Топология - довольно красивое, звучное слово, очень популярное в некоторых нематематических кругах, заинтересовало меня еще в 9 классе. Точного представления конечно же я не имел, тем не менее, подозревал, что все завязано на геометрии.

Слова и текст подбирались таким образом, чтобы все было «интуитивно ясно». Как следствие - полное отсутствие математической грамоты.

Что такое топология? Сразу скажу, что есть, по крайней мере, два термина «Топология» - один из них просто обозначает некоторую математическую структуру, второй - несет за собой целую науку. Наука эта заключается в изучение свойств предмета, которые не изменятся при его деформации.

Наглядный пример 1. Чашка бублик.

Мы видим, что кружка непрерывными деформациями переходит в бублик (в простонародье «двухмерный тор»). Было замечено, что топология изучает, то что остается неизменным при таких деформациях. В данном случае неизменным остается количество «дырок» в предмете - она одна. Пока оставим как есть, чуть позже разберемся наверняка)

Наглядный пример 2. Топологический человек.

Непрерывными деформациями человек (см. рисунок) может распутать пальцы - факт. Не сразу очевидно, но можно догадаться. А если же наш топологический человек предусмотрительно надел часы на одну руку, то наша задача станет невыполнимой.

Давайте внесем ясности

Итак, надеюсь парочка примеров привнесла некоторой наглядности к происходящему.
Попробуем формализовать это все по-детски.
Будем считать что мы работаем с пластилиновыми фигурками, и пластилин можем растягивать, сжимать, при этом запрещены склеивания разных точек и разрывы . Гомеоморфными называются фигуры, которые переводятся друг в друга непрерывными деформациями описанными чуть ранее.

Очень полезный случай - сфера с ручками. У сферы может быть 0 ручек - тогда это просто сфера, может быть одна - тогда это бублик (в простонародье «двухмерный тор») и т.д.
Так почему же сфера с ручками - обособляется среди других фигур? Все очень просто - любая фигура гомеоморфна сфере с некоторым количеством ручек. То есть по сути у нас больше ничего нет О_о Любой объемный предмет устроен как сфера с некоторым количеством ручек. Будь то чашка, ложка, вилка (ложка=вилка!), компьютерная мышь, человек.

Вот такая вот достаточно содержательная теорема доказана. Не нами и не сейчас. Точнее она доказана для гораздо более общей ситуации. Поясню: мы ограничивались рассмотрением фигур слепленных из пластилина и без полостей. Это влечет следующие неприятности:
1) мы никак не можем получить неориентируемую поверхность (Бутылка Клейна, Лента Мёбиуса, проективная плоскость),
2)ограничиваемся двухмерными поверхностями (н/п: сфера - двухмерная поверхность),
3)не можем получить поверхности, фигуры простирающиеся на бесконечность (можно конечно такое представить, но никакого пластилина не хватит).

Лента Мёбиуса

Бутылка Клейна

Топология - сравнительно молодая математическая наука. Примерно за сто лет ее существования в ней достигнуты результаты, важные для многих разделов математики. Поэтому проникновение в "мир топологии " для начинающего несколько затруднительно, так как требует знания многих фактов геометрии, алгебры, анализа и других разделов математики, а также умения рассуждать.

Книга написана просто и наглядно. В форме, доступной для понимания школьников, она знакомит читателя с идеями топологии, ее основными понятиями и фактами. Большое количество рисунков облегчает усвоение материала. Этому же способствуют свыше двухсот задач. Для школьников, преподавателей, студентов.

ПРЕДИСЛОВИЕ .
Простейшие идеи топологии возникают из непосредственного наблюдения за окружающим миром. Интуитивно ясно, что высказывания о геометрических свойствах фигур не вполне исчерпываются сведениями об их «метрических» свойствах (размерах, углах и т. д.). Остается еще «кое-что» за пределами старой геометрии. Какой бы длинной ни была линия (веревка, провод, длинная молекула), она может быть замкнутой или нет; если линия замкнута, то она может сложным образом «заузляться».

Две (или более) замкнутые линии могут «зацепляться» одна с другой и притом различными способами. Тела, их поверхности, могут иметь «дырки». Эти свойства тел характеризуются тем, что они не меняются при деформациях, допускающих любые растяжения без разрывов. Такие свойства и называются топологическими. Кроме элементарных геометрических фигур, топологическими свойствами обладают многие чисто математические объекты, и именно это определяет их важность.

Однако легче подметить существование топологических свойств фигур, чем создать их «исчисление», т. е. раздел математики, обладающий точными понятиями, строгими законами и методами, математическими формулами, изображающими топологические величины.

Первые важные наблюдения и точные топологические соотношения были найдены еще Эйлером, Гауссом и Риманом. Тем не менее, без преувеличения можно сказать, что топология как раздел науки основана в конце XIX века А. Пуанкаре.

Содержание:
Предисловие редактора Предисловие авторов
Часть первая. ТОПОЛОГИЯ ЛИНИЙ
1. Идея непрерывности
2. Чей занимается топология?
3. Простейшие топологические инварианты
4. Эйлерова характеристика графа
5. Индекс пересечения в Теорема Жордана
7. Что такое линия?
8. Кривая Право.
Часть вторая. ТОПОЛОГИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
9. Теорема Эйлера
10. Поверхности
11. Эйлерова характеристика поверхности
12. Классификация замкнутых ориентируемых поверхностей
13. Классификация замкнутых поверхностей
14. Векторные поля на поверхностях
15. Проблема четырех красок
16. Раскрашивание карт на поверхностях
17. «Дикая сфера»
18. Узлы
19. Коэффициент зацепления
Часть третья. ГОМОТОПИИ И ГОМОЛОГИИ
20. Периоды многозначных функций
21. Фундаментальная группа
22. Клеточные разбиения и полиэдры
23. Накрытия
24. Степень отображения н основная теорема алгебры
25. Группа узла
26. Циклы и гомологии
27. Топологическое произведение
28. Расслоения
29. Теория Морса.

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Наглядная топология, Болтянский В.Г., Ефремович В.А., 1982 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать djvu
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.

Что такое топология

Введение

1. Основные этапы развития топологии

2. Общая характеристика топологии

3. Общая топология

4. Топологическое пространство

5. Важные проблемы и результаты

Заключение

Введение

Топология – сравнительно молодая математическая наука. Примерно за сто лет ее существования в ней достигнуты результаты, важные для многих разделов математики. Поэтому проникновение в «мир топологии» для начинающего несколько затруднительно, так как требует знания многих фактов геометрии, алгебры, анализа и других разделов математики, а также умения рассуждать.

Топология оказывает влияние на многие разделы математики. Она изучает, в частности, такие свойства произвольных геометрических образов, которые сохраняются при преобразованиях, происходящих без разрывов и склеивания, или, как говорят математики, – при взаимно однозначных и взаимно непрерывных преобразованиях. Такие преобразования называют топологическими. Два геометрических образа в топологии рассматриваются как «одинаковые», если один из них можно перевести в другой топологическим преобразованием. Например, круг и квадрат на плоскости можно преобразовать друг в друга топологическим преобразованием – это топологически эквивалентные фигуры. В то же время круг и кольцевая область, получаемая из круга «выбрасыванием» концентричного круга меньшего радиуса, с точки зрения топологии – различны.

Топология делится на два раздела – общую или теоретико-множественную топологию и алгебраическую топологию. Деление это в значительной мере условно. Одна из основных задач общей топологии – анализ математической концепции непрерывности в ее наиболее общей форме. Для этого было введено понятие топологического пространства. В топологии разработана весьма изощренная алгебраическая и аналитическая техника, значение которой выходит далеко за пределы первоначальной сферы ее применения. Сюда входит, в частности, так называемая гомологическая алгебра, которая является рабочим инструментом также и в теории уравнений с частными производными, в теории функций многих комплексных переменных и т.д. Один из разделов общей топологии – теория размерности. Что значит, что некоторое пространство двумерно, трехмерно или, вообще, n-мерно? Размерность есть одна из фундаментальных характеристик топологического пространства. Определение ее в общем случае оказывается весьма непростым. В. Кузьминовым был построен ряд примеров, показывающих парадоксальность поведения размерности в определенных ситуациях. И. Шведовым изучалась задача об аксиоматическом определении размерностей, и он опроверг, в частности, некоторые известные гипотезы, связанные с этой задачей. Другой раздел топологии носит название теории Ходжа. Эта теория объединяет в себе представления, относящиеся к теории уравнений в частных производных, римановой геометрии и топологии. В. Кузьминовым, И. Шведовым и В. Гольдштейном в серии работ было построено некоторое обобщение теории Ходжа, применимое к изучению многообразий с особенностями и многообразий, удовлетворяющих пониженным (в сравнении с обычной теорией Ходжа) требованиям гладкости. Отличие этой обобщенной теории Ходжа, – с точки зрения дифференциальных уравнений, – в том, что эта теория существенно нелинейно.

1. Основные этапы развития топологии

2. Общая характеристика топологии

Одним из самых неожиданных явлений в развитии математики XX в. стал головокружительный взлет науки, известной под названием топология.

Топология (от греч. τόπος – место и λόγος – слово, учение) – раздел геометрии, изучающий в самом общем виде явление непрерывности, в частности свойства пространства, которые остаются неизменными при непрерывных деформациях, например, связность, ориентируемость.

Желая пояснить, что такое топология, иногда говорят, что это «геометрия на резиновой поверхности». Это малопонятное и туманное описание позволяет, тем не менее, уловить суть предмета. Топология изучает те свойства геометрических объектов, которые сохраняются при непрерывных преобразованиях. Непрерывные преобразования характеризуются тем, что точки, расположенные «близко одна к другой» до преобразования, остаются такими и после того, как преобразование закончено. При топологических преобразованиях разрешается растягивать и изгибать, но не разрешается ломать и рвать. (Однако, с одной оговоркой: когда речь идет о преобразованиях, нас не интересует, что происходит в процессе этих преобразований, важны только начальное положение и конечный результат. Поэтому допускаются, скажем, разрезы по каким-то линиям, которые потом склеиваются по тем же линиям. Например, если шнурок завязан узлом и его концы соединены, можно разрезать его где-то, развязать узел и снова соединить на месте разреза).

Топологию можно подразделить на три области:

1) комбинаторную топологию, изучающую геометрические формы посредством их разбиения на простейшие фигуры, регулярным образом примыкающие друг к другу;

2) алгебраическую топологию, занимающуюся изучением алгебраических структур, связанных с топологическими пространствами, с упором на теорию групп;

3) теоретико-множественную топологию, изучающую множества как скопления точек (в отличие от комбинаторных методов, представляющих объект как объединение более простых объектов) и описывающую множества в терминах таких топологических свойств, как открытость, замкнутость, связность и т.д. Разумеется, такое деление топологии на области в чем-то произвольно; многие топологи предпочитают выделять в ней другие разделы.

Какого рода свойства являются топологическими? Ясно, что не те, которые изучаются в обычной евклидовой геометрии. Прямолинейность не есть топологическое свойство, потому что прямую линию можно изогнуть и она станет волнистой. Треугольник – тоже не является топологическим свойством, ибо треугольник можно непрерывно деформировать в окружность.

Итак, в топологии треугольник и окружность – одно и то же. Длины отрезков, величины углов, площади – все эти понятия изменяются при непрерывных преобразованиях, и о них следует забыть. Очень немногие привычные понятия геометрии годятся для топологии, поэтому приходится искать новые. Этим топология трудна для начинающих, пока они не постигнут сути дела.

Образцом топологического свойства объекта служит наличие дырки у бублика (причем довольно тонкая сторона этого дела – тот факт, что дырка не является частью бублика). Какую бы непрерывную деформацию ни претерпел бублик, дырка останется. Существует крылатая фраза, что тополог (математик, занимающийся топологией) – это человек, не отличающий бублик от чайной чашки. Это означает, что наиболее общие (топологические) свойства бублика и чашки одинаковы (они телесны и имеют одну дырку).

Другое топологическое свойство – наличие края. Поверхность сферы не имеет края, а пустая полусфера имеет, и никакое непрерывное преобразование не в состоянии это изменить.

Основные объекты изучения в топологии называются топологическими пространствами. Интуитивно их можно представлять себе как геометрические фигуры. Математически это – множества (иногда – подмножества евклидова пространства), наделенные дополнительной структурой под названием топология, которая позволяет формализовать понятие непрерывности. Поверхность сферы, бублика (правильнее – тора) или двойного тора – это примеры топологических пространств.

Два топологических пространства топологические эквиваленты, если можно непрерывным образом перейти от одного из них к другому и непрерывным же образом вернуться обратно.

Нам приходится вводить требование непрерывности, как прямого отображения, так и обратного к нему, по следующей причине. Возьмем два куска глины и слепим их вместе. Такое преобразование непрерывно, поскольку близкие друг к другу точки останутся таковыми.

Однако при обратном преобразовании один кусок распадается на два, и, следовательно, близкие точки по разные стороны от линии раздела окажутся далеко друг от друга, т.е. обратное преобразование не будет непрерывным. Такие преобразования нам не подходят.

Геометрические фигуры, переходящие одна в другую при топологических преобразованиях, называются гомеоморфными. Окружность и граница квадрата гомеоморфны, так как их можно перевести друг в друга топологическим преобразованием (т.е. изгибанием и растяжением без разрывов и склеиваний, например, растяжением границы квадрата на описанную вокруг него окружность). Сфера и поверхность куба также гомеоморфны. Чтобы доказать гомеоморфность фигур, достаточно указать соответствующее преобразование, но тот факт, что для каких-то фигур найти преобразование нам не удается, не доказывает, что эти фигуры не гомеоморфны. Здесь помогают топологические свойства.

Предыдущая статья: Чему равна скорость света Следующая статья: Углерод — характеристика элемента и химические свойства