее число электронов в квантовом состоянии с энергией Е равно

(1)

Для фермионов (электроны являются фермионами) среднее число частиц в квантовом состоянии и вероятность заселенности квантового состояния совпадают, так как квантовое состояние либо может быть не заселено, либо в нем будет находиться одна частица. Это означает, что для фермионов = f (Е ), где f (Е ) – функция распределения электронов по состояниям. Из (1) следует, что при Т = 0 К функция распределений = 1, если E < μ 0 , и =0, если E > μ 0 ,. График этой функции приведен на рис. 15, а. В области энергий от 0 до μ 0 функция равна единице. При E = μ 0 она скачкообразно изменяется до нуля. Это означает, что при Т = 0 К все нижние квантовые состояния, вплоть до состояния с энергией E = μ 0 , заполнены электронами, а все состояния с энергией, большей μ 0 , свободны. Следовательно, μ 0 есть не что иное, как максимальная кинетическая энергия, которую могут иметь электроны проводимости в металле при 0 К. Эта максимальная кинетическая энергия называется энергией Ферми и обозначается Е F . ( Е F = μ 0). Поэтому распределение Ферми - Дирака обычно записывается в виде

(2)

Наивысший энергетический уровень, занятый электронами, называется уровнем Ферми. Уровню Ферми соответствует энергия Ферми Е F: , которую имеют электроны на этом уровне. Уровень Ферми, очевидно, будет тем выше, чем больше плотность электронного газа. Работу выхода электрона из металла нужно отсчитывать не от дна «потенциальной ямы», как это делалось в классической теории, а от уровня Ферми, т. с. от верхнего из занятых электронами энергетических уровней.

Для металлов при не слишком высоких температурах выполняется неравенство kT << E F . Это означает, что электронный газ в металлах практически всегда находится в состоянии сильного вырождения. Температура T 0 вырождения находится из условия kT 0 = E F . Она определяет границу, выше которой квантовые эффекты перестают быть существенными. Соответствующие расчеты показывают, что для электронов в металле Т 0 ≈ 10 4 К, т.е. для всех температур, при которых металл может существовать в твердом состоянии, электронный газ в металле вырожден.

При температурах, отличных от 0 К, функция распределения Ферми-Дирака (2) плавно изменяется от 1 до 0 в узкой области (порядка kT ) в окрестности Е F (рис. 15, б). (Здесь же для сравнения пунктиром приведена функция распределения при Т = 0 К.) Это объясняется тем, что при T > 0 небольшое число электронов с энергией, близкой к Е F , возбуждается за счет теплового движения и их энергия становится больше Е F . Вблизи границы Ферми при Е < Е F заполнение электронами меньше единицы, а при Е >Е F . - больше нуля. В тепловом движении участвует лишь небольшое число электронов, например при комнатной температуре Т ≈ 300 К и температуре вырождения T 0 = 3 10 4 К, - это 10 -5 от общего числа электронов.

Если (Е - Е F ) >> kТ («хвост» функции распределения), то единицей в знаменателе (2) можно пренебречь по сравнению с экспонентой и тогда распределение Ферми - Дирака переходит в распределение Максвелла - Больцмана.

Материал из Википедии - свободной энциклопедии

Энергия (уровень) Фе́рми () системы невзаимодействующих фермионов - это увеличение энергии основного состояния системы при добавлении одной частицы. Это эквивалентно химическому потенциалу системы в её основном состоянии при абсолютном нуле температур . Энергия Ферми может также интерпретироваться как максимальная энергия фермиона в основном состоянии при абсолютном нуле температур. Энергия Ферми - одно из центральных понятий физики твёрдого тела.

Физический смысл уровня Ферми: вероятность обнаружения частицы на уровне Ферми составляет 1/2 при любых температурах, кроме T = 0 {\displaystyle T=0} .

Название дано в честь итальянского физика Энрико Ферми .

Фермионы - частицы с полуцелым спином , обычно 1/2, такие как электроны - подчиняются принципу запрета Паули , согласно которому две одинаковые частицы, образуя квантово-механическую систему (например, атом), не могут принимать одно и то же квантовое состояние. Следовательно, фермионы подчиняются статистике Ферми - Дирака . Основное состояние невзаимодействующих фермионов строится начиная с пустой системы и постепенного добавления частиц по одной, последовательно заполняя состояния в порядке возрастания их энергии (например, заполнение электронами электронных орбиталей атома). Когда необходимое число частиц достигнуто, энергия Ферми равна энергии самого высокого заполненного состояния (или самого низкого незанятого состояния: в случае макроскопической системы различие не важно). Поэтому энергию Ферми называют также уровнем Фе́рми . Частицы с энергией, равной энергии Ферми, двигаются со скоростью, называемой скоростью Фе́рми (только в случае изотропного дисперсионного соотношения в среде).

В свободном электронном газе (квантово-механическая версия идеального газа фермионов) квантовые состояния могут быть помечены согласно их импульсу . Нечто подобное можно сделать для периодических систем типа электронов, движущихся в атомной решётке металла , используя так называемый квазиимпульс (Частица в периодическом потенциале ). В любом случае, состояния с энергией Ферми расположены на поверхности в пространстве импульсов, известной как поверхность Ферми . Для свободного электронного газа, поверхность Ферми - поверхность сферы; для периодических систем она вообще имеет искаженную форму. Объём, заключённый под поверхностью Ферми, определяет число электронов в системе, и её топология непосредственно связана с транспортными свойствами металлов, например, электрической проводимостью . Поверхности Ферми большинства металлов хорошо изучены экспериментально и теоретически.

Уровень Ферми при ненулевых температурах

Для важного случая электронов в металле при всех разумных температурах можно считать k T ≪ μ {\displaystyle kT\ll \mu } . Такую ситуацию называют вырожденным ферми-газом. (В другом предельном случае k T ≫ μ {\displaystyle kT\gg \mu } ферми-газ называют невырожденным, числа заполнения невырожденного ферми-газа малы и его можно описывать классической больцмановской статистикой.)

В качестве уровня Ферми можно выбрать уровень, заполненный ровно наполовину (то есть вероятность находящегося на искомом уровне состояния быть заполненным частицей должна быть равна 1/2).

Энергия Ферми свободного ферми-газа связана с химическим потенциалом уравнением

где E F {\displaystyle E_{F}} - энергия Ферми, k {\displaystyle k} - постоянная Больцмана , и T {\displaystyle T} - температура . Следовательно, химический потенциал приблизительно равен энергии Ферми при температурах намного меньше характерной температуры Ферми E F / k {\displaystyle E_{F}/k} . Характерная температура имеет порядок 10 5 для металла, следовательно при комнатной температуре (300 ), энергия Ферми и химический потенциал фактически эквивалентны. Это существенно, потому что химический потенциал не является энергией Ферми, которая входит в распределение Ферми - Дирака [ ] .

Энергия Ферми, Температура Ферми и Скорость Ферми

Связь энергии Ферми и концентрации электронов проводимости

Концентрация электронов проводимости в вырожденных полупроводниках связана с расстоянием от края частично заполненной энергетической зоны до уровня Ферми. Эту положительную величину иногда тоже называют энергией Ферми, по аналогии с энергией Ферми свободного электронного газа, которая, как известно, положительна.

Энергия Ферми. Влияние температуры на распределение Ферми-Дирака

Функция распределения Ферми-Дирака, описывающая распределение фермионов по состояниям, имеет следующий вид:

здесь E F - химический потенциал системы фермионов, т.е. работа, которую необходимо затратить, чтобы изменить число частиц в системе на одну. В случае электронов величина E F называется энергией Ферми .

Рассмотрим вид функции Ферми-Дирака при температуре, стремящейся к абсолютному нулю. Как нетрудно видеть из формулы (3.4), для любой энергии частицы, большей энергии Ферми, экспонента в знаменателе стремится к бесконечности при , следовательно f(Е) стремится к нулю. Это значит, что все энергетические состояния с Е > E F совершенно свободны при абсолютном нуле. Если Е < E F при , f(E) стремится к единице. Это значит, что все квантовые состояния с энергией, меньше энергии Ферми, полностью заняты электронами. Отсюда понятен физический смысл энергии Ферми как параметра распределения электронов по состояниям: энергия Ферми есть максимально возможная энергия электронов в металле при температуре абсолютного нуля . Энергетический уровень, соответствующий энергии Ферми, называется уровнем Ферми .

Вид функции распределения Ферми-Дирака при Т = 0К представлен на рис. 3.2,а. На рис. 3.2,б показано распределение электронов по энергетическим уровням в зоне проводимости металла при этой же температуре.

Если Т  0К , то при энергии частицы, равной энергии Ферми, функция распределения Ферми-Дирака равна 1/2 . Это значит, что при любой температуре, отличающейся от абсолютного нуля, уровень Ферми заполнен наполовину. Вид функции Ферми-Дирака для двух различных температур показан схематически на рис. 3.3. Изменение характера распределения электронов по состояниям связано с тепловым возбуждением электронов. При этом часть электронов переходит в состояния с энергиями, большей энергии Ферми. Соответственно часть состояний ниже уровня Ферми оказывается свободной. В результате функция f(E) "размыта" вблизи энергии Ферми. Тепловому возбуждению подвергается незначительная часть электронов, находящихся вблизи уровня Ферми. Функция Ферми-Дирака заметно отличается от вида, который она имела при абсолютном нуле, лишь при . Величина "размытия" пропорциональна температуре (рис. 3.3). Чем выше температура, тем более существенному изменению подвергается функция распределения.

При условии

(3.5)

экспонента в знаменателе становится значительно больше единицы в формуле (3.4). В этом случае единицей можно пренебречь и распределение Ферми-Дирака преобразуется к виду

Выражение (3.6) совпадает по форме с функцией распределения Максвелла-Больцмана.

Вероятность того, что некоторый энергетический уровень с энергией Е свободен, т.е. занят дыркой, равна