Интервал сглаживания при использовании скользящей средней равен. Сглаживание динамических рядов

Здравствуйте, дорогие друзья!

В этой статье, как видно из ее названия, мы с Вами рассмотрим принцип работы одного из наиболее распространенных индикаторов технического анализа — скользящей средней (moving average или MA) , на жаргоне трейдеров ее еще называют просто «мувинг» или «машка».

Скользящая средняя — это способ, позволяющий сглаживать ценовые колебания во времени. Иными словами, скользящая средняя рассчитывает среднюю цену цены за определенный интервал времени. Скользящая средняя — это трендовый индикатор в чистом виде. С его помощью можно отследить начало нового тренда и завершение текущего, по углу наклона можно судить о силе тренда.

Скользящая средняя хоть и является примитивным индикатором, но я считаю его базовым индикатором технического анализа, он является основой для многих торговых стратегий и различных индикаторов, поэтому знать «устройство» и принцип работы этого индикатора обязан каждый трейдер.

Существует несколько методов построения скользящей средней :

1. Простая (Simple).
2. Линейно-взвешенная (Linear-Weighted).
3. Экспоненциальная (Exponential).
4. Сглаженная (Smoothed).

В основе всех методов лежат одни и те же принципы, отличаются лишь формулы, по которым они рассчитываются. Естественно у каждого метода есть свои плюсы и минусы. Остановимся на каждом методе более подробно.

ПРОСТАЯ СКОЛЬЗЯЩАЯ СРЕДНЯЯ (Simple moving average, SMA)

Чаще всего, когда идет речь о скользящей средней, подразумевается именно этот метод построения. Это один из самых простых и примитивных индикаторов технического анализа.

Рассчитывается он по очень простой формуле:

Где, Pi — цена (чаще всего рассчитывают по ценам закрытия (close) свечи, но также можно применить к максимальной минимальной, цене открытия, средней цене и др.).

N — период скользящей средней. Это основной параметр при построении, его еще называют длина сглаживания.

Давайте рассмотрим на примере.

Допустим мы хотим построить скользящую среднюю с периодом 8 по ценам закрытия. Чтобы получить среднюю точку для текущего сформированного бара, необходимо взять цены закрытий предыдущих 8 баров (ни рисунке ниже они обозначены цифрами 1−8), сложить их цены закрытия и разделить на общее количество периодов (8). В результате мы получим среднее значение для текущего сформированного бара:

Соответственно, если нам необходимо построить мувинг с периодом 60, то будем рассчитывать среднюю по ценам закрытия 60 предыдущих баров.

Как видите, ничего сложного. Построение простой скользящей средней является обычным примером вычисления среднего арифметического из школьной программы математики.

Ниже на рисунке Вы можете видеть то, как простая скользящая средняя с разными периодами «сглаживает» цену:

Основным недостатком данного метода является то, что расчет ведется на основании данных за фиксированный промежуток времени, а не всех цен, и каждому значению цены в истории присваивается одинаковая значимость. Но, согласитесь, что цена, которая имела место быть 30 дней не так важна, как цена, которая была 5 дней назад?

Также, говоря о минусах простой средней, следует упомянуть о значительном запаздывании данного индикатора, поэтому при торговле, трейдер не сможет взять большую часть трендового движения.

К достоинствам можно отнести то, что SMA обладает низкой чувствительностью, по сравнению с другими видами и будет давать меньше ложных сигналов, но за это придется «заплатить» более поздним сигналом на вход в позицию.

ЛИНЕЙНО-ВЗВЕШЕННАЯ СКОЛЬЗЯЩАЯ СРЕДНЯЯ (Linear- Weighted)

Как я писал выше, у простой МА есть существенный недостаток в том, что при расчете она придает одинаковый «удельный вес» цене, независимо от того, как близко или далеко она находится от настоящего момента. Этот недостаток был устранен в данном методе построения скользящей средней.

Формула для расчета взвешенной скользящей средней имеет следующий вид:

Где, Pi — значение цена за i-периодов назад; Wi — вес для цены i-периодов назад.

Суть данного метода состоит в том, что при построении взвешенной скользящей средней, цене присваивается определенный вес, таким образом, что ближние цены ближних баров имеют больший удельный вес, нежели цены прошлых баров.

Давайте попробуем рассчитаем линейно-взвешенную скользящую среднюю с периодом 5.

Это будет иметь следующий вид:

Т. е. мы взяли пять цен закрытия последних 5 баров. Ближайший бар у нас самый значимый и мы ему присвоили максимальный вес (в нашем случае это будет 5) и с каждой ценой закрытия последующего бара. Полученный результат разделили на сумму всех удельных весов. В результате получили взвешенную точку для конкретного бара. Конечно нам не надо будет производить эти расчеты, так как программа тех. анализа все сделает сама.

Ниже на рисунке Вы можете увидеть в сравнении простую и взвешенную скользящие средние, у обеих период 60:

К недостатком линейно-взвешенной скользящей средней можно отнести:

• Дает достаточно поздние сигналы на вход в тренд и выход из него, но из-за придания веса, гораздо быстрее реагирует на изменение цены, нежели простая скользящая средняя.
• При торговле во флэте дает множество ложных сигналов.

ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ (Exponential) И СГЛАЖЕННАЯ (Smoothed) СКОЛЬЗЯЩИЕ СРЕДНИЕ

Принцип расчета экспоненциальной МА заключается в том, что она берет в расчет все цены, которые есть на графике и присваивает им определенный вес (важность последних выше, чем предыдущих).

Формула расчета экспоненциальной скользящей средней довольна сложна и я не стану заострять на ней внимание. Нам как трейдерам важно знать, что экспоненциальная скользящая средняя очень чувствительна к изменению цены и дает более «интересные» точки входа в сделку, но при этом может лажать на сильных колебаниях цены.

Посмотрите на рисунок ниже, здесь представлены в сравнении две МА с одинаковым периодом (60):

Сглаженная скользящая средняя является, пожалуй, самой сложной в расчетах и обладает самой низкой чувствительностью. Данный тип скользящей средней очень редко используется трейдерам и только на графиках с очень большой амплитудой колебания цены.

Давайте посмотрим, как ведут себя простая и сглаженная скользящие средние с одинаковым периодом:

Обратите внимание на то, как сильно эта МА сглаживает цену по сравнению с простой скользящей средней!

До этого я сравнивал каждый метод построения скользящей средней с простой МА. Теперь давайте нанесем на график цены сразу все 4 мувинга:

Вот мы и подобрались к завершению статьи. Давайте подведем промежуточный итог.

Скользящая средняя — это трендовый индикатор, который прекрасно показывает себя, когда на рынке есть тенденция и абсолютно бесполезен, когда рынок находится в боковом движении. Хотя это и тренд-следящий индикатор, но из-за того, что рассчитывается на основании прошлых данных, он дает довольно поздние точки входа. Чтобы исправить этот недостаток были использованы другие методы расчета МА с помощью «весов».

В этой статье мы не касались того, как именно торговать по скользящим средним, как искать точки входа и выхода, как фильтровать сигналы. Все эти и многие другие вопросы мы разберем в следующей статье.

На сегодня у меня все. Успехов в торговле!

PS Обязательно прочитайте продолжение этой статьи, перейдя по этой ссылке . Из нее вы узнаете о практическом применении скользящих средних.

Метод скользящей средней – это статистический инструмент, с помощью которого можно решать различного рода задачи. В частности, он довольно часто используется при прогнозировании. В программе Excel для решения целого ряда задач также можно применять данный инструмент. Давайте разберемся, как используется скользящая средняя в Экселе.

Смысл данного метода состоит в том, что с его помощью происходит смена абсолютных динамических значений выбранного ряда на средние арифметические за определенный период путем сглаживания данных. Этот инструмент применяется для экономических расчетов, прогнозирования, в процессе торговли на бирже и т.д. Применять метод скользящей средней в Экселе лучше всего с помощью мощнейшего инструмента статистической обработки данных, который называется Пакетом анализа . Кроме того, в этих же целях можно использовать встроенную функцию Excel СРЗНАЧ .

Способ 1: Пакет анализа

Пакет анализа представляет собой надстройку Excel, которая по умолчанию отключена. Поэтому, прежде всего, требуется её включить.

После этого действия пакет «Анализ данных» активирован, и соответствующая кнопка появилась на ленте во вкладке «Данные» .

А теперь давайте рассмотрим, как непосредственно можно использовать возможности пакета Анализ данных для работы по методу скользящей средней. Давайте на основе информации о доходе фирмы за 11 предыдущих периодов составим прогноз на двенадцатый месяц. Для этого воспользуемся заполненной данными таблицей, а также инструментами Пакета анализа .

1. Переходим во вкладку «Данные» и жмем на кнопку «Анализ данных» , которая размещена на ленте инструментов в блоке «Анализ» .



2. Открывается перечень инструментов, которые доступны в Пакете анализа . Выбираем из них наименование «Скользящее среднее» и жмем на кнопку «OK» .



3. Запускается окно ввода данных для прогнозирования методом скользящей средней.

   В поле «Входной интервал» указываем адрес диапазона, где расположена помесячно сумма выручки без ячейки, данные в которой следует рассчитать.

   В поле «Интервал» следует указать интервал обработки значений методом сглаживания. Для начала давайте установим значение сглаживания в три месяца, а поэтому вписываем цифру «3» .

   В поле «Выходной интервал» нужно указать произвольный пустой диапазон на листе, где будут выводиться данные после их обработки, который должен быть на одну ячейку больше входного интервала.

   Также следует установить галочку около параметра «Стандартные погрешности» .

   При необходимости, можно также установить галочку около пункта «Вывод графика» для визуальной демонстрации, хотя в нашем случае это и не обязательно.

   После того, как все настройки внесены, жмем на кнопку «OK» .



4. Программа выводит результат обработки.



5. Теперь выполним сглаживание за период в два месяца, чтобы выявить, какой результат является более корректным. Для этих целей опять запускаем инструмент «Скользящее среднее» Пакета анализа .

   В поле «Входной интервал» оставляем те же значения, что и в предыдущем случае.

   В поле «Интервал» ставим цифру «2» .

   В поле «Выходной интервал» указываем адрес нового пустого диапазона, который, опять же, должен быть на одну ячейку больше входного интервала.

   Остальные настройки оставляем прежними. После этого жмем на кнопку «OK» .



6. Вслед за этим программа производит расчет и выводит результат на экран. Для того, чтобы определить, какая из двух моделей более точная, нам нужно сравнить стандартные погрешности. Чем меньше данный показатель, тем выше вероятность точности полученного результата. Как видим, по всем значениям стандартная погрешность при расчете двухмесячной скользящей меньше, чем аналогичный показатель за 3 месяца. Таким образом, прогнозируемым значением на декабрь можно считать величину, рассчитанную методом скольжения за последний период. В нашем случае это значение 990,4 тыс. рублей.

Способ 2: использование функции СРЗНАЧ

В Экселе существует ещё один способ применения метода скользящей средней. Для его использования требуется применить целый ряд стандартных функций программы, базовой из которых для нашей цели является СРЗНАЧ . Для примера мы будем использовать все ту же таблицу доходов предприятия, что и в первом случае.

Как и в прошлый раз, нам нужно будет создать сглаженные временные ряды. Но на этот раз действия будут не настолько автоматизированы. Следует рассчитать среднее значение за каждые два, а потом три месяца, чтобы иметь возможность сравнить результаты.

Прежде всего, рассчитаем средние значения за два предыдущих периода с помощью функции СРЗНАЧ . Сделать это мы можем, только начиная с марта, так как для более поздних дат идет обрыв значений.

1. Выделяем ячейку в пустой колонке в строке за март. Далее жмем на значок «Вставить функцию» , который размещен вблизи строки формул.



2. Активируется окно Мастера функций . В категории «Статистические» ищем значение «СРЗНАЧ» , выделяем его и щелкаем по кнопке «OK» .



3. Запускается окно аргументов оператора СРЗНАЧ . Синтаксис у него следующий:

   СРЗНАЧ(число1;число2;…)

   Обязательным является только один аргумент.

   В нашем случае, в поле «Число1» мы должны указать ссылку на диапазон, где указан доход за два предыдущих периода (январь и февраль). Устанавливаем курсор в поле и выделяем соответствующие ячейки на листе в столбце «Доход» . После этого жмем на кнопку «OK» .



4. Как видим, результат расчета среднего значения за два предыдущих периода отобразился в ячейке. Для того, чтобы выполнить подобные вычисления для всех остальных месяцев периода, нам нужно скопировать данную формулу в другие ячейки. Для этого становимся курсором в нижний правый угол ячейки, содержащей функцию. Курсор преобразуется в маркер заполнения, который имеет вид крестика. Зажимаем левую кнопку мыши и протягиваем его вниз до самого конца столбца.



5. Получаем расчет результатов среднего значения за два предыдущих месяца до конца года.



6. Теперь выделяем ячейку в следующем пустом столбце в строке за апрель. Вызываем окно аргументов функции СРЗНАЧ тем же способом, который был описан ранее. В поле «Число1» вписываем координаты ячеек в столбце «Доход» с января по март. Затем жмем на кнопку «OK» .



7. С помощью маркера заполнения копируем формулу в ячейки таблицы, расположенные ниже.



8. Итак, значения мы подсчитали. Теперь, как и в предыдущий раз, нам нужно будет выяснить, какой вид анализа более качественный: со сглаживанием в 2 или в 3 месяца. Для этого следует рассчитать среднее квадратичное отклонение и некоторые другие показатели. Для начала рассчитаем абсолютное отклонение, воспользовавшись стандартной функцией Excel ABS , которая вместо положительных или отрицательных чисел возвращает их модуль. Данное значение будет равно разности между реальным показателем выручки за выбранный месяц и прогнозируемым. Устанавливаем курсор в следующий пустой столбец в строку за май. Вызываем Мастер функций .



9. В категории «Математические» выделяем наименование функции «ABS» . Жмем на кнопку «OK» .



10. Запускается окно аргументов функции ABS . В единственном поле «Число» указываем разность между содержимым ячеек в столбцах «Доход» и «2 месяца» за май. Затем жмем на кнопку «OK» .



11. С помощью маркера заполнений копируем данную формулу во все строки таблицы по ноябрь включительно.



12. Рассчитываем среднее значение абсолютного отклонения за весь период с помощью уже знакомой нам функции СРЗНАЧ .



13. Аналогичную процедуру выполняем и для того, чтобы подсчитать абсолютное отклонение для скользящей за 3 месяца. Сначала применяем функцию ABS . Только на этот раз считаем разницу между содержимым ячеек с фактическим доходом и плановым, рассчитанным по методу скользящей средней за 3 месяца.



14. Далее рассчитываем среднее значение всех данных абсолютного отклонения с помощью функции СРЗНАЧ .



15. Следующим шагом является подсчет относительного отклонения. Оно равно отношению абсолютного отклонения к фактическому показателю. Для того чтобы избежать отрицательных значений, мы опять воспользуемся теми возможностями, которые предлагает оператор ABS . На этот раз с помощью данной функции делим значение абсолютного отклонения при использовании метода скользящей средней за 2 месяца на фактический доход за выбранный месяц.



16. Но относительное отклонение принято отображать в процентном виде. Поэтому выделяем соответствующий диапазон на листе, переходим во вкладку «Главная» , где в блоке инструментов «Число» в специальном поле форматирования выставляем процентный формат. После этого результат подсчета относительного отклонения отображается в процентах.



17. Аналогичную операцию по подсчету относительного отклонения проделываем и с данными с применением сглаживания за 3 месяца. Только в этом случае для расчета в качестве делимого используем другой столбец таблицы, который у нас имеет название «Абс. откл (3м)» . Затем переводим числовые значения в процентный вид.



18. После этого высчитываем средние значения для обеих колонок с относительным отклонением, как и ранее используя для этого функцию СРЗНАЧ . Так как для расчета в качестве аргументов функции мы берем процентные величины, то дополнительную конвертацию производить не нужно. Оператор на выходе выдает результат уже в процентном формате.



19. Теперь мы подошли к расчету среднего квадратичного отклонения. Этот показатель позволит нам непосредственно сравнить качество расчета при использовании сглаживания за два и за три месяца. В нашем случае среднее квадратичное отклонение будет равно корню квадратному из суммы квадратов разностей фактической выручки и скользящей средней, деленной на количество месяцев. Для того, чтобы произвести расчет в программе, нам предстоит воспользоваться целым рядом функций, в частности КОРЕНЬ , СУММКВРАЗН и СЧЁТ . Например, для расчета среднего квадратичного отклонения при использовании линии сглаживания за два месяца в мае будет в нашем случае применяться формула следующего вида:

    КОРЕНЬ(СУММКВРАЗН(B6:B12;C6:C12)/СЧЁТ(B6:B12))

    Копируем её в другие ячейки столбца с расчетом среднего квадратичного отклонения посредством маркера заполнения.



20. Аналогичную операцию по расчету среднего квадратичного отклонения выполняем и для скользящей средней за 3 месяца.



21. После этого рассчитываем среднее значение за весь период для обоих этих показателей, применив функцию СРЗНАЧ .



22. Произведя сравнение расчетов методом скользящей средней со сглаживанием в 2 и 3 месяца по таким показателям, как абсолютное отклонение, относительное отклонение и среднеквадратичное отклонение, можно с уверенностью сказать, что сглаживание за два месяца дает более достоверные результаты, чем применение сглаживания за три месяца. Об этом говорит то, что вышеуказанные показатели по двухмесячному скользящему среднему, меньше, чем по трехмесячному.



23. Таким образом, прогнозируемый показатель дохода предприятия за декабрь составит 990,4 тыс. рублей. Как видим, это значение полностью совпадает с тем, которое мы получили, производя расчет с помощью инструментов Пакета анализа .

Мы произвели расчет прогноза при помощи метода скользящей средней двумя способами. Как видим, данную процедуру намного проще выполнить с помощью инструментов Пакета анализа . Тем не менее некоторые пользователи не всегда доверяют автоматическому расчету и предпочитают для вычислений использовать функцию СРЗНАЧ и сопутствующие операторы для проверки наиболее достоверного варианта. Хотя, если все сделано правильно, на выходе результат расчетов должен получиться полностью одинаковым.

Сможет найти опцию, позволяющую выбрать метод расчета. Вариантов дается три: SMA (простая), EMA (экспоненциальная) и WMA (взвешенная). Эта статья посвящена рассмотрению взвешенной скользящей средней .

В чем суть взвешенной средней?

Тогда как простая скользящая средняя есть всего лишь среднее арифметическое значений за указанное трейдером в настройках количество периодов (по умолчанию чаще всего стоит 20 периодов), взвешенная средняя учитывает, что значения последних периодов (то есть наиболее актуальные данные) важнее, чем значения первых. Особенно использование такого индикатора уместно, если на данный момент на рынке существует явно выраженная тенденция к росту или падению стоимости актива. Визуально формула вычисления WMA имеет такой вид:

Важно отметить, что экспоненциальная средняя (EMA) тоже в некоторой мере является взвешенной – принцип повышение веса показателя со временем сохраняется. Однако расчет EMA немного иной:

Популярностью среди трейдеров пользуются именно взвешенные скользящие средние – они считаются значительно более гибкими. Простая скользящая средняя – «топорный» инструмент, который чаще всего используется как составной элемент более хитроумного индикатора.

Как считается взвешенная скользящая средняя?

Для расчета используется следующая формула:

Пусть формула выглядит пугающе, но она удивительно проста: значение P – это цена актива в определенном периоде, значение W – удельный вес. Вручную посчитать взвешенную среднюю не составит труда, что мы и докажем следующим примером:

Необходимо определить значение взвешенной скользящей средней 6 мая за последние 5 периодов.

Подставляем значения в формулу:

Видно, что значение WMA больше, и это является отражением ярко выраженного тренда к возрастанию значений:

Естественно, в реальности за пять периодов средняя не считается, так как такой анализ дает слишком субъективный результат. Однако более массивные расчеты проводить вручную проблематично и попросту долго, поэтому можно поблагодарить компьютеры, что они делают эту работу за нас.

Преимущества и недостатки взвешенных средних

Преимущество взвешенной средней уже было проиллюстрировано – этот индикатор более гибко реагирует на последние тенденции изменений цены актива. К недостаткам же относятся следующие моменты:

• Запаздывание при входе в тренд и выходе из него все равно остается довольно ощутимым, пусть и в меньшей степени, чем при использовании простых средних. Кстати, чтобы избавиться от этого недостатка рекомендуется использовать экспоненциальные индикаторы EMA, которые на данный момент считаются наиболее совершенной моделью скользящей средней.

• Взвешенная средняя сильно меняется при появлении ложного сигнала (так как именно последнему сигналу уделяется особое внимание). В этом плане простая скользящая средняя более совершенна.

• WMA неэффективна при позиционной торговле, так как выглядит более сглаженной из-за низкого шума рынка. Использовать такую среднюю лучше при среднесрочной и краткосрочной торговле. Какими инструментами пользоваться при торговле на больших таймфреймах, расскажет эта статья - .

Стратегия торговли на взвешенных средних

Чтобы проиллюстрировать работу скользящих средних, необходимо привести в пример одну из стратегий, которая основана на этом индикаторе – называется «Взвешенный Тейлор» (Weighted Taylor).

Условия торговли следующие:

• Выбирается дневной таймфрейм - лучше, если активом является валютная EURUSD. Если запаса депозита недостаточно для торговли на таких больших таймфреймах, рисковать не стоит – следует снизить размер сделки.

• Устанавливают 5 взвешенных средних с периодами 5 (голубая), 15 (оранжевая), 30 (желтая), 60 (розовая), 90 (красная). График выглядит так:

• Устанавливается RSI с периодом 5 и двумя уровнями (60 и 40).

• Устанавливается MACD со следующими параметрами: быстрая EMA 5, медленная EMA 13, простая SMA Также ставятся два красных уровня: 0,005 и -0,005.

Вся картинка выглядит так:

Торговать нужно следующим образом: в первую очередь обращать внимание на скользящие средние. Долгосрочные взвешенные средние имеют более сглаженный вид – как правило, когда краткосрочные пересекают их, это свидетельствует о зачатке тренда. По нашему примеру видно, что на рынке затишье, однако, голубая (самая краткосрочная) поменяла направление и стремится к розовой и красной (самым долгосрочным), поэтому трейдеру следует быть настороже.

Далее обращаем внимание на индикатор RSI. Если зеленая линия находится в коридоре 40-60, открывать позицию не рекомендуется (наш пример именно таков), потому как этот интервал характеризуется большим уровнем рыночного шума и ложных сигналов.

Индикатор MACD используется для поиска точек входа на . При этом обратить внимание стоит на «красный коридор» - принцип тот же, что и у RSI: заключать сделки нельзя . На нашем примере линия индикатора находится именно в этом коридоре.

Так, открывать позицию следует только тогда, когда все 3 индикатора дают один и тот же сигнал.

Будьте в курсе всех важных событий United Traders - подписывайтесь на наш

2.3.1. Задание*

В первых двух столбцах таблицы 17 приведены данные, отражающие спрос на некоторый товар за восьмилетний период. Провести сглаживание данных методом скользящего среднего с окном сглаживания k =3.

2.3.2. Выполнение задания

Скользящее среднее вычисляется с помощью функции СРЗНАЧ. Результаты расчета представлены в третьем столбце таблицы 16 и иллюстрируются рисунком 8.

Таблица 17. Спроса на товар

2.4. Выделение трендовой и циклической компонент временного ряда**

Задание 1

В таблице 18 представлены данные об объеме y потребления энергии за четыре года (время t измеряется в кварталах). Сгладить временной ряд методом скользящего среднего, самостоятельно подобрав размер k окна сглаживания.

2.4.2. Выполнение задания 1

Из графика зависимости y (t ) (см. рис. 9) видно, что временной ряд содержит циклическую компоненту с периодом T п =4. Рассчитав с помощью функции КОРРЕЛ выборочный коэффициент автокорреляции r (1,t) (см. таблицу 19) и построив коррелограмму (с помощью мастера диаграмм – см. рис.10), получаем, что максимум коэффициента автокорреляции имеет место при значениях t, кратных четырем; это подтверждает (см. §1.2), что T п =4. Окно сглаживания следует выбрать равным (см. §1.5) периоду циклической составляющей: k=T п =4. Тогда результатом сглаживания будет являться приближенный тренд (за период положительные и отрицательные значения циклической составляющей будут компенсировать друг друга).

В третьем столбце таблицы 18 приведены результаты расчета скользящего среднего u 1 (t ) для k =4. Средняя точка t ср окна сглаживания находится между вторым и третьим моментом времени окна. Так, например, для первого окна (содержащего моменты времени t =1, 2, 3, 4) t ср =2,5; такого момента времени в наших данных нет, и мы приписываем среднее значение наблюдений по окну моменту t =2. Для второго окна t ср =3,5, и среднее значение наблюдений по второму окну будет приписано моменту t =3. Аналогично, среднее значение наблюдений для каждого следующего скользящего окна мы будем приписывать второму моменту времени этого окна.

Для установки соответствия между средним значением наблюдений по окну и серединой окна t ср необходимо применить к u 1 (t ) метод скользящего среднего с окном сглаживания, равным двум: u 2 (t )=[u 1 (t -1)+u 1 (t )]/2. Результаты расчета приведены в таблице 18 (четвертый столбец). Напомним (см. также §1.5), что расчет u 2 нужен только в случае четного k . Для нечетного k средняя точка окна сглаживания t ср совпадает с одним из имеющихся в таблице моментов времени.

Таблица 18. Расчет тренда и циклической составляющей

Задание 2

Вычислить значения циклической компоненты временного ряда по данным таблицы 18. Результаты записать в эту же таблицу.

2.4.4. Выполнение задания 2

Рассматриваемый временной ряд описывается аддитивной моделью, так как амплитуда колебаний уровней ряда практически не зависит от времени (см. рис. 9). По формуле (43) (учитывая, что T »u 2) рассчитываем S

Значения S 2 получены усреднением S 1 по периодам. Так как среднее значение циклической компоненты за период для аддитивной модели ряда должно равняться нулю, то выравниваем значения S 2: S 3 = S 2 -S 2 ср, где через S 2 ср обозначено среднее значение S S получены копированием S 3 по всем периодам.

Получив циклическую компоненту, вычислим следующее приближение тренда в предположении, что тренд линеен. Рассчитаем зашумленные значения тренда: T +E =Y -S (см. формулу (40)). Применив к этим значениям МНК (с помощью функции ЛИНЕЙН), получим следующую формулу: T (t )=0,186t +5,72. По этой формуле вычислим значения тренда, а затем, учитывая, что E =Y -T -S , – значения случайной компоненты E .

На рис. 9 компоненты ряда показаны графически. Так как случайная компонента существенно меньше остальных компонент ряда, можно считать, что полученные оценки тренда и циклической составляющей вполне приемлемы.

Задание 3

В первых двух столбцах таблицы 20 приведены поквартальные данные о прибыли компании (в усл. ед.) за последние четыре года. Определить трендовую, циклическую и случайную компоненты временного ряда.

2.4.6. Выполнение задания 3

Из графика зависимости y (t ) (см. рис. 11,а) видно, что временной ряд со­держит циклическую компоненту с периодом T п =4. Построив коррелограмму (которая здесь не приводится), можно удостовериться, что максимум коэффи­циента автокорреляции имеет место при значениях t, кратных четырем; это подтверждает, что T п =4. Окно сглаживания выбираем равным (см. §1.5) пе­риоду циклической составляющей: k=T п =4.

В третьем и четвертом столбце таблицы 20 приведены результаты рас­чета приближений тренда u 1 (t ) и u 2 (t ), полученные так же, как в таблице 18.

Для рассматриваемого временного ряда следует выбрать мультиплика­тивную модель, так как амплитуда колебаний уровней ряда изменяется про­порционально тренду (см. рис. 11,а). По формуле (44) (учитывая, что T »u 2) рас­считываем S 1 – первое приближение циклической компоненты ряда.

Значения S 2 получены усреднением S 1 по периодам. Так как среднее зна­чение циклической компоненты за период для мультипликативной модели должно равняться единице, то от S 2 переходим к следующему приближению циклической компоненты: S 3 = S 2 /S 2 ср, где S 2 ср – среднее значение S 2 . Значения циклической компоненты S получены копированием S 3 по всем периодам.

Далее вычислим следующее приближение тренда в предположении, что тренд линеен. Рассчитаем зашумленные значения тренда: TE =Y /S (см. формулу (41)). Применив к этим значениям МНК (с помощью функции ЛИНЕЙН), по­лучим формулу для тренда: T (t )=-2,77t +90,57. По этой формуле вычислим зна­чения тренда, а затем – значения случайной компоненты E (E =Y /(TS )). Абсо­лютная погрешность модели рассчитывается по формуле: Eabs =Y -TS .

На рис. 11 компоненты ряда показаны графически. Заметим, что абсо­лютная погрешность существенно меньше уровней ряда и тренда. Кроме того, случайная компонента практически для всех значе­ний t близка к единице. По­этому оценки тренда и циклической составляю­щей вполне приемлемы.

Таблица 20. Данные о прибыли компании

3. Задание на самостоятельную работу

1. В таблице 21* представлены данные о производительности труда Y для некоторого предприятия с 1987 по 1996 г. Получить уравнения и графики трендов: линейного, логарифмического, степенного, полиномиального, экспоненциального. Выбрать из них тренд, наиболее соответствующий наблюдениям (сравни­вая значение R 2). Для выбранного тренда проверить гипотезу независимости остатков по критерию Дарбина-Уотсона (при n =10 d н =0,88 d в =1,32). Зачем надо проверять эту гипотезу?

2. В таблице 22** приведено среднее число y яиц на несушку на каждый месяц по США с 1938 по 1940 г. Требуется:

1) построить график y (t ) и коррелограмму. Анализируя их, ответить на вопросы: содержит ли ряд линейный тренд? Содержит ли ряд циклическую со­ставляющую? Чему равен период циклической составляющей Тц? Какая модель подходит для описания ряда – аддитивная или мультипликативная?

2) определить компоненты ряда.

Таблица 22. Среднее число y яиц на несушку

3. В таблице 23 даны уровни некоторого ряда, время t измеряется в кварталах. Провести для этих данных исследования, аналогичные п.2.

Таблица 23. Уровни ряда

Практическая работа №5. Использование фиктивных
переменных при решении задач эконометрики

Теоретическая часть