Логарифмические выражения, решение примеров. В этой статье мы рассмотрим задачи связанные с решением логарифмов. В заданиях ставится вопрос о нахождении значения выражения. Нужно отметить, что понятие логарифма используется во многих заданиях и понимать его смысл крайне важно. Что касается ЕГЭ, то логарифм используется при решении уравнений, в прикладных задачах, также в заданиях связанных с исследованием функций.
Приведём примеры для понимания самого смысла логарифма:
Основное логарифмическое тождество:
Свойства логарифмов, которые необходимо всегда помнить:
*Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей.
* * *
*Логарифм частного (дроби) равен разности логарифмов сомножителей.
* * *
*Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм ее основания.
* * *
*Переход к новому основанию
* * *
Ещё свойства:
* * *
Вычисление логарифмов тесно связано с использованием свойств показателей степени.
Перечислим некоторые из них:
Суть данного свойства заключается в том, что при переносе числителя в знаменатель и наоборот, знак показателя степени меняется на противоположный. Например:
Следствие из данного свойства:
* * *
При возведении степени в степень основание остаётся прежним, а показатели перемножаются.
* * *
Как вы убедились само понятие логарифма несложное. Главное то, что необходима хорошая практика, которая даёт определённый навык. Разумеется знание формул обязательно. Если навык в преобразовании элементарных логарифмов не сформирован, то при решении простых заданий можно легко допустить ошибку.
Практикуйтесь, решайте сначала простейшие примеры из курса математики, затем переходите к более сложным. В будущем обязательно покажу, как решаются «страшненькие» логарифмы, таких на ЕГЭ не будет, но они представляют интерес, не пропустите!
На этом всё! Успеха Вам!
С уважением, Александр Крутицких
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
Логарифмом положительного числа b по основанию a (a>0, a не равно 1) называют такое число с, что a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       
Обратите внимание: логарифм от неположительного числа не определен. Кроме того, в основании логарифма должно быть положительное число, не равное 1. Например, если мы возведем -2 в квадрат, получим число 4, но это не означает, что логарифм по основанию -2 от 4 равен 2.
Важно, что области определения правой и левой частей этой формулы отличаются. Левая часть определена только при b>0, a>0 и a ≠ 1. Правая часть определена при любом b, а от a вообще не зависит. Таким образом, применение основного логарифмического "тождества" при решении уравнений и неравенств может привести к изменению ОДЗ.
Действительно, при возведении числа a в первую степень мы получим то же самое число, а при возведении в нулевую степень - единицу.
Log
a
b
c
=
log
a
b −
log
a
c
(a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)
(6)
Хотелось бы предостеречь школьников от бездумного применения данных формул при решении логарифмических уравнений и неравенств. При их использовании "слева направо" происходит сужение ОДЗ, а при переходе от суммы или разности логарифмов к логарифму произведения или частного - расширение ОДЗ.
Действительно, выражение log a (f (x) g (x)) определено в двух случаях: когда обе функции строго положительны либо когда f(x) и g(x) обе меньше нуля.
Преобразуя данное выражение в сумму log a f (x) + log a g (x) , мы вынуждены ограничиваться только случаем, когда f(x)>0 и g(x)>0. Налицо сужение области допустимых значений, а это категорически недопустимо, т. к. может привести к потере решений. Аналогичная проблема существует и для формулы (6).
И вновь хотелось бы призвать к аккуратности. Рассмотрим следующий пример:
Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)
Левая часть равенства определена, очевидно, при всех значениях f(х), кроме нуля. Правая часть - только при f(x)>0! Вынося степень из логарифма, мы вновь сужаем ОДЗ. Обратная процедура приводит к расширению области допустимых значений. Все эти замечания относятся не только к степени 2, но и к любой четной степени.
Тот редкий случай, когда ОДЗ не изменяется при преобразовании. Если вы разумно выбрали основание с (положительное и не равное 1), формула перехода к новому основанию является абсолютно безопасной.
Если в качестве нового основания с выбрать число b, получим важный частный случай формулы (8):
Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)
Пример 1. Вычислите: lg2 + lg50.
Решение. lg2 + lg50 = lg100 = 2. Мы воспользовались формулой суммы логарифмов (5) и определением десятичного логарифма.
Пример 2. Вычислите: lg125/lg5.
Решение. lg125/lg5 = log 5 125 = 3. Мы использовали формулу перехода к новому основанию (8).
a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) |
log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) |
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) |
log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) |
log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) |
log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) |
Одним из элементов алгебры примитивного уровня является логарифм. Название произошло из греческого языка от слова “число” или “степень” и означает степень, в которую необходимо возвести число, находящееся в основании, для нахождения итогового числа.
Логари́фм числа b по основанию a является показателем степени, которая требует, чтобы в число b возвели основание а. Полученный результат произносится так: “логарифм b по основанию а”. Решение логарифмических задач состоит в том, что вам необходимо определить данную степень по числам по указанным числам. Существуют некоторые основные правила, чтобы определить или решить логарифм, а также преобразовать саму запись. Используя их, производится решение логарифмических уравнений, находятся производные, решаются интегралы и осуществляются многие другие операции. В основном, решением самого логарифма является его упрощенная запись. Ниже приведены основные формулы и свойства:
Для любых a ; a > 0; a ≠ 1 и для любых x ; y > 0.
Обратите внимание: если в логарифме по основанию стоит 10 , то запись укорачивается, получается десятичный логарифм. Если стоит натуральное число е, то записываем, сокращая до натурального логарифма. Имеется ввиду, что результат всех логарифмов – степень, в которую возводится число основания до получения числа b.
Непосредственно, решение и заключается в вычислении этой степени. До того как решить выражение с логарифмом, его необходимо упростить по правилу, то есть, пользуясь формулами. Основные тождества вы сможете найти, вернувшись немного назад в статье.
Складывая и вычитая логарифмы с двумя различными числами, но с одинаковыми основаниями, заменяйте одним логарифмом с произведением или делением чисел b и с соответственно. В таком случае можно применить формулу перехода к другому основания (см. выше).
Если вы используете выражения для упрощения логарифма, то необходимо учитывать некоторые ограничения. А то есть: основание логарифма а – только положительное число, но не равное единице. Число b, как и а, должно быть больше нуля.
Есть случаи, когда упростив выражение, вы не сможете вычислить логарифм в числовом виде. Бывает, что такое выражение не имеет смысла, ведь многие степени – числа иррациональные. При таком условии оставьте степень числа в виде записи логарифма.
Корень логарифма из положительного числа равен логарифму подкоренного выражения, деленному на показатель корня:
И в правду, при работе со степенями используется зависимость , следовательно, применив теорему логарифма степени и получаем данную формулу.
Применим ее на практике, рассмотрим пример :
При решении заданий на нахождение логарифма достаточно часто оказывается полезным от логарифмов по одному основанию (например, а ) перейти к логарифмам по другому основанию (например, с ) . В таких ситуациях применяют нижеследующую формулу:
При этом имеется ввиду, что a, b и с конечно же положительные числа, причем а и с не равны один.
Для доказательства этой формулы воспользуемся основным логарифмическим тождеством :
Если положительные числа равны, то, очевидно, равны и их логарифмы по одному и тому же основанию с . Поэтому:
Применив теорему о логарифме степени :
Следовательно, log a b · log c a = log c b откуда и вытекает формула смены основания логарифма.
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
Как мы используем вашу персональную информацию:
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.