Большинство действий с алгебраическими дробями, такие, например, как сложение и вычитание, требуют предварительного приведения этих дробей к одинаковым знаменателям. Такие знаменатели также часто обозначаются словосочетанием «общий знаменатель». В данной теме мы рассмотрим определение понятий «общий знаменатель алгебраических дробей» и «наименьший общий знаменатель алгебраических дробей (НОЗ)», рассмотрим по пунктам алгоритм нахождения общего знаменателя и решим несколько задач по теме.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Если говорить про обыкновенные дроби, то общим знаменателем является такое число, которое делится на любой из знаменателей исходных дробей. Для обыкновенных дробей 1 2 и 5 9 число 36 может быть общим знаменателем, так как без остатка делится на 2 и на 9 .
Общий знаменатель алгебраических дробей определяется похожим образом, только вместо чисел используются многочлены, так как именно они стоят в числителях и знаменателях алгебраической дроби.
Определение 1
Общий знаменатель алгебраической дроби – это многочлен, который делится на знаменатель любой из дробей.
В связи с особенностями алгебраических дробей, речь о которых пойдет ниже, мы чаще будем иметь дело с общими знаменателями, представленными в виде произведения, а не в виде стандартного многочлена.
Пример 1
Многочлену, записанному в виде произведения 3 · x 2 · (x + 1) , соответствует многочлен стандартного вида 3 · x 3 + 3 · x 2 . Этот многочлен может быть общим знаменателем алгебраических дробей 2 x , - 3 · x · y x 2 и y + 3 x + 1 , в связи с тем, что он делится на x , на x 2 и на x + 1 . Информация о делимости многочленов есть в соответствующей теме нашего ресурса.
Для заданных алгебраических дробей количество общих знаменателей может быть бесконечное множество.
Пример 2
Возьмем для примера дроби 1 2 · x и x + 1 x 2 + 3 . Их общим знаменателем является 2 · x · (x 2 + 3) , как и − 2 · x · (x 2 + 3) , как и x · (x 2 + 3) , как и 6 , 4 · x · (x 2 + 3) · (y + y 4) , как и − 31 · x 5 · (x 2 + 3) 3 , и т.п.
При решении задач можно облегчить себе работу, используя общий знаменатель, который среди всего множества знаменателей имеет самый простой вид. Такой знаменатель часто обозначается как наименьший общий знаменатель.
Определение 2
Наименьший общий знаменатель алгебраических дробей – это общий знаменатель алгебраических дробей, который имеет самый простой вид.
К слову, термин «наименьший общий знаменатель» не является общепризнанным, потому лучше ограничиваться термином «общий знаменатель». И вот почему.
Ранее мы сфокусировали ваше внимание на фразе «знаменатель самого простого вида». Основной смысл этой фразы следующий: на знаменатель самого простого вида должен без остатка делиться любой другой общий знаменатель данных в условии задачи алгебраических дробей. При этом в произведении, которое является общим знаменателем дробей, можно использовать различные числовые коэффициенты.
Пример 3
Возьмем дроби 1 2 · x и x + 1 x 2 + 3 . Мы уже выяснили, что проще всего работать нам будет с общим знаменателем вида 2 · x · (x 2 + 3) . Также общим знаменателем для этих двух дробей может быть x · (x 2 + 3) , который не содержит числового коэффициента. Вопрос в том, какой из этих двух общих знаменателей считать наименьшим общим знаменателем дробей. Однозначного ответа нет, потому правильнее говорить просто об общем знаменателе, а в работу брать тот вариант, с которым работать будет удобнее всего. Так, мы можем использовать и такие общие знаменатели как x 2 · (x 2 + 3) · (y + y 4) или − 15 · x 5 · (x 2 + 3) 3 , которые имеют более сложный вид, но проводить с ними действия может быть сложнее.
Предположим, что у нас имеется несколько алгебраических дробей, для которых нам необходимо отыскать общий знаменатель. Для решения этой задачи мы можем использовать следующий алгоритм действий. Сначала нам необходимо разложить на множители знаменатели исходных дробей. Затем мы составляем произведение, в которое последовательно включаем:
Полученное произведение и будет общим знаменателем алгебраических дробей.
В качестве множителей произведения мы можем взять все знаменатели дробей, данных в условии задачи. Однако множитель, который мы получим в итоге, по смыслу будет далек от НОЗ и использование его будет иррациональным.
Пример 4
Определите общий знаменатель дробей 1 x 2 · y , 5 x + 1 и y - 3 x 5 · y .
Решение
В данном случае у нас нет необходимости раскладывать знаменатели исходных дробей на множители. Потому начнем применять алгоритм с составления произведения.
Из знаменателя первой дроби возьмем множитель x 2 · y , из знаменателя второй дроби множитель x + 1 . Получаем произведение x 2 · y · (x + 1) .
Знаменатель третьей дроби может дать нам множитель x 5 · y , однако в составленном нами ранее произведении уже есть множители x 2 и y . Следовательно, добавляем еще x 5 − 2 = x 3 . Получаем произведение x 2 · y · (x + 1) · x 3 , которое можно привести к виду x 5 · y · (x + 1) . Это и будет наш НОЗ алгебраических дробей.
Ответ: x 5 · y · (x + 1) .
Теперь рассмотрим примеры задач, когда в знаменателях алгебраических дробей есть целые числовые множители. В таких случаях мы также действуем по алгоритму, предварительно разложив целые числовые множители на простые множители.
Пример 5
Найдите общий знаменатель дробей 1 12 · x и 1 90 · x 2 .
Решение
Разложив числа в знаменателях дробей на простые множители, получаем 1 2 2 · 3 · x и 1 2 · 3 2 · 5 · x 2 . Теперь мы можем перейти к составлению общего знаменателя. Для этого из знаменателя первой дроби возьмем произведение 2 2 · 3 · x и добавим к нему множители 3 , 5 и x из знаменателя второй дроби. Получаем 2 2 · 3 · x · 3 · 5 · x = 180 · x 2 . Это и есть наш общий знаменатель.
Ответ: 180 · x 2 .
Если внимательно посмотреть на результаты двух разобранных примеров, то можно заметить, что общие знаменатели дробей содержат все множители, присутствующие в разложениях знаменателей, причем если некоторый множитель имеется в нескольких знаменателях, то он берется с наибольшим из имеющихся показателей степени. А если в знаменателях имеются целые коэффициенты, то в общем знаменателе присутствует числовой множитель, равный наименьшему общему кратному этих числовых коэффициентов.
Пример 6
В знаменателях обеих алгебраических дробей 1 12 · x и 1 90 · x 2 есть множитель x . Во втором случае множитель x возведен в квадрат. Для составления общего знаменателя это множитель нам необходимо взять в наибольшей степени, т.е. x 2 . Других множителей с переменными нет. Целые числовые коэффициенты исходных дробей 12 и 90 , а их наименьшее общее кратное равно 180 . Получается, что искомый общий знаменатель имеет вид 180 · x 2 .
Теперь мы можем записать еще один алгоритм нахождения общего множителя алгебраических дробей. Для этого мы:
Приведенные алгоритмы равноценны, так что использовать в решении задач можно любой из них. Важно уделять внимание деталям.
Встречаются случаи, когда общие множители в знаменателях дробей могут быть незаметны за числовыми коэффициентами. Здесь целесообразно сначала вынести числовые коэффициенты при старших степенях переменных за скобки в каждом из множителей, имеющихся в знаменателе.
Пример 7
Какой общий знаменатель имеют дроби 3 5 - x и 5 - x · y 2 2 · x - 10 .
Решение
В первом случае за скобки необходимо вынести минус единицу. Получаем 3 - x - 5 . Умножаем числитель и знаменатель на - 1 для того, чтобы избавиться от минуса в знаменателе: - 3 x - 5 .
Во втором случае за скобку выносим двойку. Это позволяет нам получить дробь 5 - x · y 2 2 · x - 5 .
Очевидно, что общий знаменатель данных алгебраических дробей - 3 x - 5 и 5 - x · y 2 2 · x - 5 это 2 · (x − 5) .
Ответ: 2 · (x − 5) .
Данные в условии задачи дроби могут иметь дробные коэффициенты. В этих случаях необходимо сначала избавиться от дробных коэффициентов путем умножения числителя и знаменателя на некоторое число.
Пример 8
Упростите алгебраические дроби 1 2 · x + 1 1 14 · x 2 + 1 7 и - 2 2 3 · x 2 + 1 1 3 , после чего определите их общий знаменатель.
Решение
Избавимся от дробных коэффициентов, умножив числитель и знаменатель в первом случае на 14 , во втором случае на 3 . Получаем:
1 2 · x + 1 1 14 · x 2 + 1 7 = 14 · 1 2 · x + 1 14 · 1 14 · x 2 + 1 7 = 7 · x + 1 x 2 + 2 и - 2 2 3 · x 2 + 1 1 3 = 3 · - 2 3 · 2 3 · x 2 + 4 3 = - 6 2 · x 2 + 4 = - 6 2 · x 2 + 2 .
После проведенных преобразований становится понятно, что общий знаменатель – это 2 · (x 2 + 2) .
Ответ: 2 · (x 2 + 2) .
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Содержимое:
Для сложения или вычитания дробей с разными знаменателями (числа, стоящие под дробной чертой) сначала необходимо найти их наименьший общий знаменатель (НОЗ). Таким числом будет наименьшее кратное, которое встречается в списке кратных каждого знаменателя, то есть число, делящееся нацело на каждый знаменатель. Также вы можете вычислить наименьшее общее кратное (НОК) двух или более знаменателей. В любом случае речь идет о целых числах, методы нахождения которых весьма схожи. Определив НОЗ, вы сможете привести дроби к общему знаменателю, что в свою очередь позволит вам складывать и вычитать их.
Этот метод имеет смысл, если степень многочлена не ниже второй. При этом общим множителем может быть не только двучлен первой степени, но и более высоких степеней.
Чтобы найти общий множитель слагаемых многочлена, необходимо выполнить ряд преобразований. Простейший двучлен или одночлен, который можно вынести за скобки, будет одним из корней многочлена. Очевидно, что в случае, когда многочлен не имеет свободного члена, будет неизвестное в первой степени – многочлена, равный 0.
Более сложным для поиска общего множителя является случай, когда свободный член не равен нулю. Тогда применимы способы простого подбора или группировки. Например, пусть все корни многочлена рациональные, при этом все коэффициенты многочлена – целые числа:y^4 + 3·y³ – y² – 9·y – 18.
Выпишите все целочисленные делители свободного члена. Если у многочлена есть рациональные корни, то они находятся среди них. В результате подбора получаются корни 2 и -3. Значит, общими множителями этого многочлена будут двучлены (y - 2) и (y + 3).
Метод вынесения общего множителя является одним из составляющих разложения на множители. Описанный выше способ применим, если коэффициент при старшей степени равен 1. Если это не так, то сначала необходимо выполнить ряд преобразований. Например:2y³ + 19·y² + 41·y + 15.
Выполните замену вида t = 2³·y³. Для этого умножьте все коэффициенты многочлена на 4:2³·y³ + 19·2²·y² + 82·2·y + 60. После замены: t³ + 19·t² + 82·t + 60. Теперь для поиска общего множителя применим вышеописанный способ.
Кроме того, эффективным методом поиска общего множителя является элементов многочлена. Особенно он полезен, когда первый способ не , т.е. у многочлена нет рациональных корней. Однако группировки не всегда очевидной. Например:У многочлена y^4 + 4·y³ – y² – 8·y – 2 нет целых корней.
Воспользуйтесь группировкой:y^4 + 4·y³ – y² – 8·y – 2 = y^4 + 4·y³ – 2·y² + y² – 8·y – 2 = (y^4 – 2·y²) + (4·y³ – 8·y) + y² – 2 = (y² - 2)*(y² + 4·y + 1).Общий множитель элементов этого многочлена (y² - 2).
Умножение и деление, точно так же, как сложение и вычитание, являются основными арифметическими действиями. Не научившись решать примеры на умножение и деление, человек столкнется со множеством трудностей не только при изучении более сложных разделов математики, но даже и в самых обычных житейских делах. Умножение и деление тесно связаны между собой, и неизвестные компоненты примеров и задач на одно из этих действий вычисляются с помощью другого действия. При этом необходимо четко понимать, что при решении примеров абсолютно все равно, какие именно предметы вы делите или умножаете.
Вам понадобится
Инструкция
Запишите нужный вам пример. Обозначьте неизвестный множитель как х. Пример может выглядеть, например, так: a*x=b. Вместо множителя а и произведения b в примере могут стоять любые или цифры. Вспомните основное умножения: от перемены мест множителей произведение не меняется. Так что неизвестный множитель х может стоять абсолютно в любом месте.
Для того чтобы найти неизвестный множитель в примере, где сомножителей всего два, необходимо просто разделить произведение на известный множитель . То есть делается это следующим образом: х=b/a. Если вам сложно оперировать абстрактными величинами, попробуйте представить эту задачу в виде конкретных предметов. Вы , у вас всего яблок и сколько их будет есть, но не знаете, по сколько яблок достанется каждому. Например, у вас 5 членов семьи, а яблок получилось 15. Количество яблок, предназначенное каждому, обозначьте как x. Тогда уравнение будет выглядеть так: 5(яблок)*х=15(яблок). Неизвестный множитель находится тем же самым способом, что и в уравнении с буквами, то есть 15 яблок разделите на пятерых членов семьи, в итоге получится, что каждый из них съел по 3 яблока.
Тем же самым способом находится неизвестный множитель при количестве сомножителей. Например, пример выглядит как a*b*c*x*=d. По идее, найти сомножитель можно и так же, как в более постом примере: x=d/a*b*c. Но можно привести уравнение и к более простому виду, обозначив произведение известных сомножителей -нибудь другой буквой - например, m. Найдите, чему равняется m, перемножив числа a,b и с: m=a*b*c. Тогда весь пример можно представить как m*x=d, а неизвестная величина будет равна x=d/m.
Если известный множитель и произведение представляют собой дроби, пример решается точно так же, как и с . Но в этом случае необходимо помнить действий . При умножении дробей числители и знаменатели их перемножаются. При делении дробей числитель делимого умножается на знаменатель делителя, а знаменатель делимого - на числитель делителя. То есть в этом случае пример будет выглядеть так: a/b*x=c/d. Для того чтобы найти неизвестную величину, нужно произведение разделить на известный множитель . То есть x=a/b:c/d =a*d/b*c.
Видео по теме
Обратите внимание
При решении примеров с дробями дробь известного сомножителя можно просто перевернуть и выполнять действие как умножение дробей.
Многочлен - это сумма одночленов. Одночлен же - это произведение нескольких сомножителей, которые являются числом или буквой. Степень неизвестной - это количество ее перемножений на саму себя.
Инструкция
Приведите , если этого еще не сделано. Подобные одночлены - это одночлены одинакового вида, то есть одночлены с одинаковыми неизвестными одинаковой степени.
Возьмите, например, многочлен 2*y²*x³+4*y*x+5*x²+3-y²*x³+6*y²*y²-6*y²*y². В этом многочлене две неизвестных - x и y.
Соедините подобные одночлены. Одночлены со второй степенью y и третьей степенью x придут к виду y²*x³, а одночлены с четвертой степенью y сократятся. Получится y²*x³+4*y*x+5*x²+3-y²*x³.
Примите за главную неизвестную букву y. Найдите максимальную степень при неизвестной y. Это одночлен y²*x³ и, соответственно, степень 2.
Сделайте вывод. Степень многочлена 2*y²*x³+4*y*x+5*x²+3-y²*x³+6*y²*y²-6*y²*y² по x равна трем, а по y равна двум.
Найдите степень многочлена √x+5*y по y. Она равна максимальной степени y, то есть единице.
Найдите степень многочлена √x+5*y по x. Неизвестная x находится , значит ее степень будет дробью. Так как корень квадратный, то степень x равна 1/2.
Сделайте вывод. Для многочлена √x+5*y степень по x равна 1/2, а степень по y равна 1.
Видео по теме
Упрощение алгебраических выражений требуется во многих разделах математики, в том числе при решении уравнений высших степеней, дифференцировании и интегрировании. При этом используется несколько методов, включая разложение на множители. Чтобы применить этот способ, нужно найти и вынести общий множитель за скобки .
Материал этой статьи объясняет, как найти наименьший общий знаменатель и как привести дроби к общему знаменателю . Сначала даны определения общего знаменателя дробей и наименьшего общего знаменателя, а также показано, как найти общий знаменатель дробей. Дальше приведено правило приведения дробей к общему знаменателю и рассмотрены примеры применения этого правила. В заключение разобраны примеры приведения трех и большего количества дробей к общему знаменателю.
Навигация по странице.
Теперь мы можем сказать, что такое приведение дробей к общему знаменателю. Приведение дробей к общему знаменателю – это умножение числителей и знаменателей данных дробей на такие дополнительные множители, что в результате получаются дроби с одинаковыми знаменателями.
Теперь пришло время дать определение общего знаменателя дробей.
Иными словами, общим знаменателем некоторого набора обыкновенных дробей является любое натуральное число, которое делится на все знаменатели данных дробей.
Из озвученного определения следует, что данный набор дробей имеет бесконечно много общих знаменателей, так как существует бесконечное множество общих кратных всех знаменателей исходного набора дробей.
Определение общего знаменателя дробей позволяет находить общие знаменатели данных дробей. Пусть, к примеру, даны дроби 1/4 и 5/6 , их знаменатели равны 4 и 6 соответственно. Положительными общими кратными чисел 4 и 6 являются числа 12 , 24 , 36 , 48 , … Любое из этих чисел является общим знаменателем дробей 1/4 и 5/6 .
Для закрепления материала рассмотрим решение следующего примера.
Пример.
Можно ли дроби 2/3 , 23/6 и 7/12 привести к общему знаменателю 150 ?
Решение.
Для ответа на поставленный вопрос нам нужно выяснить, является ли число 150 общим кратным знаменателей 3 , 6 и 12 . Для этого проверим, делится ли 150 нацело на каждое из этих чисел (при необходимости смотрите правила и примеры деления натуральных чисел , а также правила и примеры деления натуральных чисел с остатком): 150:3=50 , 150:6=25 , 150:12=12 (ост. 6) .
Итак, 150 не делится нацело на 12 , следовательно, 150 не является общим кратным чисел 3 , 6 и 12 . Следовательно, число 150 не может быть общим знаменателем исходных дробей.
Ответ:
Нельзя.
В множестве чисел, являющихся общими знаменателями данных дробей, существует наименьшее натуральное число , которое называют наименьшим общим знаменателем. Сформулируем определение наименьшего общего знаменателя данных дробей.
Определение.
Наименьший общий знаменатель – это наименьшее число, из всех общих знаменателей данных дробей.
Осталось разобраться с вопросом, как найти наименьший общий делитель.
Так как является наименьшим положительным общим делителем данного набора чисел, то НОК знаменателей данных дробей представляет собой наименьший общий знаменатель данных дробей.
Таким образом, нахождение наименьшего общего знаменателя дробей сводится к знаменателей этих дробей. Разберем решение примера.
Пример.
Найдите наименьший общий знаменатель дробей 3/10 и 277/28 .
Решение.
Знаменатели данных дробей равны 10 и 28 . Искомый наименьший общий знаменатель находится как НОК чисел 10 и 28 . В нашем случае легко : так как 10=2·5 , а 28=2·2·7 , то НОК(15, 28)=2·2·5·7=140 .
Ответ:
140 .
Обычно обыкновенные дроби приводят к наименьшему общему знаменателю. Сейчас мы запишем правило, которое объясняет, как привести дроби к наименьшему общему знаменателю.
Правило приведения дробей к наименьшему общему знаменателю состоит из трех шагов:
Применим озвученное правило к решению следующего примера.
Пример.
Приведите дроби 5/14 и 7/18 к наименьшему общему знаменателю.
Решение.
Выполним все шаги алгоритма приведения дробей к наименьшему общему знаменателю.
Сначала находим наименьший общий знаменатель, который равен наименьшему общему кратному чисел 14 и 18 . Так как 14=2·7 и 18=2·3·3 , то НОК(14, 18)=2·3·3·7=126 .
Теперь вычисляем дополнительные множители, с помощью которых дроби 5/14 и 7/18 будут приведены к знаменателю 126 . Для дроби 5/14 дополнительный множитель равен 126:14=9 , а для дроби 7/18 дополнительный множитель равен 126:18=7 .
Осталось умножить числители и знаменатели дробей 5/14
и 7/18
на дополнительные множители 9
и 7
соответственно. Имеем и .
Итак, приведение дробей 5/14 и 7/18 к наименьшему общему знаменателю завершено. В итоге получились дроби 45/126 и 49/126 .
На этом уроке мы рассмотрим приведение дробей к общему знаменателю и решим задачи по этой теме. Дадим определение понятию общего знаменателя и дополнительного множителя, вспомним о взаимно простых числах. Дадим определение понятию наименьший общий знаменатель (НОЗ) и решим ряд задач на его нахождение.
Тема: Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
Урок: Приведение дробей к общему знаменателю
Повторение. Основное свойство дроби.
Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.
Например, числитель и знаменатель дроби можно разделить на 2. Получим дробь . Эту операцию называют сокращением дроби. Можно выполнить и обратное преобразование, умножив числитель и знаменатель дроби на 2. В этом случае говорят, что мы привели дробь к новому знаменателю. Число 2 называют дополнительным множителем.
Вывод. Дробь можно привести к любому знаменателю кратному знаменателю данной дроби. Для того чтобы привести дробь к новому знаменателю, ее числитель и знаменатель умножают на дополнительный множитель.
1. Приведите дробь к знаменателю 35.
Число 35 кратно 7, то есть 35 делится на 7 без остатка. Значит, это преобразование возможно. Найдем дополнительный множитель. Для этого разделим 35 на 7. Получим 5. Умножим на 5 числитель и знаменатель исходной дроби.
2. Приведите дробь к знаменателю 18.
Найдем дополнительный множитель. Для этого разделим новый знаменатель на исходный. Получим 3. Умножим на 3 числитель и знаменатель данной дроби.
3. Приведите дробь к знаменателю 60.
Разделив 60 на 15, получим дополнительный множитель. Он равен 4. Умножим числитель и знаменатель на 4.
4. Приведите дробь к знаменателю 24
В несложных случаях приведение к новому знаменателю выполняют в уме. Принято только указывать дополнительный множитель за скобочкой чуть правее и выше исходной дроби.
Дробь можно привести к знаменателю 15 и дробь можно привести к знаменателю 15. У дробей и общий знаменатель 15.
Общим знаменателем дробей может быть любое общее кратное их знаменателей. Для простоты дроби приводят к наименьшему общему знаменателю. Он равен наименьшему общему кратному знаменателей данных дробей.
Пример. Привести к наименьшему общему знаменателю дроби и .
Сначала найдем наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей. Это число 12. Найдем дополнительный множитель для первой и для второй дроби. Для этого 12 разделим на 4 и на 6. Три - это дополнительный множитель для первой дроби, а два - для второй. Приведем дроби к знаменателю 12.
Мы привели дроби и к общему знаменателю, то есть мы нашли равные им дроби, у которых один и тот же знаменатель.
Правило. Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, надо
Во-первых, найти наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей, оно и будет их наименьшим общим знаменателем;
Во-вторых, разделить наименьший общий знаменатель на знаменатели данных дробей, т. е. найти для каждой дроби дополнительный множитель.
В-третьих, умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.
а) Привести к общему знаменателю дроби и .
Наименьший общий знаменатель равен 12. Дополнительный множитель для первой дроби - 4, для второй - 3. Приводим дроби к знаменателю 24.
б) Привести к общему знаменателю дроби и .
Наименьший общий знаменатель равен 45. Разделив 45 на 9 на 15, получим, соответственно, 5 и 3. Приводим дроби к знаменателю 45.
в) Привести к общему знаменателю дроби и .
Общий знаменатель - 24. Дополнительные множители, соответственно, - 2 и 3.
Иногда бывает трудно подобрать устно наименьшее общее кратное для знаменателей данных дробей. Тогда общий знаменатель и дополнительные множители находят с помощью разложения на простые множители.
Привести к общему знаменателю дроби и .
Разложим числа 60 и 168 на простые множители. Выпишем разложение числа 60 и добавим недостающие множители 2 и 7 из второго разложения. Умножим 60 на 14 и получим общий знаменатель 840. Дополнительный множитель для первой дроби - это 14. Дополнительный множитель для второй дроби - 5. Приведем дроби к общему знаменателю 840.
Список литературы
1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др. Математика 6. - М.: Мнемозина, 2012.
2. Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. - Гимназия, 2006.
3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. - Просвещение, 1989.
4. Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математика 5-6 класс. - ЗШ МИФИ, 2011.
5. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5-6. Пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. - ЗШ МИФИ, 2011.
6. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О. и др. Математика: Учебник-собеседник для 5-6 классов средней школы. Библиотека учителя математики. - Просвещение, 1989.
Можно скачать книги, указанные в п.1.2. данного урока.
Домашнее задание
Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др. Математика 6. - М.: Мнемозина, 2012. (ссылка см. 1.2)
Домашнее задание: №297, №298, №300.
Другие задания: №270, №290